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Funzioni reali - slide (pdf) - 2.81 MB

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(1)
(2)

Verso il concetto di funzione

2

Il termine funzione giร  appare in alcuni scritti del matematico

Leibniz (1646-1716). Tuttavia, in un primo momento tale termine

venne usato in riferimento a espressioni analitiche che danno la

dipendenza di una quantitร  numerica da altre. Successivamente

la nozione ha subito delle generalizzazioni ottenendo, nel secolo

scorso, la sua formulazione definitiva.

Definizione

Dati due insiemi S e T e una parte X di S, si chiama funzione da S

verso T, definita in X o anche funzione di X in T, una

corrispondenza tra elementi di S ed elementi di T la quale ad

ogni elemento x di X fa corrispondere uno ed un solo elemento y

di T

(3)

Verso il concetto di funzione

Lโ€™insieme X si chiama insieme di

definizione o anche dominio della

funzione f; il sottoinsieme T

costituito dagli elementi che sono

corrispondenti per mezzo di f di

elementi di X si chiama insieme

dei valori o anche codominio della

funzione f.

Si dice anche che f รจ una funzione

definita nella parte X di S e a valori

nellโ€™insieme T

(4)
(5)

Funzioni iniettive

Definizione analoga รจ la seguente:

Una funzione ๐‘“: ๐‘‹ โŠ† ๐‘† โ†’ ๐‘‡ si dice iniettiva se ogni elemento di

T ha al massimo una controimmagine in S o, ciรฒ che รจ lo stesso,

se manda elementi distinti in elementi distinti.

Geometricamente dire che ogni elemento di R ha al massimo

una controimmagine equivale a dire che ogni retta orizzontale

deve intersecare il grafico della funzione al massimo in un

punto

(6)

Funzioni iniettive

Data una funzione reale di variabile reale y=f(x):

โ€ข Per dimostrare che f non รจ iniettiva basta esibire una coppia

di elementi distinti ๐‘ฅ

1

, ๐‘ฅ

2

, appartenenti allโ€™insieme di

definizione della funzione tali che ๐‘“ ๐‘ฅ

1

= ๐‘“ ๐‘ฅ

2

;

โ€ข Per provare, invece che f รจ iniettiva, occorre mostrare che

โˆ€๐‘ฅ

1,

๐‘ฅ

2

โˆˆ ๐ผ. ๐ท. vale lโ€™implicazione

(7)

Funzioni suriettive

La definizione di funzione suriettiva puรฒ essere data anche nel

seguente modo:

Una funzione ๐‘“: ๐‘‹ โŠ† ๐‘† โ†’ ๐‘‡ si dice suriettiva se ogni elemento

di T ha almeno una controimmagine in A e ciรฒ vuol dire che f รจ

suriettiva quando si verifica che

โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡: โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ | ๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ

Geometricamente

Una funzione reale di variabile reale (per cui si assume come

codominio R) รจ suriettiva se e solo se ogni retta orizzontale

deve intersecare il grafico della funzione in almeno un punto.

(8)

Funzioni iniettive, suriettive, biiettive

ESEMPIO y = 2x -1

Definizione

Una funzione si dice biiettiva (o biunivoca) se รจ sia iniettiva

sia suriettiva

- Suriettiva - Iniettiva - Suriettiva se - Non iniettiva se - Biiettiva ESEMPIO y = โ€“ x2 + 4

(9)

Funzioni biunivoche

Si puรฒ anche dire che la funzione ๐‘“: ๐‘‹ โŠ† ๐‘† โ†’ ๐‘‡ รจ biunivoca se ogni elemento y del codominio di f รจ il corrispondente per mezzo di f di un solo elemento x di X; ovvero, equivalentemente, se โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‡ o non esiste nessun ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ tale che ๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘ฅ) o, se ne esiste uno, questo รจ unico. รˆ anche ovvio che la funzione f non รจ biunivoca se e solo se esiste almeno una coppia ๐‘ฅโ€ฒ, ๐‘ฅโ€ฒโ€ฒ di elementi di X tale che ๐‘ฅโ€ฒ โ‰  ๐‘ฅโ€ฒโ€ฒ in corrispondenza dei quali si ha ๐‘“(๐‘ฅโ€ฒ) = ๐‘“(๐‘ฅโ€ฒโ€ฒ)

๐‘ฅโ€ฒ โ‰  ๐‘ฅโ€ฒโ€ฒ โ†’ ๐‘“(๐‘ฅโ€ฒ) โ‰  ๐‘“(๐‘ฅโ€ฒโ€ฒ)

(10)

Definizione

La funzione inversa

Data una funzione biiettiva reale di variabile reale y = f(x),

Funzione inversa

Data la funzione biiettiva f definita nella parte X di S e a valori nellโ€™insieme T. Si chiama funzione inversa di f la funzione, definita in f(X) e a valori in S, che ad ogni elemento y di f(X) fa corrispondere quellโ€™elemento x di X al quale la f fa corrispondere y, cioรจ quellโ€™elemento x di X tale che y=f(x)

Il grafici di f e di f โ€“1 sono simmetrici

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.

disegnare il grafico di f โ€“1 equivale a partire dalle

ordinate di f e ricavare le ascisse.

(11)

La funzione inversa

Teorema

La funzione inversa di una funzione biunivoca รจ anchโ€™essa

biunivoca

Dimostrazione

Infatti, la funzione ๐‘“

โˆ’1

, inversa della f, a elementi distinti fa

corrispondere elementi ancora distinti, cosรฌ come la f

(12)

Immagine e immagine reciproca

Definizione

Sia f una funzione da S verso T, definita nella parte X di S. Se A รจ una parte di X, si chiama immagine di A per mezzo di f, e si denota col simbolo f(A), il sottoinsieme di T costituito dagli elementi y corrispondenti per mezzo di f degli elementi x di A. se B รจ una parte di T, si chiama antimmagine di B per mezzo di f o controimmagine o immagine reciproca, il sottoinsieme di X costituito dagli elementi x i cui corrispondenti per mezzo di f appartengono a B.

(13)

Restrizione e prolungamento di una

funzione

Definizione

Se f รจ definita nella parte X di S e a valori nellโ€™insieme T e ๐‘‹

โ€ฒ

รจ

una parte non vuota di X, si chiama restrizione di f a ๐‘‹

โ€ฒ

la

funzione definita in ๐‘‹

โ€ฒ

e a valori in T che ad ogni elemento x di

๐‘‹

โ€ฒ

assume lo stesso valore che assume f.

Definizione

Siano S e T due insiemi, ๐‘‹

โ€ฒ

una parte propria di S, X una parte

di S tale che ๐‘‹

โ€ฒ

โŠ‚ ๐‘‹, g una funzione di ๐‘‹

โ€ฒ

in T. Una funzione f

di X in T si dice prolungamento di g su X se la restrizione di f a

๐‘‹

โ€ฒ

coincide con g o, ciรฒ che รจ lo stesso, se ๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘”(๐‘ฅ)

(14)

ESEMPIO y = x2 โ€“ 4

DEFINIZIONE

Funzione crescente

Una funzione y = f (x) di I.D. ๐‘‹ โŠ† ๐‘…

si dice crescente in senso stretto in un intervallo

I, sottoinsieme di X,

se, comunque scelti x1 e x2 appartenenti a I, con x1 < x2,

risulta f (x1) < f (x2).

Crescente in la funzione รจ crescente in senso lato o non decrescente.

Funzione non decrescente

Se, invece di f (x1) < f (x2), vale

(15)

DEFINIZIONE

Funzioni crescenti e decrescenti

ESEMPIO

Funzione decrescente

Una funzione y = f (x) di dominio

si dice decrescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D,

se, comunque scelti x1 e x2 appartenenti a I, con x1 < x2,

risulta f (x1) > f (x2).

la funzione รจ decrescente in senso lato o non crescente.

Funzione non crescente

Se, invece di f (x1) > f (x2), vale

Decrescente in

(16)

DEFINIZIONE

Funzione monotona

Una funzione di dominio si dice monotรฒna in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D,

se, in quellโ€™intervallo รจ sempre crescente o sempre decrescente in senso stretto.

Funzione monotรฒna crescente in I Funzione monotรฒna decrescente in I

(17)

Funzioni reali di una variabile reale

Una funzione f definita in un sottoinsieme X dellโ€™insieme dei

numeri reali e a valori nellโ€™insieme dei numeri reali si chiama

anche funzione reale di una variabile reale

Lโ€™aggettivo reale unito alla parola funzione sta a significare che una tale

funzione รจ a valori nellโ€™insieme dei numeri

reali

Lโ€™aggettivo reale unito alla parola variabile sta a

significare che nella scrittura f(x), la x denota

(18)

Estremi di una funzione reale di una

variabile reale

Definizione

Sia f una funzione reale definita nel sottoinsieme X di R. Si dice

che f รจ dotata di minimo (risp. massimo) in X se il suo

codominio f(X) รจ dotato di minimo (risp. massimo) o, ciรฒ che รจ

lo stesso se

โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘Ÿ๐‘–๐‘ ๐‘. ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹)|f ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘“ ๐‘ฅ , โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘Ÿ๐‘–๐‘ ๐‘. ๐‘“(๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘“(๐‘ฅ )

Se ciรฒ si verifica, il minimo (risp. massimo) di f(x) si chiama il minimo (risp. massimo) della funzione f in X e si denota con uno dei seguenti simboli:

๐‘š๐‘–๐‘›๐‘“, min

(19)

Estremi di una funzione reale di una

variabile reale

Definizione

Sia f una funzione reale definita nel sottoinsieme X di R. si dice

che f รจ limitata inferiormente (risp. superiormente) in X se il suo

codominio f(X) รจ limitato inferiormente (risp. superiormente) o,

ciรฒ che รจ lo stesso, se esiste un numero reale k tale che si abbia

๐‘˜ โ‰ค ๐‘“ ๐‘ฅ , โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘Ÿ๐‘–๐‘ ๐‘. ๐‘“(๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘˜, โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹)

Un tale numero si chiama un minorante (risp. maggiorante) della f in X.

La funzione si dice limitata in X se รจ ivi limitata sia inferiormente, sia superiormente.

Se f รจ limitata inferiormente (risp. superiormente) in X, lโ€™estremo inferiore (risp. superiore) di f in X si denota con uno dei seguenti simboli

๐‘–๐‘›๐‘“f, inf

(20)

DEFINIZIONE

Funzioni pari e funzioni dispari

ESEMPIO

f (x) = 2x4 โ€“ 1

Funzione pari

Indichiamo con X un sottoinsieme di R tale che, se ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ , allora โˆ’๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹. Una funzione y = f (x) si dice pari in X se f (โ€“x) = f (x) per qualunque x appartenente a X.

f (โ€“ x) = 2(โ€“ x)4 โ€“ 1

= 2x4 โ€“ 1 = f (x)

(21)

DEFINIZIONE

Funzioni pari e funzioni dispari

ESEMPIO

f (x) = x3 + x

Funzione dispari

Indichiamo con X un sottoinsieme di R tale che, se ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ , allora โˆ’๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹. Una funzione y = f (x) si dice dispari in X se f (โ€“x) = โ€“ f (x) per qualunque x appartenente a X.

f (โ€“ x) = (โ€“ x)3 + (โ€“ x)

= โ€“ x3 โ€“ x = โ€“ f (x)

(22)

Classificazione delle funzioni

Funzioni reali di una variabile reale Funzioni algebriche Funzioni razionali intere Funzioni razionali fratte Funzioni irrazionali Funzioni trascendenti Funzioni logaritmiche Funzioni esponenziali Funzioni trigonometriche

(23)

La funzione lineare

Si tratta di una funzione reale del tipo

๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘Ž๐‘ฅ + ๐‘,

โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹

dove a e b sono due numeri reali.

Se ๐‘Ž = 0 la funzione si riduce alla funzione costante ๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘

Se ๐‘Ž = 1, ๐‘ = 0 essa si riduce alla funzione identica

(24)

La funzione valore assoluto

La funzione reale f cosรฌ definita

๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ ,

โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘…

si dice funzione valore assoluto.

(25)

Le funzioni signum e parte intera

Per ogni numero reale x denotiamo con ๐‘ฅ la parte intera di x, cioรจ il piรน grande degli interi non negativi ๐‘ง โ‰ค ๐‘ฅ, ๐‘ ๐‘’ ๐‘ฅ โ‰ฅ 0 e il piรน piccolo degli interi non positivi ๐‘ง โ‰ฅ ๐‘ฅ, ๐‘ ๐‘’ รจ ๐‘ฅ < 0. La funzione reale cosรฌ definita:

๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ , โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘… Si chiama funzione parte intera Per ogni numero reale x, si

definisce funzione sign(x) la funzione sotto riportata

(26)

La funzione potenza

(con esponente un intero

positivo)

Se n รจ un intero positivo, si chiama funzione potenza di esponente n, la funzione reale cosรฌ definita

๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ๐‘›, โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘…

Se n รจ pari essa รจ una funzione di R su 0; +โˆž le cui restrizioni agli intervalli โˆ’โˆž; 0 e 0; +โˆž sono rispettivamente strettamente decrescente e strettamente crescente.

(27)

Funzione potenza

(con esponente un intero

negativo)

Se n รจ un intero positivo, si chiama funzione potenza con esponente intero negativo โ€“n, la funzione reale cosรฌ definita

๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘ฅโˆ’๐‘› = 1

๐‘ฅ๐‘› , โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘… โˆ’ 0

Se n รจ pari si tratta di una funzione di ๐‘… โˆ’ 0 su 0; +โˆž le cui restrizioni agli intervalli โˆ’โˆž; 0 e 0; +โˆž sono rispettivamente strettamente crescente e strettamente decrescente.

Se n รจ dispari si tratta di una funzione di ๐‘… โˆ’ 0 su ๐‘… โˆ’ 0 le cui restrizioni agli intervalli โˆ’โˆž; 0 e 0; +โˆž sono strettamente decrescenti.

(28)

Funzione radice n-esima

Se n รจ pari, la restrizione di ๐‘ฅ๐‘› allโ€™intervallo 0; +โˆž รจ strettamente crescente, quindi e invertibile. La sua inversa รจ la funzione ๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘› ๐‘ฅ tale che

๐‘ฅ โˆˆ 0; +โˆž โ†ฆ ๐‘› ๐‘ฅ

Se n รจ dispari, si ha una funzione strettamente crescente, quindi e invertibile. La sua inversa รจ la funzione ๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘› ๐‘ฅ tale che

(29)

Funzione potenza

(con esponente un numero reale)

Se ฮฑ รจ un numero reale non nullo, si chiama funzione potenza con esponente ฮฑ la funzione reale

๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘ฅฮฑ

(30)

La funzione esponenziale

Se a รจ un numero reale positivo e diverso da 1, si chiama funzione esponenziale di base a, la funzione reale f cosรฌ definita:

๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘Ž๐‘ฅ, โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘…

La funzione esponenziale di base a รจ una funzione di R sullโ€™intervallo 0; +โˆž , strettamente crescente se ๐‘Ž > 1 , strettamente decrescente se 0 < ๐‘Ž < 1

(31)
(32)

La funzione logaritmo

Se a รจ un numero reale positivo e diverso da 1, si chiama funzione logaritmo di base a, la funzione reale f cosรฌ definita

๐‘“ ๐‘ฅ = log๐‘Ž ๐‘ฅ , โˆ€๐‘ฅ โˆˆ 0; +โˆž

Si tratta di una funzione che ha come insieme di definizione 0; +โˆž e come codominio R, strettamente crescente se ๐‘Ž > 1, strettamente decrescente se 0 < ๐‘Ž < 1

(33)
(34)

Le funzioni esponenziale e logaritmo

come funzioni inverse

(35)

DEFINIZIONE

Funzioni periodiche

ESEMPIO

y = sen (x) รจ periodica di periodo 2ฯ€ perchรฉ sen (x) = sen (x + 2k ฯ€). y = tg (x) รจ periodica di periodo ฯ€ perchรฉ tg (x) = tg (x + k ฯ€).

Funzione periodica

Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T, con T > 0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha:

(36)
(37)

Le funzioni inverse trigonometriche

La funzione arcoseno La funzione arcocoseno La funzione arcotangente La funzione arcocotangente

(38)

Le funzioni iperboliche

Le funzioni iperboliche costituiscono una famiglia di funzioni speciali dotate di alcune proprietร  analoghe a corrispondenti proprietร  delle ordinarie funzioni trigonometriche.

Data una iperbole equilatera unitaria, quindi con ๐‘Ž = ๐‘ = 1, centrata con gli assi sugli assi coordinati e dato un angolo ฮฑ , consideriamo il settore iperbolico di area ฮฑ/2 : questo determina un punto P come intersezione con l'iperbole; definiamo quindi seno iperbolico ๐‘ ๐‘–๐‘›โ„Ž l'ordinata del punto P e coseno iperbolico ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž l'ascissa del punto P.

(39)

Funzioni iperboliche ed esponenziali

รˆ

possibile

legare

le

funzioni

iperboliche

alla

(40)
(41)

Le funzioni iperboliche

Cosรฌ come al variare della variabile reale t i punti ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ก, ๐‘ ๐‘–๐‘›๐‘ก definiscono la circonferenza ๐‘ฅ2 + ๐‘ฆ2 = 1 , analogamente i punti ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž๐‘ก, ๐‘ ๐‘–๐‘›โ„Ž๐‘ก definiscono l'iperbole equilatera ๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฆ2 = 1 .

Questa รจ una conseguenza dell'identitร : ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž๐‘ก 2 โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘›โ„Ž๐‘ก 2 = 1

derivabile dalle definizioni mediante funzioni esponenziali con manipolazioni algebriche elementari.

Al contrario delle corrispondenti funzioni trigonometriche, le funzioni iperboliche non sono periodiche.

L'argomento t delle funzioni seno e coseno che definiscono la circonferenza puรฒ essere interpretato naturalmente come un angolo; lโ€™ argomento t delle funzioni iperboliche rappresenta invece due volte l'area del settore compreso tra il segmento che collega l'origine con il punto ๐‘๐‘œ๐‘ โ„Ž๐‘ก, ๐‘ ๐‘–๐‘›โ„Ž๐‘ก su un ramo dell'iperbole equilatera, l'arco di tale iperbole che dal punto si conclude nel punto (1;0) sull'asse x e il segmento sull'asse x da questo punto all'origine.

Le funzioni iperboliche soddisfano molte identitร , simili a corrispondenti identitร  trigonometriche.

(42)

Le funzioni composte

Date le due funzioni e

, con o y = g (f (x))

indichiamo la funzione, detta funzione composta, da A a C che si ottiene

associando a ogni x di A lโ€™immagine

mediante g dellโ€™immagine di x mediante f.

Le funzioni composte

ESEMPIO Consideriamo: ๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ2, ๐‘” ๐‘ฅ = ๐‘ฅ + 1 Otteniamo: ๐‘” โˆ˜ ๐‘“ = ๐‘” ๐‘“ ๐‘ฅ = ๐‘” ๐‘ฅ2 = ๐‘ฅ2 + 1 ๐‘“ โˆ˜ ๐‘” = ๐‘“ ๐‘” ๐‘ฅ = ๐‘“ ๐‘ฅ + 1 = ๐‘ฅ + 1 2 La composizione NON รจ commutativa

(43)

Grafici ottenibili mediante

trasformazioni geometriche

Traslazioni

(44)

Grafico di una funzione e della funzione traslata secondo il vettore ๐‘ฃ = (๐‘Ž; ๐‘) .

La traslazione e il grafico di una

funzione

ESEMPIO

Data la funzione y = 4x2

trasliamo il suo grafico secondo il vettore .

quindi

(45)

Simmetria rispetto allโ€™asse y = x Simmetria rispetto allโ€™asse x = a

Le simmetrie

Simmetria rispetto allโ€™asse y = b

(46)

Simmetria rispetto allโ€™asse y = 0 Simmetria rispetto allโ€™asse x = 0

Le simmetrie

Simmetria centrale

(47)

Simmetrie

(48)

La dilatazione

Una dilatazione รจ una trasformazione non isometrica di equazioni con m, n . ๏ƒฎ ๏ƒญ ๏ƒฌ ๏€ฝ ๏€ฝ ny y mx x ' ' Data la funzione y = f (x) , la funzione f ' il cui grafico รจ il corrispondente di f mediante la dilatazione รจ . ESEMPIO n = 1, m = 2 ESEMPIO m = 1, n = 2

(49)
(50)

Calcolo del periodo delle funzioni

Definizione

Siano: f una funzione reale definita nel sottoinsieme X di R, T un

numero reale positivo. La funzione f si dice periodica in X, di periodo T

se X soddisfa la seguente proprietร :

๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ‡’ ๐‘ฅ ยฑ ๐‘‡ โˆˆ ๐‘‹

e per f vale lโ€™uguaglianza

๐‘“ ๐‘ฅ ยฑ ๐‘‡ = ๐‘“ ๐‘ฅ , โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹

Proposizione

Se la funzione ๐‘“: ๐‘‹ โŠ† ๐‘… โ†’ ๐‘… รจ periodica in X di periodo T, allora

lโ€™insieme X gode della proprietร  (piรน forte della precedente):

๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ‡’ ๐‘ฅ + ๐‘˜๐‘‡ โˆˆ ๐‘‹, โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘

e la funzione f soddisfa lโ€™uguaglianza

๐‘“ ๐‘ฅ ยฑ ๐‘˜๐‘‡ = ๐‘“ ๐‘ฅ , โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ ๐‘’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘

Il periodo delle funzioni ๐‘ฆ = ๐‘ ๐‘–๐‘›๐‘ฅ e ๐‘ฆ = ๐‘๐‘œ๐‘ ๐‘ฅ รจ 2๐œ‹; il periodo delle funzioni ๐‘ฆ = ๐‘ก๐‘”๐‘ฅ e ๐‘ฆ = ๐‘๐‘œ๐‘ก๐‘”๐‘ฅ รจ ๐œ‹

(51)

๐‘ฆ = ๐‘“1 ๐‘ฅ + ๐‘“2 ๐‘ฅ Se ๐‘ป๐Ÿ = ๐‘ป๐Ÿ โ‡’ ๐‘ป = ๐‘ป๐Ÿ = ๐‘ป๐Ÿ Se ๐‘ป๐Ÿ โ‰  ๐‘ป๐Ÿ โ‡’ ๐‘ป = ๐’Ž. ๐’„. ๐’Ž ( ๐‘ป๐Ÿ, ๐‘ป๐Ÿ) ๐‘ฆ = ๐‘“1 ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘“2 ๐‘ฅ Se ๐‘ป๐Ÿ = ๐‘ป๐Ÿ โ‡’ ๐‘ป = ๐‘ป๐Ÿ ๐Ÿ = ๐‘ป๐Ÿ ๐Ÿ Se ๐‘ป๐Ÿ โ‰  ๐‘ป๐Ÿ โ‡’ ๐‘ป = ๐’Ž. ๐’„. ๐’Ž ( ๐‘ป๐Ÿ, ๐‘ป๐Ÿ) ๐‘ฆ = ๐‘“1 ๐‘ฅ ๐‘“2 ๐‘ฅ Se ๐‘ป๐Ÿ = ๐‘ป๐Ÿ โ‡’ ๐‘ป = ๐‘ป๐Ÿ ๐Ÿ = ๐‘ป๐Ÿ ๐Ÿ Se ๐‘ป๐Ÿ โ‰  ๐‘ป๐Ÿ โ‡’ ๐‘ป = ๐’Ž. ๐’„. ๐’Ž ( ๐‘ป๐Ÿ, ๐‘ป๐Ÿ) ๐‘ฆ = ๐‘“ ๐‘˜๐‘ฅ ๐‘ป ๐’Œ ๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘ฅ) ๐‘ป

๐Ÿ per seno e coseno

๐‘ป per tangente e cotangente

๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘ฅ) 2๐‘› ๐‘ป

๐Ÿ per seno e coseno

๐‘ป per tangente e cotangente

๐‘ฆ = ๐‘“(๐‘ฅ) 2๐‘›+1 T

๐‘ฆ = ๐‘› ๐‘“(๐‘ฅ) T

(52)

Osservazione

Quando i due periodi presentano una forma frazionaria e sono

diversi tra loro, per calcolare il m.c.m. basta esprimere

entrambi i periodi mediante frazioni di uguale denominatore e

calcolare il m.c.m. dei numeratori e dividerlo per i

denominatori

Esempio

Si calcoli il periodo della funzione ๐‘ฆ = ๐‘ ๐‘–๐‘›

2

๐‘ฅ โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ 3๐‘ฅ

๐‘‡ = ๐‘š. ๐‘. ๐‘š. 2๐œ‹;

2

3

๐œ‹ = ๐‘š. ๐‘. ๐‘š.

2๐œ‹

2

;

2

3

๐œ‹

= ๐‘š. ๐‘. ๐‘š.

3

3

๐œ‹;

2

3

๐œ‹ =

6

3

๐œ‹ = 2๐œ‹

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