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e quindi α(L(G)) = θ(L(G)) = 1 mentre l’accoppiamento massimo in G ha cardinalit` a 1 e la minima copertura di nodi in G ha cardinalit` a 2.

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Academic year: 2021

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2.15 Esercizio. Si dimostri che in un grafo G un accoppiamento ha la stessa cardinalit` a di una copertura di nodi se e solo se α(L(G)) = θ(L(G)). Ad esempio nei grafi di figura 2.13 si ha l’eguaglianza,mentre nei grafi di figura 2.14 si ha la diseguaglianza.

Soluzione. A dire il vero l’implicazione `e vera solo in un senso,cio`e che l’uguaglianza in G implica l’uguaglianza in L(G). Infatti un insieme stabile in L(G) `e un insieme di archi in G non incidenti fra loro,ovvero ` e un accoppiamento in G,e viceversa. Quindi determinare α(L(G)) `e equivalente a determinare il massimo accoppiamento in G. Ogni nodo i in G d` a luogo in L(G) ad una cricca i cui nodi sono gli archi di G incidenti in i. Quindi una copertura di nodi in G diventa una decomposizone in cricche in L(G).

Per` o non `e detto che una decomposizione in cricche in L(G) corrisponda ad una coper- tura di nodi in G. Infatti in L(G) possono essere presenti delle cricche di tre nodi provenienti da tre archi disposti a cricca in G e non necessariamente incidenti nello stesso nodo. Ad esem- pio se G = K

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si ha che L(G) = K

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e quindi α(L(G)) = θ(L(G)) = 1 mentre l’accoppiamento massimo in G ha cardinalit` a 1 e la minima copertura di nodi in G ha cardinalit` a 2.

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