Compitino di Matematica Discreta e Algebra Lineare

Compitino di Matematica Discreta e Algebra Lineare 31 Maggio 2018

Cognome e nome: . . . . Numero di matricola: . . . Corso e Aula: . . . . IMPORTANTE: Scrivere il nome su ogni foglio. Mettere TASSATIVAMENTE nei riquadri le risposte, e nel resto del foglio lo svolgimento.

Esercizio 1 (5 punti). Stabilire quante sono le soluzioni di x²⁶⌘ 1 mod 35 tali che 0  x < 35.

Quante soluzioni?

Esercizio 2 (8 punti). Si consideri l’applicazione lineare F : R³ ! R³ che, rispetto alla base

standard, ha matrice: 0

@ 1 2 4

2 4 8

4 8 16

1 A

1) Stabilire la dimensione del ker e dell’immagine di F . 2) Trovare gli autovalori di F .

3) Trovare un autovettore della forma 0

@ a 1 1

1

A appartenente ad un autospazio di dimensione 2 oppure scrivere che non esiste.

4) Stabilire se `e vero o falso che esiste un n intero positivo tale che F<sup>n</sup> `e l’endomorfismo nullo.

dim ker dim. imm. autovalori autovettore Vero o Falso?

D Cabals ^Ken F ^{: n'} due ^.

ynrighe

( too to Io

da ^{an '} own KNF ^{= 2}

,

e

own _Jmn F ^{= own 1123 .} ohmkn ^{F =} 1 ^.

.

2) Doto he Ken F ha dimension ²

, l ^' antoniou ⁰

ha mdtyliata

Poihilakraaia

matria I 21

, gh^{' outovolou ' nano 0 , 0 e}

2.1

( ^{bn romma} _degli ^{autovolou ' oh' F I} _uguole ^{a tmaia} _(F) ) ^.

3) ^blub

( 2g to

f)

^!

⁽

⁾

4) ^{Tia v} autonetine relative ^{a zi . Vale}

Firewire

FZV ^{= 212 V} _, ^{- . . . .} _, Fmv ^{= 21mV} , ^{... ...} olunqme

nesauna ystenta ^{oh' F e- l '}endomnfismo ^{nullo .}

2 1 ^0,21

#

Esercizio 3 (8 punti). 1) Sia U il sottospazio diR⁴ definito da

U = Span(

0 BB

@ 2 1 0 5

1 CC A

0 BB

@ 1 0 0 2

1 CC A ,

0 BB

@ 0 1 0 1

1 CC A ,

0 BB

@ 1 1 0 3

1 CC A , )

Scrivere la dimensione di U e di U^?. 2) Sia M il sottospazio diR⁴ definito da:

M = Span(

0 BB

@ 1 0 1 1

1 CC A ,

0 BB

@ 2 0 0 2

1 CC A)

Trovare una base di M\ U^?.

dimensione di U dimensione di U^? base di M\ U^?

1) ^{Una base .li U i obta da vi.}

Tofte (

⁾

( ^{(9g) = Vi - 2h e} ₍^hg ₎ ^{= M - Vz}

)

Does he ^{1124 =} U _@ Ut _, ^{. own} Ut= ² .

2) ^Rounds

ilmtem

(

E)

^:)

trans gli.li ^{oh' Ut .}

Per trommel egusioni ^{cartesian Ii M aaivo}

(

^Ignite (

⁾

0 xyexy

z 2 (^8g₎

t.no {

III Ipo

Esercizio 4 (6 punti). Sia a2 Z un parametro e consideriamo il polinomio p(x) = x³+4x²+ax+2.

1) Stabilire se p(x) `e riducibile inQ[x] per a = 2.

2) Trovare tutte la radici reali di p(x) quando a = 5.

3) Determinare tutti i valori interi di a per i quali p(x) `e riducibile inQ[x].

Riducibile per a = 2? Radici per a = 5 Per quali a `e riducicibile?

Esercizio 5 (5 punti). SiaN¹¹={1, 2, . . . , 11} l’insieme degli interi tra 1 e 11.

(1) Quanti sono in sottoinsiemi A diN¹¹che contengono almeno un numero pari e almeno un numero dispari?

(2) Quanti sono in sottoinsiemi A di N¹¹ tali che A[ {1, 2} = N¹¹?

(3) Quanti sono in sottoinsiemi A di N¹¹ tali che A[ {1, 2} ha esattamente 10 elementi?

(1) (2) (3)