UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA

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UNIVERSIT ` A di ROMA “TOR VERGATA”

Laurea Magistrale in Matematica Pura e Applicata

CP - Complementi di Probabilit`a, P.Baldi Anno 2019-20

Tutorato 3, 25 ottobre 2019

1 Siano X , Y v.a. d-dimensionali indipendenti di legge µ ^e ν rispettivamente.

Supponiamo che µ abbia densit`a f rispetto alla misura di Lebesgue di R^d. Non si fa nessuna ipotesi sulla leggeν di Y , che potrebbe anche essere discreta.

Mostrare che X+Y ha densit`a rispetto alla misura di Lebesgue e determinar- la.

2 a) Sapreste riprodurre il ragionamento che abbiamo fatto per ottenere la den- sità rispetto alla misura di Lebesgue della somma di due v.a. indipendenti e otte- nere che se X e Y sono v.a. reali indipendenti e di densità f e g rispettivamente rispetto alla misura di Lebesgue, allora ^X_Y ha densità

h(x) = Z _+∞

−∞ g(y) f (xy)|y| dy?

Notare che, poiché supponiamo che Y abbia densità rispetto alla misura di Le- besgue, l’evento {Y = 0} è trascurabile e quindi _Y^X è ben definita q.c.

b1) Supponiamo per di pi`u che X ∼Gamma(α^,λ) e Y ∼Gamma(β^,λ^{). Cal-} colare la densit`a di ^X_Y.

b2) Il risultato di b1) non dipende daλ. Lo si poteva prevedere prima ancora di fare il calcolo?

3 Consideriamo una v.a. X di legge di Laplace di parametroλ, cio`e di densit`a f(x) = λ

2 e^−λ^|x|

rispetto alla misura di Lebesgue.

a) Calcolare la trasformata di Laplace e la funzione caratteristica di X .

b) Siano Y e W v.a. indipendenti, entrambe di legge esponenziale di pa- rametro λ. Calcolare la trasformata di Laplace di Y − W Qual `e la legge di Y −W ?

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c) Calcolare media e varianza della v.a. di Laplace X .

4 Una probabilit`aµ ^suR si dice infinitamente divisibile se, per ogni n, esistono n v.a. indipendenti X₁, . . . , Xn aventi la stessa legge e tali che X₁+ · · · + Xn ∼ µ. O, in maniera equivalente se, per ogni n, esiste una probabilit`a µn tale che µn∗ · · · ∗µn=µ (n volte). Dire se sono infinitamente divisibili le seguenti leggi.

a1) µ = N(m,σ²).

a2) µ di Poisson di parametroλ^. a3) µ esponenziale di parametroλ. a4) µ di Laplace di parametroλ. a5) µ ^{di Cauchy.}

b) Mostrare che la funzione

φ(θ) = 1 (1 +θ²)^1/n

`e una funzione caratteristica.

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Soluzioni

?? Si tratta di una ripetizione del calcolo che porta alla determinazione della densit`a di un prodotto di convoluzione. La legge congiunta di X + Y `e µ⊗ν^, quindi, per ogni funzione φ ^:R^d → R misurabile limitata si ha

E[φ(X +Y )] = Z

R^d×R^dφ(x + y) dµ(x) dν(y) = Z

R^d

dν(y) Z

R^dφ(x + y) f (x) dx =

= Z

R^d

dν(y) Z

R^dφ(z) f (z − y) dz = Z

R^dφ(z) dz Z

R^d

f(z − y) dν(y)

| {z }

:=g(z)

che significa appunto che X+Y ha densit`a g rispetto alla misura di Lebesgue dz.

?? a) Per ogni funzioneφ ^:R → R boreliana limitata si ha E[φ(_Y^X)] =

Z _+∞

−∞

Z _+∞

−∞ φ(^x_y) f (x)g(y) dx dy =

= Z _+∞

−∞ g(y) dy Z _+∞

−∞ φ(^x_y) f (x) dx .

Facciamo il cambio di variabile z= ^x_y nell’integrale interno, dunque x= zy, dx =

|y| dz. Otteniamo

· · · = Z _+∞

−∞ g(y) dy Z _+∞

−∞ φ(z) f (zy)|y| dz = Z _+∞

−∞ φ^{(z) dz}^Z ^+∞

−∞ g(y) f (zy)|y| dy

| {z }

:=h(z)

che afferma appunto che h è la densità di _Y^X. b) Grazie ad a) la densità richiesta è data da

h(x) = λ^α+β Γ(α)Γ(β)

Z _+∞

0

y^α−1(xy)^β⁻¹e^−λ^(y+xy)y dy=

= λ^α+β

Γ(α)Γ(β)x^β⁻¹ Z _+∞

0

y^α+β⁻¹e^−λ^(1+x)yy dy=

= Γ(α⁺β⁾ Γ(α)Γ(β)

x^β⁻¹ (x + 1)^α+β ·

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b2) Se U ∼Gamma(α, 1), allora Û_λ ha densità Gamma(α,_λ¹) (esercizio). Se ora consideriamo due v.a. indipendenti U , V entrambe di legge Gamma(α, 1), le v.a. Û_λ, ^V_λ hanno la stessa legge congiunta che le X , Y dell’esercizio, dunque il loro quoziente ha la stessa legge di ^X_Y. Ma il loro quoziente è ^X_Y e chiaramente non dipende daλ^.

?? a) La trasformata di Laplace di una legge di Laplace si ottiene calcolando H(z) = λ

2 Z _+∞

−∞ e^zte^−λ^|t|dt .

Si vede subito che l’integrale non converge se ℜz ≥λ ^oppure ℜz≤ −λ^{. Nel} primo caso infatti l’integrando non tende a 0 a+∞, nel secondo non tende a zero a −∞. Calcoliamo H per valori t reali. Per−λ < t <λ si ha, prima eliminando il valore assoluto e poi con un cambio di variabile,

H(t) = E(e^tX) = λ 2

Z _+∞

0

e^txe^−λ^xdx+ λ 2

Z 0

−∞e^txe^λ^xdx=

= λ 2

Z _+∞

0

e^−(λ^−tz)xdx+λ 2

Z ₀

−∞e^(λ^+t)xdx=

= λ 2

1

λ − t + 1 λ + t

= λ² λ²− t² ·

Poich´e H `e una funzione olomorfa, abbiamo, con l’argomento del prolungamen- to analitico,

H(z) = λ²

λ²− z², −λ ^<ℜz<λ ^. La funzione caratteristica `e naturalmente

φ⁽θ^{) = H(i}θ^{) =} λ² λ²+θ² ^· b) La trasformata di Laplace di Y e W `e, per t ∈ R,

H₂(t) =λ ^Z ^+∞

0

e^txe^−λ^xdx=λ^Z ^+∞

0

e^−(λ^−t)xdx.

L’integrale converge per t <λ. Dunque le ascisse di convergenza sono−∞e λ^. Per la regola del prolungamento analitico, la trasformata di Laplace `e

H2(z) = λ λ ^{− z}

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La funzione caratteristica `e, naturalmente, φ2(t) = H(it) = λ

λ − it · La funzione caratteristica di Y −W `e

φ3(t) =φ2(t)φ2(t) = λ λ − it

λ

λ + it = λ² λ²+ t²

Si trova cio`e la stessa funzione caratteristica di una legge di Laplace di parametro λ^{. Dunque Y} −W ha legge di Laplace di parametroλ^.

c) Media e varianza si possono calcolare sia calcolando gli integrali rispetto alla densit`a, sia facendo le derivate all’origine della funzione caratteristica o della trasformata di Laplace. Usando quest’ultima, ad esempio, si trova

H⁰(t) = 2λ²^t (λ²− t²)²

H⁰⁰(t) = 2(λ²^{− t}²⁾²λ²^{+ 8(}λ²^{− t}²⁾λ²^t² (λ²− t²)⁴ · Ponendo t = 0 si trova

E(X) = H⁰(0) = 0, Var(X) = H⁰⁰(0) = _λ²2 ·

In questo caso, tutto sommato, i momenti si calcolano in maniera più sempli- ce con gli integrali. O meglio ancora, grazie a b), E(X) = E(Y ) − E(W ) = 0 (comunque che la media sia uguale a 0 era ovvio dato che la densità f è una funzione pari). Inoltre, ricordando la varianza delle leggi esponenziali,

Var(X) = Var(Y ) + Var(−W ) = 1 λ² ^·

?? a) S`ı. Basta scegliereµn= N(^m_n,^σ_n²).

b) S`ı. Basta scegliere µn=Poiss(^λ_n).

c) S`ı. Basta scegliere µn=Gamma(¹_n,λ^).

d) S`ı. Se X₁, . . . , Xne Y₁, . . . ,Yn sono v.a. indipendenti e Gamma(¹_n,λ), allora, grazie all’Esercizio ?? b),

(X1+ · · · + Xn)

| {z }

∼esp. λ

− (Y1+ · · · +Yn)

| {z }

∼esp. λ

∼ µ