Elementi di Analisi Numerica, Probabilit`a e Statistica,
modulo 2: Elementi di Probabilit`a e Statistica (3 cfu) Probabilit`a e Statistica (6 cfu) Scritto straordinario del 13 novembre 2013.
Nome e Cognome: Esame da 3 6 cfu (barrare la casella interessata)
Problema 1 (tutti)
In una scatola sono contenute delle palline nere e bianche in quantit`a illimitata. Sia p la probabilit`a di estrarre una pallina nera e q = 1 − p la probabilit`a di estrarne una bianca. Si inizia ad estrarre le palline una per volta, senza reinserirle nella scatola, e ci si ferma non appena si hanno due palline di diverso colore tra quelle estratte. Data la v.a. X = “numero di palline estratte”, trovare
Pu`o essere utile sapere che
∞ X n=0 zn = 1 1 − z ∞ X n=0 nzn = z (1 − z)2 ∞ X n=0 n2zn = z z + 1 (1 − z)3
1. 2/30 i valori assunti da X e le probabilit`a associate; 2. 1/30 la funzione caratteristica di X;
3. 3/30 il valor medio e la varianza di X, valutandoli numericamente nel caso in cui p = q = 1/2.
Problema 2 (tutti)
Uno sportello serve i clienti indipendentemente in un tempo aleatorio distribuito in modo esponenziale di parametro λ. Data la v.a. T = “tempo necessario per servire 3 clienti”, determinare
Pu`o essere utile sapere che
Z+∞ 0 xne−zxdx = n! zn+1 <(z) > 0 1. 3/30 la densit`a di probabilit`a di T ; 2. 2/30 la funzione caratteristica di T ; 3. 1/30 P (T < n/λ);
Scheda riassuntiva dei risultati ottenuti
Si ricorda che nella correzione dell’elaborato, si cercheranno e si valuteranno i procedimenti che portano ai risultati riportati in sintesi su questa scheda. Inoltre i procedimenti seguiti nell’elaborato devono essere descritti o
giustificati in modo sintetico, ma chiaro. Problema 1 (tutti)
1. Si tratta di ripetere e riadattare gli argomenti che si usano per la distribuzione geo-metrica. X prende i valori 2, 3, . . . Si consideri l’evento Ek = N1N2· · · NkBk+1
ov-vero le prime k palline sono nere e l’ultima `e bianca. Evidentemente X = k + 1 e P (Ek) = pkq. Si noti come X assuma lo stesso valore in corrispondenza di un altro solo
evento Fk = B1B2· · · BkNk+1, mentre P (Fk) = qkp. Essendo Fk∩ Ek = ∅ segue
P (X = k + 1) = P (Ek∪ Fk) = P (Ek) + P (Fk) = pkq + qkp k = 1, 3, . . .
che risulta normalizzata
∞ X k=1 pkq + qkp = q 1 1 − p− 1 + p 1 1 − q − 1 = . . . = 1
2. Dalla definizione G(t) = E[ei t X] segue
G(t) = ∞ X k=1 ei t (k+1)(pkq + qkp) = pq e2it ∞ X k=0 h ei tpkq + ei tqkpi = . . . = pq e2it 1 1 − eitp+ 1 1 − eitq 3. Dalla definizione E[X] = ∞ X k=1 (k + 1)(pkq + qkp) = . . . = p q + q p+ 1 = 1 − pq qp
dove si `e usato il fatto che p + q = 1 ⇒ p2 + q2 = 1 − 2pq. Analogamente p3 + q3 = (p + q)(p2− pq + q2) = 1 − 3pq.
Allo stesso risultato si giunge calcolando la derivata prima di G valutata nell’origine E[X] ≡ 1
i dG(t)
dt |t=0 Per la varianza occorre valutare
E[X2] = ∞ X k=1 (k + 1)2(pkq + qkp) = . . . = pp + 1 q2 + q q + 1 p2 + 2 p q + 2 q p+ 1 = 2(p 3+ q3) + p q(p2+ q2) + q2p2 q2p2 = . . . = 2 − 5pq − q 2p2 q2p2
da cui
Var[X] = E[X2] − E[X]2 = . . . = 1 − 3pq − 2p
2q2
q2p2
Con p = q = 1/2 si ha E[X] = 3 e Var[X] = 2. Problema 2 (tutti)
1. Detti Ti le v.a. che rappresentano i tempi necessari per servire il cliente i-esimo, la v.a.
T richiesta `e T = T1+ T2+ T3. Viene specificato inoltre che pTi(t) = λ e
−λt con t > 0. Pertanto pT1+T2(z) = Z z 0 λ e−λ(z−w)λ e−λw dw = ... = λ2z e−λz Analogamente pT(z) ≡ pT3+(T1+T2)(z) = Z z 0 λ e−λ(z−w)λ2w e−λw dw = ... = λ3z 2 2 e −λz 2. Dalla definizione G(k) = Z +∞ 0 ei k tλ3t 2 2 e −λt dt = . . . = 1 (1 − ik/λ)3
3. Occorre calcolare la funzione di ripartizione (integrale per parti) F (t) = Z t 0 pT(s)ds = . . . = 1 − e−λt(1 + λt + λ2t2 2 ) quindi P (T < n/λ) ≡ F (n/λ) = 1 − e−n(1 + n + n 2 2 ) 4. Per la moda risolvendo p0T ≡ 0 si trova tmoda = 2/λ.
Per il valor medio e la varianza si pu`o usare lo sviluppo in cumulanti (ricordando che ln(1 − z) = −P n≥1z n/n) ln G(k) = −3 ln 1 − ik λ = 3 ∞ X n=1 1 n (ik)n λn = ∞ X n=1 3 n! nλn (ik)n n! da cui si ricavano i cumulanti Cn = 3(n − 1)!/λn. Pertanto
E[T ] = C1 =
3
λ Var[T ] = C2 = 3 λ2
