Supponiamo che T1

Elementi di Probabilità e Statistica - 052AA - A.A.

2015-2016

Prova scritta - 10 giugno 2016

Problema 1. (pt 9) Supponiamo che ad un centralino arrivino n chiamate, agli istanti aleatori T1; T₂,..., Tn.

1. Supponiamo che T1; T₂,..., Tn siano v.a. esponenziali di parametro > 0, indipendenti (a di¤erenza delle domande successive, qui non si suppone un ordinamento tra questi istanti). Sia T l’istante della prima chimata. Scoprire che v.a. è T . Se vi viene dato un campione x1; :::; x₃₀ di valori di T , che numero usereste come stima di ?

2. Supponiamo ora invece che sia T1 T₂ ::: T_n e poniamo 1 = T₁, 2 = T2 T1, ..., n = Tn Tn 1; in altre parole, 1; 2; :::; n sono gli intertempi, aleatori, tra le chiamate. Supponiamo che gli intertempi 1; ₂; :::; _n siano v.a. esponenziali di parametro = 5, indipendenti. L’ennesima chiamata, in media quando arriva e con che deviazione standard? Se doveste calcolare in fretta P (a < T50 < b), che fareste?

3. In questa domanda si supponga lo schema del punto 2 ma senza limitazione su n, cioè si supponga di avere una successione ( n) di v.a. esponenziali di parametro > 0, indipendenti, che siano gli intertempi di una successione crescente (Tn) di chiamate. Per ogni numero reale t 0, indichiamo con Nt

la v.a. numero di chimate arrivate entro il tempo t, cioè nell’intervallo [0; t].

Calcolare P (Nt 1) e P (Nt 2), P (Nt= 1), P (Nt = 0). Esprimete una congettura su che v.a. sia Nt.

Problema 2. (pt 9) Sia X una v.a. di densità f_X( ; x) = C

1

jxj se 1 x exp (2 ) 0 altrimenti dove il parametro varia nell’insieme = (0;1).

1. Trovare C e calcolare FX( ; x), la funzione di ripartizione di X.

2. Calcolare in due modi diversi la densità di probabilità fY ( ; y)di Y = log X.

3. Dato un campione X1; :::; X_n con densità fX ( ; x), trovare lo stimatore di massima verosimiglianza di . E’consistente?

Problema 3. (pt 12)Un’agenzia di controllo delle tasse di una certa nazione, esamina i commercianti di calzature di una regione, zona geogra…ca su cui pesa il pregiudizio che gli abitanti evadano le tasse. Quando l’agenzia esamina una persona, ha di fronte una grandezza incognita X che rappresenta il valore VERO che quella dovrebbe pagare; prima che quella persona paghi, ha di fronte anche una seconda grandezza incognita Y che rappresenta il valore che verrà pagato, che però potrebbe non corrispondere al valore vero X relativo a quella persona. Per semplicità, nel seguito si supponga che X ed Y abbiano entrambe distribuzioni gaussiane.

L’agenzia sa, sulla base di statistiche nazionali ed indagini pregresse, che E [X] = 10⁵, V ar [X] = ¹₄10^{5 2} (in una certa valuta, non si pensi ad una nazione speci…ca, il dato è immaginario).

1. Un negoziante di quella regione ha pagato solo 2 10⁴. Secondo le statistiche u¢ ciali, che percentuale di negozianti dovrebbe pagare una cifra così bassa?

2. La media aritmetica delle tasse pagate da 20 negozianti di calzature di quella regione è ⁵₆10⁵, con deviazione campionaria S = 0:27 10⁵. Tale media aritmetica può essere considerata una normale ‡uttuazione casuale rispetto al dato nazionale delle imposte da pagare? (Se sì, è possibile che siano le tasse vere che dovevano essere pagate; se no, è un’indicazione di potenziale evasione). L’agenzia sottopone a test statistico questo dato: quanto vale la soglia di accettazione e che esito avrebbe dato il test al 95% (avrebbe cioè ri…utato l’ipotesi che quelle fossero le tasse giuste da pagare)?

3. Calcolare la potenza del test precedente, al 95% con 20 esaminati, supponen- do anche in questa domanda che la deviazione standard sia nota, pari a ¹₄10⁵ (se non lo si è già fatto, in questo punto conviene per chiarezza formalizzare

= ₀[ ¹ e la regione critica).

4. Rassegnati all’unicità di questa zona geogra…ca, l’agenzia vuole stimare il valore atteso della contribuzione Y sulla base dei 20 esaminati al punto 2, e cerca quindi un intervallo di …ducia al 90%. Calcolarlo, spiegando un poco su che teoria poggia.

1 Soluzioni

Esercizio 1.

1) T = min Ti, per t 0:

P (T > t) = P (T_i > t;8i = 1; :::; n) = P (T¹ > t)ⁿ= e ^{n t}

quindi è esponenziale di parametro n (con una facile argomentazione). Il val- ore atteso allora è _n¹ ; approssimato, per n = 30, da ^x1+:::+x₃₀ ³⁰. Pertanto, 30 è approssimato da _x ³⁰

1+:::+x30, quindi da _x ¹

1+:::+x30.

2) Tn = ₁ + ::: + _n (n; ), quindi Tn ha media ⁿ e varianza ⁿ2, quindi deviazione standard ^pn. Vale

P (a < 1+ ::: + 50 < b) = P a 50¹₅

p50¹₅ < ¹+ ::: + ₅₀ 50¹₅

p50¹₅ < b 50¹₅ p50¹₅

!

T LC b 10

p2

a 10 p2 : 3) Per t 0

P (N_t 1) = P (T₁ t) = 1 e ^t P (N_t 2) = P (T₂ t) =

Z t 0

1 (2)

2xe ^xdx = 1

(2) xe ^{x t}₀+ 1 (2)

Z t 0

e ^xdx = te ^t+ 1 e ^x Da qui

P (N_t= 1) = P (N_t 1) P (N_t 2)

= te ^t

P (N_t= 0) = P (T₁ > t) = e ^t Esercizio 2.

1) Z exp(2 )

1

1

jxjdx = log exp (2 ) log 1 = 2 quindi C = ₂¹,

F_X( ; x) = 0per x < 1

F_X( ; x) = 1per x > exp (2 ) mentre per x 2 [1; exp (2 )] vale

FX( ; x) = 1 2

Z x 1

1

jtjdt = 1 2 log x

quindi

FX( ; x) = 1

2 log x1[1;exp(2 )](x) + 1(exp(2 );1)(x) : 2) Poniamo ' (x) = log x. In base ad un teorema,

f_Y ( ; y) = f_X( ; x)

j'⁰(x)j j^{y=log x} = 1

2 jxjjxj 1[1;exp(2 )](x)j^{y=log x}

= 1

2 1[1;exp(2 )](e^y) = 1

2 1_{[0;2 ]}(y) : Alternativamente,

F_Y (y) = P (Y y) = P (log X y) = P (X e^y) = F_X(e^y)

= 1

2 log e^y1[1;exp(2 )](e^y) + 1(exp(2 );1)(e^y)

= 1

2 y1_{[0;2 ]}(y) + 1_{(2 ;1)}(y) da cui, derivando,

fY ( ; y) = 1

2 1_{[0;2 ]}(y) : 3)

L ( ; x₁; :::; x_n) = 1 2^{n n}

1

jx¹ x_nj1[1;exp(2 )](x₁) 1[1;exp(2 )](x_n)

= 1

2^{n n} 1

jx¹ x_nj1_{1 min xi max xi exp(2 )}:

Fissato (x1; :::; x_n), posto M = max xi, la funzione 7! L ( ; x¹; :::; x_n) è nulla se exp (2 ) < M, cioè < ¹₂log M, altrimenti vale ₂n n¹

1

jx1 xnj che è una funzione decrescente di ; pertanto il massimo è in = ¹₂ log M. Lo stimatore di MV è

b_n = 1

2log max

i=1;:::;nX_i:

Si può anche riscrivere, con lieve abuso di notazione, nella forma b_n = 1

2 max

i=1;:::;nY_i:

P b_n > = P max

i=1;:::;nY_i 2 >

= P max

i=1;:::;nY_i < 2

= P (Y₁ < 2 )ⁿ ! 0:

E’consistente.

Esercizio 3.

1)

P X 2 10⁴ = P X 10⁵

1 410⁵

2 10⁴ 10⁵

1

410⁵ = ( 3:2) = 0:00068:

2)

P X 5

610⁵ = P X 10⁵

1 410⁵

p20

5

610⁵ 10⁵

1 410⁵

p20

= ( 2:981 4) = 0:00144:

Al 95% avremmo ri…utato l’ipotesi che quelle fossero le tasse giuste da pagare.

3) Il parametro incognito è 2 = R, ⁰ = [10⁵;1), ¹ = ( 1; 10⁵), D = X d dove d è calcolato secondo il vincolo P¹⁰⁵(D) = 0:05. La potenza è la funzione 7! P (D) con < 10⁵. Intanto, vale

d = 10⁵

1

410⁵q_0:95 p20 = 10⁵

1

410⁵ 1:65

p20 = 90776:

Allora

P (D) = P X 90776 = P X

1 410⁵

p20 90776

1 410⁵

p20 = 90776

1 410⁵

p20 :

4) Usando la teoria della t di Student (lo studente è invitato a dare più dettagli), l’intervallo è

= 5

610⁵ 0:27 10⁵t_19;1 p 2

20 ecc.