Lezione 11 ( A-L ) 31/10/06

(1)

Lezione 11 ( A-L ) 31/10/06

IL CAMBIAMENTO DI BASE

Siano B e B⁰ due basi di uno spazio vettoriale V di dimensione n. La matrice del cambio di base da B a B⁰ ´e per definizione la matrice A che porta per colonne le coordinate dei vettori della base B⁰ rispetto alla base B.

La matrice inversa di tale matrice A⁻¹ rappresenta chiaramente la matrice del passaggio dalla base B⁰ alla base B.

Indicando inoltre con X e X⁰ i vettori colonna formati dalle coordinate del generico vettore v ∈ V rispetto a B e B⁰ rispettivamente, ricaviamo le due seguenti relazione matriciali

X = AX⁰, X⁰ = A⁻¹X⁰, che permetto di determinare le equazioni del cambio di base.

Due basi si dicono equiverse se il determinante delle matrice del cambio di base ´e positivo, si dicono contraverse se il determinante della matrice del cambio di base ´e negativo.

Esercizio 1. Nello spazio vettoriale R³ siano dati iseguenti vettori v₁= (2, −1, 1), v₂ = (1, 0, −1), v₃ = (0, 1, 2).

a) Verificare che B⁰ = {v₁, v₂, v₃} ´e una base di R³.

b) Scrivere le equazioni del cambiamento di coordinate e la matrice del cambiamento di base dalla base canonica B alla base B⁰.

c) Determinare le coordinate del vettore u = (1, 1, 1) rispetto alla base B⁰. d) Dire se le basi B e B⁰ sono equiverse o contraverse.

Soluzione dell’esercizio 1. a) Dato che il determinante della matrice formata dalle coordinate dei vettori v₁, v₂, v₃ rispetto alla base canonica disposti per colonna vale

|A| =

¯¯

¯

2 1 0

−1 0 1

1 −1 2

¯¯

¯

= 2 ·

¯¯

¯

0 1

−1 2

¯¯

¯−

¯¯

¯

−1 1 1 2

¯¯

¯= 2 + 3 = 5 6= 0,

tali vettori sono linearmente indipendenti e quindi costituiscono una base di R³.

(2)

b) La matrice del passaggio dalla base canonica alla base B⁰ ´e esattamente la matrice

A =





2 1 0

−1 0 1

1 −1 2



 .

Impostando la relazione matriciale

X = AX⁰,

otteniamo 

 x y z



 =





2 1 0

−1 0 1

1 −1 2







 x⁰ y⁰ z⁰



 .

Svolgendo il prodotto tra matrici







x = 2x⁰ +y⁰ y = −x⁰ +z⁰ z = x⁰ −y⁰ +2z⁰ c) Dalla relazione matriciale

X⁰ = A⁻¹X

possiamo ricavare le coordinate del vettore u rispetto alla base B⁰ essendo note quelle rispetto alla base canonica B. Determiniamo quindi la matrice A⁻¹. I complemeti algebrici della matrice A valgono

a⁰₁₁= 1, a⁰₁₂= 3, a⁰₁₃= 1 a⁰₂₁= −2, a⁰₂₂= 4, a⁰₂₃= 3 a⁰₃₁= 1, a⁰₃₂= −2, a⁰₃₃= 1.

Quindi

A⁻¹ =





1 −2 1 3 4 −2

1 3 1



 .

Ricaviamo allora 

 x⁰ y⁰ z⁰



 = 1 5





1 −2 1 3 4 −2

1 3 1







 1 1 1



 .

(3)

Equivalente al sistema







x⁰ = 1/5(1 −2 +1) y⁰ = 1/5(3 +4 −2) z⁰ = 1/5(1 +3 +1)

=⇒







x⁰ = 0 y⁰ = 1 z⁰ = 1 Ci´o equivale a dire, provare per credere, che

u = v₂+ v₃. d) Dato che |A| = 5 > 0, le due basi sono equiverse.

Esercizio 2. Nello spazio vettoriale R² siano dati i vettori

v₁ = (1, 1), v₂ = (2, −1), v⁰₁ = (2, 1), v₂⁰ = (1, 0).

a) Verificare che B = {v₁, v₂} e B⁰ = {v⁰₁, v⁰₂} sono due basi di R².

b) Determinare le matrici del cambiamento di base dalla base B alla base B⁰ e dalla base B⁰ alla base B.

c) Determinare le coordinate del vettore v = (1, 5) rispetto sia alla base B che alla base B⁰.

Soluzione dell’esercizio 2. a) Consideriamo le matrici A₁=

Ã 1 2 1 −1

!

e A₂ =

Ã 2 1 1 0

! . I loro determinanti valgono rispettivamente

|A₁| = −3 6= 0 e |A₂| = −1.

Quindi effettivamente B e B⁰ costituiscono due basi di R².

b) Determiniamo le coordinate dei vettori della base B⁰ rispetto alla base B tramite le relazioni vettoriali

v⁰₁= λ₁v₁+ λ₂v₂, v₂⁰ = µ₁v₁+ µ₂v₂. Con un semplice calcolo ricaviamo

( 2 = λ₁ +2λ₂

1 = λ₁ −λ₂ =⇒

( 2 = 1 + λ₂ +2λ₂

λ₁= 1 +λ₂

(4)

=⇒

( λ₂= 1/3 λ₁= 4/3 Similmente, risolvendo la seconda equazione vettoriale

(

1 = µ₁ +2µ₂

0 = µ₁ −µ₂ =⇒

(

1 = µ₂ +2µ₂

µ₁ = µ₂

=⇒

( µ₂= 1/3 µ₁= 1/3

Pertanto la matrice del passaggio dalla base B alla base B⁰ ´e la matrice A =

Ã 4/3 1/3 1/3 1/3

! .

Per calcolare la matrice del passaggio dalla base B⁰ alla base B ´e sufficiente calcolare l’inversa di tale matrice. I suoi complementi algebrici valgono

a⁰₁₁= 1/3, a⁰₁₂= −1/3 a⁰₂₁= −1/3, a⁰₂₂= 4/3. . Quindi la matrice A⁻¹ ´e la matrice

A⁻¹ = 3 Ã

1/3 −1/3

−1/3 4/3

!

= Ã

1 −1

−1 4

! .

c) Impostiamo l’equazione vettoriale

v = xv₁+ yv₂. Ne ricaviamo il sistema

(

1 = x +2y

5 = x −y =⇒

(

x = 1 −2y

5 = 1 − 2y −y

=⇒

(

x = 11/3 y = −4/3 Ovvero

v = 11/3v₁− 4/3v₂. Per la relazione matriciale

X⁰ = A⁻¹X,

(5)

abbiamo che le coordinate dello stesso vettore rispetto alla base B⁰ sono Ã

x⁰ y⁰

!

= Ã

1 −1

−1 4

! Ã 11/3

−4/3

! .

Quindi (

x⁰ = 11/3 +4/3 = 5 y⁰ = −11/3 −16/3 = −9 Ovvero

v = 5v₁⁰ − 9v₂⁰.

Esercizio 3. Nello spazio vettoriale R³ siano dati i seguenti vettori

v₁= (1, 1, 1), v₂ = (0, 0, 1), v₃ = (1, 0, 1), v₄= (1, 0, 0), v₅ = (2, 1, 2).

a) Verificare che B⁰ = {v₁, v₂, v₃} e B⁰⁰ = {v₃, v₄, v₅} sono due basi di R³.

b) Scrivere la matrice del cambiamento di base dalla base B⁰ alla base B⁰⁰ e la matrice del cambiamento dalla base B⁰⁰ alla base B⁰.

c) Determinare le coordinate del vettore v = v₁+ v₂+ v₃ sia rispetto alla base B⁰ che rispetto alla base B⁰⁰.

Soluzione dell’esercizio 3. a) Calcoliamo il valore dei determinanti delle matrici costituite dalle coordinate dei vettori dell’esercizio. Risulta

¯¯

¯A⁰

¯¯

¯ =

¯¯

¯

1 0 1 1 0 0 1 1 1

¯¯

¯

= −

¯¯

¯ 0 1 1 1

¯¯

¯= 1 6= 0.

¯¯

¯A⁰⁰

¯¯

¯ =

¯¯

¯

1 1 2 0 0 1 1 0 2

¯¯

¯

= −

¯¯

¯ 1 1 1 0

¯¯

¯= 1 6= 0.

Quindi effettivamente B⁰ e B⁰⁰ sono basi di R³.

b) Determiniamo innanzituto la matrice del passaggio dalla base B⁰ alla base B⁰⁰. Chiaramente

v₃ = 0 · v₁+ 0 · v₂+ 1 · v₃. Inoltre

v₄ = −v₂+ v₃.

(6)

Infine

v₅ = v₁+ v₃. Quindi la matrice richiesta ´e

B =





0 0 1

0 −1 0

1 1 1



 .

Calcoliamo adesso i complementi algebrici di tale matrice b⁰₁₁= −1, b⁰₁₂= 0, b⁰₁₃= 1

b⁰₂₁= 1, b⁰₂₂= −1, b⁰₂₃= 0 b⁰₃₁= 1, b⁰₃₂= 0, b⁰₃₃= 0.

Ricaviamo allora immediatamente la matrice del passaggio dalla base B⁰⁰ alla base B⁰,

B⁻¹ = B^(a)=





−1 1 1

0 −1 0

1 0 0



 .

c) Ovviamente le coordinate del vettore v rispetto alla base B⁰ sono (1, 1, 1). Per calcolare le coordinate dello stesso vettore rispetto alla base B⁰⁰ ´e sufficiente considerare la relazione matrciale

X⁰⁰ = A⁻¹X⁰. Otteniamo immediatamente



 x⁰⁰ y⁰⁰ z⁰⁰



 =





−1 1 1

0 −1 0

1 0 0







 1 1 1



 .

Pertanto 





x⁰⁰= −1 +1 +1 = 1 y⁰⁰ = 0 −1 0 = −1

z⁰⁰ = 1 0 0 = 1

Sussiste allora la relazione vettoriale

v = v₃− v₄+ v₅.

(7)

Esercizio 4. Nello spazio vettoriale R² siano dati i vettori

v₁ = (2, 1), v₂ = (1, −3), v⁰₁ = (2, 1), v₂⁰ = (1, 0).

a) Verificare che B⁰ = {v₁, v₂} ´e una base di R².

b) Determinare le coordinate dei vettori u = (1, 1), v = (0, −1), w = (−1, 2) rispetto alla base B⁰.

Soluzione dell’esercizio 4. a) Poich´e

|A| =

¯¯

¯ 2 1 1 −3

¯¯

¯= −7 6= 0,

i vettori sono linearmente indipendenti e quindi costituiscono una base di R². b) Calcoliamo la matrice inversa della matrice del passaggio dalla base canonica B alla

base B⁰,

A =

Ã 2 1 1 −3

! . I suoi complementi algebrici valgono

a⁰₁₁= −3, a⁰₁₂= −1, a⁰₂₁= −1, b⁰₂₂= 2.

Abbiamo

A⁻¹= −1/7 Ã

−3 −1

−1 2

! . Dalla relazione matriciale

X⁰ = A⁻¹X,

ricaviamo Ã

x⁰_u y_u⁰

!

= −1/7

Ã −3 −1

−1 2

! Ã 1 1

! .

Quindi (

x⁰_u = 3/7 +1/7 = 4/7 y⁰_u= 1/7 −2/7 = −1/7 Ã

x⁰_v y⁰_v

!

= −1/7 Ã

−3 −1

−1 2

! Ã 0

−1

! .

(8)

Quindi (

x⁰_v = −1/7 = −1/7 y⁰_v= +2/7 = +2/7 Ã

x⁰_w y_w⁰

!

= −1/7 Ã

−3 −1

−1 2

! Ã

−1 2

! .

Quindi (

x⁰_w= −3/7 +2/7 = −1/7 y_w⁰ = −1/7 −4/7 = −5/7 Riassumendo abbiamo

u = 4/7v₁− 1/7v₂, v = −1/7v₁+ 2/7v₂, w = −1/7v₁− 5/7v₂.