Un corpo puntiforme A di massa m in moto con velocita’
v
Aurta un corpo B identico se inizialmente il corpo B e’ fermo ai piedi di un piano inclinato liscio
determinare la massima quota raggiunta dal corpo B nel caso di urto perfettamente elastico oppure di urto perfettamente inelastico
urto perfettamente elastico
nella direzione orizzontale non agiscono sul sistema forze esterne impulsive conservazione della quantita’ di moto totale
' '
A A B
x x x
mv = mv + mv
quindi si potra’ imporre la lungo l’asse x
ˆ
A xA
v = v i
prima dell’urto e
v
B= 0
dopo l’urto ' 'ˆ
A xA
v = v i
' 'ˆ
B xB
v = v i
e
mentre lungo l’asse y la presenza del piano introduce un vincolo
v
Ax y
dato che l’urto e’ perfettamente elastico
si potra’ imporre che anche l’energia cinetica si conservi
1
21
' 21
' 22 mv
xA= 2 mv
xA+ 2 mv
xB su di un piano orizzontale liscioper cui
restare appoggiati al piano orizzontale prima ed a quello nel caso entrambi i corpi siano vincolati a
inclinato successivamente
2 ' 2 ' 2
A A B
x x x
v = v + v
' '
A A B
x x x
v = v + v
relazioni che si riducono a e
si tratta di un sistema di due equazioni nelle due incognite '
xA
v
'xB
e
v
quadrando la prima delle due relazioni si ha 2 ' 2 ' 2
2
' 'A A B A B
x x x x x
v = v + v + v v
uguagliandola alla seconda relazione si ottiene ' 2 ' 2
2
' ' ' 2 ' 2A B A B A B
x x x x x x
v + v + v v = v + v
' '
2 0
A B
x x
v v =
ossia ' '0
A B
x x
v v =
da cui affinche’ questa uguaglianza sia soddisfatta
o che entrambi i fattori siano nulli , ossia che '
0
xA
v =
'0
xB
v =
eo che '
0
xA
v ≠
'0
xB
v =
e oppure che '
0
xA
v =
'0
xB
v ≠
ema l’ipotesi che entrambi i fattori siano nulli
'
0
xA
v =
'0
xB
v =
e
1
21
' 21
' 22 mv
xA= 2 mv
xA+ 2 mv
xBe’ in conflitto con l’ ipotesi iniziale che l’urto sia elastico nello specifico con l’ipotesi che l’ energia cinetica sia conservata
infatti inserendo i valori nella
si otterrebbe
1
22 mv
xA= 0
risultato chiaramente in contraddizione le condizioni iniziali dovra’ aversidunque l’unica soluzione accettabile e’ '
0
xA
v =
'B A
x x
v = v
eil che significa che il corpo A si ferma mentre il corpo B si mette in moto con la stessa velocita’
che aveva il corpo di A prima dell’urto
1
' 22 mv
xB= mgh 1
' 22 v
xB= gh 1
' 22
xB
h v
= g
quindi2
2
xA
h v
= g
applicando al corpo B dopo l’urto la legge di conservazione se fosse '
0
xA
v ≠
'0
xB
v =
esignificherebbe che il corpo A ha superato il corpo B
'A v
x y
vA
x y prima dell’urto
dopo l’urto solo se il corpo A avesse scavalcato il corpo B
e data l’impenetrabilita’ della materia cio’ sarebbe possibile
ma questo e’ in contraddizione con l’ipotesi iniziale che entrambi i corpi rimangano vincolati al piano d’appoggio
dell’energia meccanica si ottiene
vA
x y dopo l’urto
ma
v
'xB= v
xAvA
x y prima dell’urto
da cui
urto perfettamente anelastico
mentre, dato che l’urto e’ perfettamente anelastico, non si potra’ piu’ pretendere che l’energia come in precedenza nella direzione orizzontale non agiscono sul sistema forze esterne impulsive
conservazione della quantita’ di moto totale
quindi si potra’ imporre la lungo l’asse x
ed in effetti dopo l’urto i due corpi rimangono uniti costituendo in moto con velocita’ '
xF
v
applicando all’urto la legge di conservazione della quantita’di moto totale
2
'A F
x x
mv = mv
'2
A F
x x
v = v
da cuiapplicando al corpo A+ B dopo l’urto la legge di conservazione dell’energia meccanica
' 2
1 2 2
2 mv
xF= mgh 1
' 22 v
xF= gh
' 2
1 2
xF
h v
= g
ma '2
A F
x x
v = v
quindi
1
28
xA
h v
= g
cinetica sia conservata
si ottiene
si ottiene da cui
un unico oggettto di massa 2m