Elaborazione Numerica di Misure di Grandezze Tempovarianti

Elaborazione Numerica di Misure di Grandezze

Tempovarianti

Comunemente si classificano le grandezze in STATICHE e DINAMICHE

Tuttavia questa distinzione non ha ragione di essere in quanto ogni fenomeno che può

essere osservato presenta elementi di variabilità nel tempo

Con grandezze STATICHE si intendono quelle per cui la variazione della grandezza stessa risulta inferiore rispetto alla soglia di sensibilità

dello strumento con cui si effettua la misura della grandezza in esame.

Viceversa con grandezze DINAMICHE si intendono quelle la cui variabilità risulta

superiore alla soglia di sensibilità della strumento con cui si effettua la misura della

grandezza stessa.

L'analisi temporale delle grandezze tempo- varianti si propone come obbiettivo quello di

verificare se il fenomeno presenta aspetti di ripetitività (segnali deterministici) o meno (segnali casuali o random) o caratteristiche di

unicità (segnali transitori)

Periodici Deterministici

Non Periodici Segnali

Stazionari Random

Non Stazionari

L'elaborazione di segnali tempovarianti viene comunemente eseguita per via numerica e dunque è necessario preventivamente operare

una digitalizzazione del segnale in oggetto

Discretizzazione del segnale (quantizzazione) Discretizzazione del tempo (campionamento)

MINIMI QUADRATI (polinomi trigonometrici)

Siano noti N punti g_k=g(t_k) con k=0..N-1 con ∆t= t_k+1 - t_k per ogni k

cioè si hanno N punti (t_k, g_k) nel piano tempo-segnale

Inoltre è nota la frequenza del fenomeno (5Hz) Si vuole trovare un modello per i dati

sperimentali del tipo

(

)

(

)

A t

g( ) = ⋅cos 2π ⋅ ⋅ + ⋅sin 2π ⋅ ⋅

Si procede in modo del tutto analogo a quanti visto nel caso generale per il problema dei

minimi quadrati, cioè:

( )

( ) ( ( ) ( ))

( ) ( )

( ) ( ( ))

( )

( )

( )

( )_^















⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=



 



⋅

















⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

∑

∑

∑

∑

∑

∑

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

1

0 1

0 1

0 1 2

0

1

0 1

0

2

2 sin

2 cos 2

sin 2

sin 2

cos

2 sin 2

cos 2

cos



k

k k



k

k k



k

k



k

k k



k

k k



k

k

g t f

g t f B

A t

f t

f t

f

t f t

f t

f

π π π

π π

π π

π

La risoluzione del problema fornisce i parametri del modello. Noti A e B è possibile definire due

nuove quantità di interesse:

) , ( 2

2 atan

2 B B A

A

M = + ϕ =

(modulo) (fase)

Posso quindi pensare di associare al segnale g(t) un vettore / numero complesso

B j A

G = + ⋅

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

tempo [s]

Forza

Dati Modello

tuttavia in generale non è possibile operare in questo modo in quanto non è nota la frequenza

f del segnale che si vuole elaborare.

SEGNALI PERIODICI

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

tempo

segnale

x(t)

1

11

21

31

41

51

61

71

81

91

101

111

121

131

141

151

161

171

x(t) x1(t)

x2(t) x3(t)

x4(t)

-2 -1.5

-1 -0.5

0 0.5 1

1.5 2

segnale

tempo

armonica

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 151 16 1 171

x(t) x2(t) x4(t)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

segnale

tempo

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 11 1 121

x(t) x1(t) x2(t) x3(t) x4(t)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

segnale

armonica

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

tempo

segnale

x1(t) x2(t)

x3(t) x4(t)

x(t)

FUNZIONI PERIODICHE¹

Sia g(t) una funzione periodica di periodo T allora

( ) ∑ ( )

∑

=

∞

=

⋅

⋅

⋅ +

⋅

⋅

⋅ +

=

1 1

0 cos 2 sin 2

2 ) 1 (

i

i i

i

i

i f t b f t

a a

t

g π π

con f T f

i

f_i 1

=

⋅

=

e inoltre

( )

(

)

t T g

b

dt t f t

T g a

i i

i i

2 sin ) 2 (

2 cos )

2 (

T 0

T 0

∫

∫

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

π π

(sviluppo in serie di Fourier)

Utilizzando la notazione di Eulero, cioè:

( ) ( )

( ) ( )

sin 2 cos 2

sin cos

x j x

j x

j x

j x j

e x e

e j x e

x j

x e

⋅

−

⋅

⋅

−

⋅

⋅

= − + ⋅

=

⋅ +

=

1 Ulteriori informazioni: F. Angrilli "Corso di Misure Meccaniche, Termiche e Collaudi"

Vol.1 - CEDAM - capitolo 7

sostituendo sopra si ottiene

( )

∑ ( )

∑

=

⋅

⋅

⋅

−

∞

=

⋅

⋅

⋅ + + ⋅ ⋅

⋅

⋅

− +

=

1

2 1

2

0 2

1 2

1 2

) 1 (

i

t f j i

i i

t f j i

i

i

i a j b e

e b j a a

t

g ^{π π}

ponendo

( )

( )

0 0

2 1

2 1

2 1

i i

i i

i i

i

G b

j a

G

b j a G

a G

=

⋅ +

⋅

=

⋅

−

⋅

=

⋅

=

−

si ha:

( )

∑

∑

∑

−∞

=

⋅

⋅

∞ ⋅

−

−

=

⋅

⋅

∞ ⋅

=

⋅

⋅

⋅ + ⋅ = ⋅

⋅ +

=

i

t f j i i

t f j i i

t f j i

i i

i G e G e

e G G

t

g ^{π π 2π}

1

2 1

2

) 0

(

dove

( )

(

)

dt T t f t

T g

G_{i i} 1 ( ) sin 2 _i

j - 2

cos )

1 ( ^T

0 T

0

∫

∫

= π π

oppure in forma complessa

( )

∫

= ^T

0

) 2

1 (

dt e

t T g

G_i ^{j π fi t}

Nota: in tutte le relazioni è opportuno sostituire f_i = i⋅ f

Per segnali non periodici si può ipotizzare di avere un periodo T → ∞ e dunque si ha:

( )

∫

= -

) 2

(t e dt g

G_i ^{j π fi t}

In definitiva si può ipotizzare un operatore che associa ad ogni funzione periodica g(t) (fuzione

reale di variabile reale con t=tempo) la sua

"trasformata di Fourier" G(f) (funzione complessa di variabile reale f=frequenza)

(

)

)

( f g t G = _F

(

)

)

(t ¹ G f g = F ⁻

Trasformata di Fourier Discreta DFT

Nella quasi totalità dei casi la funzione g(t) non è nota nella sua forma analitica ma bensì è nota in un numero (finito) di istanti t_i in genere

fra loro equidistanti

Siano noti N punti g_k=g(t_k) con k=0..N-1 con ∆^{t= t}_k+1 ^{- t}_k per ogni k

∆t tempo di campionamento f_c=1/∆t frequenza di campionamento

Τ=Ν ∆t tempo di acquisizione

Il calcolo degli integrali viene eseguito per via numerica e dunque si ha:

t e

t g G 



k

t t

 j i

k i

k ⋅∆

∆ ⋅

= ⋅

∑

=



 



 ⋅

∆

⋅ ⋅

⋅ 1 −

0

1 2^π

semplificando

∑

=



 



 ⋅ ⋅

⋅

−

⋅

=

1

0

1 ^ 2 k

 k j i

k

i g e

G 

π

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO ARMONICA² Dato un sistema lineare la funzione di trasferimento armonica è uno strumento matematico che definisce come un ingresso

sinusoidale x(t) viene trasformato in un segnale in uscita y(t) (sinusoidale) Siano dunque x(t) ingresso e y(t) uscita

(periodici) del sistema lineare in esame e siano X(f) e Y(f) le trasformate di Fourier di ingresso

e uscita

Si dimostra che:

( )

) (

f X

f f Y

H =

risulta essere la funzione di trasferimento e che il modulo di H(f) rappresenta il rapporto fra i moduli di uscita ed ingresso sinusoidali mentre

la fase di H(f) rappresenta lo sfasamento fra uscita ed ingresso.

E' opportuno che H(f) è una funzione complessa.

2 Per maggiori dettagli si veda: E.O. Doeblin, "Measurement Systems Application and Design" - fourth edition - par. 3.3 pag. 98-102

Dal punto di vista computazionale non è opportuno calcolarsi direttamente H(f) con la

relazione appena indicata e dunque si preferisce operare in modo differente

Si definisce autospettro di una funzione x(t), dove X(f) è la sua trasformata di Fourier

( )

( )

( )

( )

G_xx = ⋅ =

L'autospettro è una funzione reale.

Date due funzioni x(t) e y(t),

con X(f) e Y(f) trasformate di Fourier, si definisce cross-spettro

( )

( )

( )

G_yx = ⋅ ^*

Il cross-spettro è una funzione complessa

Ritornando alla funzione di trasferimento armonica si ha:

( ) ( )

( )

( ) ( )

G f G f

X f

X

f X f

Y f

X f f Y

H

xx

= yx

⋅

= ⋅

= _*

*

) (

) ( )

( ) (

Si definisce coerenza la funzione

( ) ( )

( )

( )

f f G

yy xx

yx

= ⋅

2

γ 2

La coerenza è una funzione reale.

Nell'ipotesi che il sistema sia lineare e i segnali x(t) e y(t) siano privi di rumore è possibile

verificare che

( )

2 f =

γ

mentre in generale

( )

2 f <

γ

di conseguenza si ha che la funzione di coerenza indica qualitativamente l'ipotesi di linearità del sistema in esame e di assenza del

rumore sui segnali