21 Il calcolo dei limiti - La forma indeterminata di..>

(1)

4. La forma indeterminata +

∞

Abbiamo visto che il teorema della somma non è applicabile nel caso in cui il risultato di un limite si presenti nella forma di una differenza di tendenze all’infinito, differenza che sinteticamente si scrive �� . I due comportamenti non si elidono a vicenda, come un’ingenua (ed abusiva) applicazione delle regole dell’algebra elementare sembrerebbe suggerire, perché la scrittura � è un simbolo che esprime soltanto grossolanamente il comportamento delle funzioni in esame, nascondendo il dettaglio della velocità con la quale avviene la crescita della y al crescere della x . La scrittura �� 

cela dietro sé il reale andamento delle funzioni, e può dar luogo a comportamenti anche molto differenti fra loro. Si consideri il limite seguente:

�

2

�

lim

x�� x �x � ��

è facile realizzare che il risultato non è zero osservando i grafici delle due curve che stiamo sottraendo, y�x2 ed y � . Sia la parabola sia la x

bisettrice crescono indefinitamente, ma la parabola è molto più veloce della retta. A causa di questo, la differenza x2�x di cui stiamo calcolando il limite, illustrata in figura dal segmento tratteggiato, ben lungi dall’annullarsi, è destinata a crescere sempre di più a mano a mano che l’ascissa viaggia verso infinito.

Per capire meglio le varie possibilità, consideriamo due funzioni, ( )f x e ( )g x , per le quali risulti:

lim ( )

x��f x � �� x��lim g x( )� ��

Primo esempio: prendiamo il caso:

2 ( ) 2 f x � x g x( )� �3x2 risulta evidentemente:

�

lim ( ) ( ) x�� f x �g x � ��

tuttavia, in questo particolare caso è facile fare la semplificazione che riconduce ad un limite fondamentale:

�

2 2 2

lim ( ) ( ) lim 2 3 lim

x�� f x g x x�� x x x�� x

� � � �

� � _�_� � _�_�� _�_�� _�_��

Dovremmo a questo punto concludere che �� ? La risposta è senz’altro negativa, come si evince dal successivo esempio.

Secondo esempio:

3

( ) 5

f x � x g x( )� �3x3

anche ora si ha:

�

lim ( ) ( )

x�� f x �g x � ��

ma sostituendo alle funzioni le loro espressioni risulta:

2

(2)

15 �

�

3 3 2

lim ( ) ( ) lim 5 3 lim 2

x�� f x g x x�� x x x�� x

� � � �

� � _�_� � _�_�� _�_� _�_��

sembrerebbe che ora la conclusione debba essere �� . Non è evidentemente così, come si vede nel seguito.

Terzo esempio:

4

( ) 3

f x � x g x( )� �5 3x4 anche ora si ha:

�

lim ( ) ( )

x�� f x �g x � ��

ma sostituendo alle funzioni le loro espressioni risulta:

�

4 4 � �

lim ( ) ( ) lim 3 5 3 lim 5 5

x�� f x g x x�� x x x��

� �

� � _�_� � � _�_��

la conclusione che �� 5 appare ancor più paradossale.

Dovremmo ormai essere convinti che quando siamo in presenza del caso �� non è possibile concludere nulla circa il risultato del limite e pertanto si dice che siamo in presenza di una forma

indeterminata. Occorrerà trattare di volta in volta le espressioni tramite artifici algebrici che riconducano il

calcolo ad operazioni con i limiti fondamentali. Il caso più semplice che si possa presentare è costituito dai polinomi.

Polinomi di grado n quando x � �

Strategia risolutiva: bisogna raccogliere il termine di grado massimo ed applicare il teorema del prodotto.

Esempio 1 Calcolare:

�

3 2

�

lim 4 2 6 x�� x � x � risulta:

�

3 2

�

lim 4 2 6 6 x�� x � x � � ��

e siamo quindi in presenza della forma indeterminata �� . Raccogliamo il termine in cui la x figura al massimo grado, cioè 4x3:

�

3 2

�

3 2 3

3 3 3

2 6 1 3

lim 4 2 6 lim 4 1 lim 4 1

2 4 4 2 x x x x x x x x x x x x �� _� _� _� � � � � � � � �_�_�� _�� _�_� � � _�_�� applicando il teorema del prodotto si ha:

� � � �

�

3 3 1 3 1 3 lim 4 lim 1 1 1 0 0 2 2 x x x x x � � �� _� _� _� � � _�� _�� _�� _��_��_��

(3)

�

5 4

�

lim 2 3 x�� x � x �x risulta:

�

5 4

�

5 4 lim 2 3 2( ) 3( ) x�� x � x �x � ��

e siamo quindi in presenza della forma indeterminata �� . Raccogliamo il termine in cui la x figura al massimo grado, cioè 2x5:

�

4

5 4 5 5

5 5 4

3 3 1

lim 2 3 lim 2 1 lim 2 1

2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x �� _� _� _� � � � � � � � � � _�_� � � _�� _��_� � � _�_� � � � � � �

applicando il teorema del prodotto si ha:

5 5

4 4

3 1 3 1

lim 2 1 lim 2 lim 1

2 ₂ 2 ₂ x�� x x _x x�� x x�� x _x � �_� � _�� _� _� _�_� _� � _� _� _�_� � _� � _� � _� � _� � � � � � �

� �

� � � �

� �

�

3 1 1 1 0� 0� � _�� _� � _� � �� _� � � _�_�� Caso generale

Gli esempi sopra consentono di concludere che l’andamento di un polinomio di grado n , quando x � � è governato dal termine di grado massimo. Calcoliamo infatti il limite all’infinito di un generico polinomio:

�

1 2

�

1 2 1 0 lim n n n ... n n n x a x a x a x a x a � � � � ��

qualunque sia la forma, determinata od indeterminata, si può sempre raccogliere il termine di grado massimo a x ed applicare il teorema del prodotto: n n

�

1 2

�

1 1 2 2 1 0 1 2 1 0 lim ... lim 1 ... n n n n n n n n n n n n n n n n x x _n _n _n _n a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x � � � � � � � � �� _�� _� � � � � � � �_� � � � � � _��

effettuando le semplificazioni si ha:

1 2 1 0 2 1 lim n lim 1 n n ... n n n x x _n _n _n _n a a a a a x a x a x a x a x � � � �� _�� _� � � �_� � � � � � _�� lim _n n 1 lim _n n x��a x x��a x � � �

E’ quindi possibile saltare i vari passaggi intermedi, come nel caso seguente:

(4)

17 �

4 3 2

�

lim 3 4 5 2 x�� x � x � x � risulta:

�

4 3 2

�

4

�

lim 3 4 5 2 lim 3 3( ) x�� x � x � x � �x�� x � � ��

(5)

��

21 Il calcolo dei limiti - La forma indeterminata di..>

4. La forma indeterminata +

∞

­

∞

�

�

�

�

�

�

�

�

15

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

� �

� � � �

� �

�

�

�

�

�

�

17

�

�

�

�

�

�