CAPITOLO 3 METODOLOGIE COMPUTAZIONALI DI ANALISI FSI

CAPITOLO 3

METODOLOGIE COMPUTAZIONALI DI

ANALISI FSI

3.1 Introduzione

In questo capitolo si classificano i principali tipi di interazione e le possibili tecniche computazionali utilizzabili per risolvere il problema dell'interazione fluido struttura.

3.2 Tipologia di accoppiamento fluido-struttura

L'interazione tra fluido e struttura può essere divisa in due categorie [7]:

• interazioni “one way”; • interazioni “two way”.

3.2.1 Interazione “one way”

Per interazione “one way” si intende un tipo di interazione in cui il fluido crea azioni sulla struttura ma la risposta della struttura non influenza il moto del fluido.

Un esempio può essere quello di un fluido che riscalda una parete solida che a causa della variazione termica viene interessata da stati di tensione e deformazione. Questi stati di deformazione, però, possono non essere sufficienti a comportare significative variazioni nelle caratteristiche del flusso.

In un caso come questo si può avere uno scambio di calore a doppio senso, cioè le temperature di fluido e parete si influenzano vicendevolmente, mentre lo scambio di informazioni meccaniche è a senso unico.

L'interazione “one way” può avvenire anche in senso opposto. Ad esempio si può prendere il moto del pistone o delle valvole all'interno della camera di combustione. Il movimento certamente influenza le caratteristiche del fluido nella camera ma il movimento del fluido ha scarso effetto sulla deformazione del pistone e delle valvole.

3.2.2 Interazione “two way”

Nell'interazione “two way” il movimento del fluido e la conseguente pressione influenzano lo spostamento e la deformazione della struttura che, a loro volta, influenzano il flusso.

In sostanza, la struttura risponde ai carichi di pressione o alle tensioni dovute agli effetti viscosi del fluido. Il fluido, invece, risponde alla struttura in vari modi; ad influenzare maggiormente il campo di flusso è la variazione di spostamento ovvero l'accelerazione della struttura.

Tradizionalmente la FSI considera accoppiamenti a doppio senso tra fluido e struttura deformabile. All'interno di questa categoria vengono individuate altre sotto categorie che caratterizzano il tipo di accoppiamento. Si tratta di accoppiamento “weak” (debole) o “strong” (forte).

3.2.2.1 Accoppiamento Weak

Si consideri, a titolo d'esempio, una struttura che si inflette in un flusso stazionario. La flessione della struttura altererà le caratteristiche del flusso intorno ad essa e questo a sua volta, altererà la flessione stessa.

Avvicinandosi alla condizione stazionaria, la velocità dei punti della struttura si approssima allo zero. In questa situazione l'accoppiamento è debole in quanto la struttura non impartisce più movimento al fluido. Questa situazione può considerarsi a senso unico perché la velocità della struttura, che è ciò che più influenza il fluido, ha un valore pressoché nullo. In una tale situazione, per determinare la condizione stazionaria finale è sufficiente utilizzare un algoritmo di accoppiamento libero (loosely coupled).

Una metodologia per risolvere problemi caratterizzati da questo tipo di accoppiamento può essere quella di calcolare inizialmente il flusso considerando la struttura rigida. Le azioni sulla struttura così calcolate possono essere inserite in un solutore strutturale separato che determina le deformazioni dovute a questa stima dei carichi iniziali. Calcolate le deformazioni queste possono essere fornite all'analisi CFD per calcolare il flusso stazionario attorno alla struttura deformata. Si può procedere con questa metodologia finché non si raggiunge una condizione stazionaria.

In analisi di questo tipo non si considerano scale temporali perché non si studia il transitorio in cui la struttura raggiunge l'equilibrio ma proprio la condizione di equilibrio stessa. In generale si ha un accoppiamento debole quando i tempi di risposta della struttura ad un disturbo nel fluido sono lenti rispetto a quelli del fluido e viceversa.

Si fa notare inoltre la differenza fra accoppiamento debole in cui ci si riferisce alla forza dell'accoppiamento in senso fisico e algoritmi di accoppiamento deboli in cui ci si riferisce al livello di accoppiamento dei codici di soluzione strutturali e fluidodinamici.

Con algoritmi deboli si ha generalmente una soluzione di tipo esplicito in quanto la risposta della struttura dipende dalle condizioni del fluido al time step precedente e viceversa. Spesso ci si riferisce a questo approccio come accoppiamento “staggered” (scaglionato).

3.2.2.2 Accoppiamento Strong

Nell'accoppiamento forte il passaggio di dati è a doppio senso. Questo approccio è spesso associato a problemi dinamici, dove i carichi fluidodinamici e le velocità strutturali cambiano significativamente.

Negli algoritmi di accoppiamento forte i solutori fluidodinamico e strutturale devono essere eseguiti sul processore contemporaneamente e i dati devono essere scambiati a intervalli regolari tra la memoria utilizzata dal solutore strutturale e la memoria utilizzata dal solutore fluidodinamico. A seconda dell'effettiva forza dell'accoppiamento può essere necessario scambiare i dati fra i due solutori anche più di una volta per time step per consentire alla simulazione di rimanere stabile.

Un accoppiamento di questo tipo è necessario quando una struttura relativamente leggera o poco rigida interagisce con un fluido relativamente pesante. Ad esempio una struttura in acciaio non è fortemente accoppiata con un fluido come l'aria ma può esserlo in acqua se la struttura è relativamente leggera rispetto al fluido che sposta o muove.

3.3 Modelli di algoritmo

Le equazioni generalizzate del moto utilizzate per risolvere il problema dell'accoppiamento sono: [M ]{ ¨q(t)}+ [C ]{˙q(t)} + [K ]{q(t)} = F (t ) , {w( x , y , z ,t )} =

∑

i=1 N q_i(t){ϕ_i(x , y , z )} .

Dove:

• {w( x , y , z ,t )} è lo spostamento strutturale in ogni posizione e ad

ogni istante di tempo;

• q (t) rappresenta il vettore degli spostamenti generalizzati;

• [M], [C] e [K] sono rispettivamente le matrici di massa, smorzamento e rigidezza generalizzati.

• ϕ_i rappresenta i modi propri della struttura, essendo N il numero totale di tali modi.

• F(t) è il vettore delle forze generalizzate. Questo termine è il responsabile del collegamento tra i carichi dovuti all'aerodinamica non stazionaria e la dinamica della struttura.

La prima equazione mostra che i termini che rappresentano la struttura, l'aerodinamica e la dinamica sono distinti. Questo consente una certa flessibilità nella scelta dei metodi di soluzione per ogni disciplina.

Nei prossimi paragrafi verranno discussi e analizzati alcuni modelli di aeroelasticità computazionale.

Essi possono essere classificati [8] in:

• fully coupled; • loosely coupled; • closely coupled.

3.3.1 Modello fully coupled

riformulate in modo tale che un unico solutore risolva, combinandole insieme, le equazioni della fluidodinamica e quelle strutturali. Le equazioni sono dunque risolte ed integrate nel tempo simultaneamente.

Utilizzando questo tipo di procedura bisogna tener conto che le equazioni del fluido sono in un sistema di riferimento Euleriano, mentre le equazioni strutturali sono in un sistema di tipo Lagrangiano. A causa di ciò, le matrici del sistema strutturale risultano essere più complesse rispetto a quelle del sistema fluido, e questo rende molto difficile risolvere le equazioni usando uno schema computazionale monolitico, in particolare per problemi di larga scala.

Guruswamy e Byun [9] – [10], hanno combinato le equazioni del flusso di Eulero con una struttura modellata con elementi finiti piani ed in seguito hanno combinato le equazioni di Navier-Stokes con una struttura modellata con elementi di tipo shell. Per eseguire i calcoli di interazione fluido struttura hanno utilizzato un metodo di suddivisione del dominio in modo che il fluido e la struttura fossero risolti in moduli separati.

Utilizzando la stessa tecnica Garcia e Guruswamy [11] hanno calcolato la risposta aeroelastica in regime transonico di un ala tridimensionale attraverso l'accoppiamento di un modello agli elementi finiti di trave non lineare con le equazioni di Navier-Stokes. Questo tipo di metodo fully coupled, a causa dell'elevato costo computazionale, ha numerose limitazioni quali la grandezza della griglia per cui il suo utilizzo è limitato a problemi bidimensionali.

3.3.2 Modello loosely coupled

In questo modello le equazioni strutturali e del fluido sono risolte utilizzando due solutori separati. Questo può portare alla presenza di due griglie computazionali differenti che possono non coincidere perfettamente sul

contorno. Questo problema porta alla necessità di sviluppare un'interfaccia in modo che si possano scambiare le informazioni tra i due moduli.

Lo schema in figura 3.1 mostra il funzionamento dell'algoritmo.

Fig 3.1 : Schema di algortimo loosely coupled

Un tale approccio permette una certa flessibilità nella scelta dei due solutori a discapito però di una perdita di accuratezza, in quanto i modelli possono essere aggiornati solo dopo parziale convergenza.

L'approccio loosely coupled è utilizzato esclusivamente per problemi con piccole perturbazioni e problemi con moderata non linearità.

3.3.3 Modello closely coupled

I modelli closely coupled sono quelli maggiormente utilizzati nel campo dell'aeroelasticità computazionale. Questo perché, oltre alla possibilità di utilizzare diversi solutori sia aerodinamici che strutturali, essi risultano accoppiati in modo stretto e diretto senza l'uso di un terzo solutore di interfaccia.

Tali metodologie risultano quindi efficienti anche per problemi che presentano grosse non linearità. Con questo approccio, le equazioni della fluidodinamica

e della struttura sono risolte separatamente utilizzando diversi solutori ma sono accoppiate in un singolo modulo; lo scambio di informazioni avviene sull'interfaccia o sul contorno attraverso un modulo d'interfaccia interno a uno dei due solutori.

Le informazioni scambiate in questo caso sono:

• carichi superficiali, mappati dalla griglia superficiale fluidodinamica alla griglia strutturale;

• campo di spostamenti, mappato dalla griglia strutturale alla griglia fluidodinamica.

Il trasferimento dello spostamento superficiale sulla griglia fluidodinamica implica la deformazione della mesh fluidodinamica. Per consentire il movimento della mesh è necessario implementare una tecnica di morphing che consenta di ottenere una nuova mesh fluidodinamica ad ogni time-step. Ciò può causare problemi per griglie multi-block o per geometrie complesse. Nel tempo sono stati combinati diversi modelli:

• per la fluidodinamica si parte da semplici modelli di flusso potenziale fino ad arrivare a complessi modelli RANS tridimensionali;

• per la struttura si usano modelli che vanno da elementi finiti lineari (modello trave) a elementi finiti solidi non lineari.

La difficoltà delle tecniche di interconnessione dipende dalla complessità con la quale i modelli sono rappresentati nei rispettivi software.

3.4 Soluzione di problemi FSI con STAR-CCM+

Utilizzando il software commerciale STAR-CCM+ è possibile risolvere il problema di interazione fluido struttura attraverso diversi approcci [7] che verranno descritti nei successivi paragrafi. Un metodo possibile consiste nell'accoppiare un generico solutore CFD con un generico solutore FEM, tramite un terzo programma di interfaccia – di solito MpCII. Questo è uno dei metodi più utilizzati ma ha lo svantaggio dell'elevata complessità di programmazione. Inoltre, il passaggio di dati attraverso un terzo software determina una minore accuratezza e una minore forza nell'accoppiamento tra i due solutori.

3.4.1 Soluzione fully coupled interna a STAR-CCM+

È possibile simulare l'interazione fluido struttura interamente all'interno di STAR-CCM+ utilizzando il modulo di soluzione Solid Stress. Questa metodologia appartiene alla categoria di metodi fully coupled, poiché permette di risolvere le equazioni strutturali e della fluidodinamica all'interno di un unico codice.

Le equazioni strutturali sono risolte in un sistema di riferimento Lagrangiano utilizzando un approccio ai volumi finiti. Attualmente sono supportati solo materiali elastici lineari.

I volumi finiti, a differenza degli elementi finiti, utilizzati abitualmente per risolvere problemi strutturali, non presentano controparti strutturali come beams e shells. Nei volumi finiti tutti gli elementi devono essere modellati come elementi tridimensionali. Ciò comporta difficoltà legate al numero elevato di celle da utilizzare anche per geometrie poco complesse.

Ad esempio una piastra inflessa deve avere almeno cinque celle nello spessore e con rapporto di forma vicino a uno. Da ciò si deduce che un tale approccio non è convenientemente utilizzabile per strutture in parete sottile tipiche in campo aeronautico.

Inoltre, i volumi finiti sono molto sensibili alla qualità delle celle, perciò risulta necessario prestare particolare attenzione alla realizzazione della mesh per non incorrere in problemi di convergenza.

Il modello dell'interazione fluido strutturale può supportare sia grandi che piccoli spostamenti della struttura solida. Per i piccoli spostamenti – rispetto alla grandezze delle celle – viene assunta un'approssimazione per descrivere il moto del contorno solido all'interno del fluido, con la mesh che rimane fissa. In questo caso viene calcolato un flusso apparente per stimare gli effetti che provoca lo spostamento della struttura. Nel caso di grandi spostamenti – le deformazioni e le tensioni devono comunque essere piccole – il contorno del solido viene spostato attraverso la deformazione della mesh. Questo approccio permette di risolvere anche problemi di flutter, a meno che le tensioni non siano troppo elevate.

Si fa notare come in presenza di grandi spostamenti della struttura si renda necessario il morphing della griglia o addirittura il remeshing. Tali problemi si incontrano anche quando lo spostamento del solido viene calcolato da codici esterni come Abaqus.

I vantaggi nel trattare il problema strutturale ai volumi finiti sono:

• L’interpolazione dei dati fra solido e fluido è completamente automatizzata all’interno di STAR-CCM+. Non è necessario utilizzare codici esterni per eseguire il passaggio dei dati e l’interpolazione.

• La comunanza delle strutture dei dati e della tecnologia di risoluzione, trattando il solido e il fluido all’interno di STAR-CCM+. Il costo per iterazione per cella per il solido è circa lo stesso che per il fluido ed il passaggio di dati tra i codici può essere effettuato più frequentemente rispetto al passaggio di dati tra codici CFD e FEA.

Ciò che rende il metodo svantaggioso, è la grande quantità di celle necessaria per modellare le geometrie d’interesse. Infatti se da un lato il costo computazionale per cella ai volumi finiti è decisamente inferiore rispetto al costo computazionale agli elementi finiti, il maggior numero di celle rende il metodo sconveniente. Inoltre l’analisi strutturale utilizza comunemente gli elementi finiti e ciò comporta una maggiore esperienza ed una maggiore padronanza di questo metodo.

3.4.2 File-based coupling

Un altro metodo che permette di risolvere problemi di FSI è il file-based coupling. Questo metodo rientra nella tipologia di metodi loosely coupled. Tale metodo consente di accoppiare STAR-CCM+ con altri codici CAE attraverso file esterni memorizzati all'interno del computer. Il metodo consente di ottenere la soluzione usando codici separati per ogni parte del modello. All'interno di STAR-CCM+ sono presenti strumenti che consentono di importare geometrie CAD ed utilizzarle per una simulazione “one way” o “two way”.

In problemi “one way”, i dati della soluzione ottenuti in STAR-CCM+ possono essere mappati sul modello CAE ed esportati in un formato che può essere letto da un altro codice. I dati esportati possono essere utilizzati per specificare le condizioni al bordo o le condizioni operative nel modello CAE. Un esempio del diagramma di flusso delle operazioni da eseguire è mostrato

in figura 3.2 – freccia blu.

Fig 3.2 : Schema della soluzione attraverso il metodo file based coupling. Le frecce in blu mostrano le operazioni

per risolvere un accoppiamento one way, mentre le frecce grigie mostrano i passi aggiuntivi per un accoppimanento two way.

Per un accoppiamento “two way”, si può proseguire importando i dati dal codice esterno utilizzato in STAR-CCM+. Tali dati possono essere utilizzati come condizione al contorno per il modello in STAR-CCM+ o per aggiornare la mesh.

Un esempio di accoppiamento two way è l’uso di STAR-CCM+ per calcolare le forze di pressione e di attrito sull’interfaccia fluido-solido, utilizzando i dati ottenuti per definire i carichi sulla stessa superficie nel modello CAE.

Si calcolano dunque gli spostamenti nodali nel modello solido e successivamente si importano in STAR-CCM+, dove sono usati come input per eseguire il morphing della mesh.

geometria aggiornata e, l’intero processo, può essere ripetuto finché non si raggiunge la convergenza.

Il diagramma di flusso delle operazioni da eseguire per l’accoppiamento “two

way” è un’estensione di quello per l’accoppiamento “one way”. I passi

aggiuntivi sono mostrati sempre in figura 3.2 - freccia grigia tratteggiata.

3.4.2.1 Mapping data

Un aspetto fondamentale della procedura è quello che riguarda l'interfaccia tra la mesh fluida e quella strutturale.

L’obiettivo dello schema di interfaccia è quello di:

• realizzare praticamente la connessione ad anello chiuso tra il sistema strutturale ed il sistema aerodinamico, mediante un’opportuna procedura di interpolazione;

• garantire che lo scambio di informazioni avvenga in modo accurato, efficiente e flessibile.

Progettare ed implementare numericamente uno schema di interfaccia che soddisfi tali requisiti non è un operazione banale, poiché i modelli strutturale ed aerodinamico da interconnettere sono in generale caratterizzati da differenti domini spaziali e differenti griglie di calcolo (per tipologia di elementi, numero e posizionamento dei nodi).

STAR-CCM+ offre diverse strategie per mappare dati in modo efficiente e accurato fra le due diverse mesh.

La mappatura rappresenta il processo di interpolazione di un set di dati tra due modelli separati. Ad esempio la distribuzione di pressione dal dominio fluido può essere mappata sulla corrispondente superficie nel dominio solido

e usata come carico applicato.

La mappa sull’interfaccia comporta l’interpolazione dei dati tra due superfici, una superficie e un set di vertici, o tra una regione e un volume.

Nell'accoppiamento “two way” la mappatura dei dati viene effettuata sia per esportare i dati da STAR-CCM+ al programma agli elementi finiti, ma anche quando si devono importare in STAR-CCM+ i dati provenienti dalla soluzione strutturale - vengono prima importati in STAR-CCM+, poi mappati sulla superficie ed infine, nel caso di spostamenti nodali, usati per deformare la mesh attraverso il morphing.

La mappatura presenta diverse difficoltà come la differenza di densità o topologia della mesh all’interfaccia o la possibilità di mantenere l’accuratezza della soluzione. Per esempio la mesh generalmente creata in STAR-CCM+ è costituita da facce e celle poligonali mentre la maggior parte dei programmi agli elementi finiti lavora su elementi triangolari o quadrangolari di vari ordini. Inoltre l'analisi CFD generalmente richiede densità di mesh molto più elevate. Le tecniche di interpolazione sono basate sul metodo ai minimi quadrati o sul metodo delle funzioni di forma. La scelta del metodo dipende da dove sono definiti i dati all'origine e cioè se su facce o su nodi.

Nel primo caso è utilizzato il metodo ai minimi quadrati, nel secondo, invece, si utilizzano le funzioni di forma.

3.4.2.2 Morphing

Lo spostamento di una struttura in un fluido richiede al solutore CFD di tener conto del cambiamento di posizione e di forma della struttura solida.

In STAR-CCM+ esistono principalmente due modi per fare questo. Il primo detto di overset della mesh consiste nello spostare la mesh fluida come se fosse un corpo rigido. In questo caso tutte le celle mantengono la loro forma e la descrizione del movimento della mesh è data dai vettori spostamento e

dagli angoli di Eulero.

Il secondo metodo, il morphing, consiste nella deformazione della griglia fluida attraverso il movimento dei suoi vertici, che assecondano il moto della struttura solida. In questa operazione è assicurata la qualità della griglia stessa.

Le equazioni di trasporto nel fluido sono risolte per tenere conto di questo movimento arbitrario della mesh. La tecnica di morphing utilizzata in CCM+ è chiamata Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE). Il morpher in STAR-CCM+ usa un modello di morphing multi-quadric basato sulle radial basis

function per definire il movimento dei vertici all'interno della mesh.

Il movimento iniziale imposto alla mesh è definito da un set di vertici di controllo. Ad ognuno di questi vertici è associato un vettore spostamento che viene usato per muovere i vertici vicini. Usando la teoria dell'interpolazione multiquadratica [16], questi spostamenti sono usati per generare un campo di interpolazione. Quando questo campo è stato generato, viene usato dal

morpher per muovere i vertici della mesh nella loro nuova posizione.

Per generare il campo di interpolazione, viene creato un sistema di equazioni usando i vertici di controllo ed i loro spostamenti. Lo spostamento di di ogni

vertice di controllo i è espresso come:

di=

∑

j=1 N

fb , j(ri j)λj+α ; (1)

in cui f_{b , j}(r_{i j}) è una radial basis function nella forma:

f_{b , j}(r_{i j}) =

√

r_ij2+c2_j , (2) ed r_{i j} è il modulo della distanza tra due vertici:

ri j=

∣

xi−xj

∣

. (3)

Inoltre, λ_j è il coefficiente di espansione, x_i è la posizione del vertice i, N è il numero dei vertici di controllo e c_j è la costante della base. Il vettore costante α è usato per soddisfare l'ulteriore vincolo:

∑

j=1 N

λ_j=0 , (4)

che rende limitata l'espansione per le x grandi. Il sistema dato dall'equazione 1 è non singolare se x_i≠ x_j per i≠ j .

Le equazioni 1-4 sono risolte per avere le componenti cartesiane di tutte le λ_j ed i componenti del vettore α . Questo porta al campo di interpolazione desiderato:

d ( x) =

_∑

j=1 N

f_{b , j}(r )λ_j+α , (5)

dove fb , j(r ) si applica a tutti i vertici della mesh essendo:

f_{b , j}(r ) =

√

r2

+c2_{j ; r=}

_∣

_{x− x}

j

∣

. (6)

Questa equazione può ora essere usata per muovere i vertici della mesh della quantità d così calcolata.

Le matrici che derivano dalle equazioni (1) e (5) sono dense e la loro risoluzione mediante operazioni matriciali dirette richiederebbe un numero di operazioni dell'ordine di N2_.

vertici, è stato sviluppato un metodo che consente di ridurre il numero delle operazioni richieste mediante l'utilizzo del metodo del gradiente coniugato e di una particolare matrice di precondizionamento [17],[18].

Se nel fluido sono presenti più strutture solide che vengono a contatto o arrivano ad essere molto vicine la strategia del morphing può portare a celle di scarsa qualità.

Infine bisogna sottolineare come non sia possibile utilizzare il morphing tra due tipologie di mesh molto diverse tra loro ma sia necessario utilizzare strategie di re-mesh.

3.4.3 Co-simulazione tra STAR-CCM+ e Abaqus

La possibilità di effettuare una co-simulazione permette di accoppiare la simulazione effettuata in STAR-CCM+ con un altro codice, in modo da ottenere una soluzione per l'intero modello. Questo tipo di procedura rientra nella tipologia dei metodi closely coupled in quanto il modulo di interfaccia è integrato all'interno dei codici. La co-simulazione richiede che le simulazioni siano eseguite contemporaneamente.

La co-simulazione può essere eseguita accoppiando STAR-CCM+ con Abaqus. Questa tecnica può essere usata per risolvere problemi complessi di interazione fluido struttura. Abaqus risolve il dominio strutturale mentre STAR-CCM+ risolve il dominio fluido. I due domini sono interconnessi usando il SIMULIA Co-simulation Engine (CSE).

La capacità di effettuare la co-simulazione tra STAR-CCM+ e Abaqus consente di effettuare simulazioni che includono risposte strutturali complesse al flusso fluido e le loro complesse interazioni. Questo è possibile perché con questo approccio non si ha una soluzione di tipo esplicito con i due programmi che agiscono in modo sfalsato, ma la soluzione aerodinamica e quella strutturale avanzano contemporaneamente nel tempo, scambiandosi

le informazioni alla fine di ogni time step. Con questo tipo di approccio si può anche creare una soluzione di tipo esplicito con i due programmi che agiscono in modo sfalsato. Le proprietà meccaniche e\o termiche possono essere scambiate attraverso l'interfaccia fluido struttura. La maggior parte delle funzioni incluse in STAR-CCM+ possono essere utilizzate durante la co-simulazione: ad esempio flussi comprimibili e incomprimibili, flussi laminari e turbolenti, scambi di calore, flussi con superfici libere, flussi multi specie e flussi multi fase.

Per problemi in cui si ha lo spostamento del contorno, la tecnica di co-simulazione lavora in congiunzione con il morpher motion model per risolvere le equazioni del trasporto. Anche molte delle funzioni presenti in Abaqus sono disponibili per la co-simulazione, come la possibilità di usare materiali non lineari, e di includere effetti geometrici non lineari e contatti. La co-simulazione è supportata dalle seguenti procedure in Abaqus:

• static stress/displacement;

• dynamic implicit e dynamic explicit; • heat transfer – steady state e transient; • coupled temperature-displacement; • coupled thermal-electrical analysis; • piezoelectric analysis.

Il dominio all'interfaccia può essere modellato con la maggior parte degli elementi continui, elementi shell e membrane.

Le applicazioni non supportate da questa tecnica di co-simulazione includono:

• problemi nel dominio delle frequenze che comprendono problemi vibro-acustici e aero-acustici;

• strutture modellate con truss, beam o elementi per applicazioni speciali bagnati dal fluido;

• problemi che riguardano stampaggio ad iniezione, fusione, solidificazione dei materiali e superplastic forming;