Problema 3: Calcolare il raggio di convergenza e la somma della seguente serie di potenze

Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Simulazione di prova di fine corso del 24/05/2017

A.A. 2016/2017

Problema 1: Studiare qualitativamente il problema di Cauchy (y⁰= t(log²y − 4) ,

y(0) = e,

Esistono punti di flesso? In caso affermativo, indicato con (t0, y(t0)) un qualsiasi punto di flesso, trovare un possibile a > 0 per cui si abbia |t0| ≥ a.

Problema 2: Calcolare tutte le soluzioni limitate della seguente equazione differenziale y⁰⁰⁰− 4y⁰⁰+ 4y⁰ = cos x .

Problema 3: Calcolare il raggio di convergenza e la somma della seguente serie di potenze

+∞

X

n=1

n n − 1zⁿ.

Problema 4: Studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni fn(x) = e^−nxcosx

n

 .

Problema 5: Sia γ una curva chiusa semplice e regolare a tratti. Determinare Z

γ

e^z z⁴dz al variare della curva γ nel piano complesso.

Problema 6: Data

f (x) =

(0 se x ∈ [−π, 0] , x se x ∈ (0, π) ,

e si denoti ancora con f (x) la sua estensione 2π−periodica a tutta la retta reale. Si calcoli la serie di Fourier associata a f e se ne studi la convergenza. Ricavare l’identit`a di Parseval e si sfruttino i risultati ottenuti per calcolare le seguenti serie numeriche

X

n∈N

1

(2n + 1)² e

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ n .