Allegato A: Diagramma momento-curvaturaCaratteristiche meccaniche del Calcastruzzo

Allegato A

ε_sy=2.646× 10−3 _Ep 2020 N mm2 :=

Dati geometrici della sezione

x y Area cm cm cm^2 5 44.9 2.54 12 44.9 2.54 18 44.9 2.54 25 44.9 2.54 25 39.9 2.54 5 39.9 2.54 25 10.1 2.54 5 10.1 2.54 5 5.1 2.54 15 5.1 2.54 25 5.1 2.54 x y cm cm 0 0 30 0 30 50 0 50 0 0 H≡ 500mm B≡ 300mm

φ 18mm≡ Diametro dei ferri longituninali φ_st≡8mm Diametro delle staffe

c≡34mm Copriferro Queste sono le coordianate

dei vertici della sezione in CLS

Δ≡50mm Distanza fra gli strati

Queste sono le coordinate e l'area delle barre.

Nota: Le coordinate dei vertici della sezione e delle barre sono riferite ad un sistema di riferimento destrorso fissato nell'angolo in basso a sinistra

Traslazione

0

0.25 0.13 0.13

0.25 Nella figura qui accanto il sistema do riferimento è

traslato nel baricentro della sezione in calcestruzzo, l'asse y è diretto verso l'alto e l'asse x verso destra. La convenzione per i momenti e curvature è quella solita: positivi se sono tese le fibre inferiori.

Allegato A: Diagramma momento-curvatura

Caratteristiche meccaniche del Calcastruzzo

Rck:= 67.7 _fctk 0.27 3 Rck2 ⋅ N mm2 ⋅ := _Ec 5700⋅ _Rck N mm2 ⋅ := σ_cd Rck 0.83⋅ γ_c N mm2 ⋅ := ε_cu:= −0.0035 fctk 4.485 N mm2 = _{Ec 46899.6} N mm2 = σ_cd 56.191 N mm2 = ε_c0:= −0.002

Caratteristiche meccaniche dell'acciaio

fyk 545 N mm2 ⋅ := _Ea 206000 N mm2 := σ_sd fyk γ_s := σ_sd 545 N mm2 = ε_su:= 0.01 ε_sy σ_sd Ea :=

Allegato A

λ:= 0.000001 EJ 1 33779.6 kN m 2 ⋅ = EJ 1 My₁ χ_y 1 :=

My₁=256.947kN m⋅ Questo è il momento di snervamento delle armature inferiori My₁ M ε_{G1 χy} 1

⎛

⎝

⎞

⎠

,χy₁

⎛

⎝

⎞

⎠

:= χ_y 1 0.007607 1 m = χ_y 1:= root Nu

(

(

εG1 χ1

( )

,χ1

)

,χ1

)

χ1 0.002 1 m ⋅ := ε_{G1 χ}

( )

ε_sy χ d 1 ⋅ + := EJ 2 36574.2 kN m 2 ⋅ = EJ 2 My₂ χ_y 2 :=

My₂=−323.647kN m⋅ Questo è il momento di snervamento delle armature superiori My₂ M ε_{G2 χy} 2

⎛

⎝

⎞

⎠

,χy₂

⎛

⎝

⎞

⎠

:= χ_y 2 −0.008849 1 m = χ_y 2:= root Nu

(

(

εG2 χ2

( )

,χ2

)

,χ2

)

ε_{G2 χ}

( )

ε_sy χ2 d 2 ⋅ + := χ2 −0.007 1 m ⋅ := M

(

ε_{G χ},

)

:= _{Mc εG χ}

(

,

)

+ _{Ma εG χ}

(

,

)

Ma εG χ

(

,

)

i Aa i⋅σs i ε G

(

, ,χ

)

⋅yai

∑

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

− := Mc εG χ

(

,

)

H − 2 H 2 y σ_{c y ε G}

(

, ,χ

)

⋅b y( )⋅y ⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡ d − := Nu

(

ε_{G χ},

)

H − 2 H 2 y σ_{c y ε G}

(

, ,χ

)

⋅b y( ) ⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡ d i Aa i⋅σs i ε G

(

, ,χ

)

∑

+ :=

Legame elasto-plastico incrudente dell'acciaio σ_{s i ε G}

(

, ,χ

)

_{Ea ε ya} i,εG,χ

(

)

⋅ ε ya i,εG,χ

(

)

≤ε_sy if σ_{sd Ep ε ya} i,εG,χ

(

)

−ε_sy

(

)

⋅ +

⎡⎣

⎤⎦

sign ε ya i,εG,χ

(

)

(

)

⋅ otherwise :=

Legame costitutivo del Calcestruzzo Parabola Rettangolo σ_{c y ε G}

(

, ,χ

)

0⋅σ_cd if ε y ε

(

, _G,χ

)

>0 2 ε y ε

(

, _G,χ

)

ε_c0 −

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

ε y ε

(

, _G,χ

)

ε_c0 − ⋅ ⋅σ_cd if 0>ε y ε

(

, _G,χ

)

>ε_c0 σ_cd − otherwise :=

Distribuzione congruente di deformazione ε y ε

(

, _G,χ

)

:= ε_G− y⋅χ

Allegato A

Questo è l'algoritmo di Newton-Raphson per determinare il valore della

deformazione ddella corda baricentrica per un asseganto valore della curvatura ε_{g ε G χ}

(

,

)

aa ε_G Nu

(

ε_{G χ},

)

⋅λ Nu

(

ε_G+λ,χ

)

− Nu

(

ε_{G χ},

)

− ← ε_G←aa aa ε_G Nu

(

ε_{G χ},

)

⋅λ Nu

(

ε_G+ λ,χ

)

−Nu

(

ε_{G χ},

)

− ← ε_G−aa TOL 10 > while aa :=

Spiegazione

: le Seguenti funzioni: polifun1 e polifun2 servono per costruire i diagrammi momento curvatura, rispettivamente quando le fibre tese sono quelle inferiori ed superiori. Ad ogni passo s'incrementa la curvatura di una quantità Δ, conseguentemente si dermina il valore della deformazione sulla corda baricentrica che soddisfa l'equazione di equilibrio allo sforzo normale. Determinato εG si calcola il relativo valore del momento. Il processo iterativo

si arresta quando si superano i limiti di deformazione dei due materiali. polifun1 sel( ) Δ₁ 0.0015 1 m ⋅ ← ζ₁ 0 m ← ε_gg 1←εg 0 ζ

(

, 1

)

MM 1←M

⎛

_⎝

εgg₁,ζ1

⎞

_⎠

ζ_k←ζ_{k 1−} +Δ_{k 1−} Δ_k 0.0015 ζ_k 0.9χ_y 1 ⋅ > if 0.00025 0.9χ_y 1 ⋅ >ζ_k 1.1χ_y 1 ⋅ > if 0.002 ζ_k 1.1χ_y 1 ⋅ < if 1 m ⋅ ← ε_G ε_gg k 1− ← ε_gg k←εg ε G ζ

(

, k

)

MM k←M

⎛

_⎝

εgg_k,ζk

⎞

_⎠

ε_a k εggk d 1⋅ζk − ← ε_c k εggk H 2⋅ζk − ← break ε_a k>εsu∨εck<εcu if k∈2 100.. for output MM if sel=1 ε_a if sel=2 ε_c if sel=3 ζ otherwise ← :=

Allegato A

χ_u 1 1 2 -0.028 0.0275 1 m = Mu 1 1 2 -349.03 292.545 kN m⋅ = χ_u χχrows(χχ) χχ₁

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

:= Mu MM rows MM( ) MM 1

⎛⎜

⎜

⎝

⎞⎟

⎟

⎠

:= My 1 1 2 256.947 -323.647 kN m⋅ = χ_y 1 1 2 7.607·10 -3 -8.849·10 -3 1 m = ε_a:= stack

(

−reverse

( )

ε_a1 ,ε_a2

)

MM:= stack reverse M1( ( ) M2, ) ε_c:= stack

(

−reverse

( )

ε_c1 ,ε_c2

)

χχ:= stack reverse

(

( )

χ1 ,χ2

)

ε_a2:= polifun2 2( ) ε_c2:= polifun2 3( ) M2:= polifun2 1( ) χ2:= polifun2 0( ) ε_a1:= polifun1 2( ) ε_c1:= polifun1 3( ) M1:= polifun1 1( ) χ1:= polifun1 0( ) polifun2 sel( ) Δ₁ 0.0015 1 m ⋅ ← ζ₁ 0 m ← ε_gg 1←εg 0 ζ

(

, 1

)

MM 1←M

⎛

_⎝

εgg₁,ζ1

⎞

_⎠

ζk←ζk 1− −Δk 1− Δ_k 0.0015 ζ_k 0.9χ_y 2 ⋅ < if 0.00025 0.9χ_y 2 ⋅ <ζ_k 1.1χ_y 2 ⋅ < if 0.002 ζ_k 1.1χ_y 2 ⋅ > if 1 m ⋅ ← ε_G ε_gg k 1− ← ε_gg k←εg ε G ζ

(

, k

)

MM k←M

⎛

_⎝

εgg_k,ζk

⎞

_⎠

ε_a k←εggk− d2⋅ζk ε_c k εggk H 2⋅ζk + ← break ε_a k>εsu∨εck<εcu if k∈2 100.. for output MM if sel=1 ε_a if sel=2 ε_c if sel=3 ζ otherwise ← :=

Allegato A

χχ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 0.0275 0.026 0.0245 0.023 0.0215 0.02 0.0185 0.017 0.0155 0.014 0.0125 0.011 0.0095 0.0075 0.0055 0.0035 0.0015 0 0 -0.0015 -0.0035 -0.0055 -0.0075 -0.0095 -0.0115 -0.013 -0.0145 -0.016 -0.0175 -0.019 -0.0205 -0.022 -0.0235 -0.025 -0.0265 -0.028 1 m = MM 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 292.545 291.265 289.945 288.584 287.181 285.731 284.231 282.674 281.051 279.348 277.543 275.603 273.476 253.441 187.107 119.806 51.64 -0.01 -0.01 -60.864 -141.017 -219.898 -297.332 -327.464 -330.793 -332.992 -335.014 -336.898 -338.672 -340.356 -341.961 -343.496 -344.967 -346.379 -347.732 -349.03 kN m⋅ = ε_c 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 1.838·10 -3 1.76·10 -3 1.682·10 -3 1.605·10 -3 1.528·10 -3 1.451·10 -3 1.375·10 -3 1.298·10 -3 1.221·10 -3 1.143·10 -3 1.064·10 -3 9.836·10 -4 9.012·10 -4 7.583·10 -4 5.483·10 -4 3.443·10 -4 1.457·10 -4 0 0 -1.597·10 -4 -3.78·10 -4 -6.032·10 -4 -8.361·10 -4 -1.005·10 -3 -1.125·10 -3 -1.212·10 -3 -1.298·10 -3 -1.383·10 -3 -1.466·10 -3 -1.55·10 -3 -1.633·10 -3 -1.717·10 -3 -1.8·10 -3 -1.884·10 -3 -1.969·10 -3 -2.055·10 -3 = ε_a 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 -0.0105 -9.9144·10 -3 -9.3185·10 -3 -8.7222·10 -3 -8.1256·10 -3 -7.5287·10 -3 -6.9319·10 -3 -6.3352·10 -3 -5.7389·10 -3 -5.1432·10 -3 -4.5486·10 -3 -3.9554·10 -3 -3.3643·10 -3 -2.6092·10 -3 -1.9212·10 -3 -1.2272·10 -3 -5.2781·10 -4 0 0 5.1378·10 -4 1.1935·10 -3 1.8663·10 -3 2.5314·10 -3 3.2608·10 -3 4.0386·10 -3 4.6247·10 -3 5.2125·10 -3 5.8014·10 -3 6.391·10 -3 6.9811·10 -3 7.5713·10 -3 8.1614·10 -3 8.7512·10 -3 9.3405·10 -3 9.9292·10 -3 0.0105 =

Allegato A

0.03 0.02 0.01 0 0.01 0.02 0.03 400 266.67 133.33 133.33 266.67 400 Diagramma momento-curvatura Curvature Momenti 0.02 0.01 0 0.01 0.02 0.014 0.0105 0.007 0.0035 0.0035 0.007 0.0105 0.014 0.014 0.014 − ε_c ε_a max(χχ) min(χχ) χχ

Allegato B

0 5 10 15 0 5000 1 .104 Ac x( ) x ρ x( ) Ac0 Ac x( ) := ρ x( ):= 0.03 a =1.092 Ac x( ):= _Ac0+

(

_{AcF Ac0}−

)

⋅

(

1 −e− xa⋅

)

a −1 c ln 1 0.99 AcF⋅ − Ac0 AcF Ac0− −

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

⋅ := Ac0 201.1= AcF:= 9800 c:= 4.2 Ac0 1 π φ 2 ⋅ 4 ⋅ :=

Definizione dell'area di Calcestruzzo Teso Collaborante con L'acciaio

0 2 4 6 8 10 12 10 20 τ u( ) u τ u( ) u s 1

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

α τ_max ⋅ ⋅sign u( ) s 1 − ≤u s 1 ≤ if τ_{max sign u}⋅ ( ) s 1< u ≤s2 if τ_{max sign u}⋅ ( ) τ_F− τ_max s 3− s2 u s 2 −

(

)

⋅ ⋅sign u( ) + s 2< u <s3 if τ_{F sign u}⋅ ( ) otherwise := s 1 3 10

⎛

⎜

⎜

⎝

⎞

⎟

⎟

⎠

:= τ_F=2.998 N/mm2 τ_{max 18.74}= N/mm2 φ:= mm16 α:= 0.4 τ_F:= 0.4 _fc τ_max:= 2.5⋅ _fc fc= −56.191 fc:=−0.83⋅_Rck N/mm2 Rck 67.7:= N/mm2

Definizione del Legame costitutivo dell'aderenza

Allegato B

Legenda :

E_a Modulo Elastico • E_P Modulo Plastico • f_y tensione di snervamento • f_u tensione a rottura •

ε_sy deformazione allo snervamento • ε_su deformazione a rottura • 0 200 400 600 0 0.005 Tensioni Normali Deformazioni ds σs

( )

1 Ea a n⋅( − 1) Ea σ_sn 1− fyn 1− ⋅ + :=

Derivata di ε_s

rispetto a

σ_s ε_{s σ s}

( )

σs Ea a Ea σ_sn fyn 1− ⋅ +

:= Legame costitutivo dell'acciaio Parametri della legge di Ramberg-Osgood n:= 80 a:= 0.3 Ep 1624= N/mm2 Ep α_β − 1 1 − ⋅Ea := β εsu ε_sy := α fu fy := ε_su:= 0.055 ε_sy= 2.646×10−3 ε_sy fy Ea := fu:=630 N/mm2 fy:=545 N/mm2 Ea 206000:= N/mm2

Definizione del legame costitutivo dell'acciaio

0 100 200 300 400 500 0.02049 0.0205 0.02051 0.02052 0.02053 0.02054 ρ x( ) x

Allegato B

Fase1 è l'algoritmo di risoluzione dell'equazione differenziale che risolve il preblema dell'aderenza. L'algoritmo si fonda sul metodo alle differenze finite con incrementi variabili. Il cilclo for si arresta quando si ottiene un valore dello scorrimento negativo oppure quando si supera la deformazione a trazione del Calcestruzzo: infatti se il valore di tentativo di s0 è troppo piccolo quando si annulla lo

scorrimento la deformazione dei due materiali è diversa, invece quando s0 è troppo grande si

supera la resitenza a trazione del CLS. Si sono usati incrementi variabili perchè si vuole determinare il punto " preciso" in cui lo scorrimento è nullo oppure si eguaglia la deformazione a trazione del CLS. La conoscenza di questo particolare punto ci serve per calcolare il valore di s0

che rende uguale la deformazione dei due materiali. Il calcolo di s0 che soddisfa questa condizione è eseguito mediante l'algoritmo delle secanti.

Funzione inversa del legame costitutivo delcalcestruzzo fcc εcc σc

(

,

)

:= root

(

ε_{c σ c}

( )

− ε_cc,σ_c

)

Funzione inversa del legame costitutivo dell'acciaio fs εss σs

(

,

)

:= root

(

ε_{s σs}

( )

− ε_ss,σ_s

)

Legenda :

E_t Modulo Elastico tangente •

f_c resistenza cilindrica •

f_cm resistenza cilindrica media •

f_ct resistenza a trazione •

εct deformazione a rottura per

• trazione 0 2 4 6 0 5 .10 5 1 .10 4 Tensioni Normali Deformazioni ε_ct=1.12264× 10−4 dc σc

( )

1 Et a n⋅( − 1) Et σ_cn 1− fctn 1− ⋅ + :=

Derivata diε_c

rispetto a

σ_c ε_ct:= ε_{c fct}

( )

ε_{c σ c}

( )

σc fct a σ_cn fctn ⋅ +

⎛

⎜

⎜

⎝

⎞

⎟

⎟

⎠

ε1 ⋅

:= Legame costitutivo del Calcestruzzo teso

Ec0 25541.4= n:= 40 a:= 0.01 Et 38223.2= fct 4.2486= ε1 fct Et := fct 0.3 fc 2 3 ⋅ if _fc <50 2.12 ln 1 fcm 10 +

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

⋅ otherwise := fcm:= fc + 8 Et 2.15 10⋅ 4 3 fc 10 ⋅

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

:= ε_c0:= 0.0022 fc 56.191:= N/mm2

Allegato B

Fase1: tirante non fessurato

ε_s0:= 0.3⋅ε_sy Fase1 sel s0

(

,

)

x 1←0 Δ₁← −0.05 s 1←s0 εc₁←0 εs₁←ε_s0 σs₁←_{fs εs}

(

₁,_{fy 0.5}⋅

)

σc₁←_{fcc εc}

(

₁,_{fct 0.5}⋅

)

s 2←s1+Δ1⋅

(

εs1− εc1

)

Δ_k←−0.1 x k←xk 1− −Δk 1− ττ_k τ s k

( )

← σs_k σs_{k 1−} 4 φ τ s k

( )

τ s k 1−

( )

+ 2 ⋅ ⋅Δ_k + ← σc_k σc_{k 1−} ρ x k

( )

4 φ ⋅ τ s

( )

k + τ s

( )

k 1− 2 ⋅ ⋅Δ_k − ← εs_k←ε_{s σs}

( )

_k εc_k←ε_{c σc}

( )

_k j←k break s k<0∨εck>εct if s k 1+ Δ_k+Δ_{k 1−} Δ_{k 1−} ⋅sk sk 1− Δ_k Δ_{k 1−} ⋅ − Δk⋅

(

Δk+ Δk 1−

)

2 4 φ⋅τ s

( )

k⋅

(

ds σs

( )

k + ρ x

( )

k⋅dc σc

( )

k

)

⎡⎢

⎣

⎤⎥

⎦

⋅ + ← k∈2 10000.. for Δ_j εct− εcj 1− εc_j− εc_{j 1−} ⋅Δj if εcj>εct s j 1− s j 1− − sj Δ_j ⋅ s j<0 if ← x j←xj 1− −Δj s j Δ_j+ Δ_{j 1−} Δ_{j 1−} ⋅sj 1− sj 2− Δ_j Δ_{j 1−} ⋅ − Δj⋅

(

Δj+Δj 1−

)

2 4 φ⋅τ s

( )

j 1− ⋅

(

ds σs

(

j 1−

)

+ ρ x

( )

j 1− ⋅dc σc

(

j 1−

)

)

⎡⎢

⎣

⎤⎥

⎦

⋅ + ← ττ_j τ s j

( )

← σs_j σs_{j 1−} 4 φ τ s j

( )

τ s j 1−

( )

+ 2 ⋅ ⋅Δ_j + ← σc_j σc_{j 1−} ρ x j

( )

4 φ ⋅ τ s

( )

j +τ s

( )

j 1− 2 ⋅ ⋅Δ_j − ← :=

Allegato B

f s0

( )

εc s

( )

₀ =−1.191% εc s

( )

₀ − ε_ct εc s

( )

₀ =−38.282% s0 0.0552950182= La s0

( )

= 218.205 La s0

( )

:= Fase1 65 s0

(

,

)

εc s

( )

₀ = 8.1185× 10−5 εc s

( )

₀ := _{Fase1 63 s0}

(

,

)

εs s

( )

₀ =8.2151× 10−5 εs s

( )

₀ := _{Fase1 64 s0}

(

,

)

x:= _{Fase1 61 s0}

(

,

)

ε_cx:= _{Fase1 57 s0}

(

,

)

ε_sx:= _{Fase1 58 s0}

(

,

)

τ_x:= _{Fase1 56 s0}

(

,

)

sx:= Fase1 55 s0

(

,

)

s0:= secanti a b( , ) secanti a b( , ) x 1←a y 1←a x 2←b y 2 x1 if f x

( )

1⋅f x

( )

2 <0 y 1 otherwise ← as f x n 1−

( )

← cs f y n 1−

( )

← x n xn 1− as x n 1− − yn 1− as−cs ⋅ − ← bs f x n

( )

← y n xn 1− if bs as⋅ <0 y n 1− otherwise ← j←n break if bs <10−6 n∈3 60.. for sol x n if n<60

"cambia i valori d'innesco" otherwise ← := b:= 0.055295 f s0

( )

Fase1 60 s0 ,

(

)

:= a e b sono i valori d'innesco

per l'algoritmo secanti a:= 0.0552 εs_j← ε_{s σs}

( )

_j εc_j←ε_{c σc}

( )

_j output s if sel=55 ττ if sel=56 εc if sel=57 εs if sel=58 Δ_j if sel=59 εcj−εsj if sel=60 x if sel=61 j if sel=62 εc_j if sel=63 εsj if sel=64 x j if sel=65 ←

Allegato B

0 50 100 150 200 250

0.02 0.04 0.06

Andamento dello scorrimento

x slip 0 50 100 150 200 250 2 4 6

Andamento delle tesioni d'aderenza

x tesioni tangenziali 0 50 100 150 200 250 2 .10 4 4 .10 4 6 .10 4 8 .10 4 Deformazione dell'acciaio Deformazione del calcestruzzo

Andamento della deformazione acciaio

x

Allegato B

Fase2: tirante fessurato

ε_s0:= 0.3⋅ε_{sy Lf}:= 251.8 L_f è la distanza della la fessura che si e formata dal filo pilastro Fase2 sel s0

(

,

)

x 1←0 s 1←s0 ττ₁ τ s 1

( )

← εc₁←0 εs₁←0.7⋅ε_sy σs₁←_{fs εs}

(

₁,_{fy 1.1}⋅

)

σc₁←_{fcc εc}

(

₁,_{fct 0.5}⋅

)

Δ ←−0.1 s 2←s1+Δ εs⋅

(

1− εc1

)

x k←xk 1− − Δ ττ_k τ s k

( )

← σsk σsk 1− 4 φ τ s k

( )

τ s k 1−

( )

+ 2 ⋅ ⋅Δ + ← σc_k σc_{k 1−} ρ x k

( )

4 φ ⋅ τ s

( )

k + τ s

( )

k 1− 2 ⋅ ⋅Δ − ← εs_k←ε_{s σs}

( )

_k εc_k←ε_{c σc}

( )

_k s k 1+ 2 s⋅ k− sk 1− Δ 2 4 φ⋅τ s

( )

k⋅

(

ds σs

( )

k + ρ x

( )

k⋅dc σc

( )

k

)

⎡⎢

⎣

⎤⎥

⎦

⋅ + ← j←k k∈2 1259.. for output s mm k←sk k∈1 1259.. for mm ← if sel=55 ττ if sel=56 εc if sel=57 εs if sel=58 Δ_j if sel=59 εc_j−εs_j if sel=60 x if sel=61 s j if sel=62 εc_j if sel=63 εs_j if sel=64 x j if sel=65 ← :=

Allegato B

Δ_c=4.397× 10−3 mm

Δc è l'integrale delle deformazione del calcestruzzo sulla base di misura di 90 mm degli induttivi. L'integrazione è effettuata con il metodo dei trapezi

h è il numero di punti in cui e suddivisa la base di misura, la distanza fra i punti è 0.1 mm

Δ_c h←900 A 1 ε_cx 2+ εcx1 2 ⋅x1 ← A i ε_cx i+εcxi 1− 2 ⋅

(

xi−xi 1−

)

← i∈2 h.. for somma 1 h i A i

∑

= ← somma := s0 0.15735= sF s0

( )

= 2.1165×10−7 εc2 s

( )

₀ =1.03×10−4 εc2 s

( )

₀ := _{Fase2 63 s0}

(

,

)

εs2 s

( )

₀ =9.461× 10−4 εs2 s

( )

₀ := _{Fase2 64 s0}

(

,

)

x:= _{Fase2 61 s0}

(

,

)

ε_cx:= _{Fase2 57 s0}

(

,

)

ε_sx:= _{Fase2 58 s0}

(

,

)

τ_x:= _{Fase2 56 s0}

(

,

)

sx:= Fase2 55 s0

(

,

)

s0:= secanti c d( , ) secanti c d( , ) x 1←c y 1←c x 2←d y 2 x1 if sF x

( )

1 ⋅sF x

( )

2 <0 y 1 otherwise ← as _{sF x} n 1−

( )

← cs _{sF y} n 1−

( )

← x n xn 1− as x n 1− − yn 1− as−cs ⋅ − ← bs _{sF x} n

( )

← y n xn 1− if bs as⋅ <0 y n 1− otherwise ← j←n break if bs <10−6 n∈3 60.. for sol x n if n<60

"cambia i valori d'innesco" otherwise ←

:= d:= 0.16

sF s0

( )

:= Fase2 62 s0

(

,

)

c:= 0.15

Fase2 è l'algoritmo di risoluzione dell'equazione differenziale. Rispetto all'algoritmo Fase1, il metodo alle differenze finite è ad incrementi costanti. Nell'algoritmo Fase2 il ciclo for arriva fino all'ultimo elemento perchè, contrariamente all'algoritmo Fase1, il dominio di esistenza è noto e pari a Lf/2. Con

Allegato B

0 20 40 60 80 100 120 140 0.05 0.1 0.15 0.2

Andamento dello scorrimento

x

slip

0 20 40 60 80 100 120 140

5 10

Andamento delle tesioni d'aderenza

x tesioni tangenziali 0 20 40 60 80 100 120 140 5 .10 4 0.001 0.0015 0.002 Deformazione dell'acciaio Deformazione del calcestruzzo

Andamento della deformazione acciaio

x epsilon 1.852 10× −3 0 ε_sx ε_cx 125.8 0 x

AllegatoC

questa è una rappresentazione della funzione inversa di ε_{s σs}

( )

fs εss σs

(

,

)

:= root

(

ε_{s σ s}

( )

− ε_ss,σ_s

)

ε_{s fy}

( )

= 3.439× 10−3 0 2 .108 4 .108 6 .108 0 0.005 Tensioni Normali Deformazioni ε_{s σs}

( )

σs Ea a Ea σ_s fy

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

n 1− ⋅ ⋅σ_s +

:= Legame costitutivo dell'acciaio Parametri della legge di Ramberg-Osgood n:= 80 a:= 0.3 Ep 1624 N mm2 = Ep:= α_{β −}−₁1⋅Ea β εsu ε_sy := α fu fy := ε_su:= 0.055 ε_sy=2.646× 10−3 ε_sy fy Ea := fu 630 N mm2 := fy 545 N mm2 := Ea 206000 N mm2 :=

Caratteristiche meccaniche dell'acciaio

ε_c0:= −0.002 σ_cd 56.191 N mm2 = Ec 46899.6 N mm2 = fctk 4.485 N mm2 = ε_cu:= −0.0035 σ_cd Rck 0.83⋅ γ_c N mm2 ⋅ := Ec 5700⋅ _Rck N mm2 ⋅ := fctk 0.27 3 Rck2 ⋅ N mm2 ⋅ := Rck:= 67.7

Caratteristiche meccaniche del Calcastruzzo

Allegato C: calcolo del Diagramma M-θ

In questo foglio di calcolo riportiamo il calcolo del diagramma momento-rotazione

per la soluzione1.a

AllegatoC

Δ_c 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1.75·10 -3 3.12·10 -3 3.81·10 -3 2.07·10 -3 1.54·10 -4 7.36·10 -4 3.64·10 -5 5.84·10 -6 1.21·10 -6 2.76·10 -7 6.69·10 -8 1.9·10 -8 2.45·10 -9 1.11·10 -10 7.98·10 -12 6.8·10 -13 1.99·10 -13 mm = s0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.47·10 -6 1.998·10 -5 3.824·10 -5 9.15·10 -5 1.788·10 -4 1.323·10 -4 2.287·10 -4 2.907·10 -4 3.463·10 -4 3.998·10 -4 4.523·10 -4 5.013·10 -4 5.89·10 -4 7.228·10 -4 8.372·10 -4 9.538·10 -4 1.072·10 -3 m = ε_s0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.646·10 -4 5.291·10 -4 7.937·10 -4 1.058·10 -3 1.103·10 -3 1.103·10 -3 1.323·10 -3 1.587·10 -3 1.852·10 -3 2.117·10 -3 2.381·10 -3 2.646·10 -3 3.175·10 -3 3.968·10 -3 4.63·10 -3 5.291·10 -3 5.953·10 -3 =

d1 e d2 sono le distanze dall'asse x dei baricentri degli strati di armatura più esterni.

d 1 1 2 -0.2 0.2 m =

Nella figura qui accanto il sistema do riferimento è traslato nel baricentro della sezione in calcestruzzo, l'asse y è diretto verso l'alto e l'asse x verso destra. La convenzione per i momenti e curvature è quella solita: positivi se sono tese le fibre inferiori.

0 0.25 0.13 0.13 0.25 Traslazione

Queste sono le coordinate e l'area delle barre

Queste sono le coordianate dei vertici della sezione in CLS

Δ≡50mm Distanza fra gli strati c≡34mm Copriferro

φ_st≡8mm Diametro delle staffe

φ 16mm≡ Diametro dei ferri longituninali

x y cm cm 0 0 30 0 30 50 0 50 0 0 x y Area cm cm cm^2 5 45.0 2.01 12 45.0 2.01 18 45.0 2.01 25 45.0 2.01 5 40.0 2.01 12 40.0 2.01 18 40.0 2.01 25 40.0 2.01 5 10.0 2.01 25 10.0 2.01 5 5.0 2.01 B≡ 300mm H≡ 500mm

AllegatoC

Ferri inferiori tesi

ε y ε

(

, _s,χ

)

ε_s y d

1

−

(

)

⋅χ −

:= Distribuzione congruente di deformazione Legame costitutivo del Calcestruzzo Parabola Rettangolo

σ_{c y ε s}

(

, ,χ

)

0⋅σ_cd if ε y ε

(

, _s,χ

)

>0 2 ε y ε

(

, _s,χ

)

ε_c0 −

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

ε y ε

(

, _s,χ

)

ε_c0 − ⋅ ⋅σ_cd if 0>ε y ε

(

, _s,χ

)

>ε_c0 σ_cd − otherwise := Legame dell'acciaio σ_{s i ε s}

(

, ,χ

)

ε ε_s ya i−d1

(

)

⋅χ − ← λ 0.85 if ε <ε_sy 1.21 otherwise ← sigma← _{fs ε λ fy}

(

, ⋅

)

if ε 0≥ sigma← −_{fs ε λ fy}

(

, ⋅

)

otherwise := Nu

( )

ε_{s χ}, H − 2 H 2 y σ_{c y ε s}

(

, ,χ

)

⋅b y( ) ⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡ d i Aa i⋅σs i ε s

(

, ,χ

)

∑

+ := Mc εs χ

( )

, H − 2 H 2 y σ_{c y ε s}

(

, ,χ

)

⋅b y( )⋅y ⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡ d − := _{Ma εs χ}

( )

, i Aa i⋅σs i ε s

(

, ,χ

)

⋅yai

∑

− := M

( )

ε_{s χ}, := _{Mc εs χ}

( )

, + _{Ma εs χ}

( )

, chi

( )

ε_{s χ}, λ 0.001 m ← aa χ Nu

( )

ε_{s χ}, ⋅λ Nu

(

ε_{s χ}, +λ

)

− Nu

( )

ε_{s χ}, − ← j←1 χ ←aa j← j+1 aa χ Nu

( )

ε_{s χ}, ⋅λ Nu

(

ε_{s χ}, + λ

)

−Nu

( )

ε_{s χ}, − ← break if j=100 χ −aa TOL 10 1 m ⋅ > while bb aa if j<100 "fuori" otherwise ← :=

Questo è l'algoritmo di Newton-Raphson per determinare il valore della curvatura per un asseganto valore si ε_s0

AllegatoC

θ y n

ε

s0

ε

c d 2 d 1 y n h polifun1 sh( ) ζ0 0.00001 m ← ζ1 chi ε_s0 1,ζ0

⎛

⎝

⎞

⎠

← MM 1←M

⎛

_⎝

εs0₁,ζ1

⎞

_⎠

ε_c 1 εs01 H 2 −d1

⎛⎜

⎝

⎞⎟

⎠

⋅ζ1 − ← yn 1 ε_c 1 − ε_s0 1−εc1 h ⋅ ← ζ0←ζ_{k 1−} ζ_k chi ε_s0 k,ζ0

⎛

⎝

⎞

⎠

← MM k←M

⎛

_⎝

εs0_k,ζk

⎞

_⎠

ε_c k εs0k H 2 − d1

⎛⎜

⎝

⎞⎟

⎠

⋅ζk − ← yn k ε_c k − ε_s0 k− εck h ⋅ ← break ε_c k<εcu if k∈2 rows..

( )

ε_s0 for bn MM if sh=1 ε_c if sh=2 yn if sh=3 ζ otherwise ←

:= χ1:= polifun1 0( ) _yn1:= polifun1 3( )

ε_c1:= polifun1 2( ) MM1:= polifun1 1( ) θ_slip1 w k s0 k 2 ⋅ h _yn1 k − ← k∈_{1 rows yn1}..

( )

for w := θ_CLS1 w k Δ_c k h _yn1 k − ← k∈_{1 rows yn1}..

( )

for w := θ_modello1:= θ_slip1+θ_CLS1

AllegatoC

Ferri superiori tesi

ε y ε

(

, _s,χ

)

ε_s y d

2

−

(

)

⋅χ −

:= Distribuzione congruente di deformazione

Legame costitutivo del Calcestruzzo Parabola Rettangolo σ_{c y ε s}

(

, ,χ

)

0⋅σ_cd if ε y ε

(

, _s,χ

)

>0 2 ε y ε

(

, _s,χ

)

ε_c0 −

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

ε y ε

(

, _s,χ

)

ε_c0 − ⋅ ⋅σ_cd if 0>ε y ε

(

, _s,χ

)

>ε_c0 σ_cd − otherwise := Legame dell'acciaio σ_{s i ε s}

(

, ,χ

)

ε ε_s ya i−d2

(

)

⋅χ − ← λ 0.85 if ε <ε_sy 1.21 otherwise ← sigma← _{fs ε λ fy}

(

, ⋅

)

if ε 0≥ sigma← −_{fs ε λ fy}

(

, ⋅

)

otherwise := Nu

( )

ε_{s χ}, H − 2 H 2 y σ_{c y ε s}

(

, ,χ

)

⋅b y( ) ⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡ d i Aa i⋅σs i ε s

(

, ,χ

)

∑

+ := Mc εs χ

( )

, H − 2 H 2 y σ_{c y ε s}

(

, ,χ

)

⋅b y( )⋅y ⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡ d − := _{Ma εs χ}

( )

, i Aa i⋅σs i ε s

(

, ,χ

)

⋅yai

∑

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

− := M

( )

ε_{s χ}, := _{Mc εs χ}

( )

, + _{Ma εs χ}

( )

, chi

( )

ε_{s χ}, λ 0.0001 m ← aa χ Nu

( )

ε_{s χ}, ⋅λ Nu

(

ε_{s χ}, +λ

)

− Nu

( )

ε_{s χ}, − ← j←1 χ ←aa j← j+1 aa χ Nu

( )

ε_{s χ}, ⋅λ Nu

(

ε_{s χ}, + λ

)

−Nu

( )

ε_{s χ}, − ← break if j=100 χ −aa TOL 10 1 m ⋅ > while bb aa if j<100 "fuori" otherwise ← :=

AllegatoC

θ y n εs0 εc d 2 d 1 y n h polifun2 sh( ) ζ0 0.00001 m − ← ζ1 chi ε_s0 1,ζ0

⎛

⎝

⎞

⎠

← MM 1←M

⎛

_⎝

εs0₁,ζ1

⎞

_⎠

ε_c 1 εs01 H 2 − d 2 −

⎛⎜

⎝

⎞⎟

⎠

⋅ζ1 − ← yn 1 ε_c 1 − ε_s0 1−εc1 h ⋅ ← ζ0←ζ_{k 1−} ζ_k chi ε_s0 k,ζ0

⎛

⎝

⎞

⎠

← MM k←M

⎛

_⎝

εs0_k,ζk

⎞

_⎠

ε_c k εs0k H 2 − d 2 −

⎛⎜

⎝

⎞⎟

⎠

⋅ζk − ← yn k ε_c k − ε_s0 k− εck h ⋅ ← break ε_c k<εcu if k∈2 rows..

( )

ε_s0 for bn MM if sh=1 ε_c if sh=2 yn if sh=3 ζ otherwise ← := χ2:= polifun2 0( ) MM2:= polifun2 1( )

ε_c2:= polifun2 2( ) _yn2:= polifun2 3( )

θ_slip2 w k s0 k 2 ⋅ h _yn2 k −

⎛

⎜

⎜

⎝

⎞

⎟

⎟

⎠

− ← k∈_{1 rows yn2}..

( )

for w := θ_CLS2 w k Δ_c k − h _yn2 k − ← k∈_{1 rows yn2}..

( )

for w := θ_modello2:= θ_slip2+θ_CLS2

AllegatoC

θ_slip1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.783·10 -5 1.13·10 -4 2.166·10 -4 5.19·10 -4 1.014·10 -3 7.504·10 -4 1.299·10 -3 1.653·10 -3 1.972·10 -3 2.28·10 -3 2.584·10 -3 2.861·10 -3 3.323·10 -3 4.001·10 -3 4.579·10 -3 5.169·10 -3 5.767·10 -3 = θ_CLS1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.941·10 -6 8.824·10 -6 1.079·10 -5 5.87·10 -6 4.368·10 -7 2.088·10 -6 1.034·10 -7 1.661·10 -8 3.446·10 -9 7.871·10 -10 1.911·10 -10 5.422·10 -11 6.91·10 -12 3.072·10 -13 2.183·10 -14 1.842·10 -15 0 = θ_modello1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.277·10 -5 1.218·10 -4 2.274·10 -4 5.248·10 -4 1.015·10 -3 7.525·10 -4 1.299·10 -3 1.653·10 -3 1.972·10 -3 2.28·10 -3 2.584·10 -3 2.861·10 -3 3.323·10 -3 4.001·10 -3 4.579·10 -3 5.169·10 -3 5.767·10 -3 = MM1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 25.102 50.251 75.352 100.384 104.64 104.771 125.393 150.32 175.221 200.06 224.84 244.774 259.776 265.654 268.791 271.356 273.577 kN m⋅ = θ_slip2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 -4.939·10 -5 -1.167·10 -4 -2.238·10 -4 -5.364·10 -4 -1.048·10 -3 -7.757·10 -4 -1.344·10 -3 -1.711·10 -3 -2.042·10 -3 -2.362·10 -3 -2.679·10 -3 -2.969·10 -3 -3.45·10 -3 -4.137·10 -3 -4.72·10 -3 -5.314·10 -3 -5.916·10 -3 = θ_CLS2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 -5.102·10 -6 -9.113·10 -6 -1.115·10 -5 -6.068·10 -6 -4.516·10 -7 -2.158·10 -6 -1.069·10 -7 -1.718·10 -8 -3.568·10 -9 -8.155·10 -10 -1.981·10 -10 -5.626·10 -11 -7.175·10 -12 -3.176·10 -13 -2.25·10 -14 -1.894·10 -15 0 = θ_modello2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 -5.449·10 -5 -1.258·10 -4 -2.35·10 -4 -5.425·10 -4 -1.049·10 -3 -7.779·10 -4 -1.344·10 -3 -1.711·10 -3 -2.042·10 -3 -2.362·10 -3 -2.679·10 -3 -2.969·10 -3 -3.45·10 -3 -4.137·10 -3 -4.72·10 -3 -5.314·10 -3 -5.916·10 -3 = MM2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 -31.65 -63.243 -94.77 -126.214 -131.551 -131.549 -157.585 -188.878 -220.087 -251.206 -282.228 -308.437 -333.24 -340.992 -344.65 -347.442 -349.731 kN m⋅ =

Si osserva in questo caso particolare che il contributo del calcestruzzo diventa meno influente man mano che aumenta la deformazione dell'acciaio

AllegatoC

θ_modello:=stack reverse

(

(

θ_modello1

)

,θ_modello2

)

M:= stack reverse MM1( ( ) MM2, )

0.006 0.004 0.002 0 0.002 0.004 0.006 400 200 200 400 rotazione Momento kN m 273.577 349.731 − M 1000 5.767 10× −3 5.916 − ×10−3 θmodello