Costruzione di un indi- ce

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Capitolo 3

Valutazione finale sulla

Costruzione di un indi- ce

Come accennato nel capitolo 2 l’uso degli indicatori garantisce una sintesi delle informazioni iniziali, permettendo di poter valutare un fenomeno di interesse in maniera rapida e riproducibile. Per analizzare diversi fenomeni, i quali se osservati globalmente concorrono a delineare uno stato od a identificare un trend, si utilizza uno strumento chiamato indice, passo conseguente all’utilizzo di indicatori. La sua costruzione presenta delle difficoltà che a volte non permettono la sua adozione, ma i benefici che si possono trarre dal suo utilizzo, in termini di immediatezza e signi- ficatività spingono fortemente verso il suo utilizzo. Un indice si prefigge lo scopo di riunire e pesare relativamente gli uni agli altri indicatori precedentemente definiti, in maniera da fornire un dato unico globale di indubbia efficacia comunicati- va e di notevole supporto deci- sionale. Esso è ormai utilizzato in molti settori dove un notevole grado di sintesi è richiesto, ad esempio esistono indici sullo sviluppo sostenibile (ESI, elaborato dalla OCSE) od indici che permettono confronti fra stati, riguardo tematiche sia econo- miche che sociali e politiche.

L’

elaborazione di un set di indicatori è il primo passo verso la realizzazione di uno strumento che permetta un’analisi il più possibile oggettiva delle differenti alternative da confrontare.

Ulteriore passo è aggregare tutti gli indicatori per avere un dato unico che classifichi le alternative.

Il metodo principale utilizzato per fare ciò è costruire un indice, det- to appunto composito, seguendo una metodologia il più possibile sta- tisticamente e matematicamente corretta: il Joint Research Center (EC) [7] sta da tempo lavorando in questa direzione, normando e proponendo un iter costruttivo.

In questo capitolo si darà quindi un quadro generale di quello che attualmente è indicato come il processo di costruzione di un indice, formando le basi su cui sarà calcolato l’indice composito per il caso esaminato nella 2° parte.

3.1 convenienza delle alternative

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Ideazione ed utilizzo di un indice per il confronto di alternative di smaltimento dei rifiuti: il caso della Garfagnana

Capitolo 3: valutazione finale sulla convenienza delle alternative

Nel nostro ambito si ritiene che l’elaborazione di un indice riassuntivo sia di notevole ausilio nel valutare l’impatto globale di una alternativa e di confrontarlo con quello di un’altra. Utilizzare un numero unico per cogliere immediatamente un “peso ambientale” ed un “peso economico” è probabilmente la via più semplice e comprensibile per tracciare in maniera più precisa possibile una “classifica di opzioni”.

Teoria degli indici

Gli indici compositi nascono dalla aggregazione di più indicatori e forniscono un’informazione globale sul fenomeno che si analizza: dagli indicatori ereditano la quantificazione del fenomeno che questi analizzano, ma non l’unità di misura, che viene persa. Questo contribuisce a rendere possibile il confronto fra indicatori che trattano diversi fenomeni, anche molto distanti fra loro. Nelle fasi di creazione di un indicatore si compiono approssimazioni, confronti, pesature che globalmente inficiano sul risultato finale mediante l’introduzione di errori che possono diventare eccessivi, invalidando l’utilizzo dell’indice stesso. La scelta corretta di opportuni sistemi di calcolo, accompagnata dall’enunciazione delle incertezze e degli errori compiuti durante la creazione, rendono questi errori più identificabili, riducendoli anche, introducendo quindi un grado di incertezza che può essere inferiore ai benefici che l’utilizzo dell’indice induce.

Un indice utilizzabile è quindi un compromesso fra incertezza e benefici che l’utilizzo dell’indice comporta. La commissione europea ha elaborato, mediante il Joint Research Center, una serie di passi da compiere nella fase di elaborazione di un indice, basandosi sugli indici finora creati a livello internazionale e proponendo essa stessa nuove metodolo- gie per l’approccio[8]. Si ritiene opportuno seguire questa metodologia al fine di produrre un indice finale possibilmente corretto, entro margini di errore il più possibile ridotti.

Identificazione del campo di applicazione degli indicato- ri

A questo punto si pensa di aver già risposto nel capitolo 1, dove si è ana- lizzato il territorio soggetto allo studio, rilevandone le criticità e gli aspetti peculiari, l’ambito legislativo ed caratteristiche che si sono reputate importanti per poter poi confrontare le alternative.

Identificazione e sviluppo degli indicatori

Come prima, si pensa di aver fornito un quadro degli indicatori esaustivo e di aver spiegato ognuno di loro nel capitolo 2. Si rimanda quindi a questo capitolo per ogni ulteriore chiarimento.

3.2

3.2.1

3.2.2

La scelta corretta di sistemi di calcolo, accompa- gnata dal- l’enuncia- zione delle incertezze e

dagli errori compiuti durante la creazione riduce l’er- rore globale

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Analisi multivariata del set di indicatori

Questo passo è consigliato per ridurre la presenza di indicatori equiva- lenti, cioè indicatori, che seppur differenti, si sovrappongono gli uni agli altri comunicando la stessa cosa, provocando quindi una ridondanza dei dati forniti. Mediante particolari tipi di analisi, si può cercare di ridurre la presenza di questi indicatori, condensando le informazioni in componenti minimamente correlate (ovvero che non siano interdipendenti) dette componenti principali (PCA è il nome di questa analisi, da Principal Com- ponent Analysis) oppure usando strumenti matematici, come il coefficien- te Cronback alpha, che forniscono il grado di correlazioni fra indicatori, aumentando quindi la consapevolezza di possibili sovrapposizioni.

PCA

Generalmente [9] lo scopo principale di questo metodo di indagine è quello di scoprire e riassumere la “modalità” di variazione di un set di variabili misurato in condizioni differenti od in luoghi differenti. Si cerca quindi di trovare una traccia che descriva bene le relazioni tra variabili stesse (correlazioni fra variabili ambientali) oppure un modello che descriva bene i rapporti tra diversi campionamenti (quindi verificare la presenza di determinati gradienti naturali non identificabili a priori). Nel primo coso si pone quindi l’attenzione sulle variabili, utilizzando tecniche quali la PCA o la FA (R-mode analysis), nel secondo caso si cerca di identificare i rapporti tra diversi campionamenti mediante tecniche tese a scoprire trend o rapporti tra campioni (Q-mode analysis). Nel nostro caso risulta utile lavorare nella prima eventualità: si intende trovare quindi una relazione tra diversi indicatori al fine di verificare che questi non portino la stessa informazione, imponendo operazioni superflue. Si utilizzerà la PCA quindi a questo preciso scopo, ma non solo: nel prossimo paragrafo che tratta di pesatura degli indicatori, la PCA può essere utilizzata per risolvere anche questo problema. Si trova utile quindi descrivere in questa sede la metodologia, ambivalente per ambedue le operazioni, accennando in seguito a quan- to qui descritto e, in caso occorra, approfondendo il tema in relazione alla seconda possibilità.

La PCA da un punto di vista “geometrico”

La PCA è la tecnica più anziana di analisi multivariata, essendo stata creata da Pearson nel 1901. Inizialmente utilizzata al fine di ordinare in me- desime categorie campionamenti differenti, nelle ultime decadi è stata utilizzata come tecnica per scoprire correlazioni tra variabili differenti. Il metodo si basa sull’analisi di un matrice composta da colonne di n dati (campionamenti o risultati della stessa variabile) e da righe di m variabili. I dati in questione possono essere rappresentanti come un insieme di punti n in uno spazio m-dimensionale, dove ogni dato n è identificato dalle sue

3.2.3.1

3.2.3

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Ideazione ed utilizzo di un indice per il confronto di alternative di smaltimento dei rifi uti: il caso della Garfagnana

Capitolo 3: valutazione fi nale sulla convenienza delle alternative

coordinate in ognuno degli m-assi. Risulta chiaro che l’analisi di un numero rilevante di m variabili e n dati è problematica da portare a termine, i dati sarebbero distribuiti in un numero m di assi (sarebbe più facile eseguire esclusivamente un’analisi bidimensionale) elevato e di non chiara identifi -

cazione. Ruotando il sistema di assi e cambiando il punto di vista, probabilmente il sistema acquisirebbe una maggiore leggibilità: cambiare il punto di vista in effetti equivale a cambiare il sistema di assi che localizzano gli n dati, aumentando quindi le informazioni utile date dal sistema. La PCA agisce in maniera simile e trova il punto di vista migliore ai fi ni della valoriz- zazione delle informazioni portate dal sistema di n dati in m variabili. Essa costruisce quindi un nuovo insieme di assi, derivato dalla combinazione lineare degli originali m assi e mirato ad allineare gli n dati lungo il loro maggiore asse di variazione. La PCA quindi rassegna nuovamente degli assi al fi ne di rappresentare al meglio la variabilità interna dei dati, riproiettando gli n dati in un nuovo sistema. Inoltre, rilevando la correlazione tra variabili, il metodo comprime la variabilità interna nel minor numero possibile di assi, in maniera da riassumere l’informazione data dalla matrice iniziale.

La Pca dal punto di vista “matematico”

La PCA può essere assimilata anche ad operazioni svolte su matrici. Ad esempio, si supponga di avere un matrice x,y (bidimensionale quindi) che rappresenta una fi gura piana mediante i suoi punti; se si moltiplica questa matrice per una matrice diagonale si varia la scala della fi gura. Se la matrice diagonale ha nella diagonale tutti gli stessi valori, la fi gura piana viene semplicemente ridimensionata, se invece la diagonale della 2° matrice presenta valori diversi, la fi gura viene deformata. Moltiplicando la 1°

matrice per una matrice ortogonale produce una rotazione (rigida). L’obbiettivo della PCA in questo caso sarebbe quello di trovare una matrice di trasformazione che rende al meglio la visualizzazione delle informazioni portate dalla matrice iniziale. L’analisi dei autovalori (in inglese eigenvalues) fornisce questa matrice di trasformazione, nel caso dove la matrice analizzata è la matrice secondaria C (matrice di varianza/covarianza) o R

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(matrice di correlazione) derivate dalla matrice originale. L’analisi appena vista della matrice C fornisce la matrice U e Λ (lambda) tali che CU=ΛU.

In questo caso, Λ è la matrice che ha gli autovalori di C sulla diagonale e U ha in ogni colonna un autovettore. Questi autovettori sono i coefficienti che trasformeranno la matrice originale nella nuova matrice proiettata o per meglio dire ruotata. Essenzialmente questi sono i coefficienti di regressione che predicono i valori dei dati sugli assi delle componenti principali.

Gli autovettori λ, ordinati lungo la diagonale di Λ in ordine di grandezza decrescente, dimensionano i nuovi assi: il primo sarà più lungo, gli altri se- guiranno.

Note sulla centratura e la standardizzazione

I dati da analizzare possono essere centrati (cioè x¹=x-˜x) oppure no, come possono essere standardizzati oppure no. La centratura è pratica- mente una prassi, anche se sono presenti studi che dimostrano (Pielou, 1984) che in alcuni casi la non centratura può aumentare le informazioni apportate. La standardizzazione (utilizzando la la matrice di covarianza o quella di correlazione) ha importanti implicazioni nell’analisi: utilizzare la matrice di covarianza implica che indicatori caratterizati da ampia varianza avranno un peso maggiore rispetto agli altri, la matrice di correlazione tratterà equamente tutti gli indicatori. La scelta di eseguire la standardizzazione o il ridimensionamento è obbligatoria qualora si sia in presenza di indicatori che presentano fra di loro una differenza di ampi ordini di grandezza: se analizzati senza opportuni trattamenti la PCA viene influenzata principalmente da questa “ampiezza”.

Rappresentazione della PCA e intepretazione dei dati

Come una semplice rappresentazione grafica, l’obbiettivo della PCA è riallineare n dati lungo nuove variabili m, in maniera che la prima PC raccolga al suo interno la massima varianza dei dati n lungo il suo asse (cioè l’asse è tracciato lungo l’asse lungo della distruzione dei dati). Gli assi seguenti raccolgono la varianza residua, in particolare il secondo cerca di raccogliere più varianza residua possibile al suo interno ponendosi ortogo- nalmente al primo, il terzo esegue la stessa cosa, fino all’ultima componente, che assorbe la rimanente varianza del set di dati.

Grandezza relativa degli autovalori

A causa della correlazione fra indicatori, la varianza del set di dati viene generalmente raccolta in poche componenti principali, ottemperando quindi ad uno scopo della PCA. Il quantitativo di varianza raccolto entro ogni componente principale è dettato dall’autovalore di questa; la somma degli autovalori da la traccia della matrice C (od R). Quindi, l’autovalore della componente iPC, diviso per la somma di tutto gli autovalori, è

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Capitolo 3: valutazione finale sulla convenienza delle alternative

l’espressione della varianza espressa dalla PC-iesima. Si sottolinea quindi come nella PCA non si abbia una perdita di varianza data dal set iniziale di dati, ma come essa venga ridistribuita nelle nuove componenti principali.

Lo screeplot è un grafico che si prefigge lo scopo di aiutare nel determina- re quante componenti principali servono allo scopo di descrivere effica- cemente il sistema. Esso disegna l’autovalori per ogni asse, formando una curva segmentata discendente. Quando si nota un punto di rottura nel curva disegnata, si può agevolmente interpretare questo come frontiera prima della quale gli assi (PC) possono essere considerati.

Loadings (carichi) delle variabili nelle Componenti

Gli autovalori sono i coefficienti standardizzati per i quali le variabili originali sono moltiplicate per essere trasformate nelle nuove componenti principali. Le variabili che contribuiscono mediante il loro loadings (carico) in maniera simile alla stessa PC sono fra loro correlate; al contrario se

“pesano” differentemente riguardo la solita PC vuo, dire che il loro peso è caricato in differenti componenti principali. Esaminando come le variabili contribuiscono diversamente od ugualmente alle PC si riesce a ricostruire quali di queste presenta un carico maggiore nell’una o nell’altra componente. I carichi sono utilizzati nei cosiddetti biplot, grafici che presentano sottoforma di vettori le variabili iniziali per illustrare le correlazioni fra queste e le due PC che costituiscono gli assi principali. Gli angoli fra variabili rappresentano quindi la loro correlazione, più questa è alta, più presentano un angolo ristretto. I biplot sono dei grafici utili, presentano le variabili iniziali nel nuovo spazio delle PC.

Punteggio degli n dati nello spazio delle PC

Proiettando gli n dati nel nuovo spazio ottenuto dalle PC, mediante il calcolo del punteggio (rappresentante le coordinate del punto) per ogni n dato rispetto alle PC ottenuto dagli autovalori può fornire un’idea della presenza di particolarità. Lo studio della localizzazione degli n valori nello spazio creato dalla componenti principali può avvallare i loadings precedentemente visti oppure avvalorare un biplot precedentemente traccia- to.

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Cronback Alpha

Questo coeffi ciente di “consistenza” tende a misurare la correlazione reciproca fra diversi indicatori utilizzati per creare un indice, dando una informazione su quanto l’eterogeneo set di indicatori misura effi cacemente (senza ridondanza) il fenomeno in questione.

La formula per il calcolo del coeffi ciente è:

E’ stato dimostrato che un aumento degli indicatori utilizzati comporta un aumento di α. Se la correlazione fra indicatori è bassa, anche α sarà basso. Un α > di 0.8 (il coeffi ciente può variare fra 0 ed 1) si identifi ca generalmente come una “prova” di correlazione fra gli indicatori utilizzati.

Trattamento preliminare dei dati

Gli indicatori, come tutte le misurazioni scientifi che, possono soffrire della mancanza di dati, occorsa per diversi motivi: mancata misurazione, rottura dello strumento, mancanza di dati campionati uniformemente nel corso del tempo. Per ovviare a questo inconveniente si possono adottare diverse soluzioni, al fi ne di poter confrontare fra loro diversi indicatori con numero simile di dati:

- omettere interamente l’indicatore, quando questo abbia un gran numero di valori mancanti;

- sostituzione del valore medio dove non si abbiano valori campionati: il valore medio è ottenuto dalla media di tutti i valori effettivamente campionati;

- usare la retta di regressione per stimare i valori mancanti;

- “nearest neighbour”: identifi care e sostituire il caso più simile a quello relativo al valore mancante;

3.2.4 3.2.3.2 Cronback Alpha

Tabella 4: Vantaggi e svantaggi della PCA

Vantaggi della PCA Svantaggi della PCA Raccogliere in poche categorie

(componenti principali) la maggior parte della “variazione” presente negli indicatori

La correlazione può non indicare il vero peso degli indicatori nel fenomeno che lʼindicatore composito intende illustrare.

Verifi care la “dimensionalità” degli

indicatori È probabile che la PCA non sia precisa in quanto la componente analizzata è compresa fra due variabili in contrasto fra loro.

La PCA può dare risultati non corretti quando lʼanalisi è compiuta su un piccolo campione.

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Capitolo 3: valutazione fi nale sulla convenienza delle alternative

- ignorare il valore mancante.

Normalizzazione dei dati

I dati ottenuti sono spesso misurati in differenti unità di misura, come gli indicatori, di conseguenza si rende opportuno normalizzarli, in maniera che sia possibile classifi carli. Oltre a questo motivo, si ricorre alla normalizzazione anche per evitare che dati molto distanti dalla media acquisi- scano un peso eccessivo nel confronto fra diverse alternative, alterando quindi la valutazione fi nale. Esistono diversi metodi per la normalizzazione dei dati, segue una rassegna.

Deviazione standard della media

Utilizzando questo metodo, si intende la distribuzione dei dati normale (media=0, deviazione standard di 1). Quindi, mediante la formula:

si intende il di scostamento, in positivo o negativo, dei dati dalla media.

Distanza dal miglior valore

Con questo metodo si assegna 100 al valore migliore, gli altri seguono riferendosi a questo mediante un valore percentuale, calcolato mediante la formula:

3.2.5.1

Tabella 5: Pregi e difetti della normalizzazione “Deviazione standard della media”

Vantaggi del metodo Svantaggi del metodo I valori degli indicatori sono centrati

sul medesimo valore medio Si ipotizza una distribuzione Gaus- siana

La media è 0, evita quindi lʼintroduzione di deformazioni scaturite dalla diff erenza di valor medi diversi fra indicatori

Tabella 6: Pregi e difetti della normalizzazione “Distanza dal miglior valore”

Vantaggi del metodo Svantaggi del metodo

I valori estremi rispetto alla media hanno una infl uenza notevole sul metodo: questo può essere sia un aspetto positivo che negativo a seconda del tipo di analisi che si intende compiere.

3.2.5.2

3.2.5

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Distanza dal valore medio

In questo metodo si attribuisce al valor medio il punteggio di 100, agli altri valori vengono attribuiti punteggi variabili a seconda della distanza dal valore medio sopracitati, secondo la formula:

Distanza dal migliore e peggiore valore

Con questo metodo si valuta la localizzazione del valore in un range incluso tra il valore minimo ed il valore massimo misurati, mediante la formula:

Distanza dalla media delle variazioni nel tempo

Con questo metodo si divide la variazione notata in un intervallo di tempo con la variazione media notata nello stesso periodo. La variazione della

Tabella 8: Pregi e difetti della normalizzazione “Distanza dal migliore e peggiore valore”

Vantaggi del metodo Svantaggi del metodo I valori dellʼindicatore normalizzati

hanno lo stesso range I valori estremi rispetto alla media hanno un peso maggiore, quindi essi infl uiscono grandemente sulla normalizzazione; ciò è utile quando si vogliono premiare valori lontani dalla media.

Gli indicatori con piccoli range infl uiscono meno sulla normalizzazione.

Il metodo è molto dipendente dal peso degli indicatori

3.2.5.5

Tabella 7: Pregi e difetti della normalizzazione “Distanza dal valore medio”

Il valore che fa da riferimento è la media, quindi valori distanti da essa hanno un peso maggiore. Si può ricorrere alla distanza dalla mediana invece che dalla media, facendo quindi pesare meno i presunti outlier

3.2.5.3

3.2.5.4

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Capitolo 3: valutazione fi nale sulla convenienza delle alternative

media negli intervalli di tempo è uguale.

Distanza da un anno di riferimento Valore fi sso della media

Con questo metodo la media è scalata affi nché tutti gli indicatori abbiano stessa media. In questa maniera si rispecchiano le proporzioni esistenti fra indicatori prima del confronto.

Classifi cazione mediante una scala di riferimento

Con questo metodo si assegna un valore (sia numerico sia qualitativo) in base alla distanza di questo dalla una soglia, od in base al fatto che l’abbia superata o no.

Pesatura

La pesatura è il passaggio forse più controverso della costruzione di un indice, in quanto non esiste una metodologia universalmente accettata ed essa infl uisce pesantemente sul risultato fi nale. Quando generalmente una priorità fra indicatori esiste già (per via degli obiettivi che si intende raggiungere), si può applicarla direttamente. Se invece si cerca di capire il peso che effettivamente hanno gli indicatori relativamente a loro stessi, si incorre nel problema di cui si accennava in precedenza: la mancanza di uno standard che impone una scelta che può diventare opinabile. Si trova opportuno ora descrivere i metodi più utilizzati per la pesatura.

Tabella 10: Vantaggi e svantaggi della normalizzazione “ Valore mediante scale di riferimento”

Vantaggi del metodo Svantaggi del metodo Gli outlier non infl uiscono sul

metodo La soggettività può infl uire

pesantemente sulla

quantifi cazione della soglia e sulla valutazione della distanza da questa.

Non si possono più apprezzare le diff erenze fra valori compresi nella stessa classe: una parte di informazione viene quindi persa.

3.2.5.8 3.2.5.7

3.2.6

Tabella 9: Vantaggi e svantaggi della normalizzazione “Distanza dalla media delle variazioni nel tempo”

Indicatori che presentano una alta irregolarità nel tempo pesano di meno.

3.2.5.6

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Pesatura uniforme

Con tale sistema si attribuisce a tutti gli indicatori lo stesso peso: si intende esprimere il fatto che essi danno un contributo uniforme nel realizzare l’indice fi nale. Ciò si applica anche a categorie di indicatori, questi ultimi possono differire all’interno delle categorie stesse.

Analisi della correlazione

Se due indicatori fra loro collineari aventi peso w1 e w2 vengono uniti a formare un indice, il peso di questo è w1+w2, se si sono reputati uguali in termini di infl uenza i due indicatori. Se invece i due indicatori presentano correlazione, il peso di uno andrà diminuito fi no a ricalcare il suo peso ef- fettivo nell’indice. Nel dettaglio, peso minore verrà dato ad indicatori che sono altamente correlati fra di loro. Il primo passo che si compie nell’utilizzare questo metodo di pesatura è normalizzare gli indicatori mediante la sottrazione del valor medio e la divisione per la deviazione standard. Si supponga ora, a titolo di esempio, di avere tre indicatori X1, X2, X3. I primi due sono fortemente correlati fra loro. Chiamiamo X subindicatore, ottenuto da:

dove r_x1,x2 è il coeffi ciente di correlazione di Pearson tra X1 e X2. Il subindicatore X è combinato quindi con l’indicatore X3, dando:

dove r_x,x3 è il coeffi ciente di correlazione di Pearson tra X e X3. Si può calcolare l’indice di correlazione per ogni coppia di indicatori, estendendo quindi il calcolo a tutti gli indicatori.

Tabella 12: Pregi e difetti della “analisi di correlazione”

Vantaggi del metodo Svantaggi del metodo Pesi minori sono attribuiti ad

indicatori fortemente correlati fra di loro

La correlazione fra indicatori può non essere coincidente con i legami presenti in natura fra essi Tabella 11: Vantaggi della “Pesatura uniforme”

Vantaggi del metodo Svantaggi del metodo Tutti i componenti cannolo stesso

peso A causa di una possibile

correlazione fra indicatori, i termini possono essere pesati doppiamente

3.2.6.2

3.2.6.1

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Capitolo 3: valutazione fi nale sulla convenienza delle alternative

Analisi della PCA e Analisi dei Fattori (FA)

Si è visto precedentemente che la PCA può essere utilizzata per identifi care la dimensionalità dell’insieme di indicatori e per raggrupparli. Un altro utilizzo cui la PCA si può prestare è quello di defi nire indici compositi basati sulla correlazione fra indicatori che li formano. Si verifi ca se la prima componente ottenuta raccoglie in se un quantitativo di varianza tale da essere lei stessa suffi ciente per descrivere l’insieme di indicatori: la soglia si situa generalmente è attorno all’80% della varianza totale. La PCA da un idea di una correlazione matematica tra indicatori, non è detto che questa corrisponda alla reale infl uenza che ognuno di essi ha nei confronti dell’indice composito fi nale.

L’analisi fattoriale è basata invece su un modello statistico ben preciso, la cui forma generalmente è:

dove X_i è la variabile (indicatore) con valore medio e varianza unitaria, a_i1,a_i2, a_im sono i fattori di carico (loading) relativi alla variabile X_i; F₁, F₂, F_m, sono un insieme m di fattori comuni fra loro non correlati, aventi media uguale a 0 e varianza unitaria; e_i è lo specifi co fattore legato solamente alla variabile X_i, ha media uguale a 0 e non è correlato a nessun altro e_p. Il primo passo della FA è attribuire un peso a_i ad ogni indicatore, spesso si utilizza la PCA considerando m ogni componente principale.

Tabella 13: Pregi e difetti della PCA e della FA

Vantaggi del metodo Svantaggi del metodo Non implica nessuna manipolazione

dei pesi La correlazione può non indicare

il vero peso degli indicatori nel fenomeno che lʼindicatore composito intende illustrare.

3.2.6.3

La correlazione può sempre essere presente fra indicatori che rappresentano lo stesso fenomeno, che può indurre il bisogno di defi nire una soglia sotto alla quale ambedue gli indicatori pesano entrambi.

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MCA (Multiple Correspondence Analysis)

Questo metodologia implica una analisi di corrispondenza applicata ad una matrice binaria (formata da valori 0/1) creata dagli indicatori di tipo categorico, chiamata altresì matrice degli indicatori. La metodologia MCA si può quindi applicare solo ad indicatori di tipo nomi nale, che si presuppone raccolgano i dati in forma di categorie.

Analisi della regressione

Questa metodologia si basa sul calcolo della retta di regressione di un set di indicatori per stimare il peso in funzione degli stessi e dell’indice composito

I pesi sono ottenuti minimizzando il termine dovuto all’errore (mediante a tecnica dei minimi quadrati):

Data Envelopement Analysis (DEA)

Questa metodologia usa tecniche di calcolo lineare per ricavare una

“performance frontier” e confronta gli indicatori con questo parametro. Il peso relativo degli indicatori scaturisce da questo confronto; la procedura è generalmente basata su da passi: il primo, come accennato, relativo alla creazione del benchmark, cioè la frontiera, il secondo relativo al confronto degli indicatori basandosi su questa frontiera. La costruzione del benchmark è basata su delle assunzioni, che sono:

- che i pesi siano sempre positivi

- non discriminazione delle alternative che ottengono migliori risultati in tutti gli indicatori

- possibilità di una combinazione lineare dei migliori risultati (miglior frontiera)

3.2.6.5 3.2.6.6 3.2.6.4

Il metodo può essere utilizzato solo con fattori correlati

Sensibile alle modifi cazioni dei dati dopo il calcolo

Molto sensibile alla presenza di outliers

Pochi dati o dati poco signifi cativi possono alterare il risultato fi nale in maniera rilevante Minimizza il contributo di ogni singolo indicatore

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Capitolo 3: valutazione fi nale sulla convenienza delle alternative

la distanza di ogni alternativa misurata rispetto al benchmark è determinata dalla posizione dell’alternativa e dalla posizione di essa rispetto alla frontiera.

Nella fi gura 7 due indica- tori sono rappresentati dai due assi e quattro alternative sono ordinate in base al punteggio ottenuto dai due indicatori. La linea che connette i tre punti 1,2, e 3 (rappresentanti le alternative 1,2 e 3) costituisce la performance frontier (la frontiera) ed è il benchmark per la 4° alternativa, indicata dal numero 4, che giace dietro la linea di frontiera. Le tre alternative iniziali sono considerate le migliori, la quarta la peggiore. La performance viene quindi indicata come la distanza AB fratto la distanza A^IB^I, ovvero la distanza dall’origine del punto osservato fratto la distanza di questo dalla frontiera. Le 3 alternative ottengono quinii un punteggio di 1, la quarta inferiore all’unità. Il peso di ogni indicatore dipenderà quindi dalla distanza di questo dalla frontiera. Questa metodologia, applicata agli indicatori, prende il nome di approcci con il benefi cio del dubbio.

Tabella 14: Pregi e difetti della DEA

Vantaggi del metodo Svantaggi del metodo Rispetto allʼapproccio basato sulla

retta di regressione nessuna forma è imposta ad i dati

Non devono essere imposte pesature provenienti al di fuori del metodo stesso: la soluzione ottimale di pesi è unica e determinata dal modello

Lʼindicatore è sensibile a particolari politiche di miglioramento, che possono essere insite nella linea di frontiera

Diff erenti normalizzazioni degli indicatori danno diff erenti risultati fi nali riguardo la pesatura Il benchmark non è basato su con-

cetti teorici ma è una combinazione lineare delle migliori performance osservate

Lʼindice illustra semplicemente lo status-quo, non da idea se questo sia positivo o negativo Lʼindice può stimolare il raggiungi-

mento di particolari obiettivi, invece di identifi care il peggiore (o migliore) risultato

La pesatura endogena ha il ri- schio di sostituire lʼopinione degli esperti con la manipolazione dei coeffi cienti di pesatura Figura 7

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UCM (Unobserved Components Models)

La metodologia in questione basa la pesatura sul confronto degli indicatori in base al metodo del Maximum likehood, in altre parole si presuppone che l’indicatore dipenda da una variabile non osservata più un termine dovuto all’errore

Dove x(j,k) rappresentano i valori osservati (scalati in valori compresi tra 0 e 1), j indica l’alternativa, k l’indicatore, α(k) e β(k) sono parametri sco- nosciuti, p(j) il fenomeno sconosciuto da misurare, le cui caratteristiche si assumono pari a media uguale a 0 e varianza unitaria, ε(j,k) è il termine accennato prima relativo all’errore. Per stimare la media della distribuzione del componente non osservato si usa la seguente formula:

mentre il peso dell’indicatore è ottenuto da:

Il peso ω(k) è funzione decrescente della varianza dell’indicatore k e funzione crescente della varianza degli altri indicatori. In questa maniera si presuppone che maggiore è la varianza dell’indicatore , minore sarà il suo peso nell’indice.

3.2.6.7

I valori dellʼindicatore composi- to dipende dal benchmark, non è quindi possibile, ad esempio, fare comparazione anno per annoLe alternative migliori non vedo- no il loro progresso rifl esso nel valore dellʼindice composito La correlazione fra due indicatori non è presa in considerazione.

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Capitolo 3: valutazione fi nale sulla convenienza delle alternative

Distanza dall’obiettivo

Un sistema interessante per l’attribuzione dei pesi è quello di identifi care l’obiettivo da raggiungere e verifi care la distanza del valore misurato dall’indicatore da questo, in maniera che si possa immediatamente visua- lizzare l’urgenza di un intervento o la gravità della situazione. La pesatura si effettua dividendo il valore dell’indicatore per il valore dell’obiettivo, entrambi riportati nella stessa unità di misura. I parametri così ottenuti possono essere mediati e dare immediatamente un indice composito. Gli obiettivi possono essere livelli di sostenibilità, quantitativi massimi ammissibili per un dato inquinante, la performance della migliore alternativa.

Opinione pubblica

Si può ricorrere all’opinione pubblica per valutare il peso di taluni indicatori, chiedendo direttamente quanto considerino importante un indicatore rispetto ad un altro oppure chiedendo di attribuire un punteggio variabile in base all’importanza dell’indicatore decurtandolo da un massimo stabili- to a priori (ad esempio 100 punti), in maniera simile al metodo seguente.

Tabella 16: Pregi e difetti del metodo “Distanza dallʼobiettivo”

Vantaggi del metodo Svantaggi del metodo Lʼindicatore è sensibile a parti-

colari politiche di miglioramento, che possono essere insite nella linea di frontiera

Può essere non applicabile per i confronti regionali o provinciali, in quanto gli obiettivi possono essere espressi in base a criteri locali Lʼutilizzo di obiettivi politici con-

vincono chi decide le politiche del buono stato del metodo di pesatura, almeno fi no a quando i decisori hanno defi nito essi stessi gli obiettivi

3.2.6.9 3.2.6.8

Tabella 15: Pregi e difetti dellʼUCM

Non implica nessuna manipolazione dei pesi

La presenza di pochi dati infi cia no- tevolmente la robustezza e lʼaffi da- bilità del metodo

Sussistono problemi nel caso si abbiano indicatori che presentano una notevole correlazione

Il metodo risente degli outliers, visto che più un indicatore ha un ele- vata varianza, meno conta in termini di peso

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Allocazione di un punteggio

In questo caso si parla di una valutazione operata da esperti del settore, che si trovano a dover dividere N punti tra un insieme di indicatori, dando più punti a quelli che reputano più importanti. E’ importante chiedere parere ad un insieme eterogeneo e possibilmente preparato al meglio di esperti, in maniera da poter aver un indice basato su una media ampia di opinioni. Possono essere individuate tre fasi in questa metodologia:

- selezione degli esperti

- allocazione del budget agli indicatori - calcolo del peso

Processo di gerarchizzazione analitica (AHP)

La metodologia analizzata è stata elaborata da Saaty negli anni ‘70 ed è molto utilizzata sia in campo ambientale sia, in generale, nel campo della scelta fra molteplici alternative di qualsivoglia natura. Mediante essa si ordinano in maniera gerarchica i diversi indicatori e si analizzano sia gli aspetti qualitativi che quantitativi, che vengono compresi quindi dentro il processo valutativo. La gerarchizzazione degli indicatori avviene mediante un confronto coppia a coppia fra essi. Probabilmente Forman et al.[10]ha dato, nel 1983, la migliore defi nizione di questa metodologia:

“L’AHP è un sistema compensatorio per la scelta di differenti ipotesi:

compensatorio perché le alternative che sono particolarmente vincenti nei confronti di uno o due obiettivi sono compensate dalla loro performance nei confronti degli altri obiettivi. AHP permette all’esperienza, all’intui- zione ed alla logica di confl uire assieme nella valutazione e di ordinare in maniera gerarchica i diversi indicatori. In particolare l’AHP è un sistema di scelta che permette a chi decide di “derivare” il peso di un indicatore e non di attribuirlo arbitrariamente”.

Tabella 17: Pregi e difetti del metodo “Allocazione di un punteggio”

La pesatura in questione è applicabile solamente ad una area cir- coscritta: interventi locali possono essere valutati solamente cono- scendo le strategie locali

Attribuire punteggi a molti indicatori può richiedere un certo impegno a livello cognitivo, aumentando la possibilità di compiere errori

La pesatura può non ricalcare lʼimportanza di ogni indicatore ma ad esempio lʼurgenza di un intervento migliorativo.

3.2.6.11

3.2.6.10

(18)

Capitolo 3: valutazione finale sulla convenienza delle alternative

Come accennato è fondamentale all’interno della metodologia il confronto coppia a coppia fra attributi (in questo caso indicatori). Il confronto viene eseguito ponendosi per prima cosa la domanda “quale dei due indicatori è più importante?” seguita dalla seconda domanda “di quanto?”.

Il grado di preferenza è espresso mediante una scala semantica da 1 a 9, che garantisce lo stesso ordine di grandezza nella pesatura. Una preferenza di uno identifica una sostanziale uguaglianza di peso fra due indicatori, una preferenza di 9 identifica invece un indicatore che è 9 volte più volte più importante di un altro. In questa maniera il confronto viene fatto fra paia di indicatori e la percezione è in grado di operare una distinzione fra essi.

Vediamo ora come si procede per analizzare un set di indicatori che formano un indice[11].

Matrice di comparazione coppia a coppia

Per prima cosa definiamo una matrice di comparazione coppia a coppia: essa è una matrice n*n (dove n sono gli oggetti, od in questo caso gli indicatori) composta da elementi a_ij, indicanti il valore (mediante la scala semantica vista sopra) dell’indicatore i relativamente all’indicatore j:

O₁ … O_j … O_n

O₁ a₁₁ . a_1j . a_1n

… . . . . .

… . a_ii a_ij a_ik .

O_j a_j1 a_ji a_jj a_jk a_jn

… . . . . .

O_n a_n1 . a_nj . a_nn

Si definisce una matrice di comparazione coppia a coppia consistente se tutte le i, j, k ∈ {1, …, n} soddisfano le seguenti condizioni:

• a_ii=1;

• a_ij=1/ a_ji

• a_ik= a_ij ∙ a_jk

Una matrice consistente n*n di comparazione coppia a coppia può essere costruita solo da n – 1 confronti:

O_j

O₁ a_1j

. .

O_n a_nj

(19)

a₁₁ = 1 a_ij= 1/a_ji

a_ik = (a_ij / a_jj) ⋅ a_ik

O₁ … O_j … O_n

O₁ a₁₁ . a_1j . a_1n

… . . . . .

… . a_ii a_ij a_ik .

O_j a_j1 a_ji a_jj a_jk a_jn

… . . . . .

O_n a_n1 . a_nj . a_nn

Notare che a_ik = (a_ij / a_jj) ⋅ a_ik = a_ij ⋅ a_ik Peso degli indicatori

Dopo aver definito cosa è una matrice di confronto coppia a coppia si può passare al calcolo del peso degli indicatori.

Consideriamo A una matrice consistente di comparazione coppia a coppia, avente la seguente forma:

O₁ O₂ … O_n

O₁ w₁/w₁ w₁/w₂ . w₁/w_n

O₂ w₂/w₁ . . .

… . . . .

O_n w_n/w₁ w_n/w₂ . w_n/w_n

Dove w_i > 0, i = 1, …, n, denotano il peso dell’obiettivo i.

Il vettore peso w = [ w₁, w₂, …, w_n] per gli n indicatori è calcolato da A tro- vando la soluzione del seguente insieme di n equazioni con n incognite:

A⋅w^T = n⋅w^T

Per convenienza, i pesi sono scelti i modo che la loro somma sia uguale a 1, così da dare un’unica soluzione.

Quindi, se moltiplichiamo A⋅w^T si avrà:

(w₁/w₁) ⋅w₁ + (w₁/w₂)⋅w₂ + … + (w₁/w_n)⋅w_n

. .

A⋅w^T = . .

. .

(w_n/w₁) ⋅w₁ + … + … + (w_n/w_n)⋅w_n

(20)

Capitolo 3: valutazione finale sulla convenienza delle alternative

n⋅w₁ w₁

n⋅w₂ w₂

= . = n ⋅ . = n⋅w^T

. .

n⋅w_n w_n

Quanto sopra si riferisce ad una matrice che non soffra di dati che presentano una inconsistenza. Con questo termine si intende l’errore che può essere introdotto dall’uomo nel caso di una valutazione: per portare un esempio, un errore basato sulle seguenti affermazioni “A è molto più importante di B”, “B è leggermente più importante di C”, “C è leggermente più importante di A”. Ciò ovviamente influisce sulla credibilità del risultato finale. L’inconsistenza è parte integrante della natura umana e di conseguenza sembra lecito che uno strumento che aiuti a valutare le decisioni da intraprendere ne tolleri un minimo quantitativo: ciò si reputa accet- tabile, in quanto è possibile quantificare numericamente l’inconsistenza e verificare la sua esiguità, stabilità da un determinata soglia, anch’essa numerica. Questa soglia verrà ripresa in seguito ed entrerà a far parte della costruzione dell’indice di consistenza. L’AHP quindi sopporta un minimo grado di inconsistenza grazie al suo grado di ridondanza, dovuta al fatto che si eseguono n(n-1)/2 confronti. Questa aiuta a mediare l’inconsistenza, analogamente alla stima di un valore mediante la media eseguita su più campionamenti. Di conseguenza, tutto ciò comporta un insieme di pesi meno influenzato da errori di giudizio. Inoltre, la ridondanza consente di quantificare tali errori di giudizio fornendo un mezzo per il calcolo del grado di inconsistenza, l’indice di consistenza sopra accennato.

Passiamo ora ad analizzare una matrice n*n che abbia un minimo ac- cettabile di inconsistenza, ovvero una matrice che sia il risultato di un pro- cedimento di confronto normale. Si supponga sempre di avere un insieme n di indicatori, e che A sia la matrice appena vista. Il vettore dei pesi w non rispetta quindi più (per via dell’inconsistenza) la forma:

A⋅w^T = n⋅w^T

Possiamo comunque arrivare ad una approssimazione del vettore peso, mediante i seguenti passi:

- si normalizza ogni colonna j nella matrice A in maniera che:

- denominare la matrice risultante A¹

(21)

- per ogni riga di A¹, calcolare il valore medio dato da:

- w_i è il peso del singolo indicatore i nel vettore dei pesi L’approssimazione quindi del vettore peso risulta

O₁ O₂ … O_n

O₁ w₁/w₁ w₁/w₂ . w₁/w_n O₂ w₂/w₁ . . .

… . . . .

… . . . . O_n w_n/w₁ w_n/w₂ . w_n/w_n

Colonne normalizzate (→ A’)

O₁ O₂ … O_n

O₁ w₁ w₁ . w₁

O₂ w₂ . . .

… . . . .

O_n w_n w_n . w_n

1 1 … 1

Ovviamente, rimane come prima detto che

Esempio

Per chiarire quanto detto finora, si trova opportuno rendere il processo fin qui descritto in forma di esempio.

Supponiamo di avere 4 indicatori: L, P, R, S. La matrice di confronto che si ottiene è:

L P R S

L 1 1/2 1/3 1/5

P 2 1 1/3 1/4

R 3 3 1 1/2

S 5 4 2 1

11 8.5 3.67 1.95

A questo punto si devono normalizzare le colonne:

(22)

Capitolo 3: valutazione fi nale sulla convenienza delle alternative

L P R S

L 0.091 0.059 0.091 0.103 0.086

P 0.182 0.118 0.091 0.128 0.130

R 0.273 0.353 0.273 0.256 0.288

S 0.455 0.471 0.545 0.513 0.496

1 1 1 1 1

Il vettore dei pesi per gli indicatori è pari a w = [0.086(wL), 0.130(wP), 0.288(wR), 0.496(wS)]

Indice di consistenza

L’indice di consistenza cui si faceva precedentemente riferimento permette di verifi care la validità del processo di costruzione del vettore dei pesi w e di stabilire il grado di errore commesso nel processo di giudizio.

Partendo sempre da una matrice A di confronto fra n*n indicatori, il, CI (Consistence index) si calcola mediante i seguenti passi:

- Si calcola il prodotto A*w^T - Si calcola

- Si calcola l’indice di consistenza mediante la formula:

Se CI = 0 allora la matrice A è consistente Se CI/RI_n ≤ 0.10 A è suffi cientemente consistente Se CI/RI_n > 0.10 A è inconsistente

In alcuni studi è stato tollerato un CI di 0.20, ma Saaty comunque affer- ma che 0.10 è il limite di accettabilità, oltre al quale è sicura la possibilità di compiere errori di giudizio o di calcolo.

Tabella 18: Pregi e difetti del metodo AHP

Vantaggi del metodo Svantaggi del metodo Si eff ettua un controllo sulla con-

sistenza dei dati attraverso il calcolo degli eigenvalues

Richiede tempi lunghi per la com- putazione

Si considerano sia aspetti quanti-

tativi che qualitativi La consistenza nel giudizio fi nale può essere intaccata

Si riducono aspetti soggettivistici nella valutazione

Il numero di confronti a coppie aumenta al quadrato con lʼau- mentare il numero di indicatori

(23)

Analisi congiunta

Questa metodologia esegue una decomposizione basata su una analisi multivariata. Mentre il metodo precedente si basava sulla misurazione del valore di una alternativa sommando il valore di singole parti, il metodo in questione disaggrega le preferenze. Il primo passo richiesto è di proferire una preferenza (passo compiuto da persone, od esperti o politici) fra un set ampio di scelte, in particolare si deve scegliere un set di indicatori che si reputa opportuno per misurare il fenomeno. Ad ogni persona si presenta un set ampio di ipotesi fra cui scegliere. I livelli degli indicatori possono variare sia nel set di risposte presentate allo stesso individuo, sia fra individui. Una funzione che determina la preferenza accordata viene calcolata attraverso la stima dei livelli di indicatori. Con questa funzione la probabilità di un preferenza può essere stimata come funzione dei livelli di indicatori.

Pesatura in relazione ai dati mancanti

Con questa metodologia si opera una pesatura differenziata a seconda della presenza di valori mancanti negli indicatori: quelli che hanno maggior presenza di questi valori, pesano di meno. Nell’indicatore composito quindi peseranno di più gli indicatori che hanno tutti i dati o quasi, meno quelli che avranno meno dati e quindi che forniscono un dato meno cer- to. Si deve prestare attenzione al fatto che regioni o provincie che hanno raccolto dati da più tempo in questo caso si troverebbero avvantaggiate, lo stesso vale per le aziende che da più tempo hanno campionato valori di pertinenza degli indicatori.

Tabella 19: Pregi e difetti del metodo “Analisi congiunta”

Vantaggi del metodo Svantaggi del metodo Considera il contesto socio poli-

tico Si deve stabilire la funzione di

pesatura

Può dipendere dal campione scel- to degli intervistati e da come le domande sono frammentate Richiede un ampio numero di intervistati a cui, per ognuno di essere, può essere posto un ampio numero di domande

Il processo di valutazione è complesso

3.2.6.13 3.2.6.12

Tabella 20: Pregi e difetti del metodo di “Pesatura in relazione ai dati mancanti”

Vantaggi del metodo Svantaggi del metodo Migliora lʼaffi dabilità di un indi-

catore composito dando maggior peso agli indicatori che presentano set di dati più completi

Chi ha raccolto dati per più tempo risulta avvantaggiato

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Capitolo 3: valutazione finale sulla convenienza delle alternative

Aggregazione dei dati

L’aggregazione dei dati è un processo complesso che riguarda anche diversi passaggi studiati precedentemente (come ad esempio la normalizzazione). Il centro JRC non ha ancora presentato una guida in questo settore, comunque esistono su questo sito dei docu- menti interessanti che possono introdurre l’argomento [14].

Si consiglia di prendere visione del capitolo 5 del presente lavoro, dove si potrà verificare come si sono aggregati i dati finali nel caso specifico esaminato. In questo caso vi è stata un’aggregazione ultima basata su una somma algebrica, che ha dato come risultato l’indice composito desiderato; l’aggregazione in questo comunque non si è limitata solo questo processo ma è stato un processo logico iniziato con la normalizzazione dei dati iniziali degli indicatori.

3.2.6.14

(25)

(26)