Quadratura numerica

Quadratura numerica

Alvise Sommariva

Quadratura numerica

Problema.

Un classico problema dell’analisi numerica `e quello di calcolare l’integrale definito di una funzione f in un intervallo avente estremi di integrazione

−∞ < a < b < +∞cio`e [1, p.206, p.270].

I (f ) := I (f , a, b) =

Z b

a

f (x )dx . La nostra intenzione `e di approssimare I (f ) come

I (f ) ≈ QN(f ) :=

N

X

i =1

wif (xi) (1)

Formule di Newton-Cotes

Vediamo alcune formule di Newton-Cotes. Definizione (Regola del trapezio)

La formula

I (f ) ≈ S1(f ) := S1(f , a, b) :=

(b − a) (f (a) + f (b)) 2

si chiamaregola del trapezio. Si dimostra che l’errore compiuto `e E1(f ) := I (f ) − S1(f ) = −h3 12 f (2) (ξ), ξ ∈ (a, b) (2)

da (2), si vede che il suo grado di precisione `e 1 in quanto

se f ∈ P1, allora f(2)(ξ) = 0 e quindi la formula `e esatta,

Formule di Newton-Cotes

Definizione (Regola di Cavalieri-Simpson) La formula I (f ) ≈ S3(f ) := S3(f , a, b) := b − a 6  f (a) + 4f (a + b 2 ) + f (b) 

si chiamaregola di Cavalieri-Simpson. Si dimostra che l’errore compiuto `e E3(f ) := I (f ) − S3(f ) = −h5 90 f (4) (ξ), h = b − a 2 , ξ ∈ (a, b)

il grado di precisione `e 3 (e non 2 come previsto!) in quanto

se f ∈ P3, allora f(4)(ξ) = 0 e quindi la formula `e esatta,

Formule di Newton-Cotes composte

Definizione (Formule composte)

Si suddivida l’intervallo (chiuso e limitato) [a, b] in N subintervalli Tj= [xj, xj +1] tali che xj= a + jh con h = (b − a)/N. Dalle propriet`a dell’integrale Z b a f (x ) dx = N−1 X j =0 Z xj +1 xj f (x ) dx ≈ N−1 X j =0 S (f , xj, xj +1) (3)

dove S `e una delle regole di quadratura finora esposte (ad esempio S3(f )). Le formule descritte in (3) sono dettecomposte.

Formule di Newton-Cotes composte

Due casi particolari sono le formule dei trapezi e di Cavalieri-Simpson composta. Definizione (Formula dei trapezi)

Siano xi = a + i − 1h, i = 1, . . . , N con h = (b − a)/N. La formula S₁(c):= h f (x0) 2 + f (x1) + . . . + f (xN−1) + f (xN) 2  (4) si chiamadei trapezi(o del trapezio composta).

Si dimostra che

l’errore compiuto `e per un certo ξ ∈ (a, b)

E₁(c)(f ) := I (f ) − S₁(c)(f ) =−(b − a)

12 h

2

f(2)(ξ), h = (b − a)

N .

Formule di Newton-Cotes composte

Definizione (Formula di Cavalieri-Simpson composta) Fissati N subintervalli, sia h =b−a

N . Siano inoltre xk= a + kh/2, k = 0, . . . , 2N. La formula I (f ) ≈ S₃(c)(f ) := h 6 " f (x0) + 2 N−1 X r =1 f (x2r) + 4 N−1 X s=0 f (x2s+1) + f (x2N) # (5) `e nota come diCavalieri-Simpson composta.

Si dimostra che

Implementazione Matlab di alcune formule composte

Mostreremo di seguito un’implementazione in Matlab/Octave della formula composta dei trapezi e di Cavalieri-Simpson.

f u n c t i o n [ x , w ]= t r a p e z i _ c o m p o s t a ( N , a , b )

% FORMULA DEI TRAPEZI COMPOSTA. % INPUT :

% N : NUMERO SUBINTERVALLI . % a , b : ESTREMI DI INTEGRAZIONE . % OUTPUT :

% x : NODI INTEGRAZIONE .

% w : PESI INTEGRAZIONE ( INCLUDE I L PASSO ! ) .

h=(b−a ) / N ; % PASSO INTEGRAZIONE .

x=a : h : b ; x=x ’ ; % NODI INTEGRAZIONE .

w=o n e s ( N + 1 , 1 ) ; % PESI INTEGRAZIONE .

Implementazione Matlab di alcune formule composte

La funzionetrapezi compostaappena esposta calcola i nodi e i pesi della omonima formula composta.

L’unica difficolt`a del codice consiste nel calcolo dei pesi w. Essendo per loro definizione I (f ) ≈ S1c(f ) := N X i =0 wif (xi) (6)

come pure per (4)

Implementazione Matlab di alcune formule composte:

trapz

Si potrebbe usare il comando Matlabtrapznella sua implementazione >> h e l p t r a p z

T R A P Z T r a p e z o i d a l n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n .

Z = T R A P Z ( Y ) c o m p u t e s an a p p r o x i m a t i o n of the i n t e g r a l of Y via the t r a p e z o i d a l m e t h o d ( with unit s p a c i n g ) . To c o m p u t e the i n t e g r a l

f o r s p a c i n g d i f f e r e n t f r o m one , m u l t i p l y Z by the s p a c i n g i n c r e m e n t .

For vectors , T R A P Z ( Y ) is the i n t e g r a l of Y . . . . .

Implementazione Matlab di alcune formule composte

Vediamone i dettagli in Matlab per il calcolo di Z 1

0

sin(x )dx = − cos(1) − (− cos(0)) = − cos(1) + 1

≈ 0.45969769413186.

Implementazione Matlab di alcune formule composte

Nota.

Per implementare la regola `e del tutto equivalente usare la function

trapezi compostaotrapz.

Si osserva che `e sbagliato chiamaretrapzsenza il passo h (nell’esempio non si dividerebbe per 10, e invece di 0.45931454885798 avremmo 4.5931454885798).

Implementazione Matlab di alcune formule composte

Per quanto riguarda la formula di Cavalieri-Simpson composta

f u n c t i o n [ x , w ]= s i m p s o n _ c o m p o s t a ( N , a , b )

% FORMULA DI SIMPSON COMPOSTA. % INPUT :

% N : NUMERO SUBINTERVALLI . % a , b : ESTREMI DI INTEGRAZIONE . % OUTPUT :

% x : INTEGRAZIONE .

% w : PESI INTEGRAZIONE ( INCLUDE I L PASSO ! ) .

h=(b−a ) / N ; % AMPIEZZA INTERVALLO .

x=a : ( h / 2 ) : b ; x=x ’ ; % NODI INTEGRAZIONE .

w=o n e s ( 2∗ N +1 ,1) ; % PESI INTEGRAZIONE .

Implementazione Matlab di alcune formule composte

Una volta noti il vettore (colonna) x dei nodi e w dei pesi di integrazione, se la funzione f `e richiamata da un m-file f.m, basta

fx=f ( x ) ; % VALUT . FUNZIONE .

I=w ’∗ fx ; % VALORE INTEGRALE .

per calcolare il risultato fornito dalla formula di quad. composta.

Ricordiamo che se w = (wk)k=1,...,M, fx = (f (xk))k=1,...,M sono due vettori colonna allora il prodotto scalare

w ∗ fx := M X k=1 wk· fxk:= M X k=1 wk· f (xk)

Implementazione Matlab di alcune formule composte

Implementazione Matlab di alcune formule composte

Facciamo ora un altro esempio. Calcoliamo numericamente utilizzando le formule composte sopra citate

Z 1

−1

x20dx = (121/21) − (−1)21/21 = 2/21 ≈ 0.09523809523810. A tal proposito scriviamo il seguente codice demo composte.

a=−1; b =1; N =11; %SCEGLIERE N DISPARI .

N _ t r a p=N −1;

[ x_trap , w_trap ]= t r a p e z i _ c o m p o s t a ( N_trap , a , b ) ;

f x _ t r a p=x _ t r a p . ˆ 2 0 ; % VALUT . FUNZIONE .

I _ t r a p=w_trap ’∗ fx_trap ; % TRAPEZI COMPOSTA.

N _ s i m p s o n =(N−1) / 2 ;

[ x_simp , w_simp ]= s i m p s o n _ c o m p o s t a ( N_simpson , a , b ) f x _ s i m p=x _ s i m p . ˆ 2 0 ; % VALUT . FUNZIONE .

I _ s i m p=w_simp ’∗ fx_simp ; % SIMPSON COMPOSTA.

f p r i n t f(’ \n\ t [ TPZ COMP ] [ PTS ] : % 4 . 0 f ’,l e n g t h( x_trap ) ) ;

f p r i n t f(’ \n\ t [ TPZ COMP ] [ RIS ] : % 1 4 . 1 4 f ’, I_trap ) ;

f p r i n t f(’ \n\ t [ SIMPS .COMP ] [ PTS ] : % 4 . 0 f ’,l e n g t h( x_simp ) ) ;

f p r i n t f(’ \n\ t [ SIMPS .COMP ] [ RIS ] : % 1 4 . 1 4 f ’, I_simp ) ;

ottenendo

[ TPZ COMP ] [ PTS ] : 11

[ TPZ COMP ] [ RIS ] : 0 . 2 0 4 6 2 6 3 1 5 0 5 0 2 4 [ SIMPS . COMP ] [ PTS ] : 11

Esercizio

Usando la formula composta dei trapezi e di Cavalieri-Simpson, con n = 2, 4, 8, . . . , 512 suddivisioni equispaziate dell’intervallo di integrazione, calcolare Rπ 0 exp (x ) · cos (4x )dx = exp (π)−1 17 ; R1 0x 5/2_{dx =} 2 7; Rπ −πexp (cos (x ))dx = 7.95492652101284; Rπ/4 0 exp (cos (x ))dx = 1.93973485062365; R1 0x 1/2 dx = 2₃.

Bibliografia

K. Atkinson, Introduction to Numerical Analysis, Wiley, 1989. K. Atkinson e W. Han, Theoretical Numerical Analysis, Springer, 2001. V. Comincioli, Analisi Numerica, metodi modelli applicazioni, Mc Graw-Hill, 1990. S.D. Conte e C. de Boor, Elementary Numerical Analysis, 3rd Edition, Mc Graw-Hill, 1980. A. Quarteroni e F. Saleri, Introduzione al calcolo scientifico, Springer Verlag, 2006. A. Suli e D. Mayers, An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, 2003. Wikipedia, Regola del trapezio,http://it.wikipedia.org/wiki/Regola del trapezio.