Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Teoria

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Analisi e Geometria 1 Docente: Politecnico di Milano

Prima prova in itinere. Ingegneria Industriale

14 novembre 2011 Compito A

Cognome: Nome: Matricola:

Punteggi degli esercizi: Es.1: 6 punti; Es.2: 12 punti; Es.3: 6 punti; Es.4: 6 punti.

Istruzioni: Riportare le soluzioni nelle caselle. Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit`a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati.

1. Calcolare, al variare del parametro reale α ∈ R, il valore del seguente limite: lim

x→0+

xα_{log cos x}

√

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2. Studiare la funzione

f (x) = (x − 1)e−1x.

Riportare in tabella i risultati e il grafico. Riportare concisamente i calcoli sul retro del foglio. Il calcolo e lo studio della derivata seconda sono facoltativi; in alternativa disegnare il grafico di f con il numero minimo di flessi compatibile con i risultati ottenuti precedentemente.

Dominio di f :

Segno di f :

Limiti agli estremi:

Eventuali asintoti:

Derivata prima: f0(x) =

Zeri e Segno di f0_:

Limiti agli estremi di f0_:

Eventuali punti di massimo o minimo:

Derivata seconda: f00(x) =

Segno di f00_:

Convessit`a, concavit`a e flessi:

(3)

3. a) Calcolare e disegnare sul piano di Gauss l’insieme A di tutte le soluzioni z ∈ C dell’equazione z2 = 2 z b) Disegnare l’insieme B = ½ w ∈ C |w = 3i 2 + 2iz , z ∈ A ¾

(4)

4. Si disegnino i grafici qualitativi delle seguenti funzioni, partendo dai grafici di funzioni elementari ed applicando le opportune trasformazioni

f₁(x) = 1 − e|x| ; f₂(x) =¯¯ log |x + 1|¯¯ Si specifichi quali trasformazioni si sono utilizzate.

(5)

14 novembre 2011 Compito B

1. Calcolare, al variare del parametro reale α ∈ R, il valore del seguente limite: lim x→0+ x1−α_{log cos x} 3 √ 1 + sin x − 1.

(6)

f (x) = −(x + 1)ex1 .

Dominio di f :

Segno di f :

Eventuali asintoti:

Segno di f00_:

(7)

3. a) Calcolare e disegnare sul piano di Gauss l’insieme A di tutte le soluzioni z ∈ C dell’equazione z2 = −2 z b) Disegnare l’insieme B = ½ w ∈ C |w = 1 − i 2 + 2iz , z ∈ A ¾

(8)

f₁(x) =¯¯ex+2− 3¯¯ ; f₂(x) = 1 − log(|x| − 1) Si specifichi quali trasformazioni si sono utilizzate.

(9)

14 novembre 2011 Compito C

1. Calcolare, al variare del parametro reale β ∈ R, il valore del seguente limite: lim

x→0+

xβ_{log cos 2x}

√

(10)

f (x) = (x + 1)e1x.

Dominio di f :

Segno di f :

Eventuali asintoti:

Segno di f00_:

(11)

3. a) Calcolare e disegnare sul piano di Gauss l’insieme A di tutte le soluzioni z ∈ C dell’equazione z2 = 2i z b) Disegnare l’insieme B = ½ w ∈ C |w = 1 − i 2 + 2iz , z ∈ A ¾

(12)

f₁(x) = 2 − e|x| ; f₂(x) =¯¯ log |x − 2|¯¯ Si specifichi quali trasformazioni si sono utilizzate.

(13)

14 novembre 2011 Compito D

1. Calcolare, al variare del parametro reale α ∈ R, il valore del seguente limite: lim x→0+ 3 √ 1 + sin x − 1 x1−α_{log cos 3x}.

(14)

f (x) = (1 − x)e−1x.

Dominio di f :

Segno di f :

Eventuali asintoti:

Segno di f00_:

(15)

3. a) Calcolare e disegnare sul piano di Gauss l’insieme A di tutte le soluzioni z ∈ C dell’equazione z2 = −2i z b) Disegnare l’insieme B = ½ w ∈ C |w = 2 − 2i 1 + i z , z ∈ A ¾

(16)

f₁(x) = e|x+1|− 1 ; f₂(x) =¯¯1 − log |x − 1|¯¯ Si specifichi quali trasformazioni si sono utilizzate.

(17)

14 novembre 2011 Compito E

Punteggi degli esercizi: Es.1: 6 punti; Es.2: 12 punti; Es.3: 6 punti; Es.4: 6unti.

1. Calcolare, al variare del parametro reale α ∈ R, il valore del seguente limite: lim x→0+ 3 √ 1 + sin x − 1 x1−α_{log cos 2x}.

(18)

f (x) = xe−x+11 .

Dominio di f :

Segno di f :

Eventuali asintoti:

Segno di f00_:

(19)

3. a) Calcolare e disegnare sul piano di Gauss l’insieme A di tutte le soluzioni z ∈ C dell’equazione z2= z b) Disegnare l’insieme B = ½ w ∈ C |w = 2 + 2i 1 − i z , z ∈ A ¾

(20)

f₁(x) = 3 − e|x| ; f₂(x) =¯¯ log |x − 2|¯¯ Si specifichi quali trasformazioni si sono utilizzate.

(21)

14 novembre 2011 Compito F

1. Calcolare, al variare del parametro reale α ∈ R, il valore del seguente limite: lim

x→0+

xα_{log cos 2x}

√

(22)

f (x) = −xex−11 .

Dominio di f :

Segno di f :

Eventuali asintoti:

Segno di f00_:

(23)

3. a) Calcolare e disegnare sul piano di Gauss l’insieme A di tutte le soluzioni z ∈ C dell’equazione z2 = −z b) Disegnare l’insieme B = ½ w ∈ C |w = −2 + 2i 1 + i z , z ∈ A ¾

(24)

f₁(x) = ¯ ¯ ¯e(x−1)− 3 ¯ ¯ ¯ ; f₂(x) = log(|x| − 2) Si specifichi quali trasformazioni si sono utilizzate.

(25)

14 novembre 2011 Compito G

1. Calcolare, al variare del parametro reale α ∈ R, il valore del seguente limite: lim x→0+ x1−α_{log cos x} 3 √ 1 + sin x − 1.

(26)

f (x) = xex−11 .

Dominio di f :

Segno di f :

Eventuali asintoti:

Segno di f00_:

(27)

3. a) Calcolare e disegnare sul piano di Gauss l’insieme A di tutte le soluzioni z ∈ C dell’equazione z2 = i z b) Disegnare l’insieme B = ½ w ∈ C |w = 2i 1 − iz , z ∈ A ¾

(28)

f₁(x) = −e|x+1| ; f₂(x) =¯¯ log |x| − 2¯¯ Si specifichi quali trasformazioni si sono utilizzate.

(29)

14 novembre 2011 Compito H

1. Calcolare, al variare del parametro reale β ∈ R, il valore del seguente limite: lim x→0+ 3 √ 1 + sin x − 1 x1−β_{log cos 3x}.

(30)

f (x) = −xe−x+11 .

Dominio di f :

Segno di f :

Eventuali asintoti:

Segno di f00_:

(31)

3. a) Calcolare e disegnare sul piano di Gauss l’insieme A di tutte le soluzioni z ∈ C dell’equazione z2 = −i z b) Disegnare l’insieme B = ½ w ∈ C |w = 3i 2 + 2iz , z ∈ A ¾

(32)

f₁(x) =¯¯e|x|− 1¯¯ ; f₂(x) = 1 − log |x − 2| Si specifichi quali trasformazioni si sono utilizzate.