Corso di laurea in Ingegneria Elettronica

IV appello di Matematica C,

Corso di laurea in Ingegneria Elettronica

18 Settembre 2007

1)

Un nuovo antibiotico debella un certo batterio nel 90% dei pazienti, mentre con gli antibiotici tradizionali lo stesso batterio viene debellato nel 70% dei casi. Nel corso di una sperimentazione si scelgono a caso i pazienti a cui somministrare il nuovo antibiotico, precisamente al 70% dei pazienti, mentre al restante 30% si d`a un antibiotico tradizionale.

Calcolare:

(i) la probabilit`a che un paziente guarisca;

(ii) la probabilit`a che un paziente non guarito sia stato curato con il nuovo antibiotico;

(iii) la probabilit`a (approssimata) che almeno 500 pazienti su 625 guariscano (si faccia l’ipotesi che l’esito della cura su ogni paziente sia indipendente dall’esito degli altri pazienti;

si usi l’approssimazione normale con la correzione di continuit`a, esprimendo il risultato in funzione della funzione di ripartizione Φ della normale standard).

2)

Due giocatori lanciano contemporaneamente e ripetutamente un dado ciascuno, con lo scopo di realizzare un 3 o un 4. Un giocatore vince se realizza lo scopo prima dell’altro, se invece entrambi realizzano il primo 3 o 4 allo stesso lancio il gioco termina in parit`a.

Sia S il numero del lancio in cui il 1^o giocatore realizza 3 o 4 per la prima volta, e sia T il numero del lancio in cui il 2^o giocatore realizza 3 o 4 per la prima volta.

a. Quali variabili aleatorie sono S e T ? Se ne scriva la densit`a discreta.

Si calcolino

b. P (T < S | T = k) , k = 1, 2, 3, ...;

c. la probabilit`a che il secondo giocatore vinca, cio`e P (T < S);

d. la probabilit`a di pareggio.

3)

Si disegni l’insieme D =



(x, y, z) ∈ R³ : x²+ y²≤ 9 , y < 0 , 0 ≤ z ≤ 3 2



e si calcoli l’integrale triplo ZZZ

D

z cos[πz(x²+ y²)] dxdydz.

4)

Sia dato il campo F(x, y, z) = (x², x, y).

a) Si dica se `e conservativo.

b) Si calcoliR

γ1F₁dx + F₂dy + F₃dz, dove F = (F₁, F₂, F₃) e γ₁ `e la circonferenza sul piano z = 0 di equazione x²+ y²= 9 percorsa in senso antiorario.

c) Si calcoliR

γ2F1dx + F2dy + F3dz dove F = (F1, F2, F3) e γ2 `e la curva di equazioni parametriche r(t) = (t, 2t, t), t ∈ [0, 1].

d) (Facoltativo) Si calcoli il rotore di F e si calcoli l’integrale del punto b) usando il teorema di Stokes.

Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti.

Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.

E vietato usare libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.`