Capitolo 2
MULTIPLEXING SPAZIALE E MODELLO
DI CANALE
2.1 Introduzione
Nel capitolo precedente abbiamo utilizzato antenne multiple nelle comunicazioni wireless per ottenere guadagno in diversità ed aumentare la affidabilità dei collegamenti wireless.
Abbiamo esaminato sia la ricezione che la trasmissione in diversità.
Sappiamo che attraverso la conoscenza del canale al trasmettitore, le antenne multiple di trasmissione possono anche fornire un guadagno di potenza funzionale al tipo di fascio trasmittente.
Inoltre antenne multiple di trasmissione possono essere usate per indurre variazioni nel canale, che possono essere sfruttate da opportune tecniche di comunicazione.
In questo capitolo vedremo un nuovo modo di utilizzare antenne multiple.
Sotto opportune condizioni del canale con fading, sia le antenne multiple trasmittenti che le antenne multiple riceventi (tipico caso di sistema MIMO), forniscono una dimensione spaziale aggiuntiva per la comunicazione e un guadagno in termini di gradi di libertà.
Questi gradi di libertà in più possono essere sfruttati da flussi di dati multiplexati spazialmente sul canale MIMO, e portano ad un incremento della capacità: la capacità di un tale canale MIMO con n antenne trasmittenti e riceventi è proporzionale ad n.
Storicamente si è creduto, per un certo periodo, che un sistema ad accesso multiplo con antenne multiple alla stazione base consentisse a molti utilizzatori di comunicare simultaneamente con la stazione base.
Le antenne multiple consentono separazioni spaziali dei segnali provenienti dai diversi utenti.
Si è visto, a metà degli anni ’90 che, un effetto simile può capitare per un canale punto-punto con antenne multiple di trasmissione e di ricezione, per esempio, anche quando le antenne trasmittenti non sono spazialmente separate in distanza.
Questo accade, a condizione che l’ambiente scatterante sia abbastanza grande da permettere alle antenne riceventi di tenere separati i segnali provenienti dalle antenne in trasmissione.
Abbiamo già visto come canali con fading possono essere sfruttati da opportune tecniche di comunicazione.
Qui, vediamo un esempio in cui il canale con fading vada a beneficio della comunicazione.
Sarà utile confrontare la natura dei guadagni offerti da certe comunicazioni e dalle tecniche MIMO.
Ci sono tecniche di comunicazione che offrono principalmente guadagno di potenza. Il guadagno di potenza è molto importante per bassi valori di SNR dove i sistemi sono limitati in potenza, ma non così ad alti SNR, dove i sistemi sono condizionati dalla larghezza di banda.
Come vedremo, i sistemi MIMO, forniscono sia un guadagno di potenza che un guadagno di gradi di libertà.
Così, le tecniche MIMO, diventano il principale strumento per incrementare significativamente la capacità ad alti SNR.
L’attenzione è ora tesa ad investigare le proprietà dell’ambiente fisico che rende possibile la multiplazione spaziale e mostra come queste proprietà sono presenti in un modello statistico di canale MIMO.
Prima di tutto identificheremo i parametri chiave che determinano la capacità di multiplexing di un canale MIMO deterministico.
Poi vaglieremo una serie di canali fisici MIMO per stabilire la loro capacità multiplexing spaziale.
Basandoci su questi esempi si può dire che, la cosa più naturale è modellare il canale MIMO nel dominio angolare e studiare un modello statistico basato su questo approccio.
La nostra attenzione è orientata ai canali MIMO con fading piatto.
2.2 Capacità multiplexing dei canali MIMO
Un canale wireless tempo-invariante a banda stretta con antenne trasmittenti e antenne riceventi è descritto da una matrice deterministica
t
n nr
(
r, t)
H n n .Guardando alla capacità del canale possiamo individuare le proprietà di H che determinano il multiplexing spaziale.
2.1.1 Analisi della matrice H del guadagno di canale
Il canale tempo-invariante è descritto da, y =Hx +w dove x∈ nt , y∈ nr e w∼ N 0 (0, ) r n
N I indicano rispettivamente il segnale
trasmesso, il segnale ricevuto e il rumore gaussiano bianco nel tempo di simbolo (l’indice di tempo è omesso per semplicità).
La matrice H∈ n nr×t del canale è deterministica, assunta costante nel tempo e nota sia al trasmettitore che al ricevitore.
11 12 1 21 22 1 r t t n n n h h h h h H h h = r n
Qui, hij è il guadagno di canale dall’antenna trasmittente all’antenna ricevente i . j La limitazione di potenza, P, sui segnali è data dalle antenne trasmittenti.
Il canale gaussiano è rappresentato da un vettore.
La capacità può essere calcolata decomponendo il vettore del canale in un insieme di sottocanali paralleli, indipendenti e gaussiani.
Dalla algebra lineare sappiamo che ogni trasformazione lineare può essere rappresentata come una composizione di tre operazioni: una operazione di rotazione, una di scala e un’altra operazione di rotazione.
Nell’algebra delle matrici, la matrice H ha un valore singolare di decomposizione (SVD):
, H = ΛU V∗
dove U e V sono matrici unitarie di rotazione a valori complessi e è una matrice rettangolare i cui elementi diagonali sono numeri reali non-negativi mentre gli altri sono nulli.
Λ
Gli elementi diagonali
min
1 2 n
λ ≥ λ ≥ ⋅ ⋅ ⋅ ≥ λ
n
sono i valori singolari della matrice H, dove nmin =min( , ).nt r
Figura 2.2 - Conversione del canale MIMO con tecnica SVD
La decomposizione SVD può essere interpretata come due trasformazioni coordinate: essa mostra che se l’ingresso è espresso in termini di un sistema di coordinate definite dalle colonne di V e l’uscita è espressa in termini di un sistema di coordinate definite dalle colonne di U, allora la relazione ingresso/uscita è molto semplice.
La espressione della capacità di un canale MIMO è:
min 2 1 0 log 1 n i i i P C N λ = ⎛ ⎞ = ⎜ + ⎝ ⎠
∑
⎟ bits/s/HzOgni autocanale non-nullo può supportare un flusso di dati, cosicché il canale MIMO può supportare il multiplexing spaziale di molteplici flussi dati.
I parametri che determinano la performance del sistema sono il rango e il numero di condizione della matrice H.
L’indicazione sulla dimensione dell’immagine di H rappresenta la modifica che subisce il segnale trasmesso ad opera del canale MIMO.
Questa dimensione è pari al rango della matrice H e con pieno rango osserviamo che il canale MIMO produce nmin gradi di libertà spaziali.
Il rango però è solo una prima grossolana misura della capacità del canale, per una rappresentazione più raffinata dobbiamo andare a vedere ciascuno dei valori singolari non-nulli.
I risultati ci dicono che tra i canali con lo stesso guadagno di potenza totale, quello che ha la capacità più alta è quello con tutti i valori singolari uguali.
In generale, minori differenze ci sono tra i valori singolari, più è grande la capacità di canale.
In analisi numerica, (maxiλ /i mini λ ), è definito numero di condizione della matrice i
H.
La matrice è detta ben condizionata se il numero di condizione è prossimo ad uno.
LOLOOLO
Canali con matrici ben condizionate facilitano la comunicazione ad alti SNR.2.3 Modello fisico dei canali MIMO
La capacità spaziale multiplexing dei canali MIMO dipende dall’ambiente fisico.
Restringiamo la nostra attenzione ad array di antenne lineari uniformi spaziate lungo una linea retta.
2.3.1 LOS del canale SIMO
Il più semplice canale SIMO ha una singola linea di vista o un singolo LOS.
Esaminiamo il caso in cui siamo nello spazio libero senza riflettori o scatteratori e ci sia solo un segnale diretto tra ogni paia di antenne.
La separazione di antenna è Δr cλ , dove λ è la lunghezza d’onda della portante e è c
la distanza tra le antenne normalizzata.
r Δ
La dimensione dell’array di antenna è molto più piccolo della distanza tra il trasmettitore e il ricevitore.
La risposta impulsiva tra l’antenna trasmittente e la i-esima antenna ricevente è data da ( ) i h t ( ) ( / i i h t =a t d c)δ − i=1,...,nr,
dove è la distanza tra l’antenna trasmittente e la i-esima antenna ricevente, mentre a è l’attenuazione del cammino.
i
d
Il canale SIMO può essere scritto come
= +
y hx w
dove x è il simbolo trasmesso, w è il rumore, y è il vettore ricevuto. Il vettore del guadagno di canale 1,...,
r
t n
h= ⎣⎡h h ⎤⎦ è spesso chiamato segnale direzionale o spatial signature, indotto sull’array dell’antenna ricevente dal segnale trasmesso. Approssimando i cammini dall’antenna trasmittente ad ognuna delle antenne riceventi al primo ordine abbiamo:
( 1) λ cosφ ≈ + − Δ
i i r c
d d
dove d è la distanza dalla antenna trasmittente alla prima antenna ricevente, e φ è l’angolo di incidenza della LOS sull’array di antenna ricevente.
La quantità (i− Δ1) rλccosφ è lo scostamento della antenna ricevente dalla antenna ricevente 1 nella direzione della LOS.
i
La quantità Ω =cosφ è detta coseno direzionale rispetto all’array d’antenna ricevente. Il guadagno di canale h h1,..., è dato da
r t n h ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ 1 exp( 2 ) 2 exp exp( 2 2 ) exp( 2 ( 1) r r c r r j j d h a j j n π π π λ π ⎡ ⎤ ⎢ − Δ Ω ⎥ ⎢ ⎥ ⎛− ⎞⎢ ⎥ = ⎜ ⎟ − Δ Ω ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ − − Δ Ω⎥ ⎣ ⎦ .
I segnali ricevuti ad antenne consecutive differiscono in fase di 2πΔ Ωr a causa dei ritardi relativi.
Per convenienza di notazione, definiamo
(
)
1 exp 2 1 ( ) exp( 2 ) exp( 2 ( 1) ) r r r r r r j e ⎡ ⎤ j n j n π π π ⎢ − Δ Ω ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Ω = − Δ Ω ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − − Δ Ω ⎦⎥ , ⎣Il ricevitore ottimo riaggiusta i differenti ritardi, cosicché i segnali ricevuti alle antenne possono essere combinati costruttivamente portando ad un aumento del guadagno di
potenza di nr volte.
Quindi il canale SIMO produce un guadagno di potenza, ma non un aumento di gradi
di libertà.
Figura 2.3 - Canale a singola antenna trasmittente e multiple antenne riceventi (SIMO Channel)
2.3.2 LOS del canale MISO
Il canale MISO con antenne multiple in trasmissione e una singola antenna ricevente è il reciproco del canale SIMO.
Se le antenne in trasmissione sono separate di Δtλc e c’è una singola LOS con angolo di partenza φ , il canale MISO è dato da
∗
= +
dove
(
)
1 exp 2 2 exp exp( 2 2 ) exp( 2 ( 1) ) t t c r t j j d h a j j n π π π λ π ⎡ ⎤ ⎢ − Δ Ω ⎥ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎢ ⎥ = ⎜− ⎟ − Δ Ω ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ − − Δ Ω ⎥ ⎣ ⎦ .La trasmissione ottima si ha lungo la direzione ( )et Ω di h, dove
( )
(
(
)
)
(
)
(
)
1 exp 2 1 exp 2 2 exp 2 1 t t t t r t j j e n j n π π π ⎡ ⎤ ⎢ − Δ Ω ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − Δ Ω ⎥ Ω = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − − Δ Ω ⎥ ⎣ ⎦ .La fase del segnale di ogni antenna trasmittente questa volta viene aggiustata in trasmissione attraverso la regolazione del fascio, cosicché abbiamo una somma di segnali costruttiva al ricevitore, che porta ad un aumento del guadagno di potenza di volte.
t
n
Anche in questo caso abbiamo un guadagno di potenza, ma non un aumento di gradi di
Figura 2.4 - Canale ad antenne multiple trasmittenti e singola antenna ricevente (MISO Channel)
2.3.3 Matrici di antenne a singolo LOS
Consideriamo adesso un canale MIMO con solo un cammino diretto (LOS) tra le antenne.
Sia le antenne riceventi che trasmittenti stanno in array lineari.
Supponiamo che la separazione di antenna in trasmissione normalizzata sia e la separazione di antenna in ricezione normalizzata sia
Δt Δr.
Il guadagno di canale tra la k-esima antenna trasmittente e la i-esima antenna ricevente sia
hik =aexp(−j2πdik/λc),
dove è la distanza tra le antenne, ed a è la attenuazione lungo il cammino LOS (assunta la stessa per tutte le paia di antenna).
ik
Assumendo che la misura dell’array d’antenna sia molto più piccola della distanza tra il trasmettitore e il ricevitore e facendo una approssimazione con arresto al primo ordine:
dik = + − Δd (i 1) rλccosφr− − Δ(k 1) tλccos ,φt
dove d è la distanza tra la prima antenna trasmittente e la prima antenna ricevente, e ,
t r
φ φ sono rispettivamente gli angoli di incidenza del cammino LOS rispetto agli array di antenne trasmittenti e riceventi.
La matrice H è di rango unitario con un solo valore singolare non-nullo λ =a n nt r. La capacità di canale è: 2 0 log 1 Pa n nt r C N ⎛ ⎞ = ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠ bits/s/Hz
Sebbene ci siano antenne multiple in trasmissione e in ricezione i segnali trasmessi sono inviati su un singolo spazio dimensionale (il solo autocanale non-nullo) e così è disponibile un solo grado di libertà.
Il fattore n nt r è il guadagno di potenza del sistema MIMO.
Se il guadagno di potenza è uguale al numero delle antenne in ricezione e si ottiene realizzando il rapporto di combinazione massimo al ricevitore (receive beamforming).
1,
t
n =
Se il guadagno di potenza è uguale al numero delle antenne in trasmissione ed è ottenuto tramite regolazione del fascio in trasmissione (transmit beamforming).
1,
r
n =
Per numeri più generali di antenne trasmittenti e riceventi la regolazione del fascio produce risultati sia in trasmissione che in ricezione: i segnali trasmessi si sommano
costruttivamente in fase ad ogni antenna ricevente, ed il segnale che arriva ad ogni antenna ricevente viene prima combinato costruttivamente con gli altri.
In conclusione: in un ambiente LOS, un canale MIMO produce un guadagno di potenza, ma non un guadagno di gradi di libertà.
2.3.4 Antenne spazialmente separate
ANTENNE TRASMITTENTI
Il problema è allora come riuscire ad ottenere un guadagno di gradi di libertà.
Consideriamo il caso in cui le antenne trasmittenti siano posizionate lontane fra loro, con una separazione dell’ordine della distanza tra l’array trasmittente e l’array ricevente. Supponiamo per semplicità di avere solo due antenne trasmittenti.
Ogni antenna trasmittente ha solo un cammino LOS rispetto all’array d’antenna ricevente, con attenuazioni a1 e a2 e angoli di incidenza φr1 e φr2.
Il guadagno di canale che l’antenna trasmittente k produce rispetto all’array di antenna ricevente è
( )
2 exp ik , k k r r rk c j d h a n π e λ ⎛− ⎞ = ⎜ ⎟ Ω ⎝ ⎠ k=1,2,dove d1k è la distanza tra l’antenna trasmittente k e l’antenna ricevente 1, cos
rk
rk φ
Ω =
e er
( )
⋅ è stato definito in precedenza.La matrice H=
[
h h del canale, ha colonne distinte e linearmente indipendenti come 1, 2]
la separazione nei coseni direzionali
2 1 0.
r r r
Ω = Ω − Ω ≠
In questo caso quindi la matrice ha due valori singolari non-nulli 2 1
λ e 2 2
λ , che portano a due i gradi di libertà del sistema.
Intuitivamente, il segnale trasmesso può adesso essere ricevuto da due diverse direzioni che sono così ben distinte dall’array d’antenna ricevente, diversamente da ciò che accadeva prima quando le antenne trasmittenti erano posizionate in prossimità le une alle altre.
La matrice H è di pieno rango quando la separazione nei coseni direzionali è diversa da zero.
r
Ω
Comunque, essa potrebbe essere ancora molto mal-condizionata.
Diamo allora un ordine di grandezza stimando quanto larga la separazione di antenna deve essere cosicché la matrice H sia ben-condizionata e i due gradi di libertà producano effettivamente una alta capacità.
Il condizionamento di H è determinato da come sono allineati i segnali direzionali delle due antenne trasmittenti: meno sono allineati i segnali direzionali, migliore è il condizionamento di H.
L’angolo θ tra i due segnali direzionali soddisfa:
( ) (
1 2)
cosθ = er Ωr ∗er Ωr ,
dove er
( ) (
Ωr1 ∗er Ωr2)
dipende solo dalla differenza Ω = Ω − Ω r r2 r1.Definiamo allora
2 1 1 2
( ) ( ) (
r r r r r r r
f Ω − Ω =e Ω ∗e Ω ).
Per calcolo diretto,
sin( ) 1 ( ) exp( 2 ( 1) , sin r r r r r r r r r r r L f j n n L n π π π Ω Ω = Δ Ω − ⎛ Ω ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
dove Lr = Δnr r è la lunghezza normalizzata dell’array ricevente d’antenna.
Da cui,
(
)
(
)
sin cos sin / r r r r r L n L n π θ π Ω = Ω r .Il condizionamento della matrice H dipende direttamente da questo parametro. Per semplicità consideriamo il caso in cui a1=a2 = a.
I valori singolari al quadrato di H sono:
(
)
(
)
2 2 1 2 2 2 1 cos 1 cos r r a n a n , , λ θ λ θ = + = +e il numero di condizione della matrice è 1 2 1 cos . 1 cos θ λ λ θ + = −
La matrice è mal-condizionata quando cosθ ≈ ed è ben-condizionata altrimenti. 1, In fig.2.6 la quantità cosθ = fr
( )
Ωr è rappresentata come funzione di per unamisura fissata di array e diversi valori di .
,
r
Ω
r
n
La funzione fr
(
Ωr)
ha le seguenti proprietà:)
• fr
(
Ωr è periodica con periodo r 1 ;r r n L =Δ • fr
(
Ωr)
ha un picco a Ω =r 0; f(0)=1; • fr( )
Ω =r 0 a r , 1,..., r 1. r k k n L Ω = = −La periodicità di fr
( )
Ω segue dalla periodicità del segnale direzionale r er( )⋅ .Esso ha lobo principale di ampiezza 2
r
L centrato intorno multipli interi di
1 r Δ .
Tutti gli altri lobi hanno picchi significativamente più bassi.
Questo significa che i segnali direzionali sono prossimi ad essere allineati e la matrice del canale è mal-condizionata quando
1 r r r m L Ω − Δ ,
Ora, dal momento che Ωr occupa un range tra –2 e 2, questa condizione si riduce a 1 r r L Ω
quando la separazione di antenna è 1
2 r
Δ ≤ .
Il parametro 1
r
L può essere definito come la misura della risoluzione nel dominio
angolare: se r 1 , r
L
Ω allora i segnali provenienti dalle due antenne trasmittenti non
possono essere ben distinti dall’array d’antenna ricevente e c’è effettivamente un solo grado di libertà.
Aumentare sempre più, elementi d’antenna in una data regione dello spazio, non fa incrementare la risoluzione dell’array d’antenna ricevente, poiché essa è determinata dalla lunghezza dell’array.
ANTENNE RICEVENTI
Abbiamo aumentato il numero di gradi di libertà posizionando le antenne trasmittenti lontane tra loro e tenendo le antenne riceventi vicine, ma possiamo raggiungere lo stesso risultato posizionando le antenne riceventi lontane tra loro e le antenne trasmittenti vicine.
La matrice H del canale è data da
1 2 , h H h ∗ ∗ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ dove 1 2 exp i ( ), i i t ti c j d h a π e λ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ Ω ⎝ ⎠
e è il coseno direzionale di partenza del cammino dall’array d’antenna trasmittente all’antenna ricevente i-esima e è la distanza tra la antenna trasmittente 1 e la antenna ricevente i. ti Ω 1 i d
Figura 2.7 - Due antenne riceventi separate e a singolo LOS
Essendo le due righe della matrice H sono linearmente indipendenti e perciò il suo rango è 2.
2 1 0,
t t t
Ω = Ω − Ω ≠
Questo ci porta a concludere che il sistema ha 2 gradi di libertà.
L’uscita del canale giace in uno spazio a due dimensioni al variare del segnale trasmesso dall’array d’antenna trasmittente.
Affinché la matrice H sia ben-condizionata, la separazione angolare delle due
antenne riceventi deve essere dell’ordine o più grande di
t
Ω
1 t
L , dove è la
lunghezza dell’array d’antenna trasmittente, normalizzata alla lunghezza d’onda della portante.
t t
2.3.5 Matrice di antenna a singolo LOS più cammino
riflesso
Vediamo adesso come sia possibile ottenere un aumento di gradi di libertà, senza posizionare lontane tra loro le antenne trasmittenti o le antenne riceventi.
Consideriamo come prima, gli array di antenne trasmittenti e riceventi, ma supponiamo adesso che in aggiunta ad un cammino LOS, ci sia un cammino riflesso da una parete. Definiamo il cammino diretto, cammino 1 e il cammino riflesso, cammino 2.
Figura 2.8a - Canale MIMO con cammino diretto e cammino riflesso
Figura 2.8b - Rappresentazione matriciale del canale
Il cammino i-esimo ha una attenuazione di ai, forma un angolo di φti (Ω =ti cosφti) con l’array d’antenna trasmittente e un angolo di φri (Ω =ri cosφri) con l’array d’antenna ricevente.
La matrice H del canale è data dal principio di sovrapposizione: 1 ( 1) ( 1) 2 ( 2) ( 2) b b r r t t r r t t H =a e Ω e Ω ∗+a e Ω e Ω ∗ dove per i=1, 2, ( ) 2 exp , i b i i t r c j d a a n n π λ ⎛ ⎞ = ⎜⎜− ⎟⎟ ⎝ ⎠
e è la distanza tra l’antenna trasmittente 1 e l’antenna ricevente 1 lungo il cammino i.
( )i
d
Osserviamo che essendo Ω ≠ Ωt1 t2 e Ω ≠ Ω , la matrice H è di rango 2. r1 r2
Affinché la matrice H sia ben-condizionata, la separazione angolare Ω dei due t
cammini all’array trasmittente, deve essere dello stesso ordine o più larga di 1
t
L , e la
separazione angolare Ω all’array ricevente deve essere dello stesso ordine o più larga r
di 1 r L , dove 2 cos cos , t φt φt1 Ω = − Lt = Δ nt t 2 cos cos , r φr φr1 Ω = − Lr = Δ nr r.
Per vedere chiaramente quale sia il ruolo del multipath, è utile riscrivere H come
H=H”H’, dove
( )
(
)
( )
( )
1 1 2 2 1 2 " , ' b b r r r r t t t t H a e a e e H e ∗ ∗ , ⎡ ⎤ =⎣ Ω Ω ⎦ ⎡ Ω ⎤ = ⎢ Ω ⎥ ⎣ ⎦H’ è una matrice 2× , mentre H’’ è una matrice nt nr× 2.
Si può interpretare H’ come la matrice per il canale che, parte dall’array d’antenna trasmittente e arriva ai due ricevitori immaginari posti nel punto A e nel punto B.
Il punto A è il punto di incidenza del cammino riflesso sulla parete; il punto B si trova lungo il cammino LOS.
Dal momento che i punti A e B sono spazialmente molto distanti, la matrice H’ è di rango 2 ed il suo condizionamento dipende dal parametroLtΩ . t
Analogamente si può interpretare la matrice H’’ come la matrice per il canale che, parte dai due punti A e B (trasmettitori immaginari) e arriva all’array d’antenna ricevente. Questa matrice ha rango 2 ed il suo condizionamento dipende dal parametro LrΩr. Se entrambi le matrici sono ben-condizionate, allora la matrice H dell’intero canale è anch’essa ben-condizionata.
Sebbene sia le antenne trasmittenti che le antenne riceventi siano posizionate rispettivamente vicine tra loro, l’effetto multipath produce una situazione per cui si ottiene lo stesso risultato che si avrebbe con antenne trasmittenti e riceventi rispettivamente distanti tra loro.
L’intero canale ha così due gradi di libertà e quindi il multiplexing spaziale è adesso possibile.
In questo contesto perciò, il fading dovuto al multipath può essere visto come un vantaggio da sfruttare.
E’ importante notare che una significativa separazione angolare dei due cammini, sia all’array d’antenna trasmittente, che all’array d’antenna ricevente, è importantissima per il buon-condizionamento della matrice H.
Se, per esempio, un riflettore si trova in prossimità del ricevitore, è quindi molto più vicino al ricevitore che al trasmettitore, allora la separazione angolare al trasmettitore è piccola.
t
Ω
Analogamente, se un riflettore si trova in prossimità del trasmettitore, è quindi molto più vicino al trasmettitore che al ricevitore, allora la separazione angolare al ricevitore è piccola.
r
Ω
In questi casi la matrice H non è molto ben-condizionata.
Figura 2.9a - Scatteratori e riflettori in un intorno locale del ricevitore
Figura 2.9b - Scatteratori e riflettori in un intorno locale del trasmettitore
In un sistema cellulare ciò suggerisce che, se la stazione base si trova sulla cima di una torre e sono presenti molti scatteratori e riflettori nelle immediate vicinanze del mezzo
mobile, allora la misura dell’array d’antenna alla stazione base dovrà essere di molte lunghezze d’onda per essere in grado di sfruttare l’effetto del multiplexing spaziale.
2.4 Brevi considerazioni sul modello di canali MIMO
non-deterministici
Fino ad ora ci siamo occupati di canali deterministici.
Partendo dai risultati ottenuti vogliamo adesso guardare i canali MIMO da un punto di vista statistico ed esaminare le proprietà che rendono possibile il multiplexing spaziale.
2.4.1 Concetti base
Abbiamo imparato che per valutare la capacità fisica di un canale MIMO è sufficiente guardare prima al rango della matrice H del canale fisico e poi al suo numero di condizione.
Questa procedura che prevede l’utilizzo di due step di analisi è abbastanza complicata. Ciò suggerisce che, studiare modelli fisici di canali MIMO in termini di multipath individuali, può non essere il modo più giusto per generalizzare il problema dell’analisi
dei sistemi di comunicazione.
Diviene allora necessario astrarre il modello fisico ad un modello di più alto livello, che guardi alla risoluzione spaziale dei cammini.
Dal punto di vista della comunicazione, quello che importa, è il comportamento della risoluzione di un’aggregazione di cammini, non quello dei cammini individuali.
L’array di antenna trasmittente e ricevente di lunghezza e regolano il grado di risoluzione nel dominio angolare: cammini che in trasmissione differiscono di coseni
t
direzionali minori di 1
t
L e in ricezione differiscono di coseni direzionali minori di
1 r
L
non hanno risoluzione dagli array.
Questo suggerisce che dovremo ‘campionare’ il dominio angolare in spazi angolari fissi di 1
t
L al trasmettitore e di
1 r
L al ricevitore e rappresentare il canale in termini di queste
nuove coordinate di ingresso e uscita.
Il (k,l)-esimo guadagno di canale in queste coordinate angolari è quindi approssimativamente l’aggregazione di tutti i cammini il cui coseno direzionale in trasmissione si trova all’interno di una finestra angolare di ampiezza 1
t
L intorno ad t l L
e il cui coseno direzionale in ricezione è all’interno di una finestra angolare di ampiezza
1 r
L intorno a r
k L .
2.4.2 Modello statistico nel dominio angolare
La base per costruire un modello per i canali MIMO con fading è la approssimazione che i camini fisici sono divisi in settori angolari e aggregati a formare cammini di risoluzione i cui guadagni sono hkl
[ ]
m .Nel ‘bin’ angolare (k,l), dove ci sono molti cammini fisici, è possibile invocare il Teorema del Limite Centrale e approssimare il guadagno aggregato hkl
[ ]
m come un processo complesso simmetrico Gaussiano.D’altra parte, in un bin angolare che non contiene cammini, gli ingressi hkl
[ ]
m possono essere approssimati a zero.Per un canale con limitata apertura angolare al ricevitore e/o al trasmettitore, molti ingressi di H possono essere nulli. Alcuni esempi della matrice H sono mostrati nella figura 2.10
Figura 2.10a – 60° Spread al trasmettitore e 360° spread al ricevitore
Figura 2.10b – 360° Spread al trasmettitore e 60° spread al ricevitore
Figura 2.10c - 60° Spread al trasmettitore e 60° spread al ricevitore
Figura 2.10d - 360° Spread al trasmettitore e 360° spread al ricevitore
2.3.3 Gradi di libertà
Dato un modello statistico, è possibile quantificare la capacità di multiplexing spaziale di un canale MIMO.
Con probabilità unitaria, il rango della matrice H è dato da
Questa regola ci permette di stabilire il numero dei gradi di libertà disponibili in un canale MIMO.
Il numero di righe e di colonne non-nulle dipende da due fattori separati: • La totalità di elementi scatteranti e riflettenti nell’ambiente multipath.
Più scatteratori e riflettori ci sono, più grande è il numero di ingressi non-nulli nella matrice H e più grande è il numero di gradi di libertà.
• Le lunghezze e degli array di antenne trasmittenti e riceventi. Lt Lr
Con array d’antenna di lunghezza piccola, molti multipath possono venire raggruppati in un singolo cammino.
Aumentando la lunghezza dell’array, otterremo un numero maggiore di cammini, avendo come risultato più ingressi non-nulli di H e un incremento di gradi di libertà.
2.4.3 Diversità
In questo capitolo abbiamo posto l’attenzione al fenomeno del multiplexing spaziale ed il parametro chiave è il numero di gradi di libertà.
In un ambiente dove è presente fading lento, un altro parametro importante è il livello della diversità nel canale.
Questo parametro rappresenta il numero dei guadagni indipendenti di canale che, se sono sono profondamente attenuati, lo è anche l’intero canale.
Nel dominio angolare di modello MIMO, la misura della diversità è semplicemente il numero di ingressi non-nulli di H.
Canali che hanno gli stessi gradi di libertà possono avere livelli di diversità molto differenti.
Il numero di gradi di libertà dipende soprattutto dall’apertura angolare di scatteratori/riflettori rispetto al trasmettitore e al ricevitore, mentre il livello di diversità dipende anche dalla “connessione angolare” tra trasmettitore e ricevitore.
In altre parole, in un canale con molteplici rimbalzi, i segnali inviati lungo un angolo di trasmissione possono arrivare in ricezione da angolazioni differenti (vedi fig. 2.12). Un tal canale avrà più diversità di uno con cammini a singolo rimbalzo, con segnale inviato da un angolo di trasmissione verso un unico angolo di ricezione, sebbene l’apertura angolare possa essere la stessa.
Figura 2.11a - Cammini originati da gruppi di scatteratori per singolo rimbalzo
Figura 2.12a - Cammini originati da gruppi di scatteratori per rimbalzi multipli
