TRE EMETTITORI QUANTISTICI IN UNA GUIDA D’ONDA

Corso di Laurea Magistrale in Fisica

STATI LEGATI DI

TRE EMETTITORI QUANTISTICI IN UNA GUIDA D’ONDA

Tesi di Laurea Magistrale in Fisica Teorica

Relatori:

Prof. Saverio Pascazio

Dott. Francesco Pepe Laureando:

Valerio Nucci

Anno Accademico 2014/2015

Indice

Introduzione 1

1 Guide d’onda 3

1.1 Equazioni di Maxwell e condizioni al contorno . . . . 3

1.2 Modi trasversi magnetici ed elettrici . . . . 6

1.3 Guida d’onda rettangolare . . . . 7

2 Analisi non perturbativa del propagatore 11 2.1 Evoluzione temporale in meccanica quantistica . . . . 11

2.2 Propagatore e ampiezza di sopravvivenza . . . . 12

2.3 L’autoenergia . . . . 14

2.4 Continuazione analitica del propagatore . . . . 16

2.5 Calcolo di A(t) tramite una ridefinizione del cammino d’integrazione 17 2.6 Operatore level shift e generalizzazione . . . . 18

2.6.1 Sottospazio di dimensione due . . . . 19

3 Sistema con due emettitori quantistici 21 3.1 L’Hamiltoniana . . . . 21

3.1.1 L’Hamiltoniana libera del campo elettromagnetico . . . . . 22

3.1.2 L’Hamiltoniana atomica e quella d’interazione . . . . 24

3.2 Condizioni di risonanza e stati legati . . . . 26

3.3 Energia, evoluzione ed entanglement . . . . 28

3.4 Analisi non perturbativa . . . . 30

4 Sistema con tre emettitori quantistici 35 4.1 Hamiltoniana e stati legati . . . . 35

4.2 Soluzioni con l’emettitore quantistico centrale diseccitato . . . . . 38

4.2.1 Energia . . . . 39

4.2.2 L’ampiezza c . . . . 43

4.2.3 Densità di energia del campo elettromagnetico . . . . 47

4.3 Soluzioni con l’emettitore quantistico centrale non diseccitato . . . 50

4.3.1 Energia . . . . 53

4.3.2 L’ampiezza c . . . . 53

4.3.3 Densità di energia del campo elettromagnetico . . . . 55

INDICE

5 Il propagatore e i suoi poli 57

5.1 Il settore N

= 1 . . . . 57

5.2 I poli del secondo foglio di Riemann . . . . 59

5.3 Il primo polo . . . . 60

5.4 Il secondo e il terzo polo . . . . 61

Conclusioni 65

Bibliografia 67

Introduzione

L’elettrodinamica quantistica (QED) è la teoria attraverso la quale vengono spie- gati con grande accuratezza i processi di interazione fra elettroni, positroni e foto- ni. Con l’acronimo CQED si fa riferimento, invece, all’elettrodinamica quantistica in cavità, che si occupa di studiare sistemi posti all’interno di cavità risonanti con particolari caratteristiche di confinamento, costituiti da materia in interazione con onde elettromagnetiche.

Da un punto di vista teorico un emettitore quantistico può essere immaginato come un atomo artificiale caratterizzato da due o più livelli energetici. Quando l’atomo si trova in uno stato eccitato può diseccitarsi spontaneamente producen- do radiazione, che può essere riflessa dalle pareti della cavità oppure può essere assorbita dagli altri atomi, i quali, a loro volta, emetteranno in seguito nuova radiazione. Tale processo di emissione spontanea risulta fortemente influenzato dalle condizioni al contorno a cui è sottoposto il campo elettromagnetico [1–3].

Sistemi in cui i fotoni confinati in una guida unidimensionale interagiscono con uno o più emettitori a due livelli, anche detti qubit, stanno generando negli ultimi anni sempre maggiore interesse. Parte della motivazione viene dai sorprendenti effetti di ottica quantistica che possono essere osservati in questi sistemi forte- mente accoppiati [4–11]. Un altro fattore stimolante è rappresentato dai futuri possibili impieghi per l’elaborazione di informazione quantistica [12–15]. Infine, un fattore chiave di interesse per questi sistemi è l’enorme progresso compiuto negli ultimi anni in ambito sperimentale [16–19].

Fino ad oggi, grandi sforzi sono stati compiuti nello studio di sistemi a un singolo qubit, e vi è una crescente letteratura sul caso a due qubit [20–22]. Suscita, quindi, molta curiosità lo studio di effetti fondamentali e di possibili applicazioni riguardanti guide d’onda accoppiate a un numero maggiore di atomi.

L’obiettivo di questa tesi è lo studio del comportamento di sistemi costituiti

da tre emettitori quantistici allineati all’interno di una guida d’onda a sezione

trasversale costante e di lunghezza infinita. L’analogia con una cavità riflettente

è nel fatto che ciascun atomo grazie alla sua natura di assorbitore e di emettitore

ha un comportamento analogo a quello di uno specchio [23–27]. Questo induce a

chiedersi in quali configurazioni tale comportamento "riflettente" inibisce il com-

pleto diseccitamento del sistema, rendendo non nulla la probabilità di trovare gli

atomi nei loro corrispondenti stati eccitati. Si vedrà che i parametri del sistema,

rappresentati semplicemente dal gap energetico tra gli stati atomici e dalle di-

mensioni geometriche della sezione della guida, determinano valori caratteristici

INDICE

della distanza interatomica in corrispondenza dei quali la radiazione emessa per decadimento spontaneo viene intrappolata nella regione compresa fra gli atomi.

Alla ricerca di tali stati legati del sistema è rivolto il maggior sforzo di questo lavoro.

Studi analoghi sono stati fatti su sistemi di atomi posti all’interno di una guida seminfinita con uno specchio perfettamente riflettente in corrispondenza della sua estremità [28,29], ed è stato dimostrato che il cammino ottico fra atomi e specchio gioca un ruolo fondamentale nella definizione degli stati legati.

Nel Capitolo 1 affronterò lo studio delle configurazioni possibili per un cam- po elettromagnetico all’interno di una guida d’onda. Mostrerò l’importate ruolo giocato da due particolari classi di soluzioni delle equazioni di Maxwell, i modi trasversi magnetici e i modi trasversi elettrici e ricaverò le loro espressioni nel caso di guida a sezione rettangolare. Questo argomento classico permetterà di comprendere la forma dell’Hamiltoniana da me utilizzata nel seguito.

Il Capitolo 2 tratta lo studio dell’evoluzione temporale della probabilità di sopravvivenza tramite il propagatore. Verrà mostrato come i poli del suo pro- lungamento analitico sul secondo foglio di Riemann determinino il decadimento esponenziale dell’ampiezza di sopravvivenza. La teoria del propagatore è alla base dei risultati da me ricavati.

Prima di passare allo studio del sistema a tre emettitori quantistici, nel Ca- pitolo 3 viene preso in esame il sistema costituito da due atomi. Lo studio inizia introducendo l’operatore di Hamilton e prosegue con la risoluzione della corrispon- dente equazione di Schrödinger indipendente dal tempo che permetterà di calco- lare gli stati legati. Verrà mostrato come l’evoluzione indotta dall’Hamiltoniana conduce alla generazione di entanglement.

Il Capitolo 4 rappresenta la parte centrale del mio lavoro, che è consistito nella ricerca degli stati legati del sistema a tre emettitori quantistici nel settore di singola eccitazione. Farò vedere che questi stati sono di due tipi e per ognuno di essi calcolerò le condizioni di risonanza, l’energia e l’andamento della densità energetica del campo elettromagnetico. Questo si concentra nella regione delimi- tata dai due atomi esterni che si comportano come le estremità riflettenti di una cavità risonante.

Nel Capitolo 5, verrà eseguito uno studio basato sulla ricerca dei poli del pro- lungamento analitico del propagatore. Questi, generalmente caratterizzati da una piccola parte immaginaria, risultano reali quando lo stato di partenza è stabile.

Le condizioni di risonanza che otterrò saranno confrontate con quelle ricavate nel

Capitolo 4.

Capitolo 1

Guide d’onda

Il sistema di tre emettitori quantistici, argomento di questa tesi, vive all’interno di una guida d’onda a sezione rettangolare. Una guida d’onda è un tubo di materiale conduttore riempito con del dielettrico. Le approssimazioni solitamente fatte per semplificare la trattazione di tali oggetti consistono nel supporre il conduttore perfetto (conduttività elettrica infinita) e il dielettrico lineare, omogeneo e non dispersivo.

In questo capitolo affronterò lo studio della propagazione delle onde elettro- magnetiche all’interno di una guida d’onda a partire dalle equazione di Maxwell.

Mostrerò che le condizioni al contorno, dovute alla presenze delle pareti condut- trici, permettono di definire due particolari categorie di onde, i modi trasversi magnetici ed elettrici, che rivestono un ruolo molto importante nella descrizione delle configurazioni di campo realizzabili all’interno di una guida.

Nella sezione finale verrà trattato nello specifico il caso di guida a sezione rettangolare, essendo questa la tipologia usata nel sistema da me studiato.

Questo argomento di fisica classica giustifica la forma dell’Hamiltoniana che verrà introdotta nel Capitolo 3, e generalizzata per l’analisi che ho condotto nei Capitoli 4 e 5.

1.1 Equazioni di Maxwell e condizioni al contorno

Considero una guida d’onda avente asse longitudinale coincidente con l’asse z e con una sezione trasversa arbitraria che assumo indipendente da z (Figura 1.1).

Suppongo che le pareti siano fatte di un materiale conduttore perfetto e che l’interno sia riempito di materiale dielettrico lineare e uniforme:

D = E B = µH , (1.1)

dove  è la permettività elettrica e µ è la permeabilità magnetica.

Equazioni di Maxwell e condizioni al contorno

Figura 1.1: Guida d’onda con asse parallelo a z e sezione trasversale costante.

Lo studio delle configurazioni possibili per un campo elettromagnetico passa inevitabilmente per le equazioni di Maxwell (in assenza di sorgenti):

∇ × E = − ∂B

∂t , ∇ · E = 0 ,

∇ × B = µ ∂E

∂t , ∇ · B = 0 .

(1.2)

Assumendo che le dipendenze dei campi dal tempo e dalla coordinata longi- tudinale siano armoniche,

E(x, y, z, t) = E(x, y)e

e

B(x, y, z, t) = B(x, y)e

e

, (1.3) e sfruttando l’uguaglianza

∇ × (∇ × V ) = −∇

V + ∇ (∇ · V ) , (1.4) con V generico campo vettoriale regolare, si giunge alle equazioni d’onda:

∇

+ µω

− k

 E B



= 0 , (1.5)

dove ω è la frequenza, k il numero d’onda e ∇

è la parte trasversa dell’operatore Laplaciano,

∇

= ∂

∂x

+ ∂

∂y

. (1.6)

In presenza delle opportune condizioni al contorno, come vedremo nella prossima sezione, per una fissata frequenza ω si possono avere soltanto certi valori di k, e viceversa.

Nel seguito della trattazione risulterà utile decomporre i campi nelle loro parti trasverse e longitudinali, definite come:

E

= ˆ zE

, B

= ˆ zB

,

E

= ( ˆ z × E) × ˆ z , B

= ( ˆ z × B) × ˆ z , (1.7)

dove ˆ z è il versore lungo la direzione dell’asse della guida.

Attraverso attenti passaggi è possibile riscrivere le equazioni di Maxwell (1.2) in termini delle componenti appena definite [30] ,

∂E

∂z + iω ˆ z × B

= ∇

E

, z · (∇ ˆ

× E

) = iωB

, (1.8)

∂B

∂z − iµω ˆ z × E

= ∇

B

, z · (∇ ˆ

× B

) = −iµωE

, (1.9)

∇

· E

= − ∂E

∂z , ∇

· B

= − ∂B

∂z , (1.10)

e, assumendo che almeno una delle due quantità E

e B

sia diversa da zero, combinando le prime due equazioni di (1.8) e (1.9) si dimostra che i campi tra- sversi possono essere ricavati a partire dalle componenti longitudinali tramite le espressioni:

E

= i

µω

− k

(±k∇

E

− ω ˆ z × ∇

B

) , (1.11)

B

= i

µω

− k

(±k∇

B

+ µω ˆ z × ∇

E

) , (1.12) dove i segni ± sono riferiti rispettivamente a onde che si propagano nel verso positivo e negativo dell’asse longitudinale.

A questo punto è necessario definire le condizioni al contorno che permettono, insieme alle equazioni (1.5), (1.11) e (1.12) di trovare le configurazioni dei campi ammesse per una generica guida. Supporre che il materiale di cui è fatto il tubo cilindrico sia un conduttore perfetto implica che i campi E e B siano nulli al suo interno, inoltre la componente tangenziale di E e quella normale di B devono essere continue nell’attraversare la superficie. Pertanto le condizioni al contorno sono:

n × E = 0 , ˆ n · B = 0 , ˆ (1.13) dove ˆ n è il generico versore ortogonale alla superficie. La prima corrisponde alla condizione

E

|

= 0 , (1.14)

mentre dalla seconda segue:

∂B

∂n    

= 0. (1.15)

Per verificare quest’ultima bisogna prendere la prima equazione di (1.9) e molti- plicare scalarmente entrambi i membri per ˆ n:

∂B

∂n = ˆ n · ∂B

∂z − iµω ˆ n · ( ˆ z × E)

= ∂

∂z ( ˆ n · B

) − iµω ˆ z · (E × ˆ n) = 0 , (1.16) con ∂ /∂n = ˆ n · ∇

.

Le equazioni di Maxwell (1.2) sono lineari, quindi vale il principio di sovrappo-

sizione, questo significa che una qualsiasi combinazione lineare di più soluzioni è

Modi trasversi magnetici ed elettrici

ancora una soluzione. Quindi bisogna individuare una famiglia di campi che pos- sa essere usata come base per ricostruire tutte le altre configurazioni fisicamente possibili. Ci sono due classi di soluzioni che insieme soddisfano questa richiesta:

la prima è quella dei modi trasversi magnetici (TM) per i quali B

= 0 ovunque con condizione al contorno (1.14) e la seconda è quella dei modi trasversi elettrici (TE) con E

= 0 ovunque e condizione al contorno (1.15).

Si può dimostrare che le onde TM e TE costituiscono un set completo di campi per descrivere una perturbazione elettromagnetica arbitraria in una guida d’onda. Questo significa che qualsiasi configurazione dei campi E e B all’interno della guida può essere ottenuta combinando linearmente i modi trasversi.

1.2 Modi trasversi magnetici ed elettrici

Per trovare le espressioni dei modi d’onda trasversi, bisogna calcolare prima le componenti longitudinali dei campi, risolvendo l’equazione differenziale (1.5) con le condizioni al contorno dettate dalla sezione della guida che si vuole studiare, e successivamente usare (1.14) e (1.15) per ricavare le componenti trasversali.

Indico genericamente con f (x, y) una funzione scalare che obbedisce all’equa- zione differenziale (1.5):

∇

+ M

f (x, y) = 0 (1.17) dove ho posto

M

= µω

− k

. (1.18)

Se si impone che questa si annulli sui bordi (f |

= 0) allora

E

(x, y, z, t) = f (x, y)e

(1.19) è la componente longitudinale del campo elettrico per un’onda magnetica trasver- sa (TM). Se, invece, si impone la condizione al contorno

= 0,

B

(x, y, z, t) = f (x, y)e

(1.20) è la componente longitudinale del campo magnetico per un onda elettrica trasversa (TE).

I campi trasversali sono determinati da quelli longitudinali tramite le equazioni (1.11) e (1.12):

E

(x, y, z, t) = ± ik

M

(∇

f (x, y))e

Onde TM B

(x, y, z, t) = ± ik

M

(∇

f (x, y))e

Onde TE

(1.21)

Mancano, a questo punto, solo le espressioni di B

per i modi TM e di E

per i modi TE. Sempre dalle (1.11) e (1.12) si ricava che i campi elettrici e magnetici trasversali sono legati dalle relazioni:

B

(x, y, z, t) = ± µω

k z × E ˆ

Onde TM E

(x, y, z, t) = ∓ ω

k z × B ˆ

Onde TE

(1.22)

dove il segno più (meno) è per le onde che si propagano lungo il verso positivo (negativo) dell’asse z.

Per ciascuna guida d’onda e per ciascuna condizione iniziale l’equazione (1.17) ammette un numero infinito di soluzioni f

(x, y), ciascuna corrispondente a un de- terminato valore M

. L’indice i in realtà, come vedremo nel caso della guida d’on- da rettangolare, corrisponde a una coppia di interi (m, n), questo perché la sezione trasversale della guida è bidimensionale e quindi per precisare compiutamente le caratteristiche di un modo di propagazione servono 2 indici.

È interessante notare che gli autovalori M

devono essere positivi, cosa che si può capire osservando che le condizioni al contorno (1.14) e (1.15) sui bordi della regione confinata impongono che la funzione f debba oscillare all’interno della sezione della guida. La (1.17) ammette tali soluzioni solo per M

> 0.

Per una data frequenza ω il numero d’onda k per il modo i-esimo si ottiene dalla (1.18):

k

= µω

− M

. (1.23)

La quantità

ω

= M

√ µ (1.24)

è detta frequenza di taglio. Se ω è maggiore di ω

, allora k

è un numero reale, quindi il termine e

che individua la dipendenza dei campi dalla variabile z è uno sfasamento e descrive un fenomeno di propagazione lungo la guida. Invece se ω < ω

si ha che k

è un numero immaginario e, quindi, che la dipendenza da z dei campi diviene di tipo esponenziale e non si ha un fenomeno di propagazione.

Questi modi si dicono evanescenti.

In Figura 1.2 è mostrato l’andamento del numero d’onda al variare della frequenza.

1.3 Guida d’onda rettangolare

Nella precedente sezione si è visto qual è il procedimento da seguire per il calcolo dei modi d’onda per una generica guida; in questa mi occuperò del caso particolare di guida a sezione rettangolare, essendo questa la tipologia all’interno della quale è posto il sistema di emettitori quantistici che sarà analizzato in seguito.

Riscrivo l’equazione (1.17) esplicitando l’operatore Laplaciano trasverso ∇

 ∂

∂x

+ ∂

∂y

+ M



f (x, y) = 0 . (1.25)

Data la geometria del problema è conveniente risolverla per separazione di varia- bili: fattorizzando

f (x, y) = f

(x)f

(y) , (1.26) riscrivo la (1.25) nella forma

1 f

(x)

d

f

(x) dx

+ 1

f

(y)

d

f

(y)

dy

= −M

. (1.27)

Guida d’onda rettangolare

Figura 1.2: Andamento di k

/ √

µω = p1 − ω

/ω

, derivata dalle equazioni (1.23) e (1.24), al variare della frequenza di taglio ω

.

.

Il primo termine è funzione solo della x, mentre il secondo è funzione solo della y, quindi posso cercare separatamente le funzioni f

(x) e f

(y) risolvendo il sistema:

1 f

(x)

d

f

(x)

dx

= −M

, 1

f

(y)

d

f

(y)

dy

= −M

,

(1.28)

dove M

+ M

= M

. Le soluzioni di tali equazioni differenziali sono, nella loro forma più generale,

f

(x) = A cos(M

x) + B sin(M

x) ,

f

(y) = C cos(M

y) + D sin(M

y) . (1.29) Usando come riferimento la figura 1.3, che rappresenta una sezione rettangolare avente lati di lunghezza L

e L

, scrivo le condizioni al contorno (1.14) e (1.15) per i modi trasversi magnetici ed elettrici:

f (0, y) = f (L

, y) = f (x, 0) = f (x, L

) = 0 Onde TM

∂

∂x f (0, y) = ∂

∂x f (L

, y) = ∂

∂y f (x, 0) = ∂

∂y f (x, L

) = 0 Onde TE , (1.30) o, equivalentemente,

f

(0) = f

(L

) = f

(0) = f

(L

) = 0 Onde TM d

dx f

(0) = d

dx f

(L

) = d

dy f

(0) = d

dy f (L

) = 0 Onde TE . (1.31)

Figura 1.3: Sezione rettangolare della guida d’onda.

Cerco prima le soluzioni per i modi TE. Da d

dx f

(0) = BM

= 0 d

dy f

(0) = DM

= 0

(1.32)

si ricava che i termini sinusoidali della (1.29) sono entrambi nulli, mentre da d

dx f

(L

) = −AM

sin(M

L

) = 0 d

dy f

(L

) = −CM

sin(M

L

) = 0

(1.33)

si può concludere che:

M

= n π L

e M

= m π L

, (1.34)

dove n e m sono numeri naturali. Si esclude il caso banale in cui (n, m) = (0, 0) in corrispondenza del quale f (x, y) = 0. Questo è il caso particolare di un risultato più generale: in una guida d’onda non si può propagare il modo trasverso elettro-magnetico (TEM) [30], in cui sia il campo magnetico sia il campo elettrico sono trasversali. Per supportare onde TEM sono necessarie due o più superfici cilindriche. Nei cavi coassiali, per esempio, questo è ammesso e rappresenta il modo dominante.

L’espressione finale, quindi, è:

f

(x, y) = B

cos

 n πx

L

 cos

 m πy

L



Onde TE. (1.35)

Guida d’onda rettangolare

Effettuando passaggi analoghi per il caso TM si ottiene che le onde trasverse magnetiche sono:

f

(x, y) = E

sin

 n πx

L

 sin

 m πy

L



Onde TM . (1.36) Notare che in questo caso, perché la funzione non sia identicamente nulla, sono vietate anche le coppie (n, m) pari a (1, 0) e (0, 1).

Gli autovalori corrispondenti alle f

(x, y) sono in entrambi i casi:

M

= π

 n

L

+ m

L



, (1.37)

e le relative frequenze di taglio sono:

ω

= π

√ µ

s n

L

+ m

L

. (1.38)

Nel caso in cui L

> L

, è facile vedere che la frequenza di taglio inferiore fra tutti i modi è quella corrispondente al modo trasverso elettrico con indici (n, m) = (1, 0), che indico con TE

:

ω

= π L

√

µ ; (1.39)

quindi all’interno della guida non ci possono essere onde con frequenza inferiori.

Le espressioni dei campi per tale modo sono date dalle (1.20), (1.21) e (1.22):

B

= B

cos  πx L



e

, B

= −i kL

π B

sin  πx L



e

, E

= i ωL

π B

sin  πx L



e

;

(1.40)

le altre tre componenti sono tutte nulle.

Quando, nel Capitolo 3 verrà introdotta l’Hamiltoniana per il sistema di atomi

artificiali da me studiato, si farà l’ipotesi fondamentale che l’energia del sistema

sia tale da non permettere l’eccitazione di modi più energetici. Quindi si supporrà

che l’energia dello stato eccitato atomico cada nell’intervallo di frequenze che va

da ω

alla frequenza di taglio immediatamente superiore in modulo. Questa,

naturalmente, dipende dalle dimensioni della sezione della guida. Solitamente si

costruisce il lato lungo pari al doppio del lato corto e in tale situazione le frequenze

di taglio più piccole dopo ω

sono ω

e ω

, entrambe uguali a 2ω

.

Capitolo 2

Analisi non perturbativa del propagatore

2.1 Evoluzione temporale in meccanica quantisti- ca

Secondo i postulati della meccanica quantistica lo spazio delle configurazioni di un sistema fisico è uno spazio di Hilbert complesso. Ciò significa che ogni possibile stato del sistema è rappresentato da un elemento ψ di tale spazio, che soddisfa la condizione di normalizzazione kψk = 1. Il vettore di stato offre in ogni istante una descrizione completa del sistema e la sua evoluzione temporale può essere ricavata risolvendo il problema di Cauchy:

( i~

= Hψ(t)

ψ(0) = ψ

, (2.1)

dove ~ è la costante di Planck, e H è l’Hamiltoniana, cioè l’operatore associa- to all’energia del sistema. L’equazione differenziale scritta è conosciuta come equazione di Schrödinger.

L’operatore, U (t), che applicato a ψ(0) ci restituisce lo stato del sistema all’istante t,

ψ(t) = U (t)ψ(0) , (2.2)

è noto come operatore di evoluzione temporale, o più semplicemente evolutore;

questo è lineare,

U (t) aψ

(0) + bψ

(0)
= aψ

(t) + bψ

(t) , (2.3) e, dovendo conservare la norma, è unitario

kψ(t)k = kU (t)ψ

k = kψ

k = 1 . (2.4) Inoltre, essendo unica la soluzione associata ad un dato stato iniziale, devono valere:

U (0) = 1 ,

U (t + s) = U (t)U (s) . (2.5)

Propagatore e ampiezza di sopravvivenza

Una famiglia di operatori U (t) aventi queste proprietà, in teoria dei gruppi, è la rappresentazione di un gruppo unitario a un parametro, avente come base lo spazio di Hilbert in cui vive il sistema [31]. Il generatore hermitiano di tale gruppo è proprio l’Hamiltoniana. Infatti, partendo dall’equazione di Schrödinger, si dimostra che

i~ dU (t)

dt = HU (t) (2.6)

e che, quindi,

U (t) = e

. (2.7)

2.2 Propagatore e ampiezza di sopravvivenza

Il risolvente di un generico operatore A è la funzione che associa a z, punto del piano complesso appartenente all’insieme risolvente

ρ

= {z ∈ C | (z − A)

limitato} , (2.8) l’operatore (z − A)

. Questa funzione riveste un ruolo molto importante nel- l’ambito della teoria spettrale [32].

Il risolvente dell’Hamiltoniana H è G(E) = 1

E − H ; (2.9)

questo presenta dei poli in corrispondenza degli autovalori, che, essendo H un operatore hermitiano, sono tutti posizionati sull’asse reale.

Nel caso in cui H sia composta da una parte libera e da una d’interazione, H = H

+ H

, si dimostra che:

G(E) = G

(E) [1 + H

G(E)] (2.10) dove G

(E) rappresena il risolvente di H

. Questa equazione, risolta in modo iterativo, ci restituisce la seguente espressione di G(E):

G(E) = G

(E) + G

(E)H

G

(E) + G

(E)H

G

(E)H

G

(E) + ...

= G

(E)

∞

X

n=0

(H

G

(E))

. (2.11)

La serie che compare all’ultimo membro converge assolutamente all’interno del cerchio aperto centrato in E e avente raggio pari alla distanza tra E e l’autovalore di H

più vicino. Questa espressione del risolvente sarà ripresa in seguito per introdurre la funzione autoenergia.

Nell’analisi dell’evoluzione temporale dell’ampiezza di sopravvivenza, l’impor- tanza del ruolo giocato dal risolvente è racchiusa nelle seguenti due equazioni [38]

U (t) = i 2π

Z

B

dEe

G(E) per t > 0 , (2.12) G(E) = −i

Z

dEe

U (t) per Im(E) > 0 , (2.13)

Figura 2.1: Cammino di Bromwich sul piano complesso E. Sull’asse reale è evidenziato in rosso il taglio G

(E). E

, energia dello stato fondamentale, è il punto di diramazione.

dove U (t) = e

è l’operatore di evoluzione temporale, mentre il cammino d’in- tegrazione B (Figura 2.1), detto cammino di Bromwich, corrisponde a una linea retta orizzontale posta al di sopra dell’asse reale e percorsa da sinistra a destra.

Se indichiamo con |ψ

i = |ai lo stato iniziale del sistema considerato, dalla (2.13) otteniamo la seguente espressione per l’ampiezza di sopravvivenza

A(t) = ha|ψ(t)i = ha| U (t) |ai = i 2π

Z

B

dEe

G

(E) (2.14) dove G

(E) = ha| G(E) |ai prende il nome di propagatore.

Se supponiamo che lo spettro di H sia discreto e che |λi sia una famiglia completa di autoket,

H |λi = E

|λi X

λ

|λi hλ| = 1 , (2.15)

possiamo esprimere il propagatore come la somma G

(E) = ha| 1

E − H |ai = X

λ

ha| 1

E − H |λi hλ|ai

= X

λ

|hλ|ai|

E − E

(2.16)

Questa espressione ci suggerisce che:

• gli autovalori di H sono poli semplici di G

(E);

• G

non ha zeri.

Nel caso in cui, invece, lo spettro dell’Hamiltoniana si suppone continuo e

coincidente con l’intervallo [E

, +∞), dove E

è l’energia dello stato fondamentale,

L’autoenergia

G

(E) presenta un taglio in corrispondenza di tale intervallo. Ragionando come per il caso discreto, si arriva all’espressione

G

(E) = Z

Eg

dE

ω

(E

)

E − E

, (2.17)

dove ω

(E), detta densità spettrale, è definita come

ω

(E) = X

s

|hE, s|ai|

!

χ

(E) ; (2.18)

l’indice s tiene conto di eventuali degenerazioni dei livelli energetici, mentre χ

è la funzione caratteristica corrispondente allo spettro di H.

2.3 L’autoenergia

Adesso mostrerò come è possibile ottenere un’espressione chiusa del propagatore tramite l’introduzione di una nuova quantità chiamata autoenergia.

Supponiamo che |ni sia un set completo di autostati di H

e che lo stato iniziale |ψ

i = |ai appartenga a questo insieme. Sia

H

|ai = E

|ai . (2.19)

Inserendo la relazione di completezza, X

n

|ni hn| = 1 , (2.20)

nella (2.11) è possibile esprimere il propagatore come G

(E) = G

+ G

V

G

+ X

n

G

V

G

V

G

+ X

n

X

m

G

V

G

V

G

V

G

+ ... , (2.21)

dove G

= G

(E) = hn| G

(E) |ni e V

= hn| H

|mi.

È conveniente a questo punto introdurre la funzione autoenergia:

Σ

(E) = V

+ X

n6=a

V

G

V

+ X

n6=a

X

m6=a

V

G

V

G

V

+ X

n6=a

X

m6=a

X

l6=a

V

G

V

G

V

G

V

+ ... , (2.22)

grazie alla quale, in seguito ad attenti passaggi algebrici

, è possibile riorganizzare la somma (2.21) nel modo seguente:

G

(E) = G

+ G

Σ

G

+ G

Σ

G

Σ

G

+ G

Σ

G

Σ

G

Σ

G

+ ...

= G

(E) + G

(E)Σ

(E)G

(E) . (2.23) Quest’ultima è un’equazione puramente algebrica la cui soluzione è

G

(E) = 1

G

(E)

− Σ

(E) = 1

E − E

− Σ

(E) . (2.24) Dalla (2.24) possiamo rapidamente dedurre le proprietà analitiche della fun- zione autoenergia:

• Σ

è analitica su tutto il piano complesso con un taglio in corrispondenza dell’intervallo [E

, +∞), identico a quello di G

(E);

• Σ

non ha poli, perché, se ci fossero, sarebbero zeri di G

(E), ma ho già fatto vedere che il propagatore non ha zeri.

Molto spesso, nello studio dell’evoluzione temporale di sistemi quantistici, risulta preferibile lavorare nella cosiddetta "off-diagonal decomposition" dell’Hamilto- niana, la quale si caratterizza per il fatto che gli elementi della diagonale della matrice H

, nella rappresentazione di H

, sono tutti nulli, mentre dei termini non diagonali gli unici diversi da zero sono

V

= hn| H

|mi = 0 con n, m 6= a . (2.25) La scelta di usare questa decomposizione comporta diversi vantaggi, tra questi si vede che la (2.22) si semplifica notevolmente:

Σ

(E) = X

n6=a

V

G

V

= X

n

|hn| H

|ai|

E − E

; (2.26)

espressione che, generalizzata al caso continuo, diviene Σ

(E) =

Z

dE

k

(E

)

E − E

, (2.27)

con

k

(E) = X

s

|hE, s| H

|ai|

!

χ

(E) > 0 , (2.28) analoga alla (2.18). Dalla (2.27) si evince che l’autoenergia è una quantità dell’ordine O(λ

), dove λ è la costante d’accoppiamento.

1

Risulta comodo in questo caso utilizzare una tecnica diagrammatica che prevede l’associa-

zione ad ogni addendo della (2.21) di un un disegno. Questo è costituito da elementi semplici

(linee, croci, cerchi...) il cui numero e posizionamento permettono di individuare univocamente

il termine della somma a cui corrisponde [39].

Continuazione analitica del propagatore

2.4 Continuazione analitica del propagatore

Abbiamo visto che G

(z) e Σ

(z) presentano un taglio sull’asse reale in corrispon- denza dell’intervallo [E

, +∞). I valori che queste funzioni assumono appena al di sopra e appena al di sotto di tale intervallo differiscono per una quantità finita che può essere calcolata usando la relazione distribuzionale

1 E − E

± i

→0⁺

−−−→ P 1

E − E

∓ iπδ(E − E

) (2.29) dove la P indica il valor principale di Cauchy. Da questa segue che

Σ

(E ± i) = Z

Eg

dE

k

(E

) E − E

± i

→0⁺

−−−→ P Z

Eg

dE

k

(E

) E − E

∓ iπ

Z

dE

k

(E

)δ(E − E

)

(2.30)

e, quindi, che il salto in corrispondenza del taglio è dato dalla differenza

Σ

(E + i) − Σ

(E − i) = −2πik

(E) . (2.31) Questo risultato ci permette di prolungare analiticamente l’autoenergia sul secon- do foglio di Riemann:

Σ

(E) = Σ

(E) − 2πik

(E) = Z

Eg

dE

k

(E

)

E − E

− 2πik

(E) , (2.32) con Im(E) < 0.

Sebbene la G

(E) non abbia poli sul primo foglio, non è detto che ciò valga anche per la sua continuazione analitica nel secondo foglio. Tipicamente, G

(E) ha un polo appena al di sotto dell’asse reale, a una distanza dell’ordine O(λ

) da E

, autovalore di H

corrispondente allo stato iniziale |ai [40, 41]. L’equazione da risolvere per trovare questo polo è

E

= E

+ Σ

(E

) . (2.33) Essendo Σ

(E) di ordine O(λ

), nell’ipotesi di piccola costante d’accoppia- mento, è possibile trovare il polo iterativamente:

E

= E

+ Σ

(E

− i) + Σ

(E

− i)(E

− E

) + ...

= E

+ Σ

(E

+ i) + Σ

(E

+ i)(E

− E

) + ...

= E

+ Σ

(E

+ i) + Σ

(E

+ i)Σ

(E

+ i) + O(λ

) ;

(2.34)

quindi, fermandoci all’ordine λ

, possiamo scrivere il polo come E

= E

+ ∆E − i γ

2 , (2.35)

con

∆E = ReΣ

(E

+ i) + O(λ

) = P Z

Eg

dE

k

(E

)

E

− E

+ O(λ

) , (2.36)

γ = −2ImΣ

(E

+ i) + O(λ

) = 2πk

(E

) + O(λ

) . (2.37)

2.5 Calcolo di A(t) tramite una ridefinizione del cammino d’integrazione

Nell’espressione (2.14) di A(t) l’integrale è calcolato lungo il cammino di Brom- wich, costituito da una retta orizzontale posizionata al di sopra dell’asse reale e percorsa da sinistra verso destra. È noto che il valore dell’integrale non cambia se deformiamo il cammino di integrazione mantenendo fissi gli estremi aggirando le singolarità. Se si vuole modificare un cammino facendolo passare da una parte all’altra di una singolarità, bisogna aggiungere al nuovo cammino un altro pezzo che circonda la singolarità chiudendola al suo interno. Esiste, quindi, una classe di cammini equivalenti a B tramite i quali calcolare A(t). Assumendo che esista un solo polo sul secondo foglio di Riemann, a questa classe appartiene il percorso costituito dall’unione di h e c (Figura 2.2.d): h parte da E

− i∞, corre vertical- mente nel primo foglio di Riemann fino al punto di diramazione E

e poi scende nuovamente fino a E

− i∞, ma, questa volta, nel secondo foglio; c è, invece, una piccola circonferenza che circonda in senso antiorario il polo E

. Nella Figura 2.2 viene mostrata una serie di cammini equivalenti a quello di Bromwich, che spiega come può essere immaginato il processo di deformazione che porta da B a h ∪ c. Nell’ultima immagine, la parte "mancante" che connette h agli estremi del cammino iniziale, può essere immaginata come una coppia di archi appartenenti a una circonferenza centrata in E

e avente raggio infinito. Questi, comunque, non contribuiscono all’integrale per il lemma del grande cerchio di Jordan.

Per quanto detto, quindi:

A(t) = A

(t) + A

(t) (2.38) dove

A

(t) = i 2π

Z

Eg−i∞

dEe

G

(E) − G

(E) , (2.39) A

(t) = i

2π Z

c

dEe

G

(E) = Ze

e

, (2.40) con

Z =  dG

(E) dE



= 1

1 − Σ

(E

) . (2.41) Dalla (2.40) si vede che il decadimento esponenziale, previsto dalla regola d’oro di Fermi [35, 36], può essere ricondotto alla parte immaginaria dei poli che il propa- gatore presenta sul secondo foglio di Riemann, infatti, è proprio la γ = −2Im[E

] (eq. (2.37)), che determina il decadimento esponenziale della probabilità di sopravvivenza

P (t) = |A(t)|

. (2.42)

Operatore level shift e generalizzazione

(a) (b)

(c) (d)

Figura 2.2: Cammini equivalenti a quello di Bromwich. La regione bianca appar- tiene al primo foglio di Riemann, mentre quella verde appartiene al secondo. E

è il punto di diramazione di G

(E). Il punto rosso al di sotto dell’asse reale è il polo perturbativo del prolungamento analitico del propagatore.

2.6 Operatore level shift e generalizzazione

Vediamo come è possibile generalizzare quanto è stato trattato finora al caso in cui lo stato iniziale del sistema sia un generico ket del sottospazio associato ad un autovalore degenere dell’Hamiltoniana libera. Per farlo è utile introdurre un nuovo operatore detto level shift, che ci permetta di estendere la definizione di autoenergia.

Supponiamo che P

sia il proiettore corrispondente all’autospazio di un au- tovalore degenere di H

e che P

sia il proiettore complementare (P

= 1 − P

). L’obiettivo è quello di trovare un’espressione per P

G(E)P

. Partendo dall’uguaglianza

(E − H

− H

)G(E) = 1 , (2.43) si costruiscono le due equazioni [33]:

P

(E − H

− H

)(P

+ P

)G(E)P

= P

P

(E − H

− H

)(P

+ P

)G(E)P

= 0 (2.44) da cui si ottiene un sistema lineare nelle incognite P

G(E)P

e P

G(E)P

:

( (E − P

HP

) P

G(E)P

− (P

H

P

) P

G(E)P

= P

−(P

H

P

) P

G(E)P

+ (E − P

HP

) P

G(E)P

= 0 . (2.45)

Risolvendo la seconda rispetto P

G(E)P

e sostituendo nella prima si giunge a P

G(E)P

= P

E − P

H

P

− P

R(E)P

(2.46) dove R(E) è l’operatore level shift [34], definito come:

R(E) = H

+ H

P

E − P

HP

H

. (2.47)

Si vede che nel caso in cui P

sia un proiettore unidimensionale, P

= |ai ha|

(H

|ai = E

|ai), la (2.46) diviene

G

(E)P

= 1

E − E

− ha| R(E) |ai P

(2.48) che ci suggerisce l’uguaglianza

Σ

(E) = ha| R(E) |ai . (2.49)

Questa può essere dimostrata ponendoci nella off-diagonal decomposition. Infatti sfruttando la (2.25) l’operatore level shift diviene

R(E) = H

+ H

P

E − P

HP

H

= H

+ H

P

E − P

H

P

H

= H

+ H

P

E − H

H

;

(2.50)

(nell’ultimo passaggio ho sfruttato il fatto che il proiettore al numeratore ren- de superflui quelli al denominatore, per vederlo basta utilizzare un ket di prova scritto nella rappresentazione di H

). Dall’espressione trovata per R(E) risulta dimostrata la (2.49):

ha| R(E) |ai = ha| H

P

E − H

H

|ai = X

n6=a

|hn| H

|ai|

E − E

= Σ

(E) . (2.51) La (2.46) ci permette di generalizzare i risultati trovati precedentemente se- guendo i passaggi mostrati nella prossima sottosezione, in cui mi concentrerò sul caso di un autospazio di partenza bidimensionale.

2.6.1 Sottospazio di dimensione due

Suppongo che ω

sia un autovalore dell’Hamiltoniana libera doppiamente degene- re:

H

( |e

i

|e

i = ω

( |e

i

|e

i . (2.52)

Operatore level shift e generalizzazione

L’autospazio relativo a ω

, quindi, è quello generato da |e

i e |e

i, che supponia- mo essere fra loro ortogonali.

Il generico stato di partenza, se appartenente a tale sottospazio, può essere scritto come

|ψ

i = a |e

i + b |e

i , (2.53) con |a|

+ |b|

= 1. L’ampiezza di sopravvivenza in questo caso è

A(t) = hψ

|ψ(t)i = hψ

| U (t) |ψ

i

= a

he

| + b

he

|

a U (t) |e

i + b U (t) |e

i
=

= a

a U

+ a

b U

+ b

a U

+ b

b U

= a

a i 2π

Z

B

dEe

G

(E) + a

b i 2π

Z

B

dEe

G

(E) + b

a i

2π Z

B

dEe

G

(E) + b

b i 2π

Z

B

dEe

G

(E) ,

(2.54)

con U

= he

| U (t) |e

i, G

(E) = he

| G(E) |e

i. Ciascuno degli integrali presenti può essere scomposto, come si è visto nella precedente sezione, in due parti R

B

= R

h

+ R

c

, di cui la seconda di esse, legata ai poli del prolungamento analitico del propagatore, regola il decadimento esponenziale della probabilità di sopravvivenza.

Considero le matrici relative agli operatori H

, G(E) e R(E) ristrette all’au- tospazio corrispondente a ω

, rispettivamente:

H

= he

| H

|e

i he

| H

|e

i he

| H

|e

i he

| H

|e

i



= ω

0 0 ω



, (2.55)

Σ(E) = he

| R(E) |e

i he

| R(E) |e

i he

| R(E) |e

i he

| R(E |e

i



= Σ

Σ

Σ

Σ



, (2.56)

G(E) = he

| G(E) |e

i he

| G(E) |e

i he

| G(E) |e

i he

| G(E |e

i



. (2.57)

Dall’equazione (2.46) segue che

G

(E) = E − H

− Σ(E) = E − ω

− Σ

(E) −Σ

(E)

−Σ

(E) E − ω

− Σ

(E)



(2.58) e che, quindi,

G(E) = 1

det(G

II

(E))

E − ω

− Σ

(E) Σ

(E) Σ

(E) E − ω

− Σ

(E)



. (2.59) Come si vede dall’ultima espressione la ricerca dei poli di G

(E), prolun- gamento analitico di G(E) sul secondo foglio di Riemann, si esegue risolvendo l’equazione

det(G

(E)) = 0 , (2.60)

poiché, come specificato in precedenza, l’autoenergia non ha poli.

Nei sistemi che tratterò nei capitoli successivi vedremo nel dettaglio come

implementare questo tipo di analisi.

Capitolo 3

Sistema con due emettitori quantistici

Argomento di questo capitolo è un sistema analogo a quello che tratterò nei Capi- toli 4 e 5, differente per il numero di emettitori quantistici coinvolti: due al posto di tre. Dopo averne descritto gli elementi essenziali e introdotto l’Hamiltoniana, mostrerò i principali risultati ottenuti relativamente all’esistenza di stati legati [43].

3.1 L’Hamiltoniana

Il sistema è costituito da due emettitori quantistici (atomi reali o artificiali) a due livelli posizionati ad una distanza fissata d all’interno di una guida d’onda di lunghezza infinita (Figura 3.1). L’asse della guida coincide con l’asse x del sistema di riferimento e la sua sezione è rettangolare con i lati di lunghezza L

e L

, con L

> L

.

L’operatore di Hamilton è dato, quindi, dalla somma dell’Hamiltoniana li- bera dei due atomi artificiali e del campo elettromagnetico, più l’Hamiltoniana

Figura 3.1: Due emettitori quantistici A e B in una guida d’onda con asse parallelo

a x e sezione trasversa rettangolare, con i lati di lunghezza L

e L

.

L’Hamiltoniana d’interazione:

H = H

+ H

+ H

+ H

+ H

. (3.1) Nelle seguenti sottosezioni mostrerò come si ricavano i diversi contributi.

3.1.1 L’Hamiltoniana libera del campo elettromagnetico

Come ho mostrato nel Capitolo 1, all’interno di una guida d’onda è possibile descrivere il campo elettromagnetico tramite onde TM (trasverse magnetiche) e TE (trasverse elettriche).

Ogni modo, sia TE sia TM, è individuato da due indici, (n, m), e si caratterizza per una frequenza di taglio,

ω

= π

√ µ

 n

L

+ m

L



, (3.2)

al di sotto della quale la sua esistenza è vietata dalle equazioni di Maxwell.

La relazione di dispersione che permette di scrivere la frequenza angolare ω in termini del numero d’onda k è:

ω

(k) = q

(vk)

+ ω

(3.3)

dove v = 1/ √

µ è la velocità di fase nel dielettrico.

Se L

> L

, come visto nella sezione 1.3, la frequenza di taglio più bassa è quella del modo TE

,

M ≡ ω

= π

√ µL

, (3.4)

ed esiste un intervallo di frequenze in cui questo è l’unico modo che si può propagare.

Si ipotizza che l’energia del sistema sia talmente bassa che sia lecito considerare trascurabile il contributo dei modi più energetici, quindi si suppone che l’unico modo accessibile nella guida sia proprio TE

.

Le espressioni delle componenti di questa onda sono le (1.40), qui riportate per comodità:

B

= B

cos  πz L



e

, (3.5)

B

= −i kL

π B

sin  πz L



e

, (3.6) E

= i ω

(k)L

π B

sin  πz L



e

; (3.7) Queste possono essere derivate a partire dal potenziale vettore

A

= L

π B

sin  πz L



e

z ˆ (3.8)

anch’esso trasverso ( ˆ z = (0, 0, 1)).

Una volta quantizzati, i campi divengono operatori [42] le cui espressioni sono:

A

(r) = Z

dk

 ~

2πω(k)L

L



sin  πz L



a(k)e

+ a

(k)e

 ˆ

z , (3.9)

E

(r) = Z

dk

 ~ω(k) 2πL

L



sin  πz L



a(k)e

− a

(k)e

 ˆ

z , (3.10) dove ω(k) := ω

(k).

Per ogni numero d’onda k è stato introdotto un operatore di creazione a(k) e un operatore di distruzione a

(k) che rispettano le regole di commutazione canoniche per un campo bosonico

[a(k), a

(k

)] = δ(k − k

) . (3.11) L’operatore di creazione applicato allo stato di vuoto |vaci, corrispondente al- l’assenza di fotoni all’interno della guida, genera lo stato (non normalizzato) |ki corrispondente alla presenza di un fotone del modo TE

avente numero d’onda longitudinale k,

a

(k) |vaci = |ki , (3.12)

mentre l’operatore di distruzione a(k) annichila lo stato di singolo fotone,

a(k

) |ki = a(k

)a

(k) |vaci = δ(k − k

) |vaci . (3.13) Da (3.9) e (3.10) è possibile ricavare l’operatore energia del campo elettrico,

H

=  2

Z

dr : E

:

=  2

Z dr

Z dkdk

~

2πL

L

sin

 πz L



p ω(k)ω(k

) : h

a(k)e

− a

(k)e

ih

a(k

)e

− a

(k

)e

i :

= 1 2

Z dz

L

sin

 πz L

 Z dy L

Z

dkdk

~ p

ω(k)ω(k

) Z dx

2π h

a(k)a(k

)e

+ a

(k)a

(k)e

− a

(k)a(k

)e

− a

(k

)a(k)e

i

= 1 4

Z

dkdk

~ p

ω(k)ω(k

) n

a(k)a(k

) + a

(k)a

(k

)δ(k + k

)

− a

(k)a(k

) + a

(k

)a(k)δ(k − k

) o

= 1 2

Z

dk~ω(k)



a

(k)a(k) − a(k)a(−k) + a

(k)a

(−k) 2



(3.14)

L’Hamiltoniana

e, analogamente, l’operatore energia del campo magnetico, H

= 

2 Z

dr : B

: =  2

Z

dr : ∂

A

+ ∂

A

:

= 1 2

Z

dk~ω(k)



a

(k)a(k) + a(k)a(−k) + a

(k)a

(−k)

2 )

 (3.15)

dove : (...) : identifica la prescrizione dell’ordinamento normale

.

Concludendo, l’Hamiltoniana libera del campo elettromagnetico, somma di (3.14) e (3.15), è

H

= H

+ H

= Z

dk~ω(k)a

(k)a(k) (3.16)

3.1.2 L’Hamiltoniana atomica e quella d’interazione

Un emettitore quantistico può essere immaginato come un atomo artificiale la cui Hamiltoniana è

H

= p

/2m + V (r), (3.17) dove gli operatori r e p rappresentano la posizione e l’impulso dell’"elettrone"

artificiale, m è la sua massa e V (r) è il potenziale statico.

Le energie che verranno considerate nel corso della trattazione saranno tali da permetterci di considerare solo gli stati corrispondenti ai due livelli energetici più bassi dei due emettitori. Usando la notazione di Dirac, indico il loro stato fondamentale con |gi e quello eccitato con |ei:

H

|gi = 0 , H

|ei = ~ω

|ei . (3.18) Quindi l’Hamiltoniana libera atomica risulta

H

= ~ω

|ei he| , (3.19)

da cui:

H

= ~ω

|e

i he

| , H

= ~ω

|e

i he

| . (3.20) Il termine d’interazione fra il campo e gli emettitori può essere ottenuto tramite la prescrizione di minimo accoppiamento, che prevede la sostituzione p → p−eA:

H

−→ 1

2m p − eA

(r)

+ V (r) = H

− e

m p · A

(r) + e

2m A

(r)

. (3.21) L’Hamiltoniana d’interazione è

H

= − e

m p · A

(r

) = − e

m p

A

(r

) , (3.22)

1

Un prodotto di operatori di creazione e distruzione è in ordine normale quando nel prodotto

tutti gli operatori di creazione sono a sinistra di tutti gli operatori di distruzione.

dove ho utilizzato l’approssimazione di grande lunghezza d’onda che consiste nel- l’assumere trascurabile la variazione del campo potenziale vettore sull’estensione della funzione d’onda dell’atomo, cioè A(r) = A(r

) dove r

= (x

, Ly/2, L

/2) coincide con la posizione occupata dal centro di massa dell’atomo. Tale approssi- mazione consente anche di trascurare il termine O(e

)[42].

Inserendo nella (3.22) la relazione di completezza relativa agli autostati di H

|gi hg| + |ei he| = 1 , (3.23)

si ottiene

H

= − e

m A

(r

) |gi hg| + |ei he|
p

|gi hg| + |ei he|

= − e

m A

(r

) hg| p

|gi |gi hg| + he| p

|ei |ei he|

+ hg| p

|ei |gi he| + he| p

|gi |ei hg|

= −eω

|z

|A

(r

) ie

|ei hg| − ie

|gi he|

(3.24) dove ho sfruttato

he| p

|gi = im

~

he| H

, z |gi = imω

he| z |gi = imω

|z

|e

, (3.25) e ho assunto

hg| p

|gi = 0 = he| p

|ei . (3.26) Esplicitando l’operatore A

(r

),

H

= −eω

|z

|

 ~

2πL

L



sin  π L

z



Z dk

pω(k) a(k)e

+ a

(k)e

 ie

|ei hg| − ie

|gi he| 

(3.27)

e introducendo dei nuovi operatori di campo, b(k) e b

(k), legati ai precedenti dalle relazioni

b(k) = −ie

a(k) , b

(k) = ie

a

(k) , (3.28) si giunge all’espressione finale dell’Hamiltoniana la quale contiene, tra gli altri, due termini

|gi he| b(k) e |ei hg| b

(k) (3.29)

che rappresentano rispettivamente la transizione di un atomo dallo stato eccitato

allo stato fondamentale, contestuale alla distruzione di un fotone, la transizione

dell’atomo allo stato eccitato con la contemporanea creazione di un fotone con

numero d’onda k. Questi termini generano processi virtuali, e possono essere tra-

scurati in prima approssimazione. Tale operazione, nota come approssimazione di