Estimation et Test 2004/2005 ESERCIZI – TD1

Estimation et Test 2004/2005

ESERCIZI – TD1

Esercizio 1

La variabile aleatoria X ha legge rappresentata in tabella :

x -2 0 1 5 7

p(x) 0.2 0.1 0.2 0.4 0.1

1. Disegnare il grafico della legge (densita’) della variabile X.

2. Calcolare E(X) e Var(X).

3. Determinare F(x) = P(X≤ x) e disegnarne il grafico.

4. Calcolare : o P(X ≤ 0);

o P(0 ≤ X ≤ 1);

o P(X ≥ 1);

o P(X > 1).

Esercizio 2

La variabile aleatoria Y ha legge rappresentata in tabella :

y -5 -4 -2 1 3 7

p(y) 0.1 0.1 0.1 0.5 0.1 0.1

1. Disegnare il grafico della legge (densità) della variabile Y.

2. Calcolare E(Y) e Var(Y).

3. Determinare F(y) = P(Y≤ y) e disegnarne il grafico.

4. Calcolare : o P(Y ≤ 1);

o P(2 ≤ Y ≤ 7);

o P(Y ≥ 7);

o P(Y > 1).

Esercizio 3

Sia X una variabile aleatoria di legge uniforme su {1,2,...,10}.

1. Scrivere l’espressione della legge di X.

2. Disegnare il grafico della legge (densita’) della variabile X.

3. Calcolare E(X) e Var(X).

4. Determinare F(x) = P(X≤ x) e disegnarne il grafico.

5. Calcolare :

o P(X ≤ 3) o P(2 ≤ X ≤ 7) o P(X ≥ 24)

o P(X>3) o P(4<X<9) o P(X ≤ 9)

Si lancia una volta un dado equilibrato.

Sia X la variabile aleatoria che rappresenta il numero ottenuto 1. Determinare la legge di X.

2. Disegnare il grafico della legge (densita’) della variabile X.

3. Calcolare E(X) e Var(X).

4. Determinare F(x) = P(X≤ x) e disegnarne il grafico.

5. Calcolare :

o P(X ≤ 3) o P(2 ≤ X ≤ 6) o P(X ≥ 2)

o P(X>3) o P(4≤X≤5) o P(X ≤ 9)

Esercizio 5

Siano X e Y variabili aleatorie indipendenti le cui leggi sono riportate nelle tabelle seguenti :

x 1 3 10

p(x) 0.7 0.1 0.2

y -2 -1 1 2

p(y) 0.4 0.2 0.1 0.3

1. Calcolare E(X) e Var(X).

2. Scrivere la legge congiunta di X e Y, cioe’ P(X=x,Y=y) completando la seguente tabella.

X\Y -2 -1 P(x)

3

P(y) 1

Si lanciano due dadi A e B. Il dado A e’ equilibrato mentre il dado B e’

stato truccato in modo che i numeri 3 e 4 escano con probabilita’ p= 0.3 e gli altri con uguale probabilita’.

1. Determinare la legge di X ( risultati del dado A) e Y ( risultati del dado B)

2. Calcolare media e varianza di X e Y.

3. X e Y sono indipendenti ?

4. Scrivere la legge congiunta di X e Y.

5. Calcolare :

o P(X = 2 , Y = 5);

o P(X ≤ 2 , Y = 5);

o P(X ≥ 2 , Y = 5).

Esercizio 7

Sia X una variabile aleatoria binomiale B(4, 0.5).

Calcolare : o P(X=4) o P(X=0) o P(X=2).

Esercizio 8

Una scatola contiene 10 palline bianche e 20 nere. Si estraggono tre palline con rimpiazzo.

1. Indicare la variabile aleatoria che modella il numero di palline nere estratte.

2. Calcolare la probabilita’ di non estrarre palline nere.

3. Calcolare la probabilita’ che fra le tre palline estratte almeno una sia nera.

Esercizio 9

Una Compagnia Aerea ha verificato che di solito il 3% di chi prenota un volo non si presenta alla partenza.

Decide quindi di accettare 80 prenotazioni per un volo con 75 posti.

Supponenedo che ogni passeggero decida se imbarcarsi in modo autonomo ( indipendente ) , calcolare :

1. la probabilita’ che nessuno resti a terra;

2. la probabilita’ che almeno due passeggeri restino a terra;

3. la probabilita’ che cinque passeggeri restino a terra.

Una popolazione e’ costituita da 3 sottopopolazioni A,B e C. A e’ il 10%

del totale, B il 20% e C il restante 70%.

A B C

10% 20% 70%

In ciascuna di queste sottopopolazioni viene rilevata una caratteristica M che e’ presente :

o nel 20% di A;

o nell’8% di B;

o nel 5% di C.

1. Determinare la percentuale di individui della popolazione che presentano la caratteristica M.

2. Dalla popolazione si estraggono n=100 individui.

o quanti individui avranno,in media, la caratteristica M ?

o quanto vale la probabilita’ di trovare non piu’ ( max) cinque individui con la caratteristica M ?

Esercizio 11

Siano X e Y le variabili aleatorie che rappresentano i risultati del lancio di due dadi equilibrati ( X e Y indipendenti).

1. Determinare la legge di X e di Y.

2. Scrivere la legge congiunta di X e Y [P(X=x,Y=y)]

3. Determinare la legge della variabile aleatoria T=X+Y.

Esercizio 12

Utilizzando le tavole della legge Normale (Gaussiana) completare la seguente tabella :

α z α

0.90 0.975 0.995 0.05 0.70 0.95

1.65 -1.96 1 2.33 0

z

P(Z ≤ z α ) = α

P(Z ≥ z α ) = 1 - α

Sia X una variabile aleatoria di legge N (40,9).

Indicare quale trasformazione di X si deve effettuare per ottenere una variabile aleatoria Z~N(0,1) e calcolare :

o P(X ≥ 45) o P(X ≤ 40) o P(X > 45)

o P(X ≤ 45) o P(X ≥ 35) o P(40 < x < 50)

Esercizio 14

Le altezze in centimetri (cm) della popolazione italiana maschile sono distribuite secondo la distribuzione normale N(175,25).

1. Calcolare la probabilita’ che una persona sia piu’ bassa di 175 cm.

2. Calcolare la probabilita’ che una persona sia piu’ alta di 183 cm.

3. Calcolare la probabilita’ che una persona abbia l’altezza compresa fra 165 e 170 cm.

Esercizio 15

I punteggi assegnati ad un esame hanno distribuzione normale con media 13 e varianza 4 . Una persona ha ottenuto un punteggio uguale a 16.

Quanto vale la probabailita’ che un’altra persona abbia preso un punteggio maggiore ?

Esercizio 16

Quanto vale la probabilita’ di ottenere almeno 200 volte Testa (PILE) lanciando 420 volte una moneta equilibrata?

Esercizio 17

Si lancia n=100 volte un dado NON equilibrato la cui legge e’

rappresentata in tabella :

x 1 2 3 4 5 6

p(x) 0.1 0.1 0.4 0.2 0.1 0.1

Calcolare la probabilita’ di :

1. ottenere almeno 30 volte un numero maggiore uguale a 4 . 2. ottenere 20 volte il numero 3.

3. ottenere al piu’ 40 volte un numero pari.

Viene lanciata una moneta equilibrata e si vincono 1000 euro se si ottengono piu’ del 60% di PILE.

La probabilita’ di vincere e’ maggiore se si lancia la moneta 10 volte o 100 volte ?

Ripetere l’esercizio nel caso si vinca se si ottiene : o piu’ del40% di PILE;

o fra il 40% e il 60% di FACE;

o esattamente il 50% di PILE.

Esercizio 19

Una lampadina ha un tempo di vita che segue una legge esponenziale di media 10 giorni. Quando smette di funzionare viene immediatamente sostituita con una uguale.

Calcolare la probabilita’ che 40 lampadine siano sufficienti per un anno.