Lezione 11 corpi rigidi e moti rotatori ing civ amb 2015-2016

Il corpo rigido

Corpo rigido: Insieme di punti materiali sottoposti ad una interazione mutua

tali da mantenerli in posizione fissa l’uno rispetto all’altro

Definisce la posizione del corpo

Definisce l’orientazione rispetto P

₁

In totale 6 parametri per determinare la

posizione nello spazio

6 gradi di libertà

)

,

,

(

)

,

,

(

2 2 2 2 1 1 1 1

z

y

x

P

z

y

x

P

Inoltre:

Corpo rigido discreto o continuo

P₁ P2 m m₂ m₁

Dinamica

Dinamica

Determinazione del CM

Per ogni elementino dV

densità

dV

dm













V

dV

dm

m



V

dV

dV

m

V V



















m







V

Attenzione nel caso più generale:

Se il corpo è omogeneo :

ρ è sempre lo stesso per ogni elementino



x ,

,

y

z









dV

In ogni elementino

dm

Dinamica

Dinamica

Determinazione del CM







i i i CM

m

r

m

r





_

m

dV

r

dm

dm

r

r

_CM







_











Se



= costante









r

dV

V

dV

r

m

r



_CM





1



Come al solito:













z

dV

V

z

dV

y

V

y

dV

x

V

x

_CM

1

;

_CM

1

;

_CM

1

Dinamica

Dinamica

Determinazione del CM

l

m

dl

dm









S

m

dS

dm













x

dx

l

x

_CM

1



Densità lineare

corpi omogenei

Densità superficiale

corpi omogenei

Ad esempio, per un corpo a densità lineare

dl

l

dS

S

Dinamica

Dinamica

Determinazione del CM





x

dx

l

x

_CM

1









_

_



x

dx

l

m

dx

x

dm

dx

x

x

_CM





1







l CM

l

dx

x

l

x

0

2

1

dx

l

dm

In generale

: se un corpo omogeneo è simmetrico rispetto ad un

punto, il CM coincide con il centro di simmetria

x

Infatti

!!!

CM CM CM

Dinamica

Dinamica

Il corpo rigido

Un corpo rigido può traslare:

o ruotare:

o fare un moto di rototraslazione:

Dinamica

Dinamica

Moto di traslazione

Il moto è caratterizzato dalla forza esterna



F



_est



M



a



_CM

Le forze sono applicate al applicate al CM

m₁ m₂ CM F₁ F₂ F1 F₂ F m₁ m₁ m₁ m₂ m₂ m₂ CM CM CM 2

2

1

CM K CM tot

v

M

E

v

M

P













Dalla (1) si determina !

(1)

CM

a



Dinamica

Dinamica

Moto di rototraslazione



F



_est



M



a



_CM

Le forze

NON

sono applicate al applicate al CM, ma il

moto del CM resta uguale

m₁ m₂ CM F₁ F₂ F₁ F₂ F m₁ m₁ m₁ m₂ m₂ m₂ CM CM CM

(1)

Dinamica

Dinamica

Inoltre nel sistema del CM, moto di pura rotazione

CM

Si può determinate la velocità di

rotazione intorno al CM

Moto Rotatorio: Cinetica

Moto Traslatorio

Moto Rotatorio

Traiettoria dello stesso tipo (

circonferenza

) per tutti i punti del corpo

Centro della traiettoria uguale per tutti i punti

Rem: CORPO RIGIDO: Insieme di particelle elementari (dm) pensati come puntiformi Le distanze reciproche tra i vari punti non variano

Asse di rotazione

Fisso

ASSE: Luogo dei punti equidistanti dalle circonferenze

L’angolo



si misura come:

r

S





Verso Antiorario





0

In

RADIANTI

1

rad



57

,

3





rad



180



Ogni traiettoria è circolare: variabile curvilinea S

S

s

Si introduce anche un’accelerazione angolare

2 2 0

dt

d

dt

d

t

lim

t



















 





x



,

v



,

a









,



,





TRASLAZIONE

ROTAZIONE

… ma sono dei vettori ?

1.



e



non sono vettori

(non verificano le leggi di somma vettoriale)

Che legame esiste tra

(v, a)

in un punto e

(, )

del corpo rigido ?

P R Q r 1 giro/min (2/60 sec.) C

Per il punto P 

Per il punto Q 

s

R

v

_P

60

2







s

r

v

_Q

60

2







Q

P

v

v

 



Siccome per traiettorie circolari

 

t

r

 

t

S







Vale

 

r

 

t

dt

d

r

dt

dS

t

v















e di conseguenza









_

_



_

_

_



r

dt

d

r

dt

r

d

a

MODULO ! MODULO !

ATTENZIONE !!

Ricordiamo che dal Moto Circolare Uniforme

r

a

_r





2



Centripeta

C A T

a



r

a



a



v



r T

a

a

a











r

a

_T







Diretta come

v



_(tang.)

Energia Cinetica

Traslazionale

  

_{ }

2 2 2

_:

2

1

t

l

m

mv

v 

P: m

_P

; v

_P

=



r

K

_P

= ½ m

_P

v

2 P

Considerando tutte le particelle

E

_K

= ½ m

₁

v

2 1

+ ½ m

2

v

22

+ ………+ ½ m

N

v

2N

ma per ciascuna

v

_i







r

_i La STESSA !!

   

_{ }

₂ 2

_:

_?

1

?

2

1

t







Rotazionale

   

_?

_

_{m }

 

_l

2

I₁ I₂

I

₁

< I

₂

Massa e Geometria



2 2



2 2 2 2 1 1

...

2

1

_

_

_

_

_



_{N N} K

m

r

m

r

m

r

E

Quindi

Possiamo allora introdurre il

MOMENTO DI INERZIA













dm

r

r

m

I

N

i

i

i

2

1

2

2

2

1

_



 I

E

_K       _{ } 2 2 1 : E M v i traslazion per _K 2 1 2

2

1

_



















 N i i i K

m

r

E

Inerzia di un corpo

a variazione del suo

stato di rotazione

Domanda d’esame !

b

Teorema di Huygens-Stainer

(degli assi paralleli)

2

h

M

I

I

_P



_CM





Massa totale del Corpo

Distanza tra i due assi

Momento di Inerzia per rotazioni rispetto ad un asse passante per P e // a quello passante per il CdM

Momento di Inerzia NOTO per rotazioni rispetto ad un asse passante per per il CdM

h

2

_{= a}

2

_{+ b}

2

_{dm  (x, y)}





_

r

dm

I

_P 2

   



x



a



y



b





dm



_

2 2









_

_

























x

y

dm

a

b

dm

a

x

dm

b

y

dm

I

_P 2 2 2 2

2

2

2 3 4 1 1







r

dm

I

_{CM CM}2 Che equivale ad 2





a

2



b

2





dm





a

2



b

2





dm



M





a

2



b

2





M



h

2 3 e 4 Ricordiamo che







M

dm

x

x

_CM dunque



x



dm



Mx

_CM

Siccome il CdM ≡ Origine (asse di rotazione)

x

_CM



0



x



dm



0









0

y

dm

0

y

_CM

2

h

M

I

I

_P



_CM





2 2 2

y

x

r

_CM





x y

O

r

F F4

F₅

Inoltre: se applico F₄ o F₅ (parallele al piano della porta) la porta non si muove.

Cause del moto rotatorio sono

1)Forza

2)Dove è applicata

3)Direzione di applicazione

Asse di rotazione Vista dall’alto

 F₁ alla maniglia basta una Forza piccola

F₂ vicino ai cardini serve una forza maggiore di F₁ F₃ se spingo sui cardini (asse di rotazione) la porta non si muove qualunque sia F₃

r

F 



_



Si può anche scrivere che

in modulo:

II° Legge di Newton per il Moto Rotatorio

Domanda d’esame











I

Risultante Dei Momenti Momento di Inerzia accelerazione angolare

a

m

F







accelerazione Opposizione alla variazione dello stato di moto traslazionale

r

F 



_



Sappiamo che: Dalla 2° Legge di newton

F

_



m



a

_

e nella cinematica rotazionale valeva:

a

_







r

( qui vuol dire tangente

alla traiettoria) Dunque





F

_



r



m









r





r



mr

2





I

Se ci sono

più forze





i







F

i



r

i









m

i

r

i









I





2

Corpo rigido





i







r



dm









I





2

Lavoro-Energia nella dinamica rotazionale

Sappiamo che:

E

m

v

m

v

L

in fin K









2 2

2

1

2

1

per ciascun punto di un CORPO RIGIDO in rotazione







F

dx

L





F 



r

Ma ora vale:

v

r

m

del

corpo

rigido

i i

i









Sostituendo ed integrando su tutto il Corpo Rigido

L

dx

F

I

I

E

_{K Tot}





_f





_i









_ 2 2

_

2

1

2

1

_

_

I

_f

= I

_i No deformazioni

No perdita di massa Caso 1-dimensionale

F

_

F

ds è  al vettore r

ds = r d in modulo







d

d

r

F

s

d

F

dL











_









Quindi

L









d





[ se  = costante ]





i f













E infine ricordando che

dt

dL

P 

Abbiamo che

























dt

d

dt

d

P