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21 Il calcolo dei limiti - La forma indeterminata di..>

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Academic year: 2021

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4. La forma indeterminata +

­

Abbiamo visto che il teorema della somma non è applicabile nel caso in cui il risultato di un limite si presenti nella forma di una differenza di tendenze all’infinito, differenza che sinteticamente si scrive �� � � . I due comportamenti non si elidono a vicenda, come un’ingenua (ed abusiva) applicazione delle regole dell’algebra elementare sembrerebbe suggerire, perché la scrittura � è un simbolo che esprime soltanto grossolanamente il comportamento delle funzioni in esame, nascondendo il dettaglio della velocità con la quale avviene la crescita della y al crescere della x . La scrittura �� � �

cela dietro sé il reale andamento delle funzioni, e può dar luogo a comportamenti anche molto differenti fra loro. Si consideri il limite seguente:

2

lim

x��� xx � �� � �

è facile realizzare che il risultato non è zero osservando i grafici delle due curve che stiamo sottraendo, yx2 ed y � . Sia la parabola sia la x

bisettrice crescono indefinitamente, ma la parabola è molto più veloce della retta. A causa di questo, la differenza x2�x di cui stiamo calcolando il limite, illustrata in figura dal segmento tratteggiato, ben lungi dall’annullarsi, è destinata a crescere sempre di più a mano a mano che l’ascissa viaggia verso infinito.

Per capire meglio le varie possibilità, consideriamo due funzioni, ( )f x e ( )g x , per le quali risulti:

lim ( )

x���f x � �� x���lim g x( )� ��

Primo esempio: prendiamo il caso:

2 ( ) 2 f xx g x( )� �3x2 risulta evidentemente:

lim ( ) ( ) x��� f xg x � �� � �

tuttavia, in questo particolare caso è facile fare la semplificazione che riconduce ad un limite fondamentale:

2 2 2

lim ( ) ( ) lim 2 3 lim

x��� f x g x x��� x x x��� x

� � � �

� � � ��

Dovremmo a questo punto concludere che �� � � � �� ? La risposta è senz’altro negativa, come si evince dal successivo esempio.

Secondo esempio:

3

( ) 5

f xx g x( )� �3x3

anche ora si ha:

lim ( ) ( )

x��� f xg x � �� � �

ma sostituendo alle funzioni le loro espressioni risulta:

2

(2)

15

3 3 2

lim ( ) ( ) lim 5 3 lim 2

x��� f x g x x��� x x x��� x

� � � �

� � � ��

sembrerebbe che ora la conclusione debba essere �� � � � �� . Non è evidentemente così, come si vede nel seguito.

Terzo esempio:

4

( ) 3

f xx g x( )� �5 3x4 anche ora si ha:

lim ( ) ( )

x��� f xg x � �� � �

ma sostituendo alle funzioni le loro espressioni risulta:

4 4 � �

lim ( ) ( ) lim 3 5 3 lim 5 5

x��� f x g x x��� x x x���

� �

� � � � � �

la conclusione che �� � � �5 appare ancor più paradossale.

Dovremmo ormai essere convinti che quando siamo in presenza del caso �� � � non è possibile concludere nulla circa il risultato del limite e pertanto si dice che siamo in presenza di una forma

indeterminata. Occorrerà trattare di volta in volta le espressioni tramite artifici algebrici che riconducano il

calcolo ad operazioni con i limiti fondamentali. Il caso più semplice che si possa presentare è costituito dai polinomi.

Polinomi di grado n quando x � �

Strategia risolutiva: bisogna raccogliere il termine di grado massimo ed applicare il teorema del prodotto.

Esempio 1 Calcolare:

3 2

lim 4 2 6 x��� xx � risulta:

3 2

lim 4 2 6 6 x��� xx � � �� � � �

e siamo quindi in presenza della forma indeterminata �� � � . Raccogliamo il termine in cui la x figura al massimo grado, cioè 4x3:

3 2

3 2 3

3 3 3

2 6 1 3

lim 4 2 6 lim 4 1 lim 4 1

2 4 4 2 x x x x x x x x x x x x ��� ��� ��� � � � � � � � � � ��� � � �� � � � � � applicando il teorema del prodotto si ha:

� � � �

3 3 1 3 1 3 lim 4 lim 1 1 1 0 0 2 2 x x x x x � � ��� ��� � � � � � � �� � � ��� �� �� �������� �� � � � ��

(3)

Esempio 2 Calcolare:

5 4

lim 2 3 x��� xxx risulta:

5 4

5 4 lim 2 3 2( ) 3( ) x��� xxx � �� � �� � � � �� � � � �

e siamo quindi in presenza della forma indeterminata �� � � . Raccogliamo il termine in cui la x figura al massimo grado, cioè 2x5:

4

5 4 5 5

5 5 4

3 3 1

lim 2 3 lim 2 1 lim 2 1

2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x ��� ��� ��� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � �

applicando il teorema del prodotto si ha:

5 5

4 4

3 1 3 1

lim 2 1 lim 2 lim 1

2 2 2 2 x��� x x x x��� x x��� x x � �� � � � � � � �

� �

� � � �

� �

3 1 1 1 0� 0� � �� � �� � � � � �� � � � �� � �� �� �� �� � Caso generale

Gli esempi sopra consentono di concludere che l’andamento di un polinomio di grado n , quando x � � è governato dal termine di grado massimo. Calcoliamo infatti il limite all’infinito di un generico polinomio:

1 2

1 2 1 0 lim n n n ... n n n x a x a x a x a x a � � � � �� � � � � �

qualunque sia la forma, determinata od indeterminata, si può sempre raccogliere il termine di grado massimo a x ed applicare il teorema del prodotto: n n

1 2

1 1 2 2 1 0 1 2 1 0 lim ... lim 1 ... n n n n n n n n n n n n n n n n x x n n n n a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x � � � � � � � � �� �� � �� � � � � � � � � � � � � � �� �� �

effettuando le semplificazioni si ha:

1 2 1 0 2 1 lim n lim 1 n n ... n n n x x n n n n a a a a a x a x a x a x a x � � � �� �� � �� � � � � � � � � � �� �� � lim n n 1 lim n n x��a x x��a x � � �

E’ quindi possibile saltare i vari passaggi intermedi, come nel caso seguente:

(4)

17

Esempio 3 Calcolare:

4 3 2

lim 3 4 5 2 x��� � xxx � risulta:

4 3 2

4

lim 3 4 5 2 lim 3 3( ) x��� � xxx � �x��� � x � � �� � ��

(5)

���������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������

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