richiami di fisica dell interazione adroni-materia

richiami di fisica dell’interazione adroni-materia

.

Andrea Fontana

INFN Sezione di Pavia/Università di Pavia

Pavia, 10 Giugno 2015

indice

Interazione radiazione materia Stopping power

Formula di Bethe-Bloch Range

Scattering multiplo Teoria di Molière Descrizione gaussiana Frammentazione nucleare Dose da neutroni

Ruolo del Monte Carlo Conclusioni

1

. .

interazione radiazione materia

interazione radiazione materia

Adrone: particella che interagisce con interazione forte

(dal greco ἁδρός: forte). Esempi: protone, neutrone, pione e ioni.

3

interazione di adroni e fotoni con la materia

Adroni: distribuzione di energia depositata per fascio di protoni di 200 MeV in acqua calcolata con moderno codice MC.

Distribuzione molto interessante: profilo longitudinale e trasversale.

4

interazione di adroni e fotoni con la materia

Profilo longitudinale

∙

Interazione inelastica con elettroni atomici→ rallentamento del fascio (stopping)

5

interazione di adroni e fotoni con la materia

Profilo trasversale

∙

Interazione elastica con nuclei atomici→ deflessione del fascio (scattering)

6

interazione di adroni e fotoni con la materia

Frammentazione nucleare

∙

Interazioni nucleari→ diminuzione intensità del fascio primario

7

adroni e fotoni

Fotoni (raggi X e γ)

Scattering Compton

Effetto fotoelettrico

Produzione di coppie

8

adroni e fotoni

Fotoni (raggi X e γ)

Scattering Compton

Effetto fotoelettrico

Produzione di coppie

8

adroni e fotoni

Fotoni (raggi X e γ)

Scattering Compton

Effetto fotoelettrico

Produzione di coppie

8

picco di bragg

Profilo longitudinale di dose caratterizzato dal picco di Bragg.

9

. .

stopping power

formula di bethe-bloch

Impulso trasferito da particella di massa M e velocitá v ad elettrone a riposo con parametro di impatto b:

I = e

∫ E_⊥dx

v con energia guadagnata dall’ elettrone:

Te= I² 2me

Distinzione tra collisioni vicine e collisioni lontane, in termini di soglia in energia η:

Te < ηcollisioni distanti

Te > ηcollisioni vicine ₁₁

formula di bethe-bloch

Energia cinetica massima trasferita all’ elettrone:

Tmax= 2mec²β²γ² 1 + 2γ^m_M^e+ (^m_M^e)²

A parte la coda di alta energia in cui T≈ Tmax, la dipendenza della sezione d’ urto è di tipo 1/T²: collisioni con bassa energia trasferita sono più probabili di collisioni con alta energia trasferita.

12

formula classica e quantistica

Formula di Bohr: fornisce energia classica persa per ionizzazione.

⟨−dE dx

⟩

=4πz²e⁴Ne

mev² lnγ²mev³ ze²ν¯

Formula di Bethe-Bloch (1932): fornisce energia media persa per ionizzazione. Per particelle pesanti dispin 0(vedi nuclei¹²C):

⟨−dE dx

⟩

=2πner²_emec²z² β²

[

ln2mec²β²Tmax

I²(1− β²) − 2β²− 2C Z− δ

]

Per particelle pesanti dispin 1/2(vedi protoni):

⟨−dE dx

⟩

= 2πner²_emec²z² β²

[

ln2mec²β²Tmax

I²(1− β²) − 2β²+ 1 4

Tmax

(T0+Mc²)²− 2C Z− δ

]

13

formula di bethe-bloch

Due termini correttivi rispetto a trattazione classica:

∙ effetto densità δ (screening elettroni atomi vicini)

∙ effetto shell C (velocità particella incidente)

Altre correzioni (minori): effetto Barkas (z³) e Bloch(z⁴)

Andamento complesso in funzione della velocità β.

Effetti importanti: fluttuazioni statistiche (straggling in energia) e elettroni di ”knock-out” (raggi delta)→ distribuzione di Landau.

fonte: Particle Data Group, 2012

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contributo dello spin

Excerpts from PDG: ”The cross sections depend on the spin of the incident particle, and, in the case of the electrons, on identical particle considerations. Here we restrict ourselves to the spin-0 case, although the results can be applied to proton energy loss without sensible error. ... The β dependence in the cross section is different for spin 1/2 and spin 1 particles, but it is not important except at energies far above atomic binding energies.”

15

effetto densità

Riduzione dello stopping power a causa della polarizzazionedel mezzo: l’ effetto diventa importante a energie relativistiche e con il crescere della densità del mezzo. Effetto parametrizzato in termini di ηe della variabile X = ln η/ln 10:

0 < X < X0 δ(η) =0

X0<X < X1 δ(η) =ln η²+C + a(X1− X0)^m X > X1 δ(η) =ln η²+C

parametri C, X0, X1, a e m / parametri di Sternheimer, dipendono dal materiale e dal suo stato fisico (densità, conducibilità elettrica...) Per energie elevate:

δ(η)→ ln η²

con unaparziale riduzione della crescita relativistica.

16

correzioni di shell

Termini correttivi per ogni shell elettronica:

C = CK+CL+CM+ ...

Ogni C_idipende dalla velocità e la dipendenza funzionale può essere calcolata: in generale ogni termine ha valori grandi e negativi per piccole velocità e al crescere della velocità cambia segno, passando per un massimo e tornando negativo.

L’ andamento in prossimità dello zero è η⁻², con η = βγ. inoltre ogni Cidipende anche dal potenziale di ionizzazione I.

Espressione approssimata(valida per η > 0.13):

C(I, η) = (0.422377η⁻²+0.0304043η⁻⁴− 0.00038106η⁻⁶)× 10⁻⁶I² +(3.858019η⁻²− 0.1667989η⁻⁴− 0.00157955η⁻⁶)× 10⁻⁹I³ con I in eV.

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correzioni di shell

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potenziale di ionizzazione

Un materiale è descritto da un singolo numero, il potenziale di ionizzazione medio.

Approssimazione di Felix Bloch approximation (1933): I = (10eV) Z con Z numero atomico degli atomi del materiale. Le moderne tavole (e.g. ICRU Report 37 and 49) forniscono risultati molto più accurati.

Formule pratiche:

I

Z =12 + 7

ZeV I < 163eV I

Z =9.76 + 58.8Z^−1.19eV I >= 163eV

fonte: Particle Data Group, 2012

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potenziale di ionizzazione

Per composti con frazioni in peso w_j:

lnI =( ∑

j

wj

ZMj

AMj

lnIj

) /⟨ ZM

AM

⟩

⟨ ZM

AM

⟩

=∑

j

w_jZMj

AMj

con ZM e AMnumero atomico e di massa dei materiali.

Interessanti lavori recenti di H. Paul:

https://www-nds.iaea.org/stopping/

20

quanto vale il potenziale di ionizzazione dell’ acqua?

Il valore standard è I=75 eV, ma viene ridefinito in base ai dati sperimentali. La sua esatta determinazione è difficile, sia dal punto di vista teorico che sperimentale.

fonte: J. R. Sabin et al., Advances in Quantum Chemistry, Vol. 65, 2013

21

potenziale di ionizzazione e picco di bragg

22

potenziale di ionizzazione e picco di bragg

23

potenziale di ionizzazione e picco di bragg

24

calcolo del range: quale range?

Il range è il parametro fondamentale che caratterizza il deposito di dose longitudinale.

∙ Range classico (e relativistico)

∙ Range medio

∙ Range proiettato

∙ range CSDA

∙ Tabelle NIST (database pstar)

∙ Range ”90% distal fall-off”

∙ range analitico

∙ range ”pratico”

fonte: Leo

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range classico

Obiettivo: integrazione dell’ equazione di Bethe-Bloch→ compito molto difficile!

Approssimazioni interessanti derivate dall’ equazione di Langevin che descrive la dissipazione di energia nello spazio circostante di un prioettile di massa M in moto con velocità v(t):

Mdv dt =−γv con soluzione:











v(t) = v0exp(−γt/M) E(t) = E0exp(−2γt/M) z(t) = RCSDA−v0M

γ exp(−γt/M)

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formule pratiche range-energia

∙ Relazione range-energia (regola di the Bragg-Kleeman):

RCSDA=AE^p₀

Per protoni in adroterapia (E0tra 50 e 250 MeV) p≈ 1.-1.8.

Caso speciale: p=1.5 valido per particelle α di bassa energia.

N.B.: poiché E0è in MeV e RCSDAin cm, A ha dimensioni cm/MeV^p; p è adimensionale.

∙ Espressione relativistica:

RCSDA=A(

E0+ E²₀ 2Mc²

)p

In adroterapia E0≪ 2Mc², con Mc²=938.276 MeV: l’ espressione relativistica è un termine correttivo.

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range csda

Il range CSDA (Continuous Slowing Down Approximation) per protoni può essere calcolato integrando il reciproco dello stopping power dall’ energia zero all’ energia iniziale:

RCSDA=

∫ L 0

dx =

∫ 0 E

1

| < dE/dx > |dE

∙ no straggling in energia

∙ no produzione di raggi delta

∙ no interazioni nucleari

∙ no Coulomb multiple scattering

Energy (MeV) Ranges CSDA (mm) MC code NIST

90 64.000 64.000

160 176.500 176.500 200 259.600 259.600 Questo corrisponde essenzialmente a seguire solo la perdita di energia per ionizzazione della particella primaria.

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range csda

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range analitico

Semplice relazione analitica empirica trovata da Øverås tra p(x)²β(x)²e il range residuo normalizzato (studiata da Gottschalk):

p(x)²β(x)² = p(0)²β(0)²( 1− x

R )k

p(x)²β(x)² ≈ p(0)²β(0)²( 1− x

R )

Valida per molti materiali con densità ρ(g/cm³) e lunghezza di radiazione X0

(cm):

k = 1.0753 + 0.12 exp(−0.09ρX0)

fonte: H. Øverås , CERN Yellow Report No. 60-18, 1960; Gottschalk 1993

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range analitico

Per protoni di energia cinetica E(MeV), Ulmer ha pubblicato una formula molto accurata per un materiale di densità ρ (g/cm³):

R(cm) = 1 ρ

AM

ZM

∑N n=1

αnI^piEⁿ

ordine α_i p_i

1 6.84690e-04 0.4002 2 2.26769e-04 0.1594 3 -2.46100e-07 0.2326 4 1.42750e-10 0.3264 con I potenziale medio di ionizzazione del mezzo (in eV) ZMe AM

numero atomico enumero di massa effettivi.

Per protoni in acqua di energia E < 300 MeV, la somma con 4 termini N = 1..4 fornisce risultati con accuratezza migliore di 0.5%.

31

range pratico: definizione formale

Definizione proposta da J. Kempe et al.:

”A useful practical range Rpfor quasimonoenergetic ions can be defined similar to electron beams as the point where the tangent at the inflection point of the descending portion of the total depth versus absorbed dose curve meets the exponentially extrapolated fragmentation tail.”

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calcolo pratico del range

per protoni in acqua... ...e per ioni¹²C

Esempi: range di protoni da 200 Mev in acqua = 26 cm range di ioni¹²C da 387 MeV/u in acqua = 26 cm

33

calcolo del range in materiali diversi

Leggi di scaling di uso pratico:

∙ particelle diverse di massa M1e M2ed energia cinetica T1e T2

nello stesso materiale:

R2(T2) = M2

M1

z²₁

z²₂R1(T2M1

M2

)

∙ stessa particella in materiali diversi (regola di Bragg-Kleeman):

R1

R2

= ρ2

ρ₁

√A1

√A2

∙ formula approssimata per composti:

Rcomp= Acomp

∑

i a_iA_i

Ri

34

. .

scattering multiplo

teoria di molière

Molière ha calcolato (1948) la distribuzione dell’ angolo di diffusione θcome soluzione analitica dell’ equazione del trasporto in ottimo accordo con i dati sperimentali.

Tale soluzione ha un’ espressione complicata:

f(θ)θdθ = fM(θ)d(cosθ)dϕ/2π

che, con l’ approssimazione|d(cosθ)| = sinθ dθ ≈ θ dθ, può essere scritta come somma di 3 termini:

fM(θ) = 1 2θ²_M

[

f⁰(θ^′) +f¹(θ^′)

B ) +f²(θ^′) B²

]

dove θMprende il nome di angolo caratteristico per il multiple scattering, θ^′= θ/(√

2θM)è l’ angolo ridotto e B è un parametro connesso con il logaritmo del numero effettivo di collisioni nel bersaglio.

36

descrizione gaussiana

Termini dello sviluppo:



















f⁰(x) = 2e^−x

f¹(x) = 2e^−x(x− 1)[ ¯Ei(x) − lnx] − 2(1 − 2e^−x) f²(x) = e^−x(

[ψ²(2) + ψ(2)](x²− 4x + 2) + 4

∫ 1 0

y⁻³dy[lny/(1− y) − ψ(2)]

× [(1 − y²)e^xy− 1 − (x − 2)y − (x²/2− 2x + 1)y²] )

con x = θ², ψ(n) = d{lnΓ(n + 1)}/ dn funzione Digamma e Ei(x) funzione esponenziale integrale.

Il primo termine è una funzione gaussiana che costituisce il ”core”

della distribuzione (valida per piccoli angoli), mentre i termini successivi descrivono il contributo non gaussiano delle code.

Funzioni valutate per integrazione numerica o con tavole matematiche.

37

teoria di molière

La teoria di Molière dipende da 2 parametri: χ²_cand χ²_α.

∙ Il parametro χ²_cè legato alla RMS dell’ angolo di scattering χ²_c=0.1569· 10⁻⁶Z²z²x

A 1 p²β² ,

∙ Il parametro χ²_αè connesso allo screening del potenziale coulombiano:

χ²_α= µ²χ²₀









 µ²=

(

1.13 + 3.76 z²Z² 137²β²

)

χ²₀= (ℏ

p

Z^1/3 0.468· 10⁻⁸(cm)

)²

38

angoli nella teoria di molière

39

profilo laterale

Due contributi alle code della distribuzione:

∙ elettromagnetico (teoria di Molière)

∙ nucleare (frammentazione)

fonte: R. Fruhwirth et al., , NIM A 456(2000)369 40

parametrizzazioni del profilo laterale

Articolo: V.E. Bellinzona et al., On the parametrization of lateral dose profiles in proton radiation therapy in stampa su Physica Medica.

41

parametrizzazioni del profilo laterale

Articolo: V.E. Bellinzona et al., On the parametrization of lateral dose profiles in proton radiation therapy in stampa su Physica Medica.

42

. .

frammentazione nucleare

reazioni indotte da protoni in acqua

Per comprendere reazioni Nucleo-Nucleo (AA) e Adrone-Nucleo (hA) è necessario comprendere reazioni Adrone-Nucleone (hN), poiché i nuclei sono costituiti da protoni e neutroni.

In generale2 tipi di reazioni nucleari(per hN e hA/AA): elastiche e inelastiche

∙ reazioni elastiche: non modificano struttura interna di proiettile/bersaglio e non producono nuove particelle

∙ trasferiscono parte energia del proiettile al bersaglio (LAB)

∙ deflettono in direzioni opposte proiettile e bersaglio (CMS)

∙ non hanno energia di soglia

∙ reazioni inelastiche: producono nuove particelle e modificano struttura interna (vedi nucleo eccitato)

∙ hanno energia di soglia, al di sotto della quale la reazione non avviene (tranne che per neutroni)

44

sezione d’ urto pp

1 + 2 → a + b + c

Ethr = (ma+mb+mc)²c²− m²1c²− m²2c² 2m2

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reazioni indotte da protoni in acqua

Per protoni in acqua, l’ interazione del fascio primario comporta prevalentemente diverse reazioni nucleari con l’ ossigeno:

p +¹⁶₈O ⇒ n +¹⁶9 F p +¹⁶₈O ⇒ p + n + ¹⁵8O p +¹⁶₈O ⇒ p + p + ¹⁵7N p +¹⁶₈O ⇒ α + ¹³7N p +¹⁶₈O ⇒ d +¹⁵8O n +¹⁶₈O ⇒ p + ¹⁶7 N n +¹⁶₈O ⇒ p + n + ¹⁵7N

In generale:

f(x) = WpfM(x)+(1−Wp) t(x)

∫+∞

−∞ t(x)dx fM(x) = teoria elettromagnetica di Molière

t(x) = parametrizzazione delle code nucleari

Wp= frazione di eventi senza interazioni nucleari

46

interazioni nucleari: descrizione analitica

Formula per il calcolo della frazione Wpdi protoni primari di energia E che non subiscono interazioni nucleari, in funzione dello spessore x attraversato e del range R in acqua:

Wp= 1 2

[ 1−

(E− Eth

m )f

x R

] [ 1 + erf

(R− x τ

)]

, (1)

dove erf è la funzione degli errori, f = 1.032, m è la massa del protone in MeV, Eth=7 MeV è l’ energia di soglia per la barriera coulombiana dell’¹⁶O.

Il parametro τ tiene conto della variazione del range con la profondità a causa dello straggling ed è parametrizzato come:

τ =0.0179651452 R^t, dove t = {

0.9352 if R≥ 1cm

1.1763 if R < 1cm (2)

47

interazioni nucleari

Diminuzione della fluenza di un fascio di protoni primari di energie diverse in acqua a causa delle interazioni nucleari.

Esempio: attenuazione fluenza a 15 cm∼ 15%.

Regola generale per protoni in acqua:∼ 1% attenuazione per cm.

fonte: W. Ulmer et al., , Rad. Phys. and Chem. 76(2007)1089 48

interazioni nucleari di ioni

Situazione più complessa rispetto al caso dei protoni: anche il proiettile si può frammentare.

I frammenti contribuiscono in maniera significativa alla dose.

fonte: D. Schardt et al., Heavy-ion tumor therapy: Physical and radiobiological benefits, Rev. Mod. Phys. 82(2010)383

49

interazioni nucleari: build-up

La produzione di frammenti aumenta con la profondità e diventa significativa dopo il picco di Bragg.

fonte: D. Schardt et al., Heavy-ion tumor therapy: Physical and radiobiological benefits, Rev. Mod. Phys. 82(2010)383 50

ruolo delle particelle α

∙ Proiettili leggeri producono molte α, emesse prevalentemente in avanti

∙ Reazione dominante: ¹²C→⁸Be +⁴He

∙ ⁸Be decade quasi istantaneamente in 2 particelle α

fonte: E. Gadioli et al., Alpha particle emission in the interaction of C-12 with Co-59 and Nb-93 at incident energies of 300 and 400 MeV, Nucl. Phys. A 654(1999)523

51

in sintesi

Effetto combinato di energy loss, multiple scattering e frammentazione nucleare su una tipica linea per adroterapia:

nozzle + air gap + paziente

fonte: D. Schardt et al., Heavy-ion tumor therapy: Physical and radiobiological benefits, Rev. Mod. Phys. 82(2010)383 52

. .

dose da neutroni

dose da neutroni

I neutroni, in quanto particelle neutre, non perdono energia in modo diretto per ionizzazione, ma attraverso reazioni secondarie con produzione di adroni carichi:

∙ scattering elastico su nucleo

∙ reazioni nucleari inelastiche

Il contributo alla dose fisica da parte di neutroni

secondari prodotti da protoni e ioni¹²C risulta trascurabile.

fonte: X. Jun-Kui et al., Study on neutron radiation field of carbon ions therapy, Chin. Phys. C

54

. .

ruolo del monte carlo

ruolo del monte carlo

56

ruolo del monte carlo

57

ruolo del monte carlo

58

ruolo del monte carlo

59

. .

conclusioni

conclusioni

∙ Fasci di particelle cariche pesanti (protoni e ioni) offrono

significativi vantaggiper il trattamento di tumori profondi rispetto alla convenzionale terapia con raggi X e γ.

∙ La distribuzione di dose fisica in funzione della profondità nel tessuto è caratterizzata da piccole dosi all’ ingresso e da unpicco di dose in prossimità del range, seguito da una ripida discesa.

∙ Il picco di Bragg deriva dall’effetto combinatodi vari fattori:

stopping power, scattering, straggling e riduzione di fluenza.

∙ Considerando questi vantaggi (range ben definito e spread laterale contenuto) è possibile ottenere un rilascio di dose locale conprecisione^(sub)millimetrica.

61

Grazie per l’ attenzione.

62

bibliografia

D. Schardt et al., Rev. Mod. Phys. 82(2010)383

F. Azaiez et al., Nuclear Physics for Medicine, Tech. Rep., NuPECC, 2014.

J. R. Sabin et al., Advances in Quantum Chemistry, Vol. 65, 2013 J. Kempe et al., Med. Phys. 35 (2008) 159

E. A. Uehling et al., Annu. rev. nucl. Sci. 1954.4:315-350 W. Ulmer, Rad. Phys. and Chem. 76(2007)1089 W. Ulmer et al., Rad. Phys. and Chem. 80(2011)378 B. Gottschalk, Med. Phys. 37(2010)352 B. Gottschalk et al., arXiv:1409.1938v1, 2014.

H. Øverås, CERN Yellow Report No. 60-18, 1960.

R. Fruhwirth et al., NIM A 456(2000)369 V.L. Highland, NIM 129(1975)497

W. R. Leo, Techniques for nuclear and particle physics experiments, 1994

63

contatto

andrea.fontana@pv.infn.it http://www.pv.infn.it/∼fontana

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