Esercizi sul calcolo di aree

Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Corso di Istituzioni di Matematiche II

Esercizi sul calcolo delle aree, delle lunghezze e dei volumi

1) Calcolare l’area della regione di piano

a) delimitata dalla parabola y = 4x − x ² e dall’asse delle ascisse;

b) delimitata dalla curva y = √

x, dalla retta y = 1 e dalla retta x = 8;

c) delimitata dalla parabola y = x ² e dalla retta y = 3 − 2x;

d) delimitata dalla curva y = ¹ _x e dalle rette y = 0, x = e, x = e ² ; e) situata fra la curva y = |x| e la curva y = 12 − x ² ;

f) delimitata dalla curva y = e ^{− x} e dalle rette y = 0, x = −1, x = 0;

g) situata fra le curve y = sin x e y = cos x, sull’intervallo [0, 2π].

2) Calcolare la lunghezza dell’arco delle seguenti curve:

a) la curva catenaria, tra i punti di ascissa -1 e 1.

b) la parabola di equazione y = ^x ₂

, tra i punti di ascissa -1 e 1.

3) Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione intorno all’asse x della parte di piano compresa tra:

a) i grafici delle funzioni y = x ² e y = 4x − x ² , b) il grafico della funzione f (x) = √

x, l’asse delle x e le rette x = 0, x = 4.

Alcuni risultati

Esercizio 1. a) ³² 3 ; b) ¹⁷ 4 ; c) ³² 3 ; d) 1; e) 45; f ) e − 1; g) 4 √ 2

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