114
4. Analisi termica del serbatoio Dewar
4.1 Introduzione
In questo capitolo verrà esposto il modello matematico sviluppato per fare l’analisi termica di un serbatoio cilindrico avente la struttura interna tipica di un vaso Dewar.
Lo scopo è quello di confrontare quali sono i vantaggi, in termini di isolamento termico, apportati dal serbatoio a struttura Dewar rispetto al caso di un semplice serbatoio cilindrico a due strati come quello analizzato nel paragrafo 3.2.
4.2 Geometria del serbatoio
Il serbatoio descritto in questo capitolo è un serbatoio cilindrico chiuso a ciascuna delle due estremità da un fondo torosferico. Il fondo torosferico è costituito da due membrane, una sferica centrale, raccordata ad una torica generata dalla rotazione di un arco di circonferenza (figura 3.1). Il serbatoio è costituito da due elementi: il corpo interno ed il corpo esterno. Il corpo interno è costituito dal rivestimento interno su cui è applicato l’isolante termico interno, e insieme formano un serbatoio cilindro-sferico a due strati; il rivestimento interno costituisce il serbatoio vero e proprio nel quale è contenuto il liquido criogenico. Il corpo esterno è invece costituito dal guscio su cui è applicato l’isolante termico esterno; anche il corpo esterno forma un serbatoio cilindro-sferico a due strati.
Tra il corpo interno ed il corpo esterno c’è un’intercapedine di vuoto che serve a ridurre il flusso termico verso l’interno del serbatoio. L’unico elemento che consente la trasmissione di calore per conduzione tra corpo esterno e corpo interno è costituito dai supporti, che collegano la superficie esterna del rivestimento interno alla superficie interna del guscio.
A sua volta l’intero serbatoio è posizionato all’interno della camera a vuoto ed è ad essa collegato mediante un’opportuna struttura; questa struttura collega le pareti interne della camera a vuoto con la superficie esterna del guscio.
La figura 4.1 riporta la geometria del serbatoio insieme alle principali grandezze geometriche usate.
115
Anche in questo caso, come già fatto per il serbatoio cilindrico del paragrafo 3.2, al fine di semplificare l’analisi termica, i fondi torosferici sono approssimati a calotte sferiche, come è descritto nella figura 4.2.
Figura 4.2: approssimazione del fondo torosferico ad un fondo a calotta sferica. Nella figura, per ragioni di
chiarezza, è stato rappresentato solo il corpo esterno omettendo il corpo interno.
L’elenco seguente riporta i simboli utilizzati per indicare le varie grandezze che saranno utilizzate per fare l’analisi termica del serbatoio.
L: lunghezza della parte cilindrica del serbatoio. r1: raggio interno del serbatoio.
h1: altezza interna del fondo sferico del rivestimento interno.
r1S: raggio interno del fondo sferico del rivestimento interno.
Sp1: spessore del rivestimento interno.
Sp2: spessore dell’isolante termico interno.
Sp3: spessore dell’intercapedine di vuoto tra corpo interno e corpo esterno.
Sp4: spessore del guscio.
Sp5: spessore dell’isolante termico esterno.
Sp = Sp1 + Sp2 + Sp3 + Sp4 + Sp5: spessore totale del serbatoio.
r3 = r1 + Sp1: raggio esterno del rivestimento interno.
r4 = r3 + Sp2: raggio esterno del corpo interno.
r5 = r4 + Sp3: raggio interno del guscio.
r6 = r5 + Sp4: raggio esterno del guscio.
r2 = r6 + Sp5: raggio esterno del corpo esterno.
r3S = r1S + Sp1: raggio esterno del fondo sferico del rivestimento interno.
r4S = r3S + Sp2: raggio esterno del fondo sferico del corpo interno.
r5S = r4S + Sp3: raggio interno del fondo sferico del guscio.
r6S = r5S + Sp4: raggio esterno del fondo sferico del guscio.
r2S = r6S + Sp5: raggio esterno del fondo sferico del corpo esterno.
h3 = h1 + Sp1: altezza esterna del fondo sferico del rivestimento interno.
h4 = h3 + Sp2: altezza esterna del fondo sferico del corpo interno.
116
h6 = h5 + Sp4: altezza esterna del fondo sferico del guscio.
h2 = h6 + Sp5: altezza esterna del fondo sferico corpo esterno.
h = r1S – h1: distanza della base delle calotte sferiche dal centro delle sfere.
(
): angolo di semi apertura (vedere figura 4.2).
: superficie esterna della parte cilindrica del corpo esterno. : superficie esterna del fondo sferico del corpo esterno. : superficie esterna del serbatoio.
: volume interno della parte cilindrica del rivestimento interno. ( ): volume interno del fondo sferico del rivestimento interno.
: volume interno del serbatoio.
ε2: emissività emisferica, nel campo dell’infrarosso, della superficie esterna del corpo esterno.
: coefficiente di assorbimento emisferico, nel campo dell’infrarosso, della superficie esterna del corpo esterno.
αS: coefficiente di assorbimento emisferico, della superficie esterna del corpo esterno, alla
radiazione solare.
: coefficiente di assorbimento emisferico, della superficie esterna del corpo esterno, alla radiazione solare riflessa dal pianeta (albedo).
: coefficiente di assorbimento emisferico, della superficie esterna del corpo esterno, alla radiazione termica planetaria (infrarossa).
εg: emissività emisferica, nel campo dell’infrarosso, della superficie interna del guscio.
αg = εg: coefficiente di assorbimento emisferico, nel campo dell’infrarosso, della superficie
interna del guscio.
εe: emissività emisferica, nel campo dell’infrarosso, della superficie esterna del corpo interno.
αe = εe: coefficiente di assorbimento emisferico, nel campo dell’infrarosso, della superficie
esterna del corpo interno.
Tg: temperatura della superficie interna del guscio (ipotesi: uniforme sull’intera superficie).
Te: temperatura della superficie esterna del corpo interno (ipotesi: uniforme sull’intera
superficie).
λ1: coefficiente di conducibilità termica del materiale costituente il rivestimento interno del
serbatoio.
λ2: coefficiente di conducibilità termica del materiale costituente l’isolante termico interno (nel
caso in cui il rivestimento isolante sia un MLI, λ2 rappresenta la conducibilità termica
apparente).
λ3: coefficiente di conducibilità termica del materiale costituente il guscio.
λ4: coefficiente di conducibilità termica del materiale costituente l’isolante termico esterno (nel
caso in cui il rivestimento isolante sia un MLI, λ2 rappresenta la conducibilità termica
apparente).
αW: coefficiente di dilatazione termica lineare del materiale costituente il rivestimento interno
del serbatoio.
E: modulo di elasticità del materiale costituente il rivestimento interno del serbatoio. ν: modulo di Poisson del materiale costituente il rivestimento interno del serbatoio. PMAX: pressione massima ammissibile all’interno del serbatoio.
: lunghezza interna totale del serbatoio. : lunghezza esterna totale del serbatoio.
117
4.3 La camera a vuoto
La camera a vuoto è schematizzata come un cilindro avente le caratteristiche di seguito indicate. LC: lunghezza interna della camera a vuoto.
rC: raggio interno della camera a vuoto.
: superficie interna della camera a vuoto.
TC: temperatura della superficie interna della camera a vuoto (si ipotizza che TC sia uniforme e
stazionaria).
C: emissività emisferica, nel campo dell’infrarosso, della superficie interna della camera a
vuoto.
: coefficiente di assorbimento emisferico, della superficie interna della camera a vuoto, alla radiazione infrarossa.
4.4 La struttura di collegamento serbatoio-camera a vuoto
Il serbatoio è collegato alla superficie interna della camera a vuoto per mezzo di un’adeguata struttura di collegamento. Nel presente modello termico si assume una struttura di collegamento costituita da k travi uguali che collegano la superficie interna della camera a vuoto con il guscio. Al fine di semplificare il modello, si assume che ciascuna trave sia ad asse rettilineo e a sezione costante.
La figura 4.3 riporta la rappresentazione schematica di una delle k travi, indicandone anche le principali grandezze geometriche.
Figura 4.3: rappresentazione schematica della struttura di collegamento serbatoio-camera a vuoto.
Di seguito sono elencati i simboli con cui verranno indicate le diverse grandezze relative alla struttura di collegamento serbatoio-camera a vuoto.
k: numero di travi (tutte uguali tra loro) che collegano il serbatoio alla camera a vuoto secondo lo schema riportato in figura 4.3.
dV: lunghezza di ciascuna trave.
SV: area della sezione trasversale di ciascuna trave.
λV: coefficiente di conducibilità termica del materiale costituente le travi.
Dal punto di vista dell’analisi termica, lo schema di figura 4.3 può essere ricondotto al seguente schema:
118
Figura 4.4: modello termico della struttura di collegamento serbatoio-camera a vuoto.
E’ da notare che la semplificazione proposta dal modello di figura 4.4 si basa sull’ipotesi semplificativa che la temperatura non vari attraverso lo spessore del guscio, ovvero che la superficie esterna e la superficie interna del guscio abbiano la stessa temperatura Tg. Tale ipotesi è
accettabile considerando che la resistenza termica del guscio è sufficientemente piccola e pertanto il gradiente di temperatura attraverso la parete del guscio è trascurabile.
4.5 Carichi termici forzanti
Il serbatoio è soggetto ai seguenti carichi termici. ̇ : flusso termico solare.
̇ ̇ : flusso termico dovuto alla radiazione solare riflessa dal pianeta (albedo planetario); rappresenta il coefficiente di albedo planetario.
̇ : flusso termico dovuto alla radiazione termica planetaria.
Al fine di semplificare il modello termico e al fine di studiare il problema nella condizione più gravosa dal punto di vista dei carichi termici, si ipotizza che i tre flussi termici abbiano la stessa direzione; si ipotizza inoltre che tale direzione sia perpendicolare all’asse del serbatoio.
Nel test in camera a vuoto questi carichi termici saranno simulati da opportune lampade. Le lampade riprodurranno i flussi termici sia in termini di intensità sia in termini di contenuto in frequenza della radiazione; pertanto la radiazione termica solare sarà riprodotta da una lampada che emette nel campo della radiazione solare (7% nella banda dell’ultravioletto, 46% banda della luce visibile e 47% nella banda della radiazione infrarossa a bassa lunghezza d’onda) mentre la radiazione termica planetaria sarà riprodotta da una lampada che emette nella banda dell’infrarosso. L’albedo planetario, dal punto di vista spettrale, può essere considerato come la radiazione solare diretta.
Per analizzare il caso più generale, si può supporre che ̇ non rimanga costante ma vari in funzione del tempo t. Questa circostanza potrebbe verificarsi, ad esempio, nel caso in cui il serbatoio non sia fermo bensì segua una traiettoria che lo porti ad avvicinarsi o ad allontanarsi dal Sole. Per non rendere il problema troppo complesso, si suppone che ̇ vari linearmente in funzione del tempo. Si indichi con t0 l’istante iniziale della simulazione e con tf quello finale; sia ̇ il valore di ̇
all’istante iniziale t = t0 e ̇ il valore di ̇ all’istante finale t = tf.
Ebbene si ha: ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ̇ ̇ ) ( ̇ ̇ ) ̇ In particolare ̇ ( ̇ ̇ )
119
4.6 Analisi termica della superficie esterna del serbatoio
4.6.1 Discretizzazione della superficie esterna del serbatoio
E’ lecito aspettarsi che la temperatura della superficie esterna del serbatoio (ovvero la temperatura della superficie esterna dell’isolante termico esterno) non sia uniforme bensì vari localmente; in particolare questa variazione è rilevante se si confronta la temperatura della porzione di superficie esterna rivolta verso i carichi termici forzanti con la temperatura della superficie esterna del serbatoio in ombra. Pertanto il modello matematico, che descrive come varia la temperatura della superficie esterna del serbatoio, deve tener conto anche di questa variazione spaziale della temperatura stessa.
Per far ciò si suddivide la superficie esterna del serbatoio in nodi, e in ciascuno di essi la temperatura sarà assunta uniforme.
Si inizia dividendo la superficie esterna del serbatoio in due parti mediante il piano passante per l’asse del serbatoio e perpendicolare ai flussi termici forzanti: la porzione di superficie rivolta verso le sorgenti termiche sarà chiamata superficie illuminata e l’altra superficie in ombra.
La superficie in ombra sarà suddivisa in due nodi: il semi-mantello cilindrico (nodo 11) e le due semi-calotte sferiche; poiché le due semi-calotte sferiche sono simmetriche esse costituiscono un unico nodo (nodo 13).
La superficie illuminata sarà suddivisa in tre parti: i due semi-fondi sferici ed il semi-mantello cilindrico. I due semi-fondi sferici sono simmetrici e pertanto costituiscono un unico nodo (nodo 12). A sua volta il semi-mantello cilindrico è suddiviso in due parti, simmetriche, dal piano passante per l’asse del serbatoio e parallelo ai flussi termici forzanti; ciascuna di queste due parti sarà suddivisa in dieci spicchi cilindrici aventi ciascuno un angolo di apertura β pari a 9 deg (ovvero 0.157 rad). Ciascuno dei dieci spicchi costituisce un ulteriore nodo (nodi da 1 a 10).
In conclusione questo modello termico prevede la discretizzazione della superficie esterna del serbatoio in 13 nodi.
Le figure 4.5, 4.6 e 4.7 descrivono la discretizzazione della superficie esterna del serbatoio. Di seguito sono elencate alcune grandezze relative all’i-esimo nodo.
Ti: è la temperatura della superficie esterna del serbatoio in corrispondenza dell’i-esimo nodo.
Si: è l’area della superficie esterna dell’i-esimo nodo.
Ai: è l’area d’ombra (shadow area) dell’i-esimo nodo, ovvero l’area della superficie ottenuta
proiettando Si su un piano perpendicolare alla direzione dei flussi termici forzanti. Ovviamente
per i nodi 11 e 13 non esiste l’area d’ombra.
̇: è la potenza termica conduttiva attraverso la parete del corpo esterno in corrispondenza dell’i-esimo nodo.
120
Figura 4.5: discretizzazione della superficie esterna del serbatoio. Ciascun nodo è individuato da un numero
da 1 a 13.
121
Figura 4.7: vista isometrica della superficie esterna del serbatoio. Ciascun colore identifica un nodo.
Qui di seguito sono esposte le relazioni che forniscono le Si e le Ai per ciascun nodo.
NODI DA 1 A 10
Questi nodi hanno tutti la stessa area della superficie esterna. Quindi: S1 = S2 =S3 = S4 = S5 = S6 = S7 = S8 = S9 = S10
Con riferimento alla figura 4.8 si ha:
Figura 4.8: spicchio cilindrico che rappresenta uno dei nodi da 1 a 10.
122 ( ) ( ) ( ) Generalizzando si ha: [ ( ) (( ) )] NODO 11
Avendo indicato con SC l’area della superficie esterna della porzione cilindrica di serbatoio, si ha:
NODO 12
Avendo indicato con SS l’area della superficie esterna di ciascun fondo sferico, si ha:
123
Figura 4.9: rappresentazione dell’area d’ombra del nodo 12.
Essendo A12 un segmento circolare, è facile verificare che:
( ) ( ) NODO 13 Come per il nodo 12 si ha:
4.6.2 Calcolo delle potenze termiche conduttive attraverso la parete del corpo
esterno
In questo paragrafo saranno calcolate le espressioni per determinare le potenze termiche conduttive attraverso la parete del corpo esterno in corrispondenza di ciascun nodo. Per il calcolo di queste potenze termiche conduttive si fanno le seguenti assunzioni:
il valore positivo attribuito alle potenze termiche conduttive è quello che va dalla superficie esterna del corpo esterno verso quella interna;
la superficie interna del guscio ha una temperatura uniforme pari a Tg;
la temperatura T della parete varia solo in funzione del raggio r (conduzione monodimensionale).
NODI DA 1 A 10 Con riferimento alla figura 4.10 si ha:
̇ ̇ Integrando quest’ultima equazione si ha:
124 ∫
∫
̇ Risolvendo separatamente i due integrali di cui sopra si ha:
∫ ∫ ∫ ( ⁄ ) ( ⁄ ) ∫ ̇ ̇ ( )
Sostituendo questi risultati nella [4.9] si ottiene:
( ⁄ ) ( ⁄ ) ̇ ( ) ̇ ( ⁄ ) ( ⁄ )( ) ̇ ( )
Figura 4.10: rappresentazione dell’i-esimo nodo con indicazione della potenza termica conduttiva attraverso
125 NODO 11
Il valore di ̇ può essere calcolato usando la stessa relazione usata per calcolare ̇ con la differenza che in questo caso si ha β = π.
Quindi: ̇ ( ⁄ ) ( ⁄ )( ) ̇ ( ) NODO 12
Si indichi con ( ) la resistenza termica conduttiva del semi-fondo sferico appartenente al guscio, e con ( ) la resistenza termica conduttiva del semi-fondo sferico appartenente all’isolante termico esterno. In appendice A è riportato il calcolo della resistenza termica conduttiva di una parete a calotta sferica, dalla quale è possibile ricavare le relazioni per il calcolo di ( ) ed ( ).
( ) [ ( )] ⁄ ( ) [ ( )] ⁄ ̇ ( ) ( ) ( ) NODO 13 Ripetendo lo stesso ragionamento fatto per il nodo 12, si ha:
( ) [ ( )] ⁄ ( ) [ ( )] ⁄ ̇ ( ) ( ) ( )
126 4.6.3 Bilanci termici
NODI DA 1 A 10
Le potenze termiche entranti sulla superficie esterna dell’i-esimo nodo sono: la potenza termica dovuta al flusso termico solare;
la potenza termica dovuta al flusso termico prodotto dalla radiazione solare riflessa dal pianeta (albedo);
la potenza termica dovuta al flusso termico prodotto dalla radiazione termica planetaria; la potenza termica dovuta allo scambio termico per irraggiamento con le pareti interne della
camera a vuoto.
La potenza termica uscente dalla superficie esterna dell’i-esimo nodo è:
la potenza termica dovuta allo scambio termico conduttivo tra la superficie esterna e la superficie interna del corpo esterno in corrispondenza dell’i-esimo nodo.
Di seguito sarà analizzato ciascuno dei precedenti punti.
Si indichi con ̇ la potenza termica, dovuta alla radiazione termica solare, che viene assorbita dalla superficie esterna dell’i-esimo nodo:
̇ ̇
Si indichi con ̇ la potenza termica, dovuta alla radiazione termica solare riflessa dal pianeta
(albedo planetario), che viene assorbita dalla superficie esterna dell’i-esimo nodo: ̇ ̇ ̇
Si indichi con ̇ la potenza termica, dovuta alla radiazione termica planetaria, che viene assorbita dalla superficie esterna dell’i-esimo nodo:
̇ ̇
La figura 4.11 schematizza lo scambio termico radiativo tra superficie interna della camera a vuoto e superficie esterna del serbatoio:
Figura 4.11: potenza termica scambiata per irraggiamento tra superficie interna della camera a vuoto e
superficie esterna dell’i-esimo nodo.
dove:
: resistenza superficiale all’irraggiamento della superficie interna della camera a vuoto.
: resistenza spaziale all’irraggiamento tra la superficie interna della camera a vuoto e la superficie esterna dell’i-esimo nodo.
127
Il valore FiV è il fattore di vista della superficie esterna dell’i-esimo nodo rispetto alla superficie
interna della camera a vuoto; poiché il serbatoio è interamente circondato dalla pareti interne della camera a vuoto allora tutta la radiazione termica emessa dalla superficie esterna dell’i-esimo nodo viene intercettata direttamente dalle pareti interne della camera a vuoto, pertanto si ha:
Indicando con ̇ la potenza termica radiativa scambiata tra le pareti interne della camera a vuoto e la superficie esterna dell’i-esimo nodo, e assumendo come positivo il verso indicato in figura 4.11, si ha:
̇ ( )
( )
A questo punto è possibile effettuare il bilancio termico per l’i-esimo nodo. ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ ) ( ) ( ) dove: ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ )
Derivando rispetto al tempo la [4.15] si ha: ( ) ( ) ( ) ̇ ̇ ( ̇ ̇ ) ( ) ( ) [ ] [ ( ̇ ̇ ) ( )] ( )
128 NODO 11 Il nodo 11 è soggetto ai seguenti scambi di calore:
allo scambio termico per irraggiamento con le pareti interne della camera a vuoto. Si indichi con ̇ la potenza termica radiativa scambiata tra la superficie interna della camera a vuoto e la superficie esterna del nodo 11, e il verso assunto positivo è quello che va dalla superficie interna della camera a vuoto verso la superficie esterna del nodo 11;
allo scambio termico conduttivo tra la superficie esterna e la superficie interna del corpo esterno in corrispondenza del nodo 11.
Quindi in questo caso si ha:
̇ ̇ ( ) ( ) dove:
Derivando rispetto al tempo la [4.18] si ha: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) NODO 12
Per il bilancio termico del nodo 12 è possibile ripetere esattamente lo stesso ragionamento fatto per i nodi da 1 a 10. ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ ) ( ) ( )
129 dove: ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ )
Derivando rispetto al tempo la [4.21] si ha: ( ) ( ) ( ) ̇ ̇ ( ̇ ̇ ) ( ) ( ) [ ] [ ( ̇ ̇ ) ( )] ( ) NODO 13
Per il bilancio termico del nodo 13 è possibile ripetere lo stesso ragionamento fatto per il nodo 11. ̇ ̇ ( ) ( ) dove:
Derivando rispetto al tempo la [4.24] si ha: ( ) ( ) ( )
130 ( ) ( )
4.7 Analisi termica della superficie interna del guscio
Si fa l’ipotesi semplificativa che la temperatura della superficie interna del guscio sia uniforme e pari a Tg.
Le potenze termiche entranti sulla superficie interna del guscio sono: ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ [ ( )]
̇ è la potenza termica conduttiva che va dalla superficie interna della camera a vuoto alla superficie interna del guscio attraverso la struttura di collegamento serbatoio-camera a vuoto (paragrafo 4.4).
Le potenze termiche uscenti dalla superficie interna del guscio sono:
La potenza termica che, per irraggiamento, va dalla superficie interna del guscio alla superficie esterna del corpo interno. Questa potenza termica verrà indicata con ̇ .
La potenza termica che, per conduzione, va dalla superficie interna del guscio alla superficie esterna del rivestimento interno attraverso i supporti che collegano il rivestimento interno al guscio. Questa potenza termica verrà indicata con ̇ .
Di seguito saranno ricavate le relazioni che forniscono le due potenze termiche uscenti. Si indichi con Rg la resistenza superficiale all’irraggiamento della superficie interna del guscio:
131
Si indichi con RSe la resistenza spaziale all’irraggiamento tra la superficie interna del guscio e la
superficie esterna del corpo interno:
dove ( ) ( ) è la superficie esterna del corpo interno e Feg è il fattore di vista
della superficie esterna del corpo interno rispetto alla superficie interna del guscio. Dal momento che la superficie esterna del corpo interno è interamente circondata dalla superficie interna del guscio, tutta la radiazione termica emessa dalla superficie esterna del corpo interno è direttamente intercettata dalla superficie interna del guscio, pertanto Feg = 1.
Infine, si indichi con Re la resistenza superficiale all’irraggiamento della superficie esterna del corpo
interno:
A questo punto si hanno a disposizione tutti gli elementi per calcolare la potenza termica radiativa ̇ : ̇ ( ) ( )
Per quanto riguarda la potenza termica conduttiva ̇ , facciamo le seguenti assunzioni:
Il rivestimento interno del serbatoio è collegato al guscio mediante k2 travi tutte uguali tra loro.
Queste travi sono ad asse rettilineo e a sezione costante. Ciascuna di queste travi ha una lunghezza pari a dV2.
L’area della sezione trasversale di ciascuna trave è pari a SV2.
Tutte le travi sono realizzate con lo stesso materiale, il quale ha un coefficiente di conducibilità termica medio pari a λV2.
La temperatura della superficie esterna del rivestimento interno è uguale alla temperatura della superficie interna del rivestimento interno; ciò vuol dire che sarà trascurata la variazione di temperatura attraverso al parete del rivestimento interno. Questa assunzione è lecita tenendo in considerazione il fatto ce la resistenza termica della parete del rivestimento interno è trascurabile. Questa temperatura verrà indicata con TW è sarà assunta uniforme.
Sulla base delle assunzioni di cui sopra, è facile verificare che la potenza termica conduttiva attraverso queste travi è pari a :
̇ [
( )]
( )
dove
è la resistenza termica conduttiva della struttura che collega il rivestimento interno a guscio.
132
Il bilancio termico della superficie interna del guscio richiede che:
( ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ) ̇ ̇ ̇ ̇ [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) dove ( )
Derivando rispetto al tempo la [4.29], si ha: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )]
133 [ ] ( ) ( ) dove [ ]
4.8 Analisi termica della superficie esterna del corpo interno
Si fa l’ipotesi semplificativa che la temperatura della superficie esterna del corpo interno sia uniforme; si indichi con Te questa temperatura.
L’unica potenza termica che arriva alla superficie esterna del corpo interno è la potenza termica radiativa ̇ calcolata nel paragrafo 4.7.
La potenza termica che abbandona la superficie esterna del corpo interno è la potenza termica conduttiva dovuta al flusso di calore che, per conduzione, va dalla superficie esterna del corpo interno (ovvero la superficie esterna dell’isolante termico interno) alla superficie interna del corpo interno (ovvero la superficie interna del serbatoio); si indichi con ̇ questa potenza termica
conduttiva.
Dal punto di vista termico, il corpo interno può essere modellizzato con il sistema di resistenze termiche riportato in figura 4.12.
Figura 4.12: rete di resistenza termiche che schematizza lo scambio termico conduttivo attraverso la parete
del corpo interno
Di seguito sono descritte le varie grandezze riportate in figura 4.12.
134
( ⁄ )
: resistenza termica conduttiva del mantello cilindrico dell’isolante termico
interno [
( )]
⁄
: resistenza termica conduttiva del fondo a calotta sferica del rivestimento
interno
[
( )] ⁄
: resistenza termica conduttiva del fondo a calotta sferica dell’isolante
termico interno
La resistenza termica equivalente della parete del corpo interno è pari a :
( )( ) ( ) ( ) e infine ̇
A questo punto è possibile fare il bilancio termico della superficie esterna del corpo interno: ̇ ̇ ( )
Derivando l’equazione di cui sopra, si ottiene:
( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] [( ) ( ) ( )] ( )
135 ( ) dove [( ) ( ) ( )] ( )
4.9 Analisi termica del fluido contenuto nel serbatoio
Per l’analisi termica del fluido contenuto nel serbatoio si rimanda al paragrafo 3.2.8 del capitolo 3 della presente tesi.
Per il calcolo della portata di boil-off si rimanda al paragrafo 3.2.9, sempre del capitolo 3, della presente tesi.
Dai suddetti paragrafi si ricavano le seguenti ulteriori equazioni:
{ ( )( ̇ ̇ ̇ ) ̇ ( ) ( )( ̇ ̇ ̇ ) dove: ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( )] [( ) ( ) ] ( ) { ( ) [( ) ( ) ]} { ̇ ̇ √ ( )
4.10 Potenze termiche entranti e uscenti dal serbatoio
Si indichi con ̇ la potenza termica entrante nel serbatoio. Si ha:̇ ̇ ̇
La potenza termica ̇ è stata calcolata nel paragrafo 4.8 (equazione [4.31]), mentre la
136
La potenza termica ̇ uscente dal serbatoio dipende dalla potenza refrigerante del cryocooler. Indicando con ̇ la potenza refrigerante del cryocooler, si ha:
̇ ̇
In particolare, se il raffreddamento è ottenuto mediante n cryocoolers tutti uguali tra loro, si ha: ̇ ̇
La potenza refrigerante del cryocooler dipende dal particolare tipo di cryocooler e dalla temperatura del fluido a contatto con l’estremità fredda del cryocooler. Indicando con Tp la
temperatura del fluido a contatto con l’estremità fredda del cryocooler, si ha: ̇ ̇ ( )
Questa funzione è nota come caratteristica dinamica del cryocooler ed è fornita, sotto forma di grafico o sotto forma di tabella, dal costruttore del cryocooler.
Poiché in questo modello è stata assunta l’ipotesi che la temperatura T del fluido è uniforme, allora Tp = T e pertanto:
137
4.11 Il sistema di equazioni differenziali
Le equazioni ricavate fino ad ora consentono di scrivere il sistema di equazioni differenziali con il quale è possibile studiare come variano nel tempo le diverse grandezze termofluidodinamiche del liquido criogenico stoccato nel serbatoio.
Di seguito è riportato il sistema di equazioni differenziali:
{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ̇ ̇ ̇ ) ̇ ( ) ( )( ̇ ̇ ̇ )
La penultima equazione fornisce la variazione, nel tempo, della massa di liquido criogenico contenuto nel serbatoio; l’equazione deriva dalle seguenti relazioni:
138 ( ) Sostituendo l’ultima equazione del sistema nelle precedenti 18 equazioni si ottiene:
{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ̇ ̇ ̇ ) ̇ ( ) ( )( ̇ ̇ ̇ )
Si tratta di un sistema di equazioni differenziali ordinarie costituito da 18 equazioni e 18 incognite. La soluzione del sistema fornisce le seguenti soluzioni:
T1(t), T2(t), T3(t), T4(t), T5(t), T6(t), T7(t), T8(t), T9(t), T10(t), T11(t), T12(t), T13(t), Tg(t), Te(t), T(t),
VL(t), mL(t).
Il sistema di equazioni differenziali di cui sopra è completato dalle 18 condizioni iniziali necessarie per poter risolvere il sistema stesso.
139
4.12 Le condizioni iniziali
CALCOLO DEI VALORI DA T1_0 A T10_0
Per il calcolo dei valori iniziali Ti_0, con i che va da 1 a 10, si faccia riferimento all’equazione [4.14].
Scrivendo la [4.14] all’istante iniziale t=t0 si ha:
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ ) ( ) ( ) dove: ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ )
CALCOLO DEL VALORE DA T11_0
Per il calcolo del valore iniziale T11_0 si faccia riferimento all’equazione [4.17]. Scrivendo la [4.17]
all’istante iniziale t=t0 si ha:
̇ ̇ ( ) ( ) dove:
CALCOLO DEL VALORE DA T12_0
Per il calcolo del valore iniziale T12_0 si faccia riferimento all’equazione [4.20]. Scrivendo la [4.20]
all’istante iniziale t=t0 si ha:
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ ) ( ) ( )
140 dove: ( ̇ ) ( ̇ ) ( ̇ )
CALCOLO DEL VALORE DA T13_0
Per il calcolo del valore iniziale T13_0 si faccia riferimento all’equazione [4.23]. Scrivendo la [4.23]
all’istante iniziale t=t0 si ha:
̇ ̇ ( ) ( ) dove:
CALCOLO DEI VALORI DA Te0 e Tg0
Si scriva l’equazione [4.32] all’istante iniziale t=t0. Si ha:
̇ ̇ ( )
Si scriva l’equazione [4.28] all’istante iniziale t=t0. Si ha:
( ) ( )
141
Le equazioni [4.39], [4.40], [4.41], [4.42], [4.43] e [4.44] costituiscono un sistema di 15 equazioni in 15 incognite. Risolvendo questo sistema di equazioni si ottengono le 15 condizioni iniziali necessarie per risolvere il sistema di equazioni differenziali riportato nel paragrafo 4.11.
I valori T0 e mL0 sono dati iniziali che possono essere scelti arbitrariamente; T0 rappresenta la
temperatura di stoccaggio del liquido criogenico, mentre mL0 rappresenta la massa di liquido
criogenico inizialmente stoccata all’interno del serbatoio. Infine è possibile calcolare l’ultimo dato iniziale, ovvero il volume del liquido criogenico all’istante iniziale:
dove è la densità del liquido criogenico all’istante iniziale (ovvero la densità in corrispondenza della temperatura T0).
4.13 Implementazione del modello termico: il simulatore VCDT
Il modello termico ricavato in questo capitolo è stato implementato mediante un simulatore realizzato in ambiente Matlab. Questo simulatore è stato denominato VCDT (Vacuum Chamber Dewar Tank).
Questo simulatore consta di un file script (VCDT) e due file di funzione (sistema e sistemaIC). Il file script “VCDT” è il simulatore vero e proprio nel quale è riportato l’intero algoritmo che implementa il modello termico per il serbatoio cilindrico Dewar ricavato in questo capitolo della tesi. Il file di funzione “sistema” riporta il sistema di equazioni differenziali descritto nel paragrafo 4.11 mentre il file di funzione “sistemaIC” riporta il sistema di equazioni la cui soluzione fornisce le condizioni iniziali descritte nel paragrafo 4.12. Entrambi i file di funzione vengono richiamati dal file script al fine di risolvere il sistema di equazioni differenziali e lineari rispettivamente; pertanto tutti e tre i file devono essere salvati in una stessa cartella di lavoro.
Per utilizzare il simulatore occorre aprire il file “VCDT” e, scorrendo le varie righe, inserire i dati richiesti; in particolare alla riga 301 è richiesto di inserire l’istante iniziale della simulazione (solitamente 0) e alla riga 302 di inserire l’istante finale della simulazione (in secondi). Dopo aver inserito tutti i dati richiesti è possibile lanciare la simulazione (tasto RUN nella barra degli strumenti oppure dalla barra dei menu cliccare Debug e nella finestra del Debug cliccare RUN).
