Capitolo 4: il costo di aggiustamento
dell’investimento
4.1 Introduzione
Il punto di partenza di questo capitolo sarà il modello esaminato nel capitolo 2. Ciò significa che non consideriamo più la presenza di abitudini nel consumo, ma riprendiamo il modello canonico modificandolo per considerare un nuovo aspetto. L’elemento che verrà considerato è il costo di aggiustamento dell’investimento. Nel modello DSGE canonico si assume che lo stock di capitale possa essere cambiato da un periodo all’altro senza che vi sia alcun tipo di restrizione. Quindi, nel caso in cui avvenisse un qualche shock che abbia ripercussioni sul livello ottimo di capitale investito, gli agenti potrebbero modificare le loro decisioni di investimento in modo tale che il livello di stock di capitale rimanga comunque al livello ottimo, il tutto senza sostenere un alcun costo di trasformazione. Nel mondo reale il capitale fisico è una variabile che ha delle caratteristiche un po’ particolari: il capitale fisico si riferisce a macchinari, impianti, automezzi che non possono essere prodotti e installati in maniera istantanea. Un importante aspetto che deve essere considerato è la possibilità di introdurre un processo di investimento che sia soggetto ad un costo implicito, elemento che mancava nel modello DSGE canonico. Questa aggiunta significa che si verificano delle rigidità nel processo di accumulazione del capitale; allora, se il livello del capitale non è quello ottimale in un certo periodo, gli agenti non possono più effettuare degli investimenti tali da compensare questa differenza in un singolo periodo, ma il cambiamento dello stock di capitale avrà origine attraverso un processo di investimento che dura nel tempo.
In letteratura la questione è stata affrontata in due maniere alternative: da un lato si può considerare l’esistenza di un costo di aggiustamento nell’investimento, dall’altro un costo di aggiustamento relativo allo stock di capitale. I due concetti sono simili ma richiedono una diversa specificazione nel processo del costo di aggiustamento. In questa sezione noi consideriamo l’esistenza di un costo di aggiustamento legata
all’investimento; questa è l’ipotesi maggiormente affrontata in letteratura. Le decisioni di investimento sono costose in termini di perdita di utilità, ciò avviene perché una frazione dell’ammontare investito “scompare” e non viene trasformata in capitale.
4.2 Il costo di aggiustamento dell’investimento
Nel modello DSGE standard il comportamento seguito da parte del settore produttivo è molto semplice: le imprese massimizzano i profitti in ciascun periodo risolvendo un problema di tipo statico. Quindi le imprese prendono decisioni in un contesto intertemporale e la risoluzione corretta del problema prevede la massimizzazione della somma di tutti i profitti opportunamente scontati. Anche se andassimo a considerare la versione dinamica del problema, otterremmo lo stesso tipo di risultato (quindi anche qua le decisioni delle imprese effettuate oggi non si ripercuotono nei periodi futuri); il motivo di ciò è che le assunzioni riguardo il comportamento delle imprese sono eccessivamente restrittive. Una delle mancanze del modello analizzato nel capitolo 2 sta nell’assumere che non ci sia alcuna limitazione nella trasformazione dell’investimento in capitale installato, tale trasformazione è istantanea. Invece, nella realtà, le imprese fronteggiano un costo per l’alterazione dello stock di capitale .
L’analisi dell’investimento e dell’accumulazione del capitale può prendere spunto sia dal lato delle imprese che dal lato dei consumatori, a seconda di chi è il proprietario dello stock di capitale. L’opzione più realistica sarebbe quella di considerare che fossero le imprese a determinare il livello di investimento in ciascun periodo. Questo approccio è stato usato diffusamente per lo studio della funzione di investimento ed ha condotto alla teoria del Q di Tobin. Questa teoria ci permette di studiare le dinamiche del processo di investimento sulla base del valore osservato nel Q ratio; esso rappresenta il rapporto tra il valore di mercato di un’impresa ed il costo di rimpiazzo del suo capitale installato (ovvero quanto costerebbe riacquistare tutti gli impianti, le strutture ed i macchinari dell’impresa ai prezzi correnti); tale rapporto può anche essere interpretato come il valore dell’impresa acquistata sui mercati finanziari rispetto al valore dell’impresa definito dai singoli cespiti che la compongono.
processo di investimento? Detta molto brevemente, quando è vantaggioso acquistare capitale (fare investimenti) perché il mercato finanziario dà ad essi un valore maggiore rispetto a quello che è il loro costo. Se invece , non conviene fare investimenti per ragioni opposte a quelle appena viste.
In alternativa a questa visione c’è l’assunzione, comune nei modelli DSGE, che siano le famiglie i proprietari del capitale, e che quindi il costo di aggiustamento dell’investimento debba essere considerato da questo punto di vista. Sarà questo l’approccio che noi seguiremo in questo capitolo.
Passiamo adesso a considerare la modalità attraverso la quale si introduce il costo di aggiustamento all’interno della nostra economia; in letteratura le opzioni che sono state esaminate sono molteplici, nel nostro caso si considera che il costo di aggiustamento dell’investimento sia collegato ai cambiamenti avvenuti negli investimenti tra due periodi consecutivi, quindi:
( ) ( ) (4.1) con ( ) ( ) ( )
Queste tre equazioni stanno a significare che esiste un costo associato al cambiamento del livello dell’investimento, tale costo è zero quando si è nello stato stazionario ed è crescente rispetto al cambiamento dell’investimento. Possiamo adesso inserire questa nuova caratteristica nell’equazione che definisce l’accumulazione del capitale:
( ) , (
)- (4.2)
Nella letteratura si trovano numerosi esempi di modelli DSGE che incorporano l’esistenza di costi di aggiustamento nell’investimento. Tra questi si elencano anche i modelli che saranno presentati più avanti in questo lavoro, come Ireland (2004), Bernanke (1999) e Smets e Wouters (2003).
4.3 Il modello
Il modello che verrà presentato include l’esistenza di costi di aggiustamento nel processo di investimento; ciò significa che verrà modificata l’equazione che descrive l’accumulazione di capitale al fine di tenere in considerazione questo elemento. Ciò impatta principalmente sulle famiglie che adesso devono tenere in considerazione un elemento aggiuntivo da incorporare nel loro vincolo di bilancio (poiché abbiamo assunto che siano le famiglie i proprietari del bene capitale).
4.3.1 Le famiglie
Si assume che le famiglie massimizzino la loro funzione di utilità in termini di consumi, * + , e tempo libero * + . Le preferenze del consumatore sono definite dalla seguente funzione di utilità:
∑ , ( ) ( ) - (4.3) Dove è il fattore di sconto e ( ) rappresenta la proporzione del consumo sul reddito totale.
Il vincolo di bilancio prevede che la somma tra consumi e risparmi non possa eccedere il reddito che deriva dal lavoro e dal prestito del capitale:
(4.4)
Dove è il salario ed è il prezzo per prendere in prestito il capitale fisico. Il costo di aggiustamento dell’investimento è introdotto attraverso l’equazione che descrive l’accumulazione del capitale fisico:
( ) , (
)- (4.5)
Si assume inoltre che Possiamo quindi andare a scrivere la funzione Lagrangiana associata al problema di massimizzazione dell’utilità delle famiglie:
∑ *, ( ) ( )- ( ) ( ( ) , (
Dove rappresenta il moltiplicatore Lagrangiano associato all’evoluzione del capitale. Questo moltiplicatore rappresenta il prezzo ombra del capitale, ed è anche conosciuto come Q di Tobin (del quale ho già parlato sopra). Ovviamente in questo caso, siccome ci sono da considerare 2 vincoli nel problema di massimizzazione, avremo 2 moltiplicatori Lagrangiani.
Passiamo a considerare le condizione del primo ordine:
(4.7) ( ) (4.8) , ( ) - (4.9) 0 . / . / 1 . / . / (4.10)
Si può inoltre definire il Q di Tobin marginale, denominato :
(4.11) che rappresenta il rapporto tra i 2 moltiplicatori Lagrangiani. Si ottiene che . Utilizzando la condizione del primo ordine (4.9) si ottiene:
, ( ) -
che può essere riscritta come,
, ( ) -
Quest’ultima equazione indica che il valore del capitale installato oggi dipende da quello che è il suo valore atteso per il futuro, considerando sia il tasso di deprezzamento sia il tasso di ritorno atteso.
Inoltre effettuando delle ulteriori operazioni sulle condizioni del primo ordine possiamo determinare la seguente equazione che verrà poi ripresa nei prossimi paragrafi per definire quella che è la condizione di equilibrio per l’investimento:
(
) . /
. / . / (4.12)
Dalla combinazione delle equazioni che descrivono le condizioni del primo ordine (4.7) e (4.8) possiamo ottenere la condizione che eguaglia la perdita di utilità legata ad un’ora di lavoro addizionale con il ritorno marginale dell’ora di lavoro aggiuntiva:
Dalla combinazione delle equazioni (4.7) e (4.9) otteniamo la condizione di equilibrio legata ai consumi che eguaglia il tasso marginale del consumo con il tasso di ritorno dell’investimento:
, ( ) -
4.3.2 Le imprese
Il problema per le imprese è quello di trovare i valori ottimali per il lavoro ed il capitale. Tali fattori produttivi sono necessari per la produzione dell’output. Le imprese prendono in prestito capitale ed assumono lavoratori con lo scopo di massimizzare i profitti al periodo t, prendendo come dati i costi dei fattori produttivi. La funzione di produzione è del tipo Cobb-Douglas:
(4.13)
Dove è una misura della produttività totale dei fattori e si ha che Il problema di massimizzazione per le imprese si imposta:
( ) (4.14)
Da qua ricaviamo le condizioni del primo ordine:
(4.15) ( ) (4.16)
Dalle condizioni del primo ordine ricaviamo il prezzo al quale viene preso a prestito il capitale ed il salario:
(4.17)
( ) (4.18)
4.3.3 Equilibrio del modello, equazioni e calibrazione
Prima di definire l’equilibrio in questo modello è necessario specificare la forma della funzione del costo di aggiustamento. La letteratura offre diverse scelte a riguardo, nel nostro caso la funzione del costo di aggiustamento sarà definita da:
.
/ ( ) (4.19)
Quindi possiamo ricavare la condizione di equilibrio per l’investimento sostituendo la funzione del costo di aggiustamento nella (4.12):
( ) ( ) ( ) ( )
In questo modello l’equilibrio competitivo è dato da un una serie di nove equazioni che descrivono le dinamiche di otto variabili macroeconomiche endogene, , , , , , , , , più l’equazione della produttività totale dei fattori, , perla quale si assume un processo di autoregressione del primo ordine. Le equazioni sono le seguenti:
( ) (4.20) , ( ) - (4.21) (4.22) (4.23) ( ) , ( ) - (4.24) ( ) (4.25) (4.26) . / . / . / . / (4.27)
( ) ̅ (4.28)
La calibrazione per questa economia deve essere fatta per i seguenti parametri * +, dove l’unico parametro che ancora non è stato definito è , mentre agli altri è già stato assegnato un valore nei precedenti capitoli. In letteratura ci sono state diverse definizioni per la funzione del costo di aggiustamento, ciò ha fatto sì che il parametro (che rappresenta l’intensità del costo di aggiustamento) sia stato calibrato con diversi valori; Smets e Wouters (2003) lo stimano a 5.9, nel nostro caso assumeremo un valore un po’ più elevato, pari a 6. In tabella sono riportati i valori per tutti i parametri.
Parametro tecnologico 0.350
Fattore di sconto 0.970
Parametro delle preferenze 0.400
Costo di aggiustamento nell’investimento 6.000
Tasso di ammortamento 0.060
Parametro di autoregressione TFP 0.950
Deviazione standard TFP 0.010
Tabella 1. La calibrazione
4.4 Shock nella produttività totale dei fattori
In questa sezione spiego come la presenza del costo di aggiustamento nell’investimento influenzi gli effetti di uno shock positivo nella produttività totale dei fattori. Riporto le funzioni di risposta delle variabili endogene nella figura 1.
Rispetto al modello canonico è possibile notare alcune differenze. Innanzitutto, come ci si aspettava, si osserva una diversa risposta degli investimenti allo shock: la funzione di risposta ha adesso una forma a gobba che implica inoltre un diverso meccanismo di trasmissione dello shock allo stock di capitale e all’output. Questo tipo di risposta è proprio spiegata dall’esistenza del costo di aggiustamento dell’investimento che riduce l’ammontare investito da un periodo al successivo. Questa funzione di risposta nell’investimento aumenta la persistenza del processo di accumulazione dello stock di capitale.
Figura 1. Shock tecnologico con costo di aggiustamento del capitale
Un altro elemento interessante da osservare è la risposta del q-ratio allo shock nella produttività. Tale shock fa sì che il q-ratio aumenti al di sopra del suo livello di equilibrio, ciò significa che vi è una convenienza ad investire poiché l’acquisto di un’unità aggiuntiva di capitale aumenta il valore di mercato dell’azienda più di quanto sia il costo sostenuto per la stessa unità di capitale. Mano a mano che lo stock di capitale aumenta il q-ratio diminuisce a causa della produttività marginale decrescente del capitale.
4.5 Conclusioni
In questo capitolo abbiamo sviluppato un modello DSGE considerando il costo di aggiustamento nel processo di investimento. Se non considerassimo questo elemento le imprese potrebbero aggiustare lo stock di capitale al livello ottimo in maniera istantanea. Il costo di aggiustamento introduce un costo addizionale nel processo di investimento visto che l’installazione di nuovo capitale non avviene gratuitamente, quindi, ogni differenza che c’è tra il livello ottimo dello stock di capitale ed il capitale già installato non può essere compensata in un singolo periodo, ma richiede dei tempi maggiori. Questo implica una diversa risposta degli investimenti quando avviene uno shock
nell’economia, ciò si traduce in una più elevata persistenza del processo di accumulazione del capitale fisico. Il costo di aggiustamento dell’investimento è inserito molto frequentemente nei modelli DSGE come fattore importante per spiegare le dinamiche dell’investimento ed altri elementi del ciclo economico.
