– Il trasporto molecolare (senza spostamento a livello macroscopico)

Proprietà di trasporto della materia: alcuni cenni

 Fenomeni di trasporto

 Trasporto molecolare

 Trasporto convettivo

 Diffusione

 Legge di Fick

 Convezione

 Fluidodinamica

 Diffusione-reazione-convezione

 Cinetica chimica e trasporto

1

– Un fenomeno di trasporto è lo spostamento di una proprietà fisica da un punto a un altro dello spazio

– Quantità di moto – Energia (calore) – Materia

– Tradizionalmente si distingue

– Il trasporto molecolare (senza spostamento a livello macroscopico)

– Il trasporto convettivo (con spostamento a livello macroscopico)

2

Fenomeni di trasporto

– Un sistema può essere analizzato a diverse scale, ciascuna caratterizzata da una propria dimensione caratteristica.

– Su scala macroscopica

– il volume di controllo comprende tutto il sistema

– la variazione del valore delle sue grandezze è ottenuta scrivendo equazioni di bilancio che contengono le quantità entranti e uscenti nell’unità di tempo

– Equazioni algebriche se il sistema è in condizioni stazionarie,

– Equazioni differenziali ordinarie se il sistema è in condizioni transitorie.

– La lunghezza caratteristica può variare dai centimetri ai metri.

3

Descrizione al continuo

– Su scala molecolare si deve tenere conto dei meccanismi che sovrintendono al trasporto sulla base delle proprietà delle molecole stesse costituenti il mezzo in esame.

– In questo caso, la dimensione caratteristica s’identifica con un ragionevole intorno delle dimensioni molecolari ed è quindi contenuta nell’intervallo compreso tra il nanometro e il micrometro

4

Descrizione molecolare

Definiamo come flusso la quantità di proprietà (momento, energia, materia) che attraversa una superficie per unità di area e unità di tempo

5

Flusso

– Empiricamente, un flusso si definisce come

– Calore – Legge di Fourier

– Materia – I legge di Fick

– Quantità di moto – Tensore di stress

6

Flusso molecolare in 1D

coefficiente di traspor gradiente de ll

Fluss o   t o  a pro prie t à

q   k dT dx

J   D dx dc

du

    dx

– Il flusso monodirezionale di materia è dovuto all’esistenza di un gradiente di concentrazione (diffusione)

– il coefficiente di proporzionalità è il coefficiente di diffusione o conduttività di materia D

7

Trasporto di materia

 

 

2 2

mol m s

m s J

D





– Il coefficiente di diffusione di mette in relazione con la mobilità di una particella (Einstein 1905, Smoluchowski 1906)

– Per una particella carica

– Per una particella sferica in un fluido isotropo a bassi numeri di Reynolds

8

Diffusione

D  k T



q

q

k T

q D q



    

6 6

1 / k T

D

r r

  

  

 

Relazione di Stokes-Einstein

9

Interpretazione molecolare: moto browniano

– La seconda legge di Fick lega la variazione di concentrazione alla diffusione di materia; in una dimensione

– Dalla prima e dalla seconda legge di Fick otteniamo l’ equazione di diffusione

– N.B. Campi

10

Relazione fra trasporto e concentrazione

c J

t D x

 

   

2 2

c c

t D x

 

  

    ^{, , ,}

J x t c x t

– Il trasporto convettivo è causato dallo spostamento macroscopico della materia (soluto) «trascinato» dal flusso convettivo del mezzo.

11

Trasporto convettivo

  ^,

 

^,     ^{, ,}

c x t c x c x t

u x t

x D t

t x

 

 

  



Trasporto da flusso convettivo

Trasporto da flusso diffusivo

12

Trasporto in 3D

 

     

2 2 2

2 2 2

, ,

ˆ ˆ ,

x y z

D c t

c c c

D x y

c t

t c t

t

c c c

u u u

x y

z z



 

   



    

      

 

    

        

r, r u r r

Diffusione in 3D Convezione in 3D

Equazioni del flusso convettivo

CFD - cenni 13

i 0

i i ij

i

j

D u

Dt r

Du g

Dt r

 

  

  



  



i

i

Df f f

Dt t u r

 

 

 

Conservazione della massa

II legge di Newton

Derivata materiale: velocità di variazione di f per un elemento di fluido in moto tensore di stress

forza

densità velocità di flusso

  ^{, t}

u r

  ^{, t}

 r

Approfrondimento

Fluidi newtoniani

CFD - cenni 14

 

2

2 3

ˆ 0

ˆ 1 ˆ

3

i i j

ij ij

i j i

i

i i

i i

u u u

p r r r

D Dt

Du p

g u

Dt r r

   

 

  

  

   

                 

   

 

 

              u

u

Equazioni di Navier-Stokes

pressione

viscosità

Approfrondimento

Fluidi incomprimibili

CFD - cenni 15

2

ˆ 0

ˆ ˆ

D p

 Dt  

  

     u

u g u

   

   

init

bound

, 0

, t _ , t



 





r

r

u r u r

u r u r

Approfrondimento

16

feeding on chemical A

feeding on chemical B producing chemical C

A + B  C 2

(1) (2)

ˆ ˆ , ˆ 0

ˆ ˆ :

D p

Dt D

Dt

       

     

u u u

c D K c K cc

17

Implementation & test case

– Bimolecular reaction A+BC in 3D ‘flat’ random generated geometries

9 2 -1

5.0 10 m s

A B C

D  D  D   ^

4 -1

inlet A inlet B 1.0 10 ms v v   ^

3 4

5 10 m, 4.0 10 m L   ^ l   ^

6 -2 -1

0.1 m Kgmol s

k  A

? B

L

l

6 2 -1

/ 1.0 10 m s

     ^

18

Flux

U

19

Time evolution - Reagents

A B

20

Time evolution - Product

C

21

Stationary concentrations