Verso il concetto di funzione
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Il termine funzione giร appare in alcuni scritti del matematico
Leibniz (1646-1716). Tuttavia, in un primo momento tale termine
venne usato in riferimento a espressioni analitiche che danno la
dipendenza di una quantitร numerica da altre. Successivamente
la nozione ha subito delle generalizzazioni ottenendo, nel secolo
scorso, la sua formulazione definitiva.
Definizione
Dati due insiemi S e T e una parte X di S, si chiama funzione da S
verso T, definita in X o anche funzione di X in T, una
corrispondenza tra elementi di S ed elementi di T la quale ad
ogni elemento x di X fa corrispondere uno ed un solo elemento y
di T
Verso il concetto di funzione
Lโinsieme X si chiama insieme di
definizione o anche dominio della
funzione f; il sottoinsieme T
costituito dagli elementi che sono
corrispondenti per mezzo di f di
elementi di X si chiama insieme
dei valori o anche codominio della
funzione f.
Si dice anche che f รจ una funzione
definita nella parte X di S e a valori
nellโinsieme T
Funzioni iniettive
Definizione analoga รจ la seguente:
Una funzione ๐: ๐ โ ๐ โ ๐ si dice iniettiva se ogni elemento di
T ha al massimo una controimmagine in S o, ciรฒ che รจ lo stesso,
se manda elementi distinti in elementi distinti.
Geometricamente dire che ogni elemento di R ha al massimo
una controimmagine equivale a dire che ogni retta orizzontale
deve intersecare il grafico della funzione al massimo in un
punto
Funzioni iniettive
Data una funzione reale di variabile reale y=f(x):
โข Per dimostrare che f non รจ iniettiva basta esibire una coppia
di elementi distinti ๐ฅ
1, ๐ฅ
2, appartenenti allโinsieme di
definizione della funzione tali che ๐ ๐ฅ
1= ๐ ๐ฅ
2;
โข Per provare, invece che f รจ iniettiva, occorre mostrare che
โ๐ฅ
1,๐ฅ
2โ ๐ผ. ๐ท. vale lโimplicazione
Funzioni suriettive
La definizione di funzione suriettiva puรฒ essere data anche nel
seguente modo:
Una funzione ๐: ๐ โ ๐ โ ๐ si dice suriettiva se ogni elemento
di T ha almeno una controimmagine in A e ciรฒ vuol dire che f รจ
suriettiva quando si verifica che
โ๐ฆ โ ๐: โ๐ฅ โ ๐ | ๐ ๐ฅ = ๐ฆ
Geometricamente
Una funzione reale di variabile reale (per cui si assume come
codominio R) รจ suriettiva se e solo se ogni retta orizzontale
deve intersecare il grafico della funzione in almeno un punto.
Funzioni iniettive, suriettive, biiettive
ESEMPIO y = 2x -1
Definizione
Una funzione si dice biiettiva (o biunivoca) se รจ sia iniettiva
sia suriettiva
- Suriettiva - Iniettiva - Suriettiva se - Non iniettiva se - Biiettiva ESEMPIO y = โ x2 + 4Funzioni biunivoche
Si puรฒ anche dire che la funzione ๐: ๐ โ ๐ โ ๐ รจ biunivoca se ogni elemento y del codominio di f รจ il corrispondente per mezzo di f di un solo elemento x di X; ovvero, equivalentemente, se โ๐ฆ โ ๐ o non esiste nessun ๐ฅ โ ๐ tale che ๐ฆ = ๐(๐ฅ) o, se ne esiste uno, questo รจ unico. ร anche ovvio che la funzione f non รจ biunivoca se e solo se esiste almeno una coppia ๐ฅโฒ, ๐ฅโฒโฒ di elementi di X tale che ๐ฅโฒ โ ๐ฅโฒโฒ in corrispondenza dei quali si ha ๐(๐ฅโฒ) = ๐(๐ฅโฒโฒ)
๐ฅโฒ โ ๐ฅโฒโฒ โ ๐(๐ฅโฒ) โ ๐(๐ฅโฒโฒ)
Definizione
La funzione inversa
Data una funzione biiettiva reale di variabile reale y = f(x),
Funzione inversa
Data la funzione biiettiva f definita nella parte X di S e a valori nellโinsieme T. Si chiama funzione inversa di f la funzione, definita in f(X) e a valori in S, che ad ogni elemento y di f(X) fa corrispondere quellโelemento x di X al quale la f fa corrispondere y, cioรจ quellโelemento x di X tale che y=f(x)
Il grafici di f e di f โ1 sono simmetrici
rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.
disegnare il grafico di f โ1 equivale a partire dalle
ordinate di f e ricavare le ascisse.
La funzione inversa
Teorema
La funzione inversa di una funzione biunivoca รจ anchโessa
biunivoca
Dimostrazione
Infatti, la funzione ๐
โ1, inversa della f, a elementi distinti fa
corrispondere elementi ancora distinti, cosรฌ come la f
Immagine e immagine reciproca
Definizione
Sia f una funzione da S verso T, definita nella parte X di S. Se A รจ una parte di X, si chiama immagine di A per mezzo di f, e si denota col simbolo f(A), il sottoinsieme di T costituito dagli elementi y corrispondenti per mezzo di f degli elementi x di A. se B รจ una parte di T, si chiama antimmagine di B per mezzo di f o controimmagine o immagine reciproca, il sottoinsieme di X costituito dagli elementi x i cui corrispondenti per mezzo di f appartengono a B.
Restrizione e prolungamento di una
funzione
Definizione
Se f รจ definita nella parte X di S e a valori nellโinsieme T e ๐
โฒรจ
una parte non vuota di X, si chiama restrizione di f a ๐
โฒla
funzione definita in ๐
โฒe a valori in T che ad ogni elemento x di
๐
โฒassume lo stesso valore che assume f.
Definizione
Siano S e T due insiemi, ๐
โฒuna parte propria di S, X una parte
di S tale che ๐
โฒโ ๐, g una funzione di ๐
โฒin T. Una funzione f
di X in T si dice prolungamento di g su X se la restrizione di f a
๐
โฒcoincide con g o, ciรฒ che รจ lo stesso, se ๐ ๐ฅ = ๐(๐ฅ)
ESEMPIO y = x2 โ 4
DEFINIZIONE
Funzione crescente
Una funzione y = f (x) di I.D. ๐ โ ๐
si dice crescente in senso stretto in un intervallo
I, sottoinsieme di X,
se, comunque scelti x1 e x2 appartenenti a I, con x1 < x2,
risulta f (x1) < f (x2).
Crescente in la funzione รจ crescente in senso lato o non decrescente.
Funzione non decrescente
Se, invece di f (x1) < f (x2), vale
DEFINIZIONE
Funzioni crescenti e decrescenti
ESEMPIO
Funzione decrescente
Una funzione y = f (x) di dominio
si dice decrescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D,
se, comunque scelti x1 e x2 appartenenti a I, con x1 < x2,
risulta f (x1) > f (x2).
la funzione รจ decrescente in senso lato o non crescente.
Funzione non crescente
Se, invece di f (x1) > f (x2), vale
Decrescente in
DEFINIZIONE
Funzione monotona
Una funzione di dominio si dice monotรฒna in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D,
se, in quellโintervallo รจ sempre crescente o sempre decrescente in senso stretto.
Funzione monotรฒna crescente in I Funzione monotรฒna decrescente in I
Funzioni reali di una variabile reale
Una funzione f definita in un sottoinsieme X dellโinsieme dei
numeri reali e a valori nellโinsieme dei numeri reali si chiama
anche funzione reale di una variabile reale
Lโaggettivo reale unito alla parola funzione sta a significare che una tale
funzione รจ a valori nellโinsieme dei numeri
reali
Lโaggettivo reale unito alla parola variabile sta a
significare che nella scrittura f(x), la x denota
Estremi di una funzione reale di una
variabile reale
Definizione
Sia f una funzione reale definita nel sottoinsieme X di R. Si dice
che f รจ dotata di minimo (risp. massimo) in X se il suo
codominio f(X) รจ dotato di minimo (risp. massimo) o, ciรฒ che รจ
lo stesso se
โ๐ฅ โ ๐ (๐๐๐ ๐. ๐ฅ โ ๐)|f ๐ฅ โค ๐ ๐ฅ , โ๐ฅ โ ๐ (๐๐๐ ๐. ๐(๐ฅ) โค ๐(๐ฅ )
Se ciรฒ si verifica, il minimo (risp. massimo) di f(x) si chiama il minimo (risp. massimo) della funzione f in X e si denota con uno dei seguenti simboli:
๐๐๐๐, min
Estremi di una funzione reale di una
variabile reale
Definizione
Sia f una funzione reale definita nel sottoinsieme X di R. si dice
che f รจ limitata inferiormente (risp. superiormente) in X se il suo
codominio f(X) รจ limitato inferiormente (risp. superiormente) o,
ciรฒ che รจ lo stesso, se esiste un numero reale k tale che si abbia
๐ โค ๐ ๐ฅ , โ๐ฅ โ ๐ (๐๐๐ ๐. ๐(๐ฅ) โค ๐, โ๐ฅ โ ๐)
Un tale numero si chiama un minorante (risp. maggiorante) della f in X.
La funzione si dice limitata in X se รจ ivi limitata sia inferiormente, sia superiormente.
Se f รจ limitata inferiormente (risp. superiormente) in X, lโestremo inferiore (risp. superiore) di f in X si denota con uno dei seguenti simboli
๐๐๐f, inf
DEFINIZIONE
Funzioni pari e funzioni dispari
ESEMPIO
f (x) = 2x4 โ 1
Funzione pari
Indichiamo con X un sottoinsieme di R tale che, se ๐ฅ โ ๐ , allora โ๐ฅ โ ๐. Una funzione y = f (x) si dice pari in X se f (โx) = f (x) per qualunque x appartenente a X.
f (โ x) = 2(โ x)4 โ 1
= 2x4 โ 1 = f (x)
DEFINIZIONE
Funzioni pari e funzioni dispari
ESEMPIO
f (x) = x3 + x
Funzione dispari
Indichiamo con X un sottoinsieme di R tale che, se ๐ฅ โ ๐ , allora โ๐ฅ โ ๐. Una funzione y = f (x) si dice dispari in X se f (โx) = โ f (x) per qualunque x appartenente a X.
f (โ x) = (โ x)3 + (โ x)
= โ x3 โ x = โ f (x)
Classificazione delle funzioni
Funzioni reali di una variabile reale Funzioni algebriche Funzioni razionali intere Funzioni razionali fratte Funzioni irrazionali Funzioni trascendenti Funzioni logaritmiche Funzioni esponenziali Funzioni trigonometricheLa funzione lineare
Si tratta di una funzione reale del tipo
๐ ๐ฅ = ๐๐ฅ + ๐,
โ๐ฅ โ ๐
dove a e b sono due numeri reali.
Se ๐ = 0 la funzione si riduce alla funzione costante ๐ ๐ฅ = ๐
Se ๐ = 1, ๐ = 0 essa si riduce alla funzione identica
La funzione valore assoluto
La funzione reale f cosรฌ definita
๐ ๐ฅ = ๐ฅ ,
โ๐ฅ โ ๐
si dice funzione valore assoluto.
Le funzioni signum e parte intera
Per ogni numero reale x denotiamo con ๐ฅ la parte intera di x, cioรจ il piรน grande degli interi non negativi ๐ง โค ๐ฅ, ๐ ๐ ๐ฅ โฅ 0 e il piรน piccolo degli interi non positivi ๐ง โฅ ๐ฅ, ๐ ๐ รจ ๐ฅ < 0. La funzione reale cosรฌ definita:
๐ ๐ฅ = ๐ฅ , โ๐ฅ โ ๐ Si chiama funzione parte intera Per ogni numero reale x, si
definisce funzione sign(x) la funzione sotto riportata
La funzione potenza
(con esponente un intero
positivo)
Se n รจ un intero positivo, si chiama funzione potenza di esponente n, la funzione reale cosรฌ definita
๐ ๐ฅ = ๐ฅ๐, โ๐ฅ โ ๐
Se n รจ pari essa รจ una funzione di R su 0; +โ le cui restrizioni agli intervalli โโ; 0 e 0; +โ sono rispettivamente strettamente decrescente e strettamente crescente.
Funzione potenza
(con esponente un intero
negativo)
Se n รจ un intero positivo, si chiama funzione potenza con esponente intero negativo โn, la funzione reale cosรฌ definita
๐ ๐ฅ = ๐ฅโ๐ = 1
๐ฅ๐ , โ๐ฅ โ ๐ โ 0
Se n รจ pari si tratta di una funzione di ๐ โ 0 su 0; +โ le cui restrizioni agli intervalli โโ; 0 e 0; +โ sono rispettivamente strettamente crescente e strettamente decrescente.
Se n รจ dispari si tratta di una funzione di ๐ โ 0 su ๐ โ 0 le cui restrizioni agli intervalli โโ; 0 e 0; +โ sono strettamente decrescenti.
Funzione radice n-esima
Se n รจ pari, la restrizione di ๐ฅ๐ allโintervallo 0; +โ รจ strettamente crescente, quindi e invertibile. La sua inversa รจ la funzione ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฅ tale che
๐ฅ โ 0; +โ โฆ ๐ ๐ฅ
Se n รจ dispari, si ha una funzione strettamente crescente, quindi e invertibile. La sua inversa รจ la funzione ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฅ tale che
Funzione potenza
(con esponente un numero reale)
Se ฮฑ รจ un numero reale non nullo, si chiama funzione potenza con esponente ฮฑ la funzione reale
๐ ๐ฅ = ๐ฅฮฑ
La funzione esponenziale
Se a รจ un numero reale positivo e diverso da 1, si chiama funzione esponenziale di base a, la funzione reale f cosรฌ definita:
๐ ๐ฅ = ๐๐ฅ, โ๐ฅ โ ๐
La funzione esponenziale di base a รจ una funzione di R sullโintervallo 0; +โ , strettamente crescente se ๐ > 1 , strettamente decrescente se 0 < ๐ < 1
La funzione logaritmo
Se a รจ un numero reale positivo e diverso da 1, si chiama funzione logaritmo di base a, la funzione reale f cosรฌ definita
๐ ๐ฅ = log๐ ๐ฅ , โ๐ฅ โ 0; +โ
Si tratta di una funzione che ha come insieme di definizione 0; +โ e come codominio R, strettamente crescente se ๐ > 1, strettamente decrescente se 0 < ๐ < 1
Le funzioni esponenziale e logaritmo
come funzioni inverse
DEFINIZIONE
Funzioni periodiche
ESEMPIO
y = sen (x) รจ periodica di periodo 2ฯ perchรฉ sen (x) = sen (x + 2k ฯ). y = tg (x) รจ periodica di periodo ฯ perchรฉ tg (x) = tg (x + k ฯ).
Funzione periodica
Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T, con T > 0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha:
Le funzioni inverse trigonometriche
La funzione arcoseno La funzione arcocoseno La funzione arcotangente La funzione arcocotangenteLe funzioni iperboliche
Le funzioni iperboliche costituiscono una famiglia di funzioni speciali dotate di alcune proprietร analoghe a corrispondenti proprietร delle ordinarie funzioni trigonometriche.
Data una iperbole equilatera unitaria, quindi con ๐ = ๐ = 1, centrata con gli assi sugli assi coordinati e dato un angolo ฮฑ , consideriamo il settore iperbolico di area ฮฑ/2 : questo determina un punto P come intersezione con l'iperbole; definiamo quindi seno iperbolico ๐ ๐๐โ l'ordinata del punto P e coseno iperbolico ๐๐๐ โ l'ascissa del punto P.
Funzioni iperboliche ed esponenziali
ร
possibile
legare
le
funzioni
iperboliche
alla
Le funzioni iperboliche
Cosรฌ come al variare della variabile reale t i punti ๐๐๐ ๐ก, ๐ ๐๐๐ก definiscono la circonferenza ๐ฅ2 + ๐ฆ2 = 1 , analogamente i punti ๐๐๐ โ๐ก, ๐ ๐๐โ๐ก definiscono l'iperbole equilatera ๐ฅ2 โ ๐ฆ2 = 1 .
Questa รจ una conseguenza dell'identitร : ๐๐๐ โ๐ก 2 โ ๐ ๐๐โ๐ก 2 = 1
derivabile dalle definizioni mediante funzioni esponenziali con manipolazioni algebriche elementari.
Al contrario delle corrispondenti funzioni trigonometriche, le funzioni iperboliche non sono periodiche.
L'argomento t delle funzioni seno e coseno che definiscono la circonferenza puรฒ essere interpretato naturalmente come un angolo; lโ argomento t delle funzioni iperboliche rappresenta invece due volte l'area del settore compreso tra il segmento che collega l'origine con il punto ๐๐๐ โ๐ก, ๐ ๐๐โ๐ก su un ramo dell'iperbole equilatera, l'arco di tale iperbole che dal punto si conclude nel punto (1;0) sull'asse x e il segmento sull'asse x da questo punto all'origine.
Le funzioni iperboliche soddisfano molte identitร , simili a corrispondenti identitร trigonometriche.
Le funzioni composte
Date le due funzioni e
, con o y = g (f (x))
indichiamo la funzione, detta funzione composta, da A a C che si ottiene
associando a ogni x di A lโimmagine
mediante g dellโimmagine di x mediante f.
Le funzioni composte
ESEMPIO Consideriamo: ๐ ๐ฅ = ๐ฅ2, ๐ ๐ฅ = ๐ฅ + 1 Otteniamo: ๐ โ ๐ = ๐ ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฅ2 = ๐ฅ2 + 1 ๐ โ ๐ = ๐ ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฅ + 1 = ๐ฅ + 1 2 La composizione NON รจ commutativaGrafici ottenibili mediante
trasformazioni geometriche
Traslazioni
Grafico di una funzione e della funzione traslata secondo il vettore ๐ฃ = (๐; ๐) .
La traslazione e il grafico di una
funzione
ESEMPIO
Data la funzione y = 4x2
trasliamo il suo grafico secondo il vettore .
quindi
Simmetria rispetto allโasse y = x Simmetria rispetto allโasse x = a
Le simmetrie
Simmetria rispetto allโasse y = bSimmetria rispetto allโasse y = 0 Simmetria rispetto allโasse x = 0
Le simmetrie
Simmetria centraleSimmetrie
La dilatazione
Una dilatazione รจ una trasformazione non isometrica di equazioni con m, n . ๏ฎ ๏ญ ๏ฌ ๏ฝ ๏ฝ ny y mx x ' ' Data la funzione y = f (x) , la funzione f ' il cui grafico รจ il corrispondente di f mediante la dilatazione รจ . ESEMPIO n = 1, m = 2 ESEMPIO m = 1, n = 2
Calcolo del periodo delle funzioni
Definizione
Siano: f una funzione reale definita nel sottoinsieme X di R, T un
numero reale positivo. La funzione f si dice periodica in X, di periodo T
se X soddisfa la seguente proprietร :
๐ฅ โ ๐ โ ๐ฅ ยฑ ๐ โ ๐
e per f vale lโuguaglianza
๐ ๐ฅ ยฑ ๐ = ๐ ๐ฅ , โ๐ฅ โ ๐
Proposizione
Se la funzione ๐: ๐ โ ๐ โ ๐ รจ periodica in X di periodo T, allora
lโinsieme X gode della proprietร (piรน forte della precedente):
๐ฅ โ ๐ โ ๐ฅ + ๐๐ โ ๐, โ๐ โ ๐
e la funzione f soddisfa lโuguaglianza
๐ ๐ฅ ยฑ ๐๐ = ๐ ๐ฅ , โ๐ฅ โ ๐ ๐ โ๐ โ ๐
Il periodo delle funzioni ๐ฆ = ๐ ๐๐๐ฅ e ๐ฆ = ๐๐๐ ๐ฅ รจ 2๐; il periodo delle funzioni ๐ฆ = ๐ก๐๐ฅ e ๐ฆ = ๐๐๐ก๐๐ฅ รจ ๐
๐ฆ = ๐1 ๐ฅ + ๐2 ๐ฅ Se ๐ป๐ = ๐ป๐ โ ๐ป = ๐ป๐ = ๐ป๐ Se ๐ป๐ โ ๐ป๐ โ ๐ป = ๐. ๐. ๐ ( ๐ป๐, ๐ป๐) ๐ฆ = ๐1 ๐ฅ โ ๐2 ๐ฅ Se ๐ป๐ = ๐ป๐ โ ๐ป = ๐ป๐ ๐ = ๐ป๐ ๐ Se ๐ป๐ โ ๐ป๐ โ ๐ป = ๐. ๐. ๐ ( ๐ป๐, ๐ป๐) ๐ฆ = ๐1 ๐ฅ ๐2 ๐ฅ Se ๐ป๐ = ๐ป๐ โ ๐ป = ๐ป๐ ๐ = ๐ป๐ ๐ Se ๐ป๐ โ ๐ป๐ โ ๐ป = ๐. ๐. ๐ ( ๐ป๐, ๐ป๐) ๐ฆ = ๐ ๐๐ฅ ๐ป ๐ ๐ฆ = ๐(๐ฅ) ๐ป
๐ per seno e coseno
๐ป per tangente e cotangente
๐ฆ = ๐(๐ฅ) 2๐ ๐ป
๐ per seno e coseno
๐ป per tangente e cotangente
๐ฆ = ๐(๐ฅ) 2๐+1 T
๐ฆ = ๐ ๐(๐ฅ) T