Lezioni n. 8-9-10 – Le polari tecniche e gli

(1)

Lezioni n. 8-9-10 – Le polari tecniche e gli

assetti caratteristici

(2)

Cap.5 Polari tecniche

Corso Meccanica del Volo – Coiro/Nicolosi

(3)

(

_{min_drag}

)

min K CL -CL CD

CD = +

Polare parabolica ad asse spostato

(4)

Lockheed C141 A

(5)

La polare parabolica

(anche ad asse non spostato)

approssima bene i regimi in cui il velivolo OPERA effettivamente ^CL

CD

polare parabolica

polare effettiva

Crociera veloce ( CL tra 0.20 e 0.30) Salita ( CL tra 0.80 e 1.1)

Crociera lenta ( CL tra 0.30 e 0.50)

0.20

1.00 – 1.20

(6)

VOLO LIVELLATO L=W

T=D

(7)

θ

−

− ε

⋅

=

⋅

=

⋅ T cos D Wsin

dt m dV a

m

θ

ε cos cos

sin cos

1

2 = ⋅ Φ+ ⋅ ⋅ Φ− ⋅

∗

= L T W

r m V F

Eq Direz parallela moto

Eq Direz perpendicolare moto

1 2

r a = V

con Accelerazione centripeta

(8)

Velivolo in traiettoria curvilinea – PIANO RADIALE

Eq forza in direzione perp. (nel piano radiale)

Φ

⋅ ε

⋅ + Φ

⋅

= L sin T sin sin F₂

( )

2 2

2 r

cos a = V⋅ θ accelerazione

( ^⋅ ^θ) ₌ _⋅ _Φ ₊ _⋅ _ε_⋅ _Φ

⋅ L sin T sin sin

r cos m V

2

(9)

Nel caso di volo livellato e non accelerato diventano L=W

T=D

(10)

Cap.5 Polari tecniche – SPINTA RICHIESTA al volo livellato

- La vel. Minima di sostentamento è la velocità di stallo

MAX

o CL

1 S

W Vso 2

= ρ Vs=Vso / _σ

CL 1 S

W 2

CL 1 S

W V 2

oσ

= ρ

Fix quota

V2

1 S W CL 2

= ρ

V2

CL ∝ 1

CL V ∝ 1

Per data quota

Ricordiamo anche che CL è legato all’angolo di attacco α

(11)

- quota

- dati velivolo , cioè peso W e sup. alare S

V2

1 S W CL 2

= ρ

(12)

RESISTENZA

L’AEREO E’ DIVERSO RISPETTO AGLI ALTRI MEZZI DI TRASPORTO AUTO o TRENO => La resistenza aumenta all’aumentare della velocità

SCD

V

D ²

2 1 ρ

=

2 L Do

D C KC

C = +

2 L 2

Do

2 V SKC

2 SC 1

2 V

D = 1 ρ + ρ

Fix quota

Essendo V2

CL ∝ 1

Il secondo termine è una funzione

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ 1₂ f V

(13)

Fix quota

CL CL

CD

Polare (CL,CD)

• Peso W

• Superficie alare S

• Quota ρ

2

2 2

2

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= S

W V

SC KS V

D _Do

ρ ρ

+

+ Ipotesi volo livellato L=W

(14)

RESISTENZA

SCD

V

D ²

2 1 ρ

=

2 L Do

D C KC

C = +

2 L 2

Do

2 V SKC

2 SC 1

2 V

D = 1 ρ + ρ

Legame tra V , CL ed α

(15)

stallo

(16)

Legame tra coeff. di portanza, angolo d’attacco e coeff. di resistenza (polare del velivolo)

(17)

RESISTENZA

SCD

V

D ²

2 1 ρ

=

2 L Do

D C KC

C = +

2 L 2

Do

2 V SKC

2 SC 1

2 V

D = 1 ρ + ρ

Ed essendo

V2

1 S W CL 2

= ρ

2 2

2

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= S

W V

SC KS V

D _Do

ρ ρ

2 2

no V

b 1 aV

T

D = = +

(18)

RESISTENZA

2 2

2

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= S

W V

SC KS V

D _Do

ρ ρ

1 2

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛ +

⋅

= S

KS W SC q

q

D _Do

In termini di pressione dinamica

(19)

(20)

(21)

L W W D

W D D

T_R = = =

D L

T_R W

= /

D L

C C SC

V

SC V

D

L = =

2 2

2 1 2 1

ρ ρ

0 2 4 6 8 10 12 14 16

0 500 1000 1500

L/D

(22)

Cap.5 Polari tecniche – SPINTA RICHIESTA al volo livellato Approccio analitico

(

Do L²

)

D qS C KC

qSC

D = = +

SCL

V ²

L 2

qSC 1 W

L = = = ρ

S V C_L 2W₂

= ρ

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

=

2

2 4

2 1

S V K W

C S V

D _Do

ρ ρ

2 2

2

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= S

W V

SC KS V

D _Do

ρ ρ

(23)

2 2

2

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= S

W V

SC KS V

D _Do

ρ ρ

2 2

2

no V

1 Re A

1 S

W V 2

2 f T 1

D = = ρ + ρ π

2 2

no V

b 1 aV

T

D = = +

(24)

2 2

no V

b 1 aV

T

D = = +

Minima D se : d(D)dV=0

1 0 2

2 − ₃ =

bV

aV ² 1₂

bV

aV = Res. Parassita=Res. Indotta

min

max D

E = W ²

L

Do K C

C = ⋅

CDo e

K AR

CL_E = CDo = π⋅ ⋅ ⋅

CDo 2

KCL CDo

CD_E = + _E² =

CDo e AR 4 CDo

2

CDo e

AR CD

E CL E

E E E

MAX

⋅

= π

⋅

= π

=

LE

E S C

V 2 W 1

= ρ

(25)

CL

CD

E

(26)

MAX min

no_

min E

T W

D = =

= Vσ^o )

z ( V

D=Tn

V

z

E

Influenza della quota

(27)

MAX min

no_

min E

T W

D = =

= Vσ^o )

z ( V

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

Tno [Kg]

W=33112 Kg W=45000 Kg

Influenza del peso

(28)

Cap.5 Polari tecniche – POTENZA RICHIESTA al volo livellato

V D V

T_no

no = ⋅ = ⋅

Π

Consideriamo consideriamo sempre il velivolo con peso pari a W=33112.8 Kg , S=88.2 m2 , b=22.9 m e quota pari a 9000 m. Il CDo=0.015 e il fattore di Oswald sia 0.80.

Il calcolo inizia da un valore di V pari alla velocità di stallo a quota z=9000 m, considerando che il CLMAX del velivolo in configurazione pulita è 1.40.

(29)

V D V

T_no

no = ⋅ = ⋅

Π

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000

0,000 200,000 400,000 600,000 800,000 1000,000 1200,000 1400,000 V [Km/h]

Pno [hp]

(30)

V D V

T_no

no = ⋅ = ⋅

Π

V ) KCL CDo

( S 2 V

V 1

D ² ²

no = ⋅ = ρ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

Π

2 3

3

no S V KCL

2 1 V S 2 CDo

1 ρ⋅ ⋅ ⋅ + ρ⋅ ⋅ ⋅

= Π

V2

1 S W CL 2

= ρ

V 1 S

K W 2 S

V

S 2 CDo

1 ₃ ²

no ⎟ ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅⎛

⋅ ρ ⋅ +

⋅

⋅ ρ

= Π

V V b

a V V )

V b a ( V

D ² ₂ ³

no = ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Π

(31)

V D V

T_no

no = ⋅ = ⋅

Π

V V b

a V V )

V b a ( V

D ² ₂ ³

no = ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Π

) (V ³ f

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ f V1

(32)

V 0 V b

a dV 3

d

2

no = ⋅ ⋅ 2 − =

Π

Deriviamo per trovare il minimo

V V b

a V V )

V b a ( V

D ² ₂ ³

no = ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Π

2 2

V V b

a

3⋅ ⋅ = 3⋅Do = Di

CDo e 3

AR CL CL

K CDi

2

2 = ⋅

⋅

= π

⋅

=

CD=4 CDo

CDo e

AR K 3

CDo

CL_P 3⋅ = ⋅ π⋅ ⋅ ⋅

=

E E

P 3 CL 1.73 CL

CL = ⋅ = ⋅

CDo 4

CD_P = ⋅

(33)

E E E

P P

P CD

CL 2

3 CDo

4

CL 3

CD

E CL =

⋅

= ⋅

=

E E

P 3 CL 1.73 CL

CL = ⋅ = ⋅

CDo 4

CD_P = ⋅

CL

CD

CDo CD=2 CDo E

P

CD=4CDo A

32 . 1

V 3

V CL

3 1 S

W 2

CL 1 S

W

V 2 ^E

4 E

P = =

ρ ⋅ ρ =

=

(34)

Cap.5 Polari tecniche – POTENZA RICHIESTA al volo livellato PUNTO P

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

0 200 400 600 800 1000 1200 V [Km/h]

Pno [hp]

Pno

Pno_parassita Pno_indotta

(35)

E T W

D = _no =

(E /V)

V W E V W

T_no

no = ⋅ = =

Π

MAX MIN

no_

VE ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=> ⎛ Π

CL 1 S

W 2

CL W CD E V

W

no ⋅ ⋅

⋅ ρ

⋅

=

= Π

2 / 3 2

/ 3

o

no CL

W CD S

1

2 ⋅ ⋅ ⋅

σ

= ρ Π

MAX 2

/ 3 2

/ 3 o

MIN _ no

CD CL W 1

S 1 1

2

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

⋅ σ ⋅

ρ ⋅

= Π

( )

MAX

2 / 3 MIN

_

no E CL

CD

CL ⎟⎟ = ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=> ⎛ Π

(36)

Cap.5 Polari tecniche – POTENZA RICHIESTA al volo livellato PUNTO P – considerazioni grafiche

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

V [Km/h]

Pno [hp]

quota S/L quota 9000 m

(37)

100 200 300 400 500 0

400 800 1200

Pno [hp]

V [Km/h]

Pno Ψ

P E

ψ

⋅

=

Π_no V tan D T

tanψ = _no =

( ) _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= ψ

MAX MIN

MIN E

ATAN W D

ATAN

32 . 3 1

4

E E

P

V V = V =

(38)

Cap.5 Polari tecniche – POTENZA RICHIESTA al volo livellato PUNTO P – considerazioni grafiche

Pn=DV

V [Km/h]

z

E

(39)

( )^Π_no _MIN ⁼ ⁽^D^⋅^V⁾_MIN

PUNTO P : Min. Potenza volo livellato

D=Tn

z

E

( )

MAX

CL V E

E ⎟ => ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

Pn=DV

z

P E P

(40)

Cap.5 Polari tecniche – Influenze Peso e CDo su POT

V P

P_R

PA

V P

P_R

PA V

1 S

K W 2 S

V

S 2 CDo

1 ₃ ²

no ⎟ ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅⎛

⋅ ρ ⋅ +

⋅

⋅ ρ

= Π

peso

CDo

(41)

PUNTO A :

0 200 400 600 800

D=Tno (Kg)

min (D/V)

( )

MAX MIN

MAX V

V

E ⎟

⎜ ⎠

=> ⎝

⎟⎠

⎜⎝

=>

⋅

CL

(42)

Cap.5 Polari tecniche – ^{PUNTO A}

PUNTO A :

0 100 200 300 400 500

0 200 400 600 800

V [Km/h]

D=Tno (Kg)

min (D/V)

( )

MAX MIN

MAX V

V D

E ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=> ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=> ⎛

⋅

CL E

2 2

no V

V b a D

T = = ⋅ +

V3

V b V a

D = ⋅ +

V 0 3 b V a

D dV

d

4 =

−

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

V4

3 b a =

2 2

V 3 b V

a⋅ = ⋅

Do=3 Di

CL2

K 3 CDi 3

CDo = ⋅ = ⋅ ⋅

(43)

CL K

3 CDi

3

CDo = ⋅ = ⋅ ⋅ 3 CDo

CDi = 1 ⋅

3 CDo CDi 4

CDo

CD = + = ⋅

CDo e

3 AR 1 K

3

CL_A CDo = ⋅ π⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

732 .

1 CL CL

3

CL_A = 1 ⋅ _E = ^E

MAX E

E E

A A

A E

2 3 CD

CL 2

3 3 1 CDo

CL 4

3 3 1 CD

E = CL = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

3 CDo CD_A = 4

E E

A W W V V

V 2 1 2 3 ₄ 3 1.32

=

⋅

=

⋅

=

⋅

= ρ ρ

CLA

S

W 1

2 ⋅ ⋅ ρ

(44)

Cap.5 Polari tecniche – ^{PUNTO A}

CL

CD

CDo CD=2 CDo E

P

CD=4CDo A

Punti A e P

=> stessa Efficienza

(45)

D=Tn

V E

A

E

A V

V =1.32

0 50 100 150 200 250 300

0 40 80 120

Pn=DV

V [Km/h]

P E

A

(46)

Cap.5 Polare Parabolica – APPROCCIO ANALITICO PUNTO E

2 L Do

L D

L

KC C

C C

C D L

= +

=

) 0 KC C

(

) KC 2 ( C KC

C dC

) C / C ( d

2 2 L Do

L L

2 L Do

L D

L =

+

−

= +

0 KC

2 KC

C_Do + ²_L − ²_L =

2 L

Do KC

C =

Re A K C

C C

C_L = _L_E = ^Do = _Doπ ^K ⁼ π_A¹_Re

Do Do Do

Do Do

max 2

L Do

L

max 2C

K / C C

C

K / C KC

C C D

L =

= +

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

= +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

DL = E E = E_MAX se

(47)

L 2SC 2 V

W 1

L = = ρ

( )

K S C

2 V

W 1 ²_L_/_D ^Do ρ max

=

( )

K V C

2 1 S

W ₂ _Do

D /

L _max

ρ

=

( )

2 / 1

Do D

/

L S

W C

K V 2

max ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

= ⎛

ρ L_E

E C

1 S

W V 2

= ρ

(48)

Cap.5 Polare Parabolica – APPROCCIO ANALITICO PUNTO P

( ) ( ) ⁽ ⁾

KC 0 C

KC 2 C

2 C KC 3

C dC

C / C d

2 L Do

L 2

/ 3 L 2

/ 1 L 2

L Do

L D 2

/ 3

L =

+

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

=

0 KC

2 2 KC

KC 3 2 C

3 ₅_/₂

L 2

/ 5 L 2

/ 1 L

Do + + − = _Do KC_L²

3 C = 1

E

P Do L

L

L C 3C / K 3C

C = = =

( ) _Do ³^/⁴

Do Do

Do

4 / 3 Do

max 2

L Do

2 / 3 L D max

2 / 3 L

K C 3 C

4 1 C

3 C

K / C 3 KC

C C C

C ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= +

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

= +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

( )

L MIN MIN

MIN E C

V W E V W

D V

D

P ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅

=>

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

=

⋅

=>

⋅

= 1

P _MIN

( )

L MAX Do

L D MAX

L L MAX

KC C

C C

E ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=> ⎛

⋅ ³^/² ³^/² ₂

(49)

4 / 3

3 / 1 max Do

D 2 / 3 L

KC 3 4

1 C

C ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

L 2SC 2 V

W 1

L = − ρ

( ) ^S ³^C_K

2 V

W 1 _C _/_C ^Do

D max 2

/ 3 L

ρ

=

( )

2 / 1

Do C

/

C S

W C

3 K V 2

D max 2

/ 3

L ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

= ⎛ ρ

( ) ⁽ ⁾ V

V 76 . 0

V = = ^E

(50)

Cap.5 Polare Parabolica – APPROCCIO ANALITICO PUNTO A

MIN L

MIN MIN

E C W V

E W V

D ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

=>

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 1

L MAX Do

L D MAX

L

L MAX C KC

C C

E ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=> ⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

2 2 / 1 2

/ 1

2 L

Do 3KC

C =

( ) ( )

⁽ ⁾

0 2 2

1 /

2

2 / 1 2

/ 1 2

2 /

1 =

+

⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

=

−

L Do

L L

Do

L D L

KC C

C KC

C dC

C C

d

4 / 1

3 max Do

Do 2 / 1 L

KC 3

1 2

3 C

C ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

( )

2 / 1

Do C

/

C S

W C

K 3 V 2

D max 2

/ 1

L ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

= ⎛ ρ

(

D

)

_max ⁽ ⁾^max

2 / 1

L /C L/D

C 1.32V

V =

(51)

( )

⁽ ⁾

(

D

)

_max

2 / 1 max L

D max L

D 2

/ 3

L /C C / C C / C

C V V

V < <

(52)

Cap.5 Polare Parabolica – PUNTI CARATTERISTICI Punto S

(53)

Punto E

(54)

Corso Meccanica del Volo - F. Nicolosi - CAP 5

Cap.5 Polare Parabolica – PUNTI CARATTERISTICI Punto P

(55)

(56)

Corso Meccanica del Volo - F. Nicolosi - CAP 5

Cap.5 Polare Parabolica – PUNTI CARATTERISTICI

(57)

E E

P

A E 0.866 E

2 E 3

E = = ⋅ = ⋅

(58)

Cap.5 Polare Parabolica – PUNTI CARATTERISTICI

(59)

0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40

E

A

P

2 CDo 4 CDo

4/3 CDo

* RAD(3)

/ RAD(3)