UNIVERSIT ` A di ROMA “TOR VERGATA”
Laurea Magistrale in Matematica Pura e Applicata
CP - Complementi di Probabilit`a, P.Baldi Anno 2019-20
Tutorato 3, 25 ottobre 2019
1 Siano X , Y v.a. d-dimensionali indipendenti di legge µ e ν rispettivamente.
Supponiamo che µ abbia densit`a f rispetto alla misura di Lebesgue di Rd. Non si fa nessuna ipotesi sulla leggeν di Y , che potrebbe anche essere discreta.
Mostrare che X+Y ha densit`a rispetto alla misura di Lebesgue e determinar- la.
2 a) Sapreste riprodurre il ragionamento che abbiamo fatto per ottenere la den- sit`a rispetto alla misura di Lebesgue della somma di due v.a. indipendenti e otte- nere che se X e Y sono v.a. reali indipendenti e di densit`a f e g rispettivamente rispetto alla misura di Lebesgue, allora XY ha densit`a
h(x) = Z +∞
−∞ g(y) f (xy)|y| dy?
Notare che, poich´e supponiamo che Y abbia densit`a rispetto alla misura di Le- besgue, l’evento {Y = 0} `e trascurabile e quindi YX `e ben definita q.c.
b1) Supponiamo per di pi`u che X ∼Gamma(α,λ) e Y ∼Gamma(β,λ). Cal- colare la densit`a di XY.
b2) Il risultato di b1) non dipende daλ. Lo si poteva prevedere prima ancora di fare il calcolo?
3 Consideriamo una v.a. X di legge di Laplace di parametroλ, cio`e di densit`a f(x) = λ
2 e−λ|x|
rispetto alla misura di Lebesgue.
a) Calcolare la trasformata di Laplace e la funzione caratteristica di X .
b) Siano Y e W v.a. indipendenti, entrambe di legge esponenziale di pa- rametro λ. Calcolare la trasformata di Laplace di Y − W Qual `e la legge di Y −W ?
c) Calcolare media e varianza della v.a. di Laplace X .
4 Una probabilit`aµ suR si dice infinitamente divisibile se, per ogni n, esistono n v.a. indipendenti X1, . . . , Xn aventi la stessa legge e tali che X1+ · · · + Xn ∼ µ. O, in maniera equivalente se, per ogni n, esiste una probabilit`a µn tale che µn∗ · · · ∗µn=µ (n volte). Dire se sono infinitamente divisibili le seguenti leggi.
a1) µ = N(m,σ2).
a2) µ di Poisson di parametroλ. a3) µ esponenziale di parametroλ. a4) µ di Laplace di parametroλ. a5) µ di Cauchy.
b) Mostrare che la funzione
φ(θ) = 1 (1 +θ2)1/n
`e una funzione caratteristica.
Soluzioni
?? Si tratta di una ripetizione del calcolo che porta alla determinazione della densit`a di un prodotto di convoluzione. La legge congiunta di X + Y `e µ⊗ν, quindi, per ogni funzione φ :Rd → R misurabile limitata si ha
E[φ(X +Y )] = Z
Rd×Rdφ(x + y) dµ(x) dν(y) = Z
Rd
dν(y) Z
Rdφ(x + y) f (x) dx =
= Z
Rd
dν(y) Z
Rdφ(z) f (z − y) dz = Z
Rdφ(z) dz Z
Rd
f(z − y) dν(y)
| {z }
:=g(z)
che significa appunto che X+Y ha densit`a g rispetto alla misura di Lebesgue dz.
?? a) Per ogni funzioneφ :R → R boreliana limitata si ha E[φ(YX)] =
Z +∞
−∞
Z +∞
−∞ φ(xy) f (x)g(y) dx dy =
= Z +∞
−∞ g(y) dy Z +∞
−∞ φ(xy) f (x) dx .
Facciamo il cambio di variabile z= xy nell’integrale interno, dunque x= zy, dx =
|y| dz. Otteniamo
· · · = Z +∞
−∞ g(y) dy Z +∞
−∞ φ(z) f (zy)|y| dz = Z +∞
−∞ φ(z) dzZ +∞
−∞ g(y) f (zy)|y| dy
| {z }
:=h(z)
che afferma appunto che h `e la densit`a di YX. b) Grazie ad a) la densit`a richiesta `e data da
h(x) = λα+β Γ(α)Γ(β)
Z +∞
0
yα−1(xy)β−1e−λ(y+xy)y dy=
= λα+β
Γ(α)Γ(β)xβ−1 Z +∞
0
yα+β−1e−λ(1+x)yy dy=
= Γ(α+β) Γ(α)Γ(β)
xβ−1 (x + 1)α+β ·
b2) Se U ∼Gamma(α, 1), allora Uλ ha densit`a Gamma(α,λ1) (esercizio). Se ora consideriamo due v.a. indipendenti U , V entrambe di legge Gamma(α, 1), le v.a. Uλ, Vλ hanno la stessa legge congiunta che le X , Y dell’esercizio, dunque il loro quoziente ha la stessa legge di XY. Ma il loro quoziente `e XY e chiaramente non dipende daλ.
?? a) La trasformata di Laplace di una legge di Laplace si ottiene calcolando H(z) = λ
2 Z +∞
−∞ ezte−λ|t|dt .
Si vede subito che l’integrale non converge se ℜz ≥λ oppure ℜz≤ −λ. Nel primo caso infatti l’integrando non tende a 0 a+∞, nel secondo non tende a zero a −∞. Calcoliamo H per valori t reali. Per−λ < t <λ si ha, prima eliminando il valore assoluto e poi con un cambio di variabile,
H(t) = E(etX) = λ 2
Z +∞
0
etxe−λxdx+ λ 2
Z 0
−∞etxeλxdx=
= λ 2
Z +∞
0
e−(λ−tz)xdx+λ 2
Z 0
−∞e(λ+t)xdx=
= λ 2
1
λ − t + 1 λ + t
= λ2 λ2− t2 ·
Poich´e H `e una funzione olomorfa, abbiamo, con l’argomento del prolungamen- to analitico,
H(z) = λ2
λ2− z2, −λ <ℜz<λ . La funzione caratteristica `e naturalmente
φ(θ) = H(iθ) = λ2 λ2+θ2 · b) La trasformata di Laplace di Y e W `e, per t ∈ R,
H2(t) =λ Z +∞
0
etxe−λxdx=λZ +∞
0
e−(λ−t)xdx.
L’integrale converge per t <λ. Dunque le ascisse di convergenza sono−∞e λ. Per la regola del prolungamento analitico, la trasformata di Laplace `e
H2(z) = λ λ − z
La funzione caratteristica `e, naturalmente, φ2(t) = H(it) = λ
λ − it · La funzione caratteristica di Y −W `e
φ3(t) =φ2(t)φ2(t) = λ λ − it
λ
λ + it = λ2 λ2+ t2
Si trova cio`e la stessa funzione caratteristica di una legge di Laplace di parametro λ. Dunque Y −W ha legge di Laplace di parametroλ.
c) Media e varianza si possono calcolare sia calcolando gli integrali rispetto alla densit`a, sia facendo le derivate all’origine della funzione caratteristica o della trasformata di Laplace. Usando quest’ultima, ad esempio, si trova
H0(t) = 2λ2t (λ2− t2)2
H00(t) = 2(λ2− t2)2λ2+ 8(λ2− t2)λ2t2 (λ2− t2)4 · Ponendo t = 0 si trova
E(X) = H0(0) = 0, Var(X) = H00(0) = λ22 ·
In questo caso, tutto sommato, i momenti si calcolano in maniera pi`u sempli- ce con gli integrali. O meglio ancora, grazie a b), E(X) = E(Y ) − E(W ) = 0 (comunque che la media sia uguale a 0 era ovvio dato che la densit`a f `e una funzione pari). Inoltre, ricordando la varianza delle leggi esponenziali,
Var(X) = Var(Y ) + Var(−W ) = 1 λ2 ·
?? a) S`ı. Basta scegliereµn= N(mn,σn2).
b) S`ı. Basta scegliere µn=Poiss(λn).
c) S`ı. Basta scegliere µn=Gamma(1n,λ).
d) S`ı. Se X1, . . . , Xne Y1, . . . ,Yn sono v.a. indipendenti e Gamma(1n,λ), allora, grazie all’Esercizio ?? b),
(X1+ · · · + Xn)
| {z }
∼esp. λ
− (Y1+ · · · +Yn)
| {z }
∼esp. λ
∼ µ
(Qui si usa il fatto che anche X1+ · · · + Xn e Y1+ · · · +Ynsono indipendenti).
e) Abbiamo visto a lezione che se X1, . . . , Xn sono di Cauchy indipendenti, allora
X1+ · · · + Xn
n = X1
n + · · · + Xn n
`e ancora di Cauchy.
