Leggi qui! “Istruzioni per l’uso” di questi appunti
Questi appunti sono in fase di bozza
Questi appunti sono ancora in una fase di bozza, perci`o pu`o capitare che: un paragrafo sia lasciato a met`a, non sia affatto trattato o sia presente solo il titolo; siano presenti errori tipografici o di calcolo; i numeri dei riferimenti alle figure o agli esercizi non siano corretti. In ogni caso, credo che possano essere di una qualche utilit`a: in attesa di una prossima revisione, cerca di prendere il pi`u che puoi da questi materiali!
Come usare questi appunti
L’approccio seguito in queste “dispense” `e un po’ diverso da quello tipico dei libri tradizionali.
Per quanto riguarda la parte di teoria, sono spesso presenti domande, a cui dovresti cercare di rispondere prima di proseguire nella lettura (anche in modo “personale”: non sempre c’`e una sola risposta giusta!). Per quanto riguarda gli esercizi, a volte, ti verr`a richiesto uno sforzo supplementare: spesso dovrai “costruirti gli esercizi”, dal momento che molti esercizi rimandano ad un archivio finale, dove sono presenti una serie di equazioni, grafici . . . Ad esempio, in una sezione dell’archivio, sono presenti dei grafici di curve sotto i quali sono indicate le rispettive equazioni cartesiane: per svolgere un esercizio di abbinamento grafico-equazione, puoi annotare su un foglio a parte le equazioni, in ordine sparso, e poi, guardando i soli grafici, procedere all’abbinamento.
In questo modo, separando la richiesta dell’esercizio dal singolo esempio su cui “applicare tale richiesta”, si favorisce, credo, una maggiore attenzione sui metodi e sugli obiettivi didattici, piuttosto che sui dettagli numerici specifici di ogni esercizio.
Nota dell’autore
Le lezioni e gli esercizi proposti in questo libro sono il frutto della mia esperienza pluriennale di insegnante nella scuola secondaria. Laddove si `e tratto spunto da altri testi, sono sempre state indicate le fonti originali.
Puoi riutilizzare gli appunti e gli esercizi proposti di seguito, citando questo file e/o il mio blog M@T&FiS (francescomarchi.wordpress.com), dove puoi trovare altri materiali didattici, sia di matematica che di fisica.
Per segnalare uso improprio di materiale coperto da copyright, o per segnalarmi errori, suggerimenti e quant’altro, scrivimi afra.marchi@yahoo.it.
Ringraziamenti
Rivolgo un grazie a tutti i miei alunni ed ex-alunni, per il piacevole tempo trascorso insieme e per gli stimoli che hanno saputo darmi, contribuendo (a volte direttamente, altre indirettamente) alla creazione di appunti sempre pi`u completi.
Versione finale
1
Aspetti analitici
1.1
Calcolo del valore
In riferimento alle funzioni proposte, calcolarne il valore nei punti indicati (prima il valore esatto, ed in seguito uno approssimato), ed in seguito riportare tali punti su di un piano cartesiano.
Esempio:
f (x) = x2sin x+log x; x = e, x = 1
f (e) = esin e2+1 ' 20.46 f (1) = sin 11 ' 1.19
1. f (x) = 2x2+ 3x; x = −1, x = 2, x = 4, x = −2 2. f (x) = x1+cos 2x2−2x+1; x = 0, x = π, x = π/6, x = 3
1.2
Calcolo di espressioni
Sia f (x) = ln x + 2 e g(x) = (4x − 7)2+ sin x. Calcolare le seguenti espressioni:
f (3) + g(−2) (1) f (4 + t) − g(5) (2) f2(4.3) − 5g(−3.6) (3) 1 f (5)+ 2f ( 1 5) (4)
2
L’algebra delle funzioni
2.1
La composizione delle funzioni
2.1.1 Esercizio 1
In riferimento alle funzioni proposte di seguito, riportare l’espressione delle funzioni composte f1◦ f2 e di f2◦ f1, come nel seguente esempio svolto:
Esempio: f1(x) = log x; f2(x) = x3
Tabella 1: Tabella relativa all’esercizio 2 della sezione2.1.
N. espressione Espressione Risultato
1 f (g(x)) 2 g(f (x)) 3 f (g(x) · h(x)) 4 h(g(x) + f (x)) 5 hf (x)g(x)+ h(x) 6 f (g(x) · h(x)) 7 h(f (x)) 8 f (h(x)) 9 f (h(g(x)))
2.1.3 Esercizio 3
Per le seguenti terne di funzioni, calcolare, tra le espressioni numerate nell’esercizio precedente, quelle indicate a fianco:
1. Per la seguente terna: f (x) = x4; g(x) =√5
x3; h(x) = ln x, calcolare le espressioni numero
2. Per la seguente terna: f (x) = sin x; g(x) = arcsin x; h(x) = 7x, calcolare le numero 1, 2, 3, 7, 8, 9
3. Per la seguente terna: f (x) =; g(x) =; h(x) =, calcolare le numero
2.1.4 Esercizio 4
Scomporre la seguente funzione in termini di funzioni elementari: f (x) = x3+ x · cos 3x Le funzioni elementari che la compongono sono:
f1(x) = 3x; f2(x) = cos x; f3(x) = x; f4(x) = x3 In termini di tali funzioni, la f (x) `e esprimibile come:
f (x) = f4(x) + f3(x) · f2(f1(x)) 2.1.5 Esercizio 5
Stessa cosa dell’esercizio precedente, con le seguenti funzioni:
f (x) = x7+ sin x · log x (6) f (x) = x7+ sin log x (7) f (x) = 2 cos log x + e x 4x (8) 2x2+ 3x5
2.2
La funzione inversa
Calcolare, se possibile, l’espressione analitica dell’inversa delle seguenti funzioni: f (x) = x2−2 5 (11) f (x) = log(x2+ 5) (12) f (x) = log x2+ 5 (13) f (x) = log2(x + 5) (14) f (x) = x + log2x (15) f (x) = x + log(x + 5) (16) f (x) =√x − 7 (17) f (x) =√5x − π (18) f (x) =√5x − π (19) f (x) =√5x −√π (20)
