• Non ci sono risultati.

Loi de réciprocité quadratique par les formes quadratiques

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Loi de réciprocité quadratique par les formes quadratiques"

Copied!
2
0
0

Testo completo

(1)

Loi de réciprocité quadratique par les formes quadratiques

Lemme. Soient a un entier non nul et q un nombre premier impair. Alors

nx ∈ Fq, ax2 = 1o = 1 + a q

!

.

Démonstration : comme a est un carré modulo q si et seulement si a−1 en est un, il est équivalent de dire que a est un carré modulo q et que le polynôme aX2− 1 ∈ Fq[X] possède deux racines distinctes dans Fq. Ainsi, le cardinal considéré vaut 0 si a n’est pas un carré modulo q, et 2 si a est un carré modulo q. Comme on peut encore écrire, de façon atrocement astucieuse, 0 = 1 − 1 et

2 = 1 + 1, le résultat suit. 

Théorème. Soient p et q deux nombres premiers impairs. On a

p q

! q p

!

= (−1)p−12 q−12 . Démonstration : considérons l’ensemble

X =

(

(x1, . . . , xp) ∈ Fpq,

p

X

i=1

x2i = 1

)

. On va calculer son cardinal modulo p de deux façons différentes.

Tout d’abord, on peut le voir comme

X =nx ∈ Fpq, f (x) = 1o,

où f est la forme quadratique dont la matrice dans la base canonique de Fpq est Ip. Posons

d = p − 1

2 , a = (−1)d et J = 0 1 1 0

!

∈M2(Fq),

et considérons la forme quadratique dont la matrice dans la base canonique de Fpq est

M =

J . ..

J a

∈Mp(Fq).

(2)

On constate que rg(M ) = p = rg(Ip) et dét M = (dét J )da = (−1)d(−1)d = 1 = dét Ip. D’après la classification des formes quadratiques sur les corps finis, M et Ip ayant même rang et même déterminant (donc même discriminant, qui est le déterminant modulo les carrés du corps de base), elles sont congruentes. Ainsi |X| = |X0|, où

X0 =nx ∈ Fqp, f0(x) = 1o,

et f0 est la forme quadratique dont la matrice dans la base canonique de Fpq est M ; autrement dit, on a

X0 =

(

(y1, z1, . . . , yd, zd, t) ∈ Fpq, 2

d

X

i=1

yizi+ at2 = 1

)

. Il suffit donc de déterminer le cardinal de X0. Soit (y1, z1, . . . , yd, zd, t) ∈ X0.

– si y1 = . . . = yd = 0, alors le choix des zi est quelconque, et t doit vérifier at2 = 1. Ainsi, il y a qd choix des zi et 1 +aq choix de t d’après le lemme. Il y a donc qdh1 +aqi éléments de cette forme ;

– au contraire, s’il existe un yi non nul, alors (y1, . . . , yd) est un vecteur non nul de Fdq, pour lequel il y a qd− 1 choix. Le choix de t est quelconque, et alors les zi vivent dans un hyperplan affine de Fdq, il y a donc qd−1 choix pour eux. Au total, il y a (qd − 1)qqd−1 = qd(qd− 1) éléments de cette forme

Par suite,

|X0| = qd

"

1 + a q

!

+ qd− 1

#

= qd

a q

!

+ qd

!

.

À présent, on fait agir Z/pZ sur X par k · (x1, . . . , xp) = (xk+1, . . . , xk+p), les indices étant vus modulo p. Il y a deux sortes d’orbites :

– celles dont le stabilisateur est Z/pZ, elles sont de la forme {(x, . . . , x)}, où x ∈ Fq vérifie f (x, . . . , x) = 1, c’est-à-dire px2 = 1 ;

– les autres, dont le stabilisateur, étant un sous-groupe de Z/pZ, est forcément trivial.

L’équation aux classes nous donne alors

|X| = X

px2=1

|Z/pZ|

|Z/pZ| + X

autres orbites

|Z/pZ|

| {1} | ≡ 1 + p q

!

[p]

grâce au lemme.

On en conclut que

qd

a q

!

+ qd

!

≡ 1 + p q

!

[p].

Comme qdqp[p] et que de même aq≡ (−1)p−12 q−12 [p], on obtient en multipliant cette identité par qp

(−1)p−12 q−12 + q p

!

q

p

!

+ q

p

! p q

!

[p].

Simplifiant par qp, on obtient le résultat voulu modulo p. Mais comme chaque membre est un

entier égal à ±1, c’est en fait une égalité dans Z. 

Riferimenti

Documenti correlati

The solid curves correspond to the pixel optical depths recovered using the spatially inhomogeneous UVB model, while the dotted curves shows the results for the spatially

Comparison of the ERT and PLIF results demonstrates the ability of ERT to detect mixing performance in cases of poor mixing within the resolution of the measurement, though the

In vivo experiments using the rat sciatic nerve model were performed using the porous hybrid chitosan membranes seeded with neuroglial- like cells obtained from in vitro

• s’assurer que les travailleurs de plateforme qui ne sont pas vraiment des travailleurs indépendants aient le droit de s’organiser et de négocier des

The efforts of ICAN to harness collective intelligence, consciousness and competence, while at the same time emphasizing the importance of individual

The aims of this study were: (a) to establish the clinical significance of partial AZFc deletions (that is, if any of them are specific for spermatogenic failure or can be considered

induced during high light stress and even more during photoacclimation (Fig. By contrast, in WT plants, MBS1 was induced neither by high light treatments nor by treatments that led

L’importanza della conoscenza del bene è infatti introdotta dal Codice dei Beni Culturali e del Paesaggio, relativamente alla tutela del patrimonio culturale, come la