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Dimostrazioni 3
Le serie
Date due successioni {a
n}
n∈N,{b
n}
n∈N, poniamo A
n:=
n s=0a
s, ∆ b
n:= b
n+1− b
n( n = 0, 1, 2, . . .).
Dall’identit` a
a
nb
n= A
nb
n+1− A
n−1b
n− A
n∆ b
n, (1) valida per ogni n 1, ed anche per n = 0 purch´e si ponga A
−1= 0 , si trae, sommando membro a membro le (1) relative ai valori n = 0, 1, 2, . . . , m,
m n=0a
nb
n= A
mb
m+1−
mn=0
A
n∆ b
n. (2)
Questa identit` a prende il nome di formula di sommazione per parti (o di Brunacci-Abel).
Da essa si possono dedurre numerosi criteri di convergenza per le serie, tra i quali quelli espressi dai seguenti teoremi.
Teorema 1 (Dedekind) Se a) le somme A
nsono limitate, b) lim
n→∞
b
n= 0 , c) la serie
∞ n=0|∆b
n| `e convergente,
allora la serie
∞ n=0a
nb
n` e convergente e si ha
∞ n=0a
nb
n= −
∞n=0
A
n∆ b
n. (3)
dimostrazione
Per la a), esiste un numero positivo k tale che |A
n| < k per ogni n, da cui |A
n∆ b
n| < k|∆b
n|.
Pertanto, in base al criterio del confronto applicato alle serie
∞ n=0|A
n∆ b
n| e
∞ n=0|∆b
n|, la seconda
delle quali ` e convergente per ipotesi, si pu` o asserire che la serie
∞ n=0A
n∆ b
n` e convergente. Infine, essendo, per la b), lim
m→∞
A
mb
m+1= 0 , dalla (2) si ottiene, passando al limite per m → ∞,
∞ n=0a
nb
n= −
∞n=0
A
n∆ b
n.
2
Teorema 2 (Abel) Se
a) le somme A
nsono limitate,
b) la successione {b
n}
n∈N` e monotona e lim
n→∞
b
n= 0 , allora la serie
∞ n=0a
nb
n` e convergente e vale la (3). 1
dimostrazione
Questo teorema si riconduce subito al precedente notando che la serie
∞ n=0|∆b
n| = ±
∞ n=0∆ b
n` e convergente. Infatti,
m n=0∆ b
n= ( b
1− b
0) + ( b
2− b
1) + . . . + (b
m+1− b
m) = b
m+1− b
0e quindi
m→∞
lim
m n=0∆ b
n= −b
0.
2
Corollario 1 Se la successione {b
n}
n∈N` e monotona e lim
n→∞
b
n= 0 , la serie
∞ n=0b
nx
n( |x| 1, x = 1)
`
e convergente.
dimostrazione
Posto a
n= x
n, si ha A
n=
n s=0x
s= 1 − x
n+11 − x , da cui
|A
n| = |1 − x
n+1|
|1 − x| 1 + |x|
n+1|1 − x| 2
|1 − x| .
Pertanto le somme A
nsono limitate. Si pu` o dunque applicare il teorema di Abel e concludere cos`ı che la serie data ` e convergente.
2
La costante di Eulero-Mascheroni La serie
1 − log 2 1 + 1
2 − log 3 2 + 1
3 − log 4
3 + . . . + 1
n − log n + 1
n + . . . (4)
a termini di segno alterno, ` e convergente in base al criterio di ` e Leibniz e la sua somma C `e una importante costante (detta di Eulero-Mascheroni) il cui valore ` e 0 , 57721 . . ..
Posto
σ
n= 1 + 1 2 + 1
3 + . . . + 1 n , la somma parziale s
2n−1della (4) ` e
s
2n−1= σ
n− log 2
1 + log 3
2 + . . . + log n n − 1
= σ
n− log 2 · 3
2 · . . . · n n − 1
= σ
n− log n.
Poich´ e s
2n−1` e una somma parziale d’indice dispari e il primo termine della serie ` e positivo, essa ` e maggiore di C e differisce da questo numero per meno di log n + 1
n ; si pu` o dunque scrivere s
2n−1= C + ε
n, con 0 < ε
n< log n + 1
n ,
2
da cui
σ
n− log n = C + ε
n. (5)
Si osservi che σ
ne log n + C tendono entrambi a +∞ per n → ∞, ma la loro differenza tende a zero.
Questo fatto si esprime dicendo che σ
nviene espressa asintoticamente da log n + C.
Teorema 3
∞n=1
( −1) n
n−1
= log 2
dimostrazione
La serie ` e convergente in base al criterio di Leibniz. Con la notazione σ
nintrodotta in precedenza, si ha
s
2n= 1 − 1 2 + 1
3 − 1 4 + 1
5 − . . . + 1
2 n − 1 − 1
2 n = 1 + 1 3 + 1
5 + . . . + 1
2 n − 1 − 1 2 σ
n, σ
2n= 1 + 1
2 + 1 3 + 1
4 + 1
5 + . . . + 1
2 n − 1 + 1
2 n = 1 + 1 3 + 1
5 + . . . + 1
2 n − 1 + 1 2 σ
n, da cui
s
2n− σ
2n= −σ
n. Tenuto conto della (5), si pu` o scrivere
s
2n= log 2 n + C + ε
2n− log n − C − ε
n= log 2 + ε
2n− ε
ne quindi
n→∞
lim s
2n= log 2 .
2
Criterio della primitiva
Sia f : [a, +∞) → R una funzione positiva e decrescente ed F una sua primitiva. Poich´e F
( x) = f(x) > 0, la F `e crescente in [a, +∞) e quindi esiste, finito o infinito, il lim
x→+∞
F (x).
Ci` o premesso, vale il seguente criterio della primitiva:
Teorema 4 (Cauchy) La serie a termini positivi
∞ n=0f(a + n) (6)
`
e convergente (divergente positivamente) se lim
x→+∞
F (x) `e finito (infinito).
dimostrazione
Per il teorema del valor medio (di Lagrange), si ha
F (x + 1) − F (x) = F
( x + ϑ) = f(x + ϑ) (0 < ϑ < 1)
3
e poich´ e
f(x) > f(x + ϑ) > f(x + 1), risulta
f(x) > F (x + 1) − F (x) > f(x + 1).
Ponendo in questa disuguaglianza successivamente x = a, a+1, a+2, . . . , a+n, e sommando membro a membro le n + 1 relazioni cos`ı ottenute, risulta
n r=0f(a + r) > F (a + n + 1) − F (a) >
n+1r=0
f(a + r) − f(a). (7)
Dalla prima delle (7) segue che, se lim
x→+∞
F (x) = +∞, la serie (6) `e divergente; se, invece,
x→+∞
lim F (x) = λ ∈ R, dalle (7) si trae che la serie (6) `e convergente.
2
Osserviamo che nel caso in cui lim
x→+∞
F (x) = λ ∈ R, `e possibile dare anche una stima della somma S della serie (6). Infatti, dalle (7) si trae, al limite per n → ∞,
λ − F (a) S f(a) + λ − F (a).
Come applicazione, consideriamo la serie armonica generalizzata
∞ n=11
n
α( α > 0)
La funzione f(x) = 1
x
α, con α = 1, nell’intervallo [1, +∞) ammette una primitiva F (x) = − 1 ( α − 1)x
α−1che, per x → +∞, tende a +∞ o a 0 secondo che α `e minore o maggiore di 1.
Segue che la serie armonica generalizzata ` e convergente per α > 1 e divergente per α < 1. Se α > 1 la somma S soddisfa alle limitazioni
1
α − 1 S 1 + 1 α − 1 .
Il caso α = 1 (serie armonica) pu`o essere trattato similmente, considerando la funzione f(x) = 1
x , per la quale F (x) = log x. Poich´e lim
x→+∞
