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Matema&ca TRIGONOMETRIA

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

TRIGONOMETRIA

Studio funzioni goniometriche

DOCENTE: Vincenzo Pappalardo MATERIA: Matematica

Matema&ca

(2)

Studiare la seguente funzione:

y = 2senx − sen2x      in  0;2π

[ ]

(3)

3. Simmetrie

f (−x) = 2sin(−x) − sen(−2x) = −2sin x + sen2x = − f (x)

La funzione è dispari (oltre a essere periodica), quindi simmetrica rispetto all’origine degli assi.

(4)

grafico

(5)

Studiare la seguente funzione:

y = cos x + 1

2 sen2x      in  0;2

[

π

]

(6)

3. Simmetrie

f (−x) = cos(−x) + 1

2 sen(−2x) = cos x − 1

2 sen2x ≠ f (x) ≠ − f (x)

La funzione è periodica, ma non presenta simmetrie (non è né pari né dispari).

(7)

grafico

(8)

Studiare la seguente funzione:

y = cos x

1− cos x      in  0;2

[

π

]

(9)

3. Simmetrie

f (−x) = cos(−x)

1− cos(−x) = cos x

1− cos x = f (x)

La funzione è pari (oltre a essere periodica), quindi simmetrica rispetto all’asse y.

(10)

grafico

(11)

Studiare la seguente funzione:

y = 1+ cos x

cos x − senx       in  0;2

[

π

]

(12)

3. Simmetrie

f (−x) = 1+ cos(−x)

cos(−x) − sen(−x) = 1+ cos x

cos x − senx ≠ f (x) ≠ − f (x)

La funzione è periodica, ma non presenta simmetrie (non è né pari né dispari).

(13)

grafico

(14)

Studiare la seguente funzione:

y = senx − cos x

3senx − cos x       in  0;2

[

π

]

(15)

4. Simmetrie

f (−x) = sen(−x) − cos(−x)

3sen(−x) − cos(−x) = −senx − cos x

− 3senx − cos x ≠ f (x) ≠ − f (x)

La funzione è periodica, ma non presenta simmetrie (non è né pari né dispari).

(16)

grafico 5) limiti

(17)

Studiare la seguente funzione:

y = 3sen2x − 2sen3x      in  0;2π

[ ]

(18)

4. Simmetrie

f (−x) = 3sen2(−x) − 2sen3(−x) = 3sen2x − 2sen3(x) ≠ f (x) ≠ − f (x) La funzione è periodica, ma non presenta simmetrie (non è né pari né dispari).

(19)

grafico

(20)

Studiare la seguente funzione:

y = cos2 x

1+ 2senx       in  0;2

[

π

]

(21)
(22)

grafico

5. Simmetrie

f (−x) = cos2(−x)

1+ 2sen(−x) = cos2 x

1− 2senx ≠ f (x) ≠ − f (x)

La funzione è periodica, ma non presenta simmetrie (non è né pari né dispari).

(23)

Studiare la seguente funzione:

y = sin 10 x2 +1

1. Dominio

x2 +1 ≠ 0 soluzione⎯⎯⎯  ∀x ∈ ℜ

2. Simmetrie

f (−x) = sin 10 (−x)2 +1

⎟ = sin 10 x2 +1

⎟ = f (x)

La funzione è pari, quindi simmetrica rispetto all'asse Y.

(24)

3. Intersezioni con gli assi

X : y = sin 10 x2 +1

y = 0

 ⇒ sin 10 x2 +1

⎟ = 0 ⇒  10

x2 +1 = kπ ⇒ 

kπx2 + kπ −10 = 0 soluzione⎯⎯⎯   x = ± 10 − kπ kπ  

Ma attenzione, la soluzione non è accettabile per ogni k.

Dobbiamo imporre la condizione di esistenza alla soluzione:

10 − kπ

kπ ≥ 0 ⇒ 

N ≥ 0 ⇒ 10 − kπ ≥ 0 → k ≤ 10 π D > 0 ⇒ kπ > 0 → k > 0 

 soluzione⎯⎯⎯  0 < k ≤ 10

π Quindi, i valori di k che appartengono

all’intervallo trovato sono: k = 1, 2, 3

(25)

Allora, le soluzioni (le intersezioni con l’asse x) sono:

Y : y = sin 10 x2 +1

x = 0

 ⇒ y = sin10 = −0, 54 rad

4. Segno della funzione

f (x) > 0 ⇒ sin 10 x2 +1

⎟ > 0 ⇒ 2kπ < 10

x2 +1< (2k +1)π  equivalente  a

⎯⎯⎯⎯

10

x2 +1> 2kπ 10

x2 +1< (2k +1)π

⎪⎪

Tralascio i calcoli, che sono lunghi e noiosi.

(26)

grafico

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