4. La forma indeterminata +
∞
∞
Abbiamo visto che il teorema della somma non è applicabile nel caso in cui il risultato di un limite si presenti nella forma di una differenza di tendenze all’infinito, differenza che sinteticamente si scrive �� � � . I due comportamenti non si elidono a vicenda, come un’ingenua (ed abusiva) applicazione delle regole dell’algebra elementare sembrerebbe suggerire, perché la scrittura � è un simbolo che esprime soltanto grossolanamente il comportamento delle funzioni in esame, nascondendo il dettaglio della velocità con la quale avviene la crescita della y al crescere della x . La scrittura �� � �
cela dietro sé il reale andamento delle funzioni, e può dar luogo a comportamenti anche molto differenti fra loro. Si consideri il limite seguente:
�
2�
limx��� x �x � �� � �
è facile realizzare che il risultato non è zero osservando i grafici delle due curve che stiamo sottraendo, y�x2 ed y � . Sia la parabola sia la x
bisettrice crescono indefinitamente, ma la parabola è molto più veloce della retta. A causa di questo, la differenza x2�x di cui stiamo calcolando il limite, illustrata in figura dal segmento tratteggiato, ben lungi dall’annullarsi, è destinata a crescere sempre di più a mano a mano che l’ascissa viaggia verso infinito.
Per capire meglio le varie possibilità, consideriamo due funzioni, ( )f x e ( )g x , per le quali risulti:
lim ( )
x���f x � �� x���lim g x( )� ��
Primo esempio: prendiamo il caso:
2 ( ) 2 f x � x g x( )� �3x2 risulta evidentemente:
�
�
lim ( ) ( ) x��� f x �g x � �� � �tuttavia, in questo particolare caso è facile fare la semplificazione che riconduce ad un limite fondamentale:
�
�
2 2 2lim ( ) ( ) lim 2 3 lim
x��� f x g x x��� x x x��� x
� � � �
� � �� � ��� ��� ��� ��
Dovremmo a questo punto concludere che �� � � � �� ? La risposta è senz’altro negativa, come si evince dal successivo esempio.
Secondo esempio:
3
( ) 5
f x � x g x( )� �3x3
anche ora si ha:
�
�
lim ( ) ( )
x��� f x �g x � �� � �
ma sostituendo alle funzioni le loro espressioni risulta:
2
15
�
�
3 3 2lim ( ) ( ) lim 5 3 lim 2
x��� f x g x x��� x x x��� x
� � � �
� � �� � ��� �� ��� ��
sembrerebbe che ora la conclusione debba essere �� � � � �� . Non è evidentemente così, come si vede nel seguito.
Terzo esempio:
4
( ) 3
f x � x g x( )� �5 3x4 anche ora si ha:
�
�
lim ( ) ( )
x��� f x �g x � �� � �
ma sostituendo alle funzioni le loro espressioni risulta:
�
�
4 4 � �lim ( ) ( ) lim 3 5 3 lim 5 5
x��� f x g x x��� x x x���
� �
� � �� � � ��� �
la conclusione che �� � � �5 appare ancor più paradossale.
Dovremmo ormai essere convinti che quando siamo in presenza del caso �� � � non è possibile concludere nulla circa il risultato del limite e pertanto si dice che siamo in presenza di una forma
indeterminata. Occorrerà trattare di volta in volta le espressioni tramite artifici algebrici che riconducano il
calcolo ad operazioni con i limiti fondamentali. Il caso più semplice che si possa presentare è costituito dai polinomi.
Polinomi di grado n quando x � �
Strategia risolutiva: bisogna raccogliere il termine di grado massimo ed applicare il teorema del prodotto.
Esempio 1 Calcolare:
�
3 2�
lim 4 2 6 x��� x � x � risulta:�
3 2�
lim 4 2 6 6 x��� x � x � � �� � � �e siamo quindi in presenza della forma indeterminata �� � � . Raccogliamo il termine in cui la x figura al massimo grado, cioè 4x3:
�
3 2�
3 2 33 3 3
2 6 1 3
lim 4 2 6 lim 4 1 lim 4 1
2 4 4 2 x x x x x x x x x x x x ��� ��� ��� � �� � � � � � � � � � ���� � � ��� ��� � � ��� � applicando il teorema del prodotto si ha:
� � � �
�
�
3 3 1 3 1 3 lim 4 lim 1 1 1 0 0 2 2 x x x x x � � ��� ��� � � � �� � � � � ��� � � ���� �� ��� ���������� �� � � � ��Esempio 2 Calcolare:
�
5 4�
lim 2 3 x��� x � x �x risulta:�
5 4�
5 4 lim 2 3 2( ) 3( ) x��� x � x �x � �� � �� � � � �� � � � �e siamo quindi in presenza della forma indeterminata �� � � . Raccogliamo il termine in cui la x figura al massimo grado, cioè 2x5:
�
�
45 4 5 5
5 5 4
3 3 1
lim 2 3 lim 2 1 lim 2 1
2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x ��� ��� ��� � �� � � � � � � � � � � � �� � � ��� ��� � � �� � � � � � �
applicando il teorema del prodotto si ha:
5 5
4 4
3 1 3 1
lim 2 1 lim 2 lim 1
2 2 2 2 x��� x x x x��� x x��� x x � �� � �� � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � �
� �
� � � �
� �
�
�
3 1 1 1 0� 0� � �� � � � � � �� �� � � ��� �� � � � �� � �� �� �� �� � Caso generaleGli esempi sopra consentono di concludere che l’andamento di un polinomio di grado n , quando x � � è governato dal termine di grado massimo. Calcoliamo infatti il limite all’infinito di un generico polinomio:
�
1 2�
1 2 1 0 lim n n n ... n n n x a x a x a x a x a � � � � �� � � � � �qualunque sia la forma, determinata od indeterminata, si può sempre raccogliere il termine di grado massimo a x ed applicare il teorema del prodotto: n n
�
1 2�
1 1 2 2 1 0 1 2 1 0 lim ... lim 1 ... n n n n n n n n n n n n n n n n x x n n n n a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a x � � � � � � � � �� �� � �� � � � � � � � � �� � � � � � �� �� �� �effettuando le semplificazioni si ha:
1 2 1 0 2 1 lim n lim 1 n n ... n n n x x n n n n a a a a a x a x a x a x a x � � � �� �� � �� � � � � �� � � � � � �� �� �� � lim n n 1 lim n n x��a x x��a x � � �
E’ quindi possibile saltare i vari passaggi intermedi, come nel caso seguente:
17
Esempio 3 Calcolare:�
4 3 2�
lim 3 4 5 2 x��� � x � x � x � risulta:�
4 3 2�
�
4�
lim 3 4 5 2 lim 3 3( ) x��� � x � x � x � �x��� � x � � �� � �����������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������