Esercitazioni di di Geometria Geometria per per Informatica Informatica

(1)

Esercitazioni

Esercitazioni di di Geometria Geometria per per Informatica Informatica

Rosalba

Rosalba BaratteroBarattero

Lucidi delle esercitazioni Lucidi delle esercitazioni

a.a. 2006 a.a . 2006- -2007 2007

Dipartimento di Matematica

(2)

MaMatrtriiccii ee lloorroo ooppeerarazziioonnii DeDetteermrmiinnaannttee

CaCararatttteerriissttiiccaa TTeeoorreemmaa ddii KKrroonneecckkeerr

SiSisstteemimi lliinneeaarrii T

Teeororeemama ddii RRoouucchhéé CCaappeellllii

Rosalba Barattero

ESERCITAZIONE N.1

14 marzo 2007

(3)

ESERCIZIO1.

Matrici e loro operazioni

Verificare se in M₂( R) la matrice identità I₂ é combinazione lineare delle matrici A, A², A³ con A= ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−1 1 0

1 .

Dire che un elemento é combinazione lineare di altri ele- menti vuol dire che si può scrivere nel seguente modo:

I2 é C. L. di A, A², A³ ⇔ ∃ x, y, z ∈ R tali che I2 = xA + y A²+ z A³ .

Calcoliamo prima A²e A³ :

X prodotto righe per colonne di matrici A²= A A = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−1 1 0

1 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−1 1 0

1 = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−2 1 0

1 ;

A³= A² A = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−2 1 0

1 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−1 1 0

1 = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−3 1 0

1 .

Allora la nostra relazione è x ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−1 1 0

1 +y ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−2 1 0

1 +z ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−3 1 0

1 = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 1 0

0

1

sviluppiamo effettuando le operazioni tra matrici :

o PRODOTTO DI UN NUMERO PER UNA MATRICE

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−x x 0

x + ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−2y y 0

y + ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−3z z 0

z = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 1 0

0 1

p SOMMA DI MATRICI

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

−

+ +

z y x 3z - 2y - x

0 z

y

x = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 1 0

0 1

UGUAGLIANZA DI MATRICI

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= + +

=

−

=

= + +

1 z y x

0 3z 2y x

0 0

1 z y x

EQUIVALENTE AL SISTEMA

⎩⎨

⎧

= + +

=

−

1 z y x

0 3z 2y x

Dobbiamo ora stabilire se questo sistema ha o non ha soluzioni. In questo caso senza fare uso della teoria è facile vedere che ponendo ad esempio z=0, e poi sommando membro a membro si trova y=-1 e quindi x= 2. Dunque una soluzione c’è ed è (2,-1,0).

In realtà la scelta z=0 è arbitraria e si può vedere ad. es.

sommando m. a m. (2 volte) che tutte le soluzioni sono ( 2+z,-1-2z,z) al variare di z in R, dunque infinite:infiniti modi di scrivere I2 come C. L. di A, A², A³

(4)

MATRICI QUADRATE

A matrice quadrata nxn, R₁, R₂, …, R_n le sue righe d(A)= determinante di A, ρ(A) = caratteristica di A ( definita come max n° di righe L.I. )

∗

^R1, R2, …, Rn L.I. ⇔ C1, C2, …, Cn L.I.

∗

ρ(A) coincide anche con il n° di righe non nulle della matrice ridotta a scalini

R₁, R₂, …, R_nL.I.

ρ(A) massima = n d(A) ≠0

A invertibile DEF.

MATRICI MXN

∗

ρ(A) coincide anche con il n° di righe non nulle della matrice ridotta a scalini

Max n°righe (colonne) L.I.

max ordine minori non nulli di A

max ordine sottomatrici quadrate

invertibili di A DEF.

ρ(A)

DEF.

(5)

ESERCIZIO2.

Caratteristica di una matrice – Regola di Kronecker

Calcolare la caratteristica delle seguenti matrici :

⎟⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

1 2 0

1 0 1 1

1 1 1

1 0

2 1

⎟⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

1 0 1 1

2 1 0 3

0 0 1 2

1 1 0 3

1 0 1 2

. A B

I° MODO (con la definizione)

Per definizione ρ (A) è il massimo numero di righe ( equi- valentemente colonne ) linearmente indipendenti di A.

Vediamo se troviamo delle combinazioni lineari sulle righe o sulle colonne. Ad esempio R₃ = R₁ – R₂ e R₄ = R₁-2R₂ quindi R₃ ed R₄ non danno alcun contributo ai fini del calcolo di

ρ (A) ossia ρ (A)= ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− 1 1

1 0 1 0

2

ρ 1 . Ora poiché per due righe

essere linearmente indipendenti significa non essere proporzionali (non multiple), ricaviamo ρ (A)=2.

II° MODO (con i minori e la regola di Kronecker) ρ (B)= massimo ordine dei minori non nulli di B.

B = ⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 2 1 0 3

0 0 0 1 2

1 1 1 0 3

1 1 0 1 2

Per definizione il max n. di righe (colonne) L.I. è 4, quindi ρ (B) ≤ 4.

⇒ 2 ≤ ρ (B) ≤ 4

Ora procediamo con la REGOLA DI KRONECKER e consideriamo i minori di ordine 3 orlanti il minore di ordine 2 non nullo :

a

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 2 1 0 3

0 0 0 1 2

1 1 1 0 3

1 1 0 1 2

Calcoliamo quello in verde

0 0 1

1 1 0

1 0 1 Il minore individuato 0 1

0

1 = 1 ≠ 0 È un minore di ordine 2 non nullo.

Allora ρ (B) ≥2

Sono 6 minori. Se sono tutti nulli Krone- cker ci garantisce che ρ (B)=2, altri- menti appena ne troviamo uno non nullo ripetiamo l’algoritmo orlandolo …

(6)

0 0 1

1 1 0

1 0 1

= 1 ₁⁰ ₁¹ = 1 (-1) =-1 ≠ 0

Abbiamo trovato un minore di ordine 3 non nullo,quindi ρ (B)≥3.

Ora ripetiamo il processo, orlando la sottomatrice il cui det. è ≠ 0

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 2 1 0 3

0 0 0 1 2

1 1 1 0 3

1 1 0 1 2

.

Abbiamo le due sottomatrici

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

2 1 0 3

0 0 1 2

1 1 0 3

1 0 1 2

,

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 2 1 0

0 0 0 1

1 1 1 0

1 1 0 1

.

Calcoliamo il determinante della seconda

1 2 1 0

0 0 0 1

1 1 1 0

1 1 0 1

= 1

1 2 1

1 1 1

1 1 0

= -1(0) +1(2-1) = 1 ≠0

Abbiamo trovato un minore di ordine 4 non nullo quindi ρ(B)=4.

Sviluppo lungo R3

Elemento di posto 3+1 = pari

sviluppo lungo R₃

Riepilogando :

REGOLA DI KRONECKER

ρ (A)=p ⇔

Con Kronecker risparmi …

Se abbiamo ad esempio una matrice 4x5 Il numero dei minori di ordine 3 è :

40 4

! 10 3

2 3 4

! 3

3 4 5 3 4 3

5 ⎟⎟⎠ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

Il numero dei minori di ordine 3 che orlano un minore di ordine 2 (che supponiamo non nullo) è : 3⋅2=6

La regola di Kronecker consente di risparmiare il calcolo di 34 minori di ordine 3.

1. A possiede un minore M non nullo di ordine p

2. Tutti i minori di ordine p+1 che orlano M sono nulli.

(7)

ESERCIZIO3.

Operazioni tra Matrici – Sistemi lineari

Sia data la matrice A= ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

1 1 0

0 1

1 ∈ M2,3 (R).

a) Stabilire se esiste B∈ M3,2 (R) tale che AB= I2 e se esiste C∈ M3,2 (R) tale che CA= I_{3 .}

b) Nel caso in cui si sia risposto ad a) affermativamen- te, fornire un esempio, specificando se di matrici richieste ne esistono un numero finito o infinito.

a)

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

1 1 0

0 1 1

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ f e

d c

b a

= ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

−

f d e c

d b c a

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

−

f d e c

d b c

a = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 1 0

0

1 ⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

=

−

=

−

1 f d

0 e c

0 d b

1 c a

Una soluzione è ad esempio a=1, c=0, e=0, b=0, d=0,f=1 ,

dunque ∃ B= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ 1 0

0 0

0 1

richiesta.

2x3 3x2 2x2

Poi si vede facilmente che per il sistema

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

=

−

=

−

1 f d

0 e c

0 d b

1 c a

(a, b, a-1,b, 1-a, 1-b) è soluzione al variare di a, b in R, dunque ci sono infinite B richieste.

b) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

f e

d c

b a

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

1 1 0

0 1

1 = _⎟^⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Stesso procedimento:

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

= +

−

=

...

0 b

0 b a

1 a

⇒ a= 1 , a= 0

⇒ sistema incompatibile

(8)

SISTEMI LINEARI

Esempio 1

⎩⎨

⎧

=

−

=

− 1 y x

0 y x

Esempio 2

⎩⎨

⎧

= +

= 2 y x

0 y - x

Esempio 3

⎩⎨

⎧

=

−

= 2 2y 2x

1 y - x

y y y

x x x

-1 1 O 2

P(1,1) 1

O

2 1 O

1

Nessuna soluzione

Disegni nel piano reale affine

Una (ed una sola) soluzione

infinite soluzioni (x, x-1) al variare di x in R

ESERCIZIO4.

Sistema lineare con parametro

Dato il seguente sistema lineare

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

=

= +

-λ λz y

λ z - x

2 y λx

con λ∈R

stabilire per quali λ ∈ R ha soluzioni e quante sono.

Il sistema si può scrivere in forma matriciale :

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

λ λ 2 z

y x λ 1 0

1 - 0 1

0 1 λ

Il sistema è esprimibile così : A X = b e A|b indica la matrice completa

A

matrice dei coefficienti

X

matrice delle indeterminate b

matrice dei termini noti

(9)

Per i sistemi lineari risponde al problema dell’esistenza di soluzioni e al loro ‘numero’ il

Teorema di Rouchè Capelli:

 Il sistema ha soluzioni ⇔ ρ(A) = ρ(A|b)

 Nel caso in cui ci siano soluzioni, sono

∞

^n-p con n numero incognite e p= ρ(A)

Iniziamo studiando ρ(A) =

λ 1 0

1 - 0 1

0 1 λ

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

La caratteristica di A é minore o uguale a 3, essendo A una matrice quadrata di ordine 3. E’ importante rilevare la presenza di minore indipendenti dal parametro λ.

Esiste un minore, ₀¹ ₋⁰₁ che é diverso da zero, quindi ρ(A) ≥2 ∀ λ∈R .

Calcoliamo

λ 1 0

1 0 1

0 1 λ

− = λ(1) - λ = 0 ∀ λ∈R

⇒ ρ(A) =2 ∀ λ∈R .

Ora studiamo ρ(A|b) :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜ −

⎜⎜

⎝

⎛

−

λ λ λ

λ 2

1 0

1 0 1

0 1

che vale 2 o 3 a seconda che la colonna

dei termini noti alteri o meno ρ(A).

Usiamo la regola di Kronecker : consideriamo il minore (evidenziato) di ordine 2 diverso da zero e calcoliamo i due minori di ordine 3 che lo orlano:

λ 1 0

1 0 1

0 1 λ

− =0 (già visto)

λ λ 1

λ 1 0

2 0 1

−

− = λ-λ²+2

CASO 1. Entrambi i minori orlanti sono nulli , per Kronecker ρ(A|b) =2 ed è uguale a ρ(A), di conseguenza per il teorema di Roché Capelli ci sono soluzioni e sono ∞^n-ρ= ∞^3-2 = ∞¹

CASO 2. C’è in A|b un minore non nullo di ordine 3 ⇒ ρ(A|b)=3≠2=ρ(A) ⇒ nessuna soluzione (R.C.) Conclusione: λ ≠ 2,-1 : nessuna soluzione

λ =2,-1 : ∞¹soluzioni

= 0 se λ =2,-1 1.

≠ 0 se λ ≠ 2,-1 2.

(10)

T

Teeoorreemma a ddii CCrraammerer S

Siisstteemmii lliinneeaariri ccoonn ppaarraamemetrtroo S

Siisstteemimi lliinneeaarrii oommooggeenneeii

Rosalba Barattero

ESERCITAZIONE N.2

21 marzo 2007

(11)

ESERCIZIO1.

Sistema di Cramer

Dato il sistema lineare

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= + +

=

− +

=

− +

−

= + + +

0 t 4y x

0 t 3y x

1 t z y x

1 2t z 2y x

a) Provare che ha un’unica soluzione

b) Determinare la soluzione facendo uso della regola di Cramer.

a) La regola di Cramer si applica ai sistemi lineari del tipo : Æ n equazioni, n incognite

Æ d(A) ≠ 0 , A matrice dei coefficienti delle incognite Questi sistemi sono detti

SISTEMI DI CRAMER e hanno 1! (un’unica) soluzione

(x1 , x2, …, xn) con xi = d(A) Δ_i

ove Δi = det della matrice ottenuta sostituendo la i-esima colonna con la colonna dei termini noti.

A|b =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

0 0 1 1

1 0 4 1

1 0 3 1

1 1 1 1

2 1 2 1

4 equazioni - 4 incognite Verifichiamo: d(A) ≠ 0

A =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

1 0 4 1

1 0 3 1

1 1 1 1

2 1 2 1

A′ =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

1 0 4 1

1 0 3 1

3 0 3 0

2 1 2 1

d(A) = d(A′)=

1 4 1

1 3 1

3 3 0

−

= -1(-3+12) +1(3+9)=3 ≠ 0

⇒ il sistema è di Cramer ed ha quindi un’unica soluzione.

b) Sappiamo che dato il sistema AX= b ,

con A matrice invertibile nxn, X= ^t(x₁,x₂,…,x_n) (matrice colonna), se α = ^t(α₁,α₂,…,α_n) è la soluzione allora Aα= b e quindi moltiplicando a sinistra per A^-1si ottiene A^-1Aα= A^-1b , da cui l’unica soluzione α= A^-1b .

La regola di Cramer ′evidenzia′ l’unicità della soluzione evitando il passaggio esplicito alla matrice inversa :

α_i = d(A) Δ_i

ove Δ_i= det della matrice ottenuta sostituendo la i-esima colonna con la colonna dei termini noti.

Le operazioni elemen- tari non alterano d(A)

R2 → R2 – R1

(12)

x= ⁰ ⁴_d(A)⁰ ¹ 1 0 3 0

1 1 1 1

2 1 2 1

−

= 0 perché C1= C3

analogamente si ottiene y=0, t=0, mentre

z= ¹ ⁴_d(A)⁰ ¹ 1 0 3 1

1 1 1 1

2 1 2 1

−

= _d(A)^d(A)=1

(… il calcolo è qui particolarmente semplice, a differenza di quanto succede usualmente ! )

Conclusione: l’unica soluzione è (0,0,1,0)

Colonna dei termini noti

ESERCIZIO2.

Sistema lineare con parametro

Dato il seguente sistema lineare

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

=

= +

-λ λz y

λ z - x

2 y λx

con λ∈R

a) Stabilire per quali λ ∈ R ha soluzioni e quante sono.

b) Determinare, quando possibile, tutte le soluzioni.

a) E’ l’esercizio 4. dell’esercitazione precedente. Ne riporto qua per comodità i punti essenziali poiché servono per risolvere la parte b).

Iniziamo studiando ρ(A) =

λ 1 0

1 - 0 1

0 1 λ

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

La caratteristica di A é minore o uguale a 3, essendo A una matrice quadrata di ordine 3. E’ importante rilevare la presenza di minore indipendenti dal parametro λ.

(13)

Esiste un minore, ₀¹ ₋⁰₁ che é diverso da zero, quindi ρ(A) ≥2 ∀ λ∈R .

Calcoliamo

λ 1 0

1 0 1

0 1 λ

− = λ(1) - λ = 0 ∀ λ∈R

⇒ ρ(A) =2 ∀ λ∈R . Ora studiamo ρ(A|b) :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜ −

⎜⎜

⎝

⎛

−

λ λ λ

λ 2

1 0

1 0 1

0 1

che vale 2 o 3 a seconda che la colonna

dei termini noti alteri o meno ρ(A).

Usiamo la regola di Kronecker : consideriamo il minore (evidenziato) di ordine 2 diverso da zero e calcoliamo i due minori di ordine 3 che lo orlano:

λ 1 0

1 0 1

0 1 λ

− =0 (già visto)

λ λ 1

λ 1 0

2 0 1

−

− = λ-λ²+2

= 0 se λ =2,-1 1.

≠ 0 se λ ≠ 2,-1 2.

CASO 1. Entrambi i minori orlanti sono nulli , per Kronecker ρ(A|b) =2 ed è uguale a ρ(A), di conseguenza per il teorema di Roché Capelli ci sono soluzioni e sono ∞^n-ρ= ∞^3-2 = ∞¹

CASO 2. C’è in A|b un minore non nullo di ordine 3 ⇒ ρ(A|b)=3≠2=ρ(A) ⇒ nessuna soluzione (R.C.) Conclusione: λ ≠ 2,-1 : nessuna soluzione

λ =2,-1 : ∞¹soluzioni

b) Modi di determinare le soluzioni : metodo di sostituzione, ridu- zione, regola di CRAMER

Determiniamo le soluzioni nel caso λ = 2 (∞¹soluzioni)

A|b = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜ −

⎜⎜

⎝

⎛

−

λ λ 2

λ 1 0

1 0 1

0 1 λ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜ −

⎜⎜

⎝

⎛

−

2 2 2

2 1 0

1 0 1

0 1 2

Abbiamo già visto che il minore evidenziato è quello che individua ρ(A)= ρ(A|b) =2.

Allora il sistema di partenza è equivalente al sistema che ′contiene′ le righe di questo minore (R₁, R₂) :

λ=2

(14)

⎩⎨⎧

=

= +

2

z - x

2 y 2x

⎩⎨⎧

=

x -

2 z -

2x - 2 y

Infatti ogni volta che si fissa x il sistema diventa a 2 equazioni, 2 incognite , con d(A) ≠0 ed ha quindi un’unica soluzione (y,z). Ma poiché la x varia, le soluzioni del sistema sono infinite (∞¹) al variare di x in R : (x, 2-2x, x-2)

Determiniamo ora le soluzioni nel caso λ =-1 (∞¹soluzioni)

A|b = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜ −

⎜⎜

⎝

⎛

−

λ λ 2

λ 1 0

1 0 1

0 1 λ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜ −

⎜⎜

⎝

⎛

−

1 1 2

1 1 0

1 0 1

0 1 1

… analogamente a prima si ottiene

⎩⎨⎧

= +

=

x -

1 - z -

x 2 y

isoliamo a I°membro le incognite relative al minore non nullo :

il sistema diventa di CRAMER nelle incognite y, z, conside- rando la x ′variabile libera′

λ= -1

∞¹soluzioni :

(x, 2+x,1+x) al variare di x in R.

ESERCIZIO 3.

Sistema lineare omogeneo con parametro

Date le matrici S= _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

1 1 0

0 1

1 e T= ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ λ 1

4 2

2 1

a) stabilire per quali λ∈R il sistema omogeneo (ST)X= 0 ha soluzioni

b) Nel caso in cui il sistema abbia soluzioni determinarle, precisando ′quante′ sono.

a) ST = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

1 1 0

0 1 1

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ λ 1

4 2

2 1

= ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+

−

λ 4 3

2

1 X=

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ y x

(ST) X = 0 ⇔ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+

−

λ 4 3

2

1 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ y

x = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 0 0

⇔ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +(4 λ)y 3x

2y - x

- = ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 0 0

⇔ _⎩^⎨^⎧⁻_3x^x₊⁻₍₄^2y₊⁼_λ)y⁰ ₌₀

Un sistema omogeneo ha sempre almeno la soluzione banale ( assegnando zero a tutte le incognite, qua (0,0)).

Quindi il sistema omogeneo ha soluzioni ∀ λ∈R !!

2x3 3x2 2x2

(15)

b) Quando ha anche soluzioni non nulle ( e quindi infinite ) ? Uno dei modi per stabilirlo è con il Teorema di Rouchè Capelli, che afferma che le soluzioni , quando esistono, sono ∞^n-p dove n= n°

incognite e p = ρ(A). Dunque, nel caso dei sistemi omogenei:

ci sono infinite soluzioni ⇔ p<n, cioè ρ(A) < n° incognite equivalentemente

c’è solo la soluzione ‘nulla’⇔ p=n, cioè ρ(A)= n° incognite

N.B. In generale per qualunque sistema si ha:

ρ(A) ≤ n° incognite

(poiché il n° di incognite è uguale al n° di colonne di A, matrice dei coefficienti delle incognite)

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+

−

λ 4 3

2

1 ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ y

x = ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 0 0

ha soluzioni non nulle ⇔ ρ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+

−

λ 4 3

2 1 <2

⇔ ₃⁻¹ ₄⁻²₊_λ=0

λ 4 3

2 1

+

−

− = -4-λ+6 = -λ+2 = 0 ⇔ λ = 2

Quindi : • soluzione nulla (0,0) ⇔ λ ≠2 • soluzioni non nulle ⇔ λ=2

e in tal caso sono ∞^n-p= ∞^2-1 = ∞¹ soluzioni.

⎩⎨

⎧

= + +

=

−

0 λ)y (4 3x

0 2y

x

⎩⎨

⎧

= +

=

−

0 y 6 3x

0 2y

x x+2y=0 ⇒ SOL. (-2y,y) al variare di y in R

ESERCIZIO4.

Sistema lineare omogeneo con parametro

Dato il seguente sistema lineare omogeneo

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

=

− + +

=

− +

0 λt 2y x

0 t z 4y 2x

0 t 2y x

Determinare per quali λ ∈ R ha soluzioni e quante sono e ove possibile determinarle.

A = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

λ 0 2 1

1 1 4 2

1 0 2 1

ρ(A)≤3 ∀λ∈R per def.

C2 =2 C1 ⇒ ρ(A) = ρ _⎟^⎟^⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

λ 0 1

1 1 2

1 0 1

λ 0 1

1 1 2

1 0 1

−

= 1 ₁¹ ⁻_λ¹ = λ+1 = 0 ⇔ λ=-1

λ=-1 … si trova : ∞²Sol.ⁿⁱ(x,y,-x-2y,x+2y) al variare di x, y in R

λ≠-1 … si trova : ∞¹Sol.ⁿⁱ(-2y,y,0,0) al variare di y in R.

Minore di ordine 2 non nullo

⇒ ρ(A) ≥ 2 ∀λ∈R

Sviluppo lungo C2 ρ(A) =3 se λ≠-1 : ∞^4-3= ∞¹ soluzioni ρ(A) =2 se λ=-1 : ∞^4-2= ∞² soluzioni

(16)

ESERCIZIO 5.

Sistemi lineari con parametro

a) Per quali λ∈ R il sistema lineare S1:

⎩⎨

⎧

= +

=

−

− 0 λy x

λ z y

λx

ha ∞¹ soluzioni ?

b) Per quali λ∈ R il sistema lineare S2:

⎩⎨

⎧

= + +

0 λz 2)x (λ

0 2)y (λ λx

ha ∞¹ soluzioni ?

c) Si consideri il sistema lineare S costituito da S1 ed S2.

Per quali λ∈R il sistema S non ha soluzioni ?

d) Determinare le soluzioni di S al variare di λ∈R.

a) S1 :_⎩^⎨^⎧_x^λx₊⁻_λy^y⁻₌^z₀⁼^λ A|b = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

0 λ 0 λ 1

1 1 λ

S₁ha soluzioni per R.C. ⇔ ρ(A)= ρ(A|b) E in tal caso ha

∞

^3-ρ(A)soluzioni .

Quindi S₁ha

∞

¹soluzioni ⇔ ρ(A)= ρ(A|b)=2

Meglio se c’è un minore indipendente da λ in A, sì quello formato da C1 e C3 : ₁^λ ⁻₀¹= 1≠0 ⇒ ρ(A)=2 ∀λ∈R

⇒ ρ(A)= ρ(A|b)= 2 ∀λ∈R ⇒ S1 ha

∞

¹soluzioni ∀λ∈R

b) S2 :

⎩⎨

⎧

= + +

0 λz 2)x (λ

0 2)y (λ

λx A|b = ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+

0 0 λ 0 2 λ

0 2 λ λ

S₂ è omogeneo, ha sempre soluzioni, ne ha ∞¹se ρ(A)=2

In A non ci sono minori di ordine 2 indipendenti da λ, sce- gliamone uno, ad esempio quello formato da C1 C3 :

λ 2 λ

0 λ

+ = λ² =0 ⇔ λ=0

Dunque se λ≠0 esiste in A un minore di ordine 2 non nullo e perciò ρ(A)=2.

Se invece λ=0 il minore prescelto si annulla, ma dobbiamo verificare se ce n’è almeno un altro non nullo.

λ=0 ⇒ A=⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟

⎠

⎞ 0 0 2

0 2

0 e il minore formato da C1C2

valendo -4 è non nullo ⇒ρ(A)=2

Conclusione : ρ(A)=2 ∀λ∈R ⇒ S2 ha ∞¹ SOL.ⁿⁱ∀λ∈R.

(17)

c) S1:

⎩⎨

⎧

= +

=

−

− 0 λy x

λ z y

λx S2:

⎩⎨

⎧

= + +

0 λz 2)x (λ

0 2)y (λ λx

S :

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= + +

= +

=

−

0 λz 2)x (λ

0 2)y (λ λx

0 λy x

λ z y λx

A|b =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

+ +

−

0 0 0 λ

λ 0 2 λ

0 2 λ λ

0 λ 1

1 1 λ

Iniziamo con l’osservare che la matrice A|b è quadrata di ordine 4 e se d(A|b)≠0 allora ρ(A|b) = 4 < ρ(A) (ρ(A) al massimo è 3) e quindi per R.C. non ci sono sol.^ni.

Studiamo quindi d(A|b) =

0 λ 0 2 λ

0 0 2 λ λ

0 0 λ 1

λ 1 1 λ

+ +

−

=

= - λ

λ 0 2 λ

0 2 λ λ

0 λ 1

+

+ = - λ λ ¹_λ _λ^λ₊₂ = -λ² (λ+2-λ²)

-λ² (-λ²+λ+2) = 0 ⇔ λ = 0, -1,2

I^aRISPOSTA : ρ(A|b) = 4 ⇔ λ≠ 0,-1,2 .

Quindi se λ≠ 0,-1,2 NON ci sono SOL.ⁿⁱ

La domanda è:quando S non ha soluzioni ?

Sviluppo lungo C4

Sviluppo lungo C3

c) d) Rimangono da esaminare i casi λ = 0, -1, 2 che facendo ab- bassare ρ(A|b) possono far risultare ρ(A|b)= ρ(A).

CASO λ = 0

Nella matrice A|b =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

+ +

−

0 0 0 λ

λ 0 2 λ

0 2 λ λ

0 λ 1

1 1 λ

La colonna dei termini noti è nulla , quindi il sistema è omogeneo, e come tale ha sempre soluzioni.

Calcoliamo per λ=0: ρ(A) = ρ

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ − −

0 0 2

0 2 0

0 0 1

1 1 0

R₄ ai fini della caratteristica e quindi delle soluzioni è irrilevante, il sistema è equivalente al sistema formato da R₁,R₂ ,R₃ ed è un sistema di Cramer:

3 equaz. , 3 incognite, d(A) ≠ 0 ⇒ ha un’unica sol.^ne , la soluzione nulla (0,0,0).

Minore di ordine 3 non nullo

(18)

CASO λ = -1

A|b =

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ − −

0 0 0 1 -

1 - 0 1

0 1 1 -

0 1 - 1

1 1 1 -

Ai fini della caratteristica possiamo omettere R3 (o R2),calcoliamo ρ(A)

1 0 1

0 1 1

1 1 1

−

= 1 ⁻₁¹ ⁻₀¹ -1 ₋⁻₁¹ ⁻₁¹ = 1 -1(-2) ≠ 0

⇒ ρ(A) = 3 = ρ(A|b) ⇒ c’ è un’unica Sol.^ne per R.C.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

=

−

=

−

0 z x

0 y x

1 z y x

⇒ unica sol.^ne ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

3 1 3 1 3 1

CASO λ = 2

E’ analogo al caso λ = -1, si trova ρ(A) = 3 = ρ(A|b) e l’unica solu-

zione ^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

9 8 9 2 9

4 .

RISPOSTA FINALE: λ≠ 0,-1,2 : NON ci sono SOL.ⁿⁱ λ = 0 : unica sol.^ne(0 0 0 ) λ = -1 : unica sol.^ne ^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

3 1 3 1 3 1

λ = 2 : unica sol.^ne ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

9 8 9 2 9

4

proporzionali

ESERCIZIO 6.

Combinazioni lineari di colonne

Provare che C₄ = ^t(-1 0 0 0) è combinazione lineare di C1 = ^t(-1 1 -1 1), C2 = ^t(-1 -1 1 0), C3 = ^t(-1 0 0 -1) e determinare i coefficienti della combinazione.

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ +

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ +

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛−

1 -

0 0 1 - z 0 1 1 -

1 - y 1 1 -

1 1 - x 0 0 0 1

si esprime in modo equivalente

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

−

= +

−

=

−

=

−

0 z x

0 y x

1 z y x

Alternativamente si possono trovare subito i coefficienti x, y, z della C.L. ( facile ! ) :

Da x=y=z segue -3x=-1 cioè x=y=z=¹₃ . E dire che la colonna dei termini noti è C.L. delle 3 colonne dei coefficienti delle incognite equivale a dire che il sistema ha soluzioni, ossia che ρ(A)= ρ(A|b)

(19)

VVETETTTOORRII GGEEOOMMEETTRRIICCII

LoLo ssppaazziioo vveettttoorriiaalele ddeei i vveettttoorrii lliibbeerrii ddeell ppiiaannoo ((rriisspp..ssppaazziioo))

PrProoddoottttoo ssccaallaarree –– vveettttoorriialalee -- mmiissttoo VVeettttoorree pprrooiieezizioonnii oorrttooggoonnaallee

R

RETETTETE NNEELL PPIIAANNOO

R

Raapppprreesseennttaazziioonnee ppaarraammeetrtriicaca ee ccaarrtteessiiaannaa F

Faascscii ddii rreettttee

Rosalba Barattero

ESERCITAZIONE N.3

28 marzo 2007

(20)

OPERAZIONI TRA VETTORI (LIBERI)

v vettore libero vettore applicato P-0 punto P (a,b,c)∈R³

0 v P

O

u O

u+v v

u u 1.SOMMA DI VETTORI

2u

−1

2. MOLTIPLICAZIONE DI UN VETTORE PER UNO SCALARE (NUMERO REALE)

P-O è un rappresentante della classe di equivalenza di v modulo l’equipollenza

u⋅v = a1b1+a2b2 u⋅v=|u| |v|cos uv

u⋅v = a1b₁+a₂b₂+ a₃ b3 (u,v ≠0)

ORTOGONALITA’ :

v

u

3.PRODOTTO SCALARE DI VETTORI

θ= u v

numero u=( a1, a2) , v= (b1, b2)

nel piano

u=( a1, a2, a3) , v= (b1, b2, b3 ) nello spazio

u⋅v =0 ⇔ u ⊥ v

∀ u≠ 0, ∀ v ≠ 0

(21)

uxv = (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)

• direzione ⊥ u, v

uxv • verso t.c. u, v, uxv formino terna dx

• modulo = |u| |v| sen uv (= area parallelogramma di lati u, v)

v u

v

4.PRODOTTO VETTORIALE DI VETTORI

u=( a₁, a₂, a₃)

v=( b₁, b₂, b₃ ) nello spazio

Minori a segno alterno della matrice

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

3 2 1

b b b

a a a vettore

u uxv

vxu

PARALLELISMO :

u⋅vxw =

3 2 1

c c c

b b b

a a a

COMPLANARITA’ :

uxv =0 ( vettore nullo) ⇔ u // v

∀ u≠ 0, ∀ v ≠ 0

5.PRODOTTO MISTO DI VETTORI

prima operazione da eseguire

numero

u=( a₁, a₂, a₃) v=( b₁, b₂, b₃ ) w=( c₁, c₂, c₃ ) nello spazio

u⋅vxw =0 ⇔ u, v, w complanari

∀ u≠ 0, v ≠ 0, w≠ 0

(22)

ESERCIZIO1.

Vettori

Siano dati in R³ u= (1,1,1) e v=(2,1,1).

a) Trovare un vettore non nullo ortogonale ad u-2v

b) Trovare tutti i vettori di modulo 2 ortogonali ad u e a v c) Ci sono valori reali di λ per i quali w=( 0,λ,-1) sia complanare con u e v ?

a) u= (1,1,1) e v=(2,1,1) ⇒ u-2v= (1,1,1)+(-4,-2,-2) ⇒ u-2v= ( -3,-1,-1).

Sia r=(a,b,c) ⊥ u-2v allora (a,b,c)⋅( -3,-1,-1) =0 e quindi -3a-b-c=0. Un vettore r che soddisfa è ad esempio r=(0,1,-1).

b) un vettore ortogonale ad u e v è il prodotto vettoriale uxv, tutti gli altri sono vettori paralleli a uxv.

Determiniamo i minori a segno alterno della matrice ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

1 1 2

1 1

1 e otteniamo uxv = ( 0,1,-1).

Quanto vale il modulo di uxv? |uxv|= 0²+1² +(−1)² = 2. uxv non è il vettore cercato !

Quali sono le componenti dei vettori paralleli a uxv ?

I vettori paralleli ad uxv sono i vettori r del tipo λ(uxv) ⇒ r= λ ( 0,1,-1) = (0, λ, -λ) al variare di λ∈R .

Tra questi cerchiamo quelli di modulo 2 : | (0, λ, -λ)|= ⁰²⁺^λ²⁺⁽⁻^λ)² ⁼ ²^λ² ⁼^|^λ^| ².

Imponiamo la condizione |λ| ²= 2 e ricaviamo λ= ± ², da cui i due vettori cercati : (0, 2,- 2) e (0,- 2, 2).

c) u,v,w sono complanari ⇔ d(u,v,w)=0

⇔

1 0

1 1 2

1 1 1

λ − ⁼⁰ ⇔ -λ (-1) -1(-1) =0

⇔ λ=-1 unico valore cercato !

Osservazione

b) si può risolvere anche facendo uso del prodotto scalare con le due equazioni …

(23)

ESERCIZIO2.

Proprietà del prodotto scalare

Provare che un quadrilatero è un rombo se e solo se ha le

diagonali perpendicolari.

Calcoliamo (v+u)

⋅

(v-u) usando le proprietà del prodotto scalare : (v+u)

⋅

(v-u) = v

⋅

v + u

⋅

v + v

⋅

(-u) +u

⋅

(-u) ( propr. distr.) = |v|²+ u

⋅

v - v

⋅

u - |u|² ( linearità) = |v|²- |u|² ( simm.)

Da (v+u)

⋅

(v-u)= |v|²- |u|²deduciamo che:

¾ |v|=|u| ⇒ (v+u)

⋅

(v-u) =0

¾ (v+u)

⋅

(v-u) =0 ⇒ |v|²- |u|² ⇒ |v|= ±|u| ⇒ |v|=|u|

-u

v u

v-u v+u

La tesi diventa quindi la seguente:

|u| = |v| ⇔ (v+u)

⋅

(v-u) = 0

Il modulo di un vettore è positivo !!

ESERCIZIO3.

Il vettore proiezione ortogonale di un vettore su un altro

a) Nel piano R² siano u=(2,2) e v=(3,-1).

Determinare il vettore prv(u) (proiezione ortogonale di u su v).

Nello spazio R³siano u=(0,1,3) , v= (-1,0,1).

b) Determinare il vettore prv(u) (proiezione ortogonale di u su v) c) Determinare un vettore parallelo ad u la cui proiezione su v sia

un vettore di modulo uno. Ce n’è uno solo ?

u=(2,2), v=(3,-1) ⇒ prv(u) = vers(v)

| v

| v u⋅

= vers(v) 10 4

=

10 v 10 4

= v 10

4 (⇒ prv(u) = v

| v

| v u

2

⋅ )

= 5

2 (3,-1) = ( 6/5 , -2/5 )

x O

v u

θ= u v

a) pr_v(u) = vers(v) y

| v

| v u⋅

= vers(v)

| v

|

cos(uv)

| v

|

| u

|

= |u| cos (uv) vers(v)

[ vers(v) =

| v

| v ]

(24)

b)

c) vettore w

//

u t.c. | pr_v(w) | = 1 w = t u = t (0,1,3) , t ∈R

prv(w) = v

| v

| v w

2

⋅

= ( 1,0,1)

2 1,0,1) ( t,3t)

(0, ⋅ − −

= ( 1,0,1) 2

3t − [ |λ v| = |λ| |v| ]

⇒ |prv(w)| = 2 2

| t

|

3

⇒ ³^|₂^t^| ²=1 ⇒ t =^± ₃²

⇒ w = t (0,1,3) = 3

± 2 (0,1,3) : due vettori di modulo 1 !!

v

u z

O

x y

U=(0,1,3), V=(-1,0,1) prv(u) = _|^u_v_|^v2^v

⋅

= v 2 3

= ( -3/2,0,3/2)

modulo del vettore λv Modulo = val.ass.

del numero λ

ESERCIZIO4.

RETTE NEL PIANO: RAPPRESENTAZIONE PARAMETRICA

a) Stabilire se i tre punti A(1,2), B(0,4), C(4,-4) sono allineati.

b) Determinare una rappresentazione parametrica della retta r passante per A e B.

c) Dire se il punto Q(5,7) appartiene a r.

a) Sappiamo che dati tre punti A,B,C nel piano o nello spazio le seguenti condizioni sono equivalenti:

1. i tre punti A, B, C sono allineati 2. (B-A)x(C-A) =0

3. (B-A) = t(C-A) per qualche t∈R

Nel nostro caso B-A = (-1,2), C-A= (3,-6) quindi t=-1/3 rende vera la 3. I due vettori sono proporzionali e quindi paralleli e i tre pti A,B,C sono allineati.

In modo più scomodo, ma corretto, si può verificare la 2. ossia (B-A)x(C-A) =0^(*), ma occorre fare attenzione che il prodotto

vettoriale è definito nello spazio e quindi la terza coordinata dei nostri vettori (per ipotesi vettori del piano) va posta uguale a

zero: ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

0 6 3

0 2

1 . I minori a segno alterno sono: 0,0,0 e quindi

(B-A)x(C-A)=(0,0,0).

(*)

C

A

B