Cosmologia in Modelli Mirror Twin Higgs.

Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

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Corso di Laurea Magistrale in

FISICA

Elaborato Tesi:

Cosmologia in Modelli Mirror Twin Higgs.

Relatori Candidato

Dott. Dario Buttazzo Giuseppe Marseglia

Prof. Enore Guadagnini

Indice

1 Modello Standard 5

1.1 Lagrangiana e Spettro dello SM . . . 5

1.1.1 Meccanismo di Higgs e massa di W± _{e Z . . . . 7}

1.1.2 Interazioni dei fermioni con W e Z . . . 8

1.1.3 Massa dei fermioni e matrice CKM . . . 9

1.1.4 Bosone di Higgs . . . 10

1.2 Neutrino e Modello Standard . . . 10

1.3 Naturalezza della scala di Fermi . . . 12

2 Modello Mirror Twin Higgs 13 2.1 Potenziale dell'Higgs . . . 14

2.1.1 Rottura di SU(4) . . . 16

2.2 Rottura della simmetria Z2 . . . 18

2.2.1 Segnali a LHC . . . 20

2.3 Cosmologia con Higgs Portal . . . 22

2.3.1 Disaccoppiamento SM - SM' . . . 22

2.3.2 Numero Eettivo di Neutrini: Nef f. . . 24

3 Modello νMTH 28 3.1 EFT in νMTH e Seesaw . . . 28

3.2 Neutrino Portal . . . 30

3.3 Mν0 e parametri di scala M₁, M₂, M₁₂ . . . 33

4 Cosmologia in νMTH 35 4.1 Neutrino Portal e Cosmologia . . . 36

4.1.1 Disaccoppiamento dei ν0 _{dallo SM . . . 37}

4.1.2 Disaccoppiamento dei ν0 _{dal settore Twin . . . 39}

4.2 Dark Matter e Massa Leptoni Twin . . . 42

4.2.1 Leptoni Twin ν0 , e0 come "Hot Relic" . . . 42

4.2.2 Leptoni Twin ν0_{, e}0 _{come "Cold Relic" . . . 44}

5 Vector Portal e Cosmologia 47

5.1 Fotone Twin . . . 47

5.1.1 Meccanismo di Higgs per γ0 _{. . . 48}

5.1.2 Mixing Cinetico . . . 49

5.2 Annichilazione e0 _{. . . 49}

5.2.1 Decadimento Fotone Twin . . . 52

5.3 Ricerche dirette per il Fotone Twin . . . 54

5.3.1 Esperimento SHiP . . . 55

6 Conclusioni 57

A Materia in Equilibrio Termodinamico 59

B Decadimento Neutrino Twin ν0 ₆₀

C Scattering e0_e¯0 _{−→ γ}0_γ0 ₆₃

D Decadimento γ0 _{−→ `¯` 67}

Introduzione

In questo lavoro si studierà il modello "Mirror Twin Higgs" (MTH), una delle teorie che estende il Modello Standard (SM) risolvendo il problema della na-turalezza della scala di Fermi senza introdurre nuove particelle colorate [1]. In particolare, si studieranno alcune conseguenze del modello per la Cosmologia. Il modello MTH prevede l'aggiunta allo SM di una sua copia identica - det-to setdet-tore Twin o Mirror - che ha lo stesso contenudet-to in particelle e lo stesso gruppo di gauge, SU0(3) × SU_L0(2) × U0(1)Y, dello SM.

Inoltre, nell'ultravioletto è presente una simmetria Z2 che consente lo scambio

di particelle e interazioni tra i due settori. Nel settore dell'Higgs è presente una simmetria globale approssimata SU(4) che è rotta spontaneamente in SU(3). Il bosone di Higgs SM risulta uno pseudo-bosone di Goldstone e la simmetria Z2 del modello MTH permette la cancellazione della correzione quadratica

di-vergente alla massa mh dell'Higgs SM indotta ad 1 loop senza introdurre nuove

particelle colorate. La massa dell'Higgs SM risulta così protetta no ad una scala di energia Λ ∼ 5 − 10 TeV [1].

L'interazione tra i due settori può avvenire attraverso:

• "Higgs Portal" ∼ |H|2_|H0_|2_{, scambio e mixing tra Higgs dei due settori;}

• "Vector Portal" ∼ B0

µνBµν, che descrive il mixing tra i due bosone di

gauge del gruppo U(1)Y ed U0(1)Y.

• "Neutrino Portal" ∼ (L1H1)(L2H2), operatore di dimensione 5 che

de-scrive il mixing tra i neutrini dei due settori.

Al si sotto della scala elettrodebole quando i due bosoni Higgs dei due settori acquistano massa e il mixing indotto dall'Higgs Portal modica dell'accoppia-mento di h con le particelle SM consentendo anche il decadidell'accoppia-mento nei canali Twin che risultano invisibili a LHC.

Se la simmetria Z2 fosse esatta anche nell'infrarosso, si avrebbe mixing

com-pleto tra i due bosoni che porterebbe ad una fenomenologia non osservata. Per soddisfare dunque i vincoli sperimentali, si assume che la simmetria Z2 sia

debolmente rotta. Questo determina una gerarchia tra i vevs dei due settori e 3

LHC ssa il rapporto vEW0/v_EW & 3 con il 95% C.L. [44].

Le particelle Twin risultano dunque più pesanti rispetto alla controparte SM e, sotto la scala del TeV, sono singoletti sotto trasformazioni del gruppo di gau-ge dello SM. L'assenza di nuovi stati colorati a LHC potrebbe essere dunque spiegata proprio con la presenza di questo settore Twin.

Il MTH verrà applicato allo studio della Cosmologia e si analizzerà il contri-buto di queste nuove particelle Twin nella storia termica dell'universo.

Nelle primissime fasi dopo il Big Bang, i due settori erano in equilibrio termo-dinamico attraverso l'"Higgs portal" che ne ha determinato l'equilibrio no ad una temperatura Td ∼ 3 GeV. Al di questa temperatura, i due settori

disac-coppiati si sono evoluti poi indipendentemente.

Al freeze-out, i due settori avranno metà della densità di energia totale e la presenza gradi di libertà ultra-relativistici - neutrini Twin e fotone Twin che risultano residui termici - contribuisce in modo signicativo alla densità di energia della radiazione dell'universo, risultando incompatibile con le misure sul valore di Nef f. eettuate in diversi esperimenti tra le quali misure sulla

radiazione cosmica di fondo (CMB) e sulle abbondanze degli atomi leggeri prodotti durante la "Big Bang Nucleosynthesis" (BBN).

Infatti, con la presenza dei gradi di libertà leggeri Twin si avrebbe∆Nef f.' 5.6

mentre le misure sulla BBN stabiliscono che∆Nef f.' 0.5 − 1 [53] e quelle sulla

CMB ssano un limite più stringente,∆Nef f.. 0.45 (2σ) [25-27].

Per superare questo contrasto, si vedrà come nel modello νMTH - modica minimale del MTH - grazie alla rottura soce della simmetria Z2 nei termini

di massa dei neutrini right-handed, si possono generare neutrini Twin sterili pesanti e tre neutrini SM leggeri attraverso il meccanismo del seesaw.

Nella teoria ecace è presente anche l'operatore di dimensione 5 detto "Neu-trino portal", ∼ (LH)(L0H0) , che descrive il mixing tra i neutrini Twin e SM

e consente ai neutrini Twin interazioni elettrodeboli (EW) sia con il settore Twin che con lo SM. Inoltre renderà possibile il decadimento EW del neutrino Twin in tre fermioni dello SM ed il limite sul valore di ∆Nef f. sarà rispettato

se si impone che il neutrino Twin decada prima dell'inizio della BBN.

Si studierà la loro storia termica analizzandone i processi elettrodeboli - qua-li scattering e annichilazione - che stabiqua-liscono l'equiqua-librio termico e chimico nel bagno termico nonché la loro abbondanza residua dopo il freeze-out. Il disaccoppiamento dei ν0 _{dallo SM è avvenuto prima rispetto al}

disaccoppia-mento dal settore Twin, Td,SM  Td,SM0 ∼ O(10 M eV ) . Proprio il freeze-out

dal settore Twin determinerà l'abbondanza residua dei leptoni Twin leggeri e si determinerà una regione nello spazio dei parametri per massa e mixing che sia compatibile con le misure sui parametri cosmologici, quali ∆Nef f. = 0.3 e

(Ωh2)DM = 0.27 che stabiliscono la quantità di radiazione oscura e di materia

INDICE 5 Si vedrà come per gli elettroni Twin con masse di qualche MeV l'abbondan-za residua sia di molti ordini di grandezl'abbondan-za superiore all'intera DM misurata nell'universo. Per eliminare questo eccesso, sarà necessario introdurre anche il fotone Twin massivo che consente l'esistenza di un processo di annichilazione che elimini l'eccesso di abbondanza di elettroni Twin. In questo modo, la den-sità residua risulterà in accordo con le osservazioni.

Si analizzerà, inoltre, la fenomenologia del fotone Twin massivo, ∼ m2 γ0|A0_µ|2,

attraverso il "Vector Portal", descritto dall'operatore ∼ F0

µνFµν , ed i

princi-pali processi di decadimento in canali SM.

Saranno determinate le regioni nello spazio dei parametri per la massa del fotone Twin e per l'accoppiamento  compatibili con i valori dei parametri co-smologici. Si confronterà inne il modello MTH con le misure dirette eettuate in vari esperimenti e con la sensibilità futura dell'esperimento SHiP al CERN, che prevede di testare gran parte dello spazio dei parametri del fotone Twin. Il lavoro è strutturato cosí: nel capitolo 1 è riassunto brevemente del Modello Standard, nel capitolo 2 si mostrerà il modello MTH e il problema legato alla presenza di fotoni e neutrini Twin leggeri in cosmologia, nel capitolo 3 si ana-lizzerà il modello νMTH in cui si introduce neutrino Twin ν0 _{sterile pesante,}

nel capitolo 4 si studierà la storia termica del neutrino Twin ν0 _{sterile pesante}

ed inne capitolo 5 si introdurrà anche il fotone Twin ed il Vector Portal e si confronterà il modello MTH con gli esperimenti.

Capitolo 1

Modello Standard

In questo capitolo verrà presentato il Modello Standard che descrive ad oggi la sica delle particelle e delle interazioni fondamentali (esclusa la gravità), mostrando i principi di base e le principali predizioni. Verrà inoltre discusso il problema della naturalezza della scala elettrodebole.

1.1 Lagrangiana e Spettro dello SM

Il Modello Standard (SM) riunisce la teoria dei campi delle interazioni forti (QCD) con la teoria di gauge chirale di Glashow-Salam-Weinberg [2, 4, 5] e descrive la fenomenologia di tutte le particelle ad oggi conosciute.

É una teoria di gauge non-abeliana ed il gruppo di simmetria è il gruppo di gauge SU(3) × SU(2)L× U (1)Y il quale è spontaneamente rotto - attraverso

il meccanismo di Higgs [2, 4, 5] - in SU(3) × U(1)e.m..

Lo spettro delle particelle è mostrato nella tabella (1.1), in cui gli indici I = 1, 2, 3denotano i tre avour nello SM mentre ˆj = 1, 2, 3 è l'indice di colore. La lagrangiana1 _{dello SM è:} L_SM = −1 4G ˆ j µνG ˆ jµν ₋1 4F i µνFiµν − 1 4BµνB µν_{+ i}X f ¯ f σµDµf +Dµφ∗iDµφi−V (φi, φ∗i) + (λ`)IJ φiE¯LiIeJR+ (λd)IJ φiQ¯iILdJR+ (λu)IJ ij φ∗iQ¯iILuJR+ h.c. (1.1)

1_{Per ora non si considera la presenza del neutrino right-handed.}

1.1. LAGRANGIANA E SPETTRO DELLO SM 7 Spettro SU (3) SU (2) Y Q Bosoni di Gauge Gˆa=1,...,8 µ 8 1 0 0 Aa=1,2,3 µ 1 3 0 0,±1 Bµ 1 1 0 0 Fermioni di Weyl EiI L =  νI ` `−  L 1 2 −1 2  0 −1  e−I_R 1 1 −1 −1 ν_RI 1 1 0 0 QˆjiI_L = u ˆ_jI dˆjI ! L 3 2 1 6  ₂ 3 −1 3  uˆjI_R 3 1 2₃ 2₃ dˆjI_R 3 1 −1 3 − 1 3 Bosone di Higgs φi = φ + φ0  1 2 1 2  1 0 

Tabella 1.1: Spettro del Modello Standard

dove con f si denotano tutti i fermioni di Weyl2 _{della tabella 1.1 e con derivate}

covarianti Dµ = ∂µ− igsGˆaµTˆa − i 2gA a µσija − ig 0 y(EL)Bµ. (1.2)

Termini di massa per i fermioni nella lagrangiana (1.1) dello SM non sono permessi in quanto violerebbero l'invarianza sotto trasformazioni di gauge chi-rali degli spinori. Si può però inserire un campo scalare complesso φ, singoletto di colore e doppietto di SU(2) con Y = 1/2 denito come

φ =φ + φ0  =φ1+ iφ2 φ3+ iφ4  , (1.3)

che permetta di scrivere il più generale accoppiamento di Yukawa gauge-invariante nella lagrangiana e che sia anche gauge-invariante sotto le trasformazioni chirali dei fermioni. Inoltre si introduce anche un potenziale per i campi φ, φ†

2_{Per le matrici γ}µ _{si utilizza la rappresentazione}

γµ= 0 σ

µ

σµ 0 

che abbia la forma

V = −µ2φ†φ + λ(φ†φ)2 (1.4) invariante sotto traformazioni globali SO(4) in cui µ2ed λ sono parametri reali

di dimensione 2 e 0 rispettivamente. La rottura spontanea di questa simmetria consente di spiegare la massa dei fermioni e dei bosoni vettoriali e che renda il modello consistente. Questo è alla base del meccanismo di Higgs [2, 4, 5].

1.1.1 Meccanismo di Higgs e massa di W

_{e Z}

Si mostrerà ora brevemente l'idea alla base del meccanismo di Higgs come le particelle acquistano massa e quali siano le interazioni del bosone di Higgs con i bosoni vettoriali ed i fermioni. Dato il potenziale in eq.(1.4), se µ2 è positivo

allora avrà minimo in

φ†φ = µ

2

2λ ≡ v

2_,

con φ†_{φ = φ}2

1 + φ22 + φ23 + φ24. Il potenziale è invariante sotto

trasformazio-ni globali SO(4) di cui il gruppo di gauge SU(2) × U(1) è un sottogruppo. Parametrizzando il doppietto φ in φ(x) = eiπi(x)σi/v 0 v + h(x)√ 2 ! , (1.5)

in cui σi sono i 3 generatori del gruppo SU(2) e scegliendo la congurazione

in cui il campo è uno sviluppo nell'intorno del suo valore d'aspettazione sul vuoto (vev),

hφi =0 v



, (1.6)

il minimo del potenziale non è più invariante sotto trasformazioni di gauge, mentre la lagrangiana lo è. Questo porta alla rottura spontanea della simmetria

SU (2)L× U (1)Y → U (1)em

ed 3 bosoni di Goldstone πi possono essere identicati con i gradi di libertà

longitudinale dei bosoni W+_{, W}− _{e Z, mentre l'unico generatore non rotto}

è Q = T3 + Y. Dunque, esiste un solo bosone vettoriale a massa nulla, il

fotone. Inserendo (1.6) nel termine cinetico covariante della (1.1), si ottengono i termini di massa per i bosoni vettoriali

Lm = 1 2 v2 2 g 2_(W1 µ)2+ g2(Wµ2)2+ (−gWµ3+ g 0 Bµ)2 , (1.7)

1.1. LAGRANGIANA E SPETTRO DELLO SM 9 dove Wi

µ ed Bµ sono i bosoni di gauge del gruppo SU(2) ed U(1)

rispetti-vamente, con g e g0 _{i rispettivi accoppiamenti. Denendo i bosoni vettoriali}

carichi W_µ±≡ √1 2(W 1 µ ± W 2 µ), la massa risulterà mW = gv/ √ 2. (1.8)

La costante di Fermi per i processi elettrodeboli (EW) è denita come

G−1_F = 8m2_W/√2g2 = 2√2v2. (1.9) La scala di Fermi v ' 246 GeV è la scala di energia in cui avviene la rottura elettrodebole. Analogamente, il bosone neutro

Zµ= cos θWWµ3− sin θWBµ (1.10)

acquista una massa

mZ =

r

g2 _{+ g}02

2 v, (1.11)

mentre il fotone, denito come Aµ = sin θWWµ3 + cos θWBµ, risulta a massa

nulla. L'angolo di Weinberg θW = arctan(g0/g) determina il mixing tra Bµ ed

W3

µ. Una predizione importante dello SM è il rapporto tra le masse dei bosoni

vettoriali _m

W

mZcos θW

≡ ρ = 1, (1.12)

osservata al CERN nel 1979. Le masse dei bosoni sono mW ' 80 GeV ed

mZ ' 91 GeV.

1.1.2 Interazioni dei fermioni con W e Z

L'accoppiamento dei fermioni con i bosoni vettoriali deriva dalla derivata co-variante (1.2). Denendo ˆDµ = ∂µ− igsGaµˆTˆa con ˆa = 1, . . . , 8 ed inserendo i

bosoni W e Z si ottiene Dµ= ˆDµ − i √ 2g W + µσ + + W_µ−σ−
− ig cos θW Z_µ0 1 2σ 3 _{− sin}2 θWQ  − ieAµQ

Esiste una relazione che collega le costanti g e g0 _{con l'accoppiamento}

elettro-magnetico e. Tale relazione è e = gg

0

pg2_{+ g}02 = g sin θW = g 0

L'accoppiamento dei fermioni a W e Z è iX f ¯ f σµDµf = i X f ¯ f σµDˆµf + g Wµ+J −µ W + W − µJ +µ W + Z 0 µJ µ Z
+ eAµJe.m.µ

in cui le correnti cariche sono J_W−µ+ = 1 √ 2ν I Lσ µ_eI L+ u I Lσ µ_dI L  e J_W+µ− = J −µ W+
† , (1.14) mentre la corrente neutra associata allo Z è:

J_Zµ= 1 cos θW  1 2ν¯ I LσµνLI −  1 2 − sin 2 θW  ¯ `ILσµ`IL+ sin 2 θW`¯IRσµ`IR− 2 3sin 2 θWu¯IRσµuIR+ + 1 2− 2 3sin 2_θ W  ¯ uI_LσµuI_L+  −1 2 + 1 3sin 2_θ W  ¯ dI_LσµdI_L+ 1 3sin 2_θ W  ¯ dI_RσµdI_R  (1.15) La corrente elettromagnetica è J_e.m.µ = −¯eI_DγµeI_D +2 3u¯ I Dγ µ uI_D− 1 3 ¯ dI_DγµdI_D (1.16) in cui con eI

D, uID, dID si denotano i fermioni di Dirac.

1.1.3 Massa dei fermioni e matrice CKM

La rottura spontanea SU(2) × U(1)Y → U (1)e.m. oltre a generare le masse dei

bosoni W±

µ, Zµ0, genera anche le masse di tutti i fermioni dello SM.

Analoga-mente a quanto già visto in precedenza, inserendo la congurazione (1.6) nel termine d'interazione Yukawa della (1.1) si ottengono i termini di massa dei fermioni Lm = (me)IJe¯ILe J R+ (mu)IJu¯ILu J R+ (md)IJd¯ILd J R (1.17) dove (me)IJ = v √ 2(ye)IJ, (mu)IJ = v √ 2(yu)IJ, (md)IJ = v √ 2(yd)IJ. (1.18) Nel settore dei quark, in generale la matrice di massa può non essere diagonale. Andando nella base degli autovalori di massa detta anche base sica -attraverso le trasformazioni ¯ uI_L = ¯u0J LS †JI u d I L= T J I d d 0J L (1.19)

dove Su, Td sono matrici unitarie. La corrente carica dopo il cambiamento di

base risulta ora

J_W−µ = √1 2u¯ I Lσ µ dJ_L−→ √1 2V ¯u I Lσ µ dJ_L

1.2. NEUTRINO E MODELLO STANDARD 11 con VIJ _{= S}†IK

u TdKJ detta matrice CKM. Le rotazioni degli spinori (1.19) in

generale modicano la matrice CKM eccetto per una trasformazione globa-le globa-legata alla conservazione del numero barionico. La matrice V ha dunque tre angoli di rotazione sono stati misurati ad esempio nei decadimenti semi-leptonici dei quark, ed una fase che parametrizza la violazione CP osservata ad esempio nel mixing K0_{− ¯K}0_.

1.1.4 Bosone di Higgs

Lo SM fa anche una predizione sulla massa del bosone di Higgs. Inserendo la parametrizzazione (1.5) nell'eq.(1.4), il potenziale per il campo di Higgs dopo la rottura spontanea risulta

V = 1 2m 2 hh 2 (x) + r λ 2mhh 3 (x) + λ 4h 4 (x). (1.20)

Il bosone h acquista massa mh =

√

2µ = 2√λv e le misure eettuate al LHC [6, 7] stabiliscono che mh ' 125 GeV. Gli accoppiamenti del bosone di Higgs

con i bosoni vettoriali Lh−V =  m2_WW_µ+W−µ+ 1 2m 2 ZZµZµ   1 + √1 2vh 2 (1.21) e gli accoppiamenti con i fermioni carichi

Lh−f = − X f mffDfD  1 + √1 2vh  . (1.22)

1.2 Neutrino e Modello Standard

Lo SM non descrive la massa dei neutrini. Una loro descrizione è fondamen-tale in quanto anche le osservazioni sulle oscillazioni del avour dei neutrini [8] stabiliscono che la massa mν 6= 0. La via più semplice per descrivere la

massa dei neutrini è quella di inserire nella lagrangiana (1.1) anche il neutrino right-handed3 _{N per ogni avour [5]. Gli extra-termini rinormalizzabili che si}

possono includere sono

Lν,SM = LSM + ¯NI 6 ∂NI −  (λν)IJ ij φ∗iE¯_LjINJ + 1 2 ¯ NIMIJN + h.c.  (1.23)

3_{Si utilizza la notazione N molto comune invece di ν} R.

Quando il campo φ ha la congurazione (1.6), il termine di massa per il neutrino è una matrice 6 × 6 in forma

L(ν−mass)= −1 2(ν T L N T )  0 λν v (λν)Tv M   νL N  . (1.24) Ci sono due casi limite per la massa dei neutrini

• 3 neutrini di Dirac

É il caso in cui il termine di massa - ∼ 1 2N

T_{M N} - del neutrino

right-handed è posto a zero. Questo ristabilisce la conservazione del numero leptonico ed i neutrini sono descritti attraverso spinori di Dirac.

• 3 neutrini di Majorana leggeri

In generale la matrice di massa dei neutrini (1.24) a 6 autovalori diversi a 2 a 2 uguali tra loro ed ottenendo 3 avour come nel caso di spinori di Dirac. Però se M è nel caso limite in cui M  (λν) v, allora la matrice

(1.24) determina due blocchi di neutrino così che L(ν−mass)_≈ v2 2 ν T L(λν) 1 M (λν) T_ν L− 1 2N T_{M N + h.c. (1.25)}

Si avranno dunque 3 neutrini leggeri con massa mν ' (vλ)2/M  1e 3

neutrini pesanti N con massa mN ' M. La presenza di neutrini leggeri

con massa mν ' 0 sarebbe dunque spiegata dalla presenza del termine

M e non al valore piccolo del accoppiamento Yukawa λν ∼ 10−15. Infatti

mν ≈ 0.1 eV  v λν GeV 2 1010_GeV M . (1.26)

Questo è il meccanismo del seesaw. In questo caso il numero leptonico è violato e la possibile presenza del neutrino N potrebbe essere vista in esprimenti che non-conservano il numero leptonico [2, 4, 5].

1.3. NATURALEZZA DELLA SCALA DI FERMI 13

1.3 Naturalezza della scala di Fermi

Il Modello Standard, descritto n ora, è una teoria rinormalizzabile e spesso viene interpretata come una teoria eettiva la cui scala v ∼ G−1/2_F è molto al

di sotto rispetto alla scala ΛN P oltre la quale si suppone ci sia una teoria più

completa. Il bosone di Higgs ha massamh = 2

√

λv  ΛN P e dunque ci si chiede

cosa determini un bosone relativamente leggero rispetto alla scalaΛN P. Questa

è il cosiddetto Problema della naturalezza della scala di Fermi [5]. La massa di h risente dei contributi quantistici indotti dai loop delle altre particelle dello SM, no alla scala di energia (cut-o)ΛN P. Il contributo dovuto alle correzioni

ad 1 loop al potenziale eettivo dell'Higgs è ∆V (h) = 1 2 Z _d4_p (2π)4T r(−1) 2S log p2+ M2(h)

, (1.27) dove S è lo spin delle particelle che entrano nel loop. Integrando no al cut-o

p2 < Λ2 e nel limite Λ → ∞, il contributo al parametro µ2 in (1.4) è

−δµ2h2

2 = Λ2

32π2T r(−1)

2S_M2_{(h) (1.28)}

e considerando per i fermioni solo il contributo del quark top t, le correzioni alla massa dell'Higgs sono

δm2_h = 2δµ2 = 3Λ 2 16π2_v2(4m 2 t − 2m 2 W − m 2 Z − m 2 h). (1.29)

Si denisce dunqueΛnat. la scala alla quale è necessario eliminare il contributo

ad 1 loop dominante per evitare che il valore della massa dell'Higgs sia più grande del valore sico misurato,

mh ' 125 GeV. Il principale contributo deriva dal loop con il quark top t

Λnat.< 2π √ 3 v mt mh √ ∆ ≈ 657 GeV  mh 125 GeV √ ∆, (1.30)

dove 1/∆ è la percentuale di cancellazione che potrebbe avvenire tra il con-tributo del top dato dalla (1.29) ed il valore della massa quadra del bosone di Higgs. Più grande è ∆, maggiore sarà la dicoltà nel trovare una spiegazione alla leggerezza della massa dell'Higgs.

Capitolo 2

Modello Mirror Twin Higgs

Diversi modelli provano a risolvere il problema della naturalezza della massa del Higgs ipotizzando l'esistenza di partners del top vicino alla scala elettrodebole. Alcuni realizzazioni di questo tipo sono le Teorie Supersimmetriche [48, 49, 61] o modelli di Higgs Composto [50, 60], in cui si prevede un top partner colorato che dovrebbe essere rilevato a LHC ad alte energie. L'assenza di evidenza di tali particelle ha portato un sempre maggiore interesse nello studio di nuovi modelli in cui il partner del top non fosse colorato, dando così una spiegazione alla non-osservazioni di nuovi stati colorati a LHC.

Uno di questi modelli è il modello Mirror Twin Higgs (MTH) [1]. Il modello prevede l'esistenza di un settore Twin o Mirror, che sia una copia dello SM e che abbia un uguale contenuto in particelle e stesso gruppo di gauge dello SM,

G0 = SU0(3) × SU_L0(2) × U0(1).

Nell'ultra-violetto è presente una simmetria Z2che consente l'interscambio

del-le interazioni e deldel-le particeldel-le tra lo SM e del-le proprie controparti del settore Twin. Nel settore del Higgs è presente una simmetria globale approssimata SU (4), rotta spontaneamente in SU(3). Il bosone di Higgs SM risulta uno pseudo-bosone di Goldstone e la presenza di queste particelle Twin e della simmetria Z2 protegge la massa del Higgs dalle correzioni quantistiche

diver-genti indotte ad 1 loop [9] no a scale dell'ordine Λ ∼ 5 − 10 TeV.

Questa simmetria Z2 è stata analizzata molto in letteratura [10, 11] tuttavia

il MTH prevede anche che questa simmetria non sia esatta ma che ci sia una rottura soce che consenta al vev Twin f di essere un fattore più grande del vev v dello SM. In tal modo, le particelle Twin risultano più pesanti delle rispettive controparti SM e tutte le particelle Twin con massa sotto il TeV risultano singoletti sotto trasformazioni del gruppo di gauge dello SM.

La rottura della simmetria Z2 porta ad una modica negli accoppiamenti del

bosone di Higgs hSM con lo SM e determina, inoltre, il decadimento nei canali

2.1. POTENZIALE DELL'HIGGS 15 Twin invisibili a LHC [12, 13].

Nel MTH, il settore del Higgs ha una simmetria globale SU(4) approssimata [1] in cui - dopo la rottura spontanea EW - l'Higgs hSM è considerato come uno

pseudo-bosone di Nambu-Goldstone la cui massa non risente delle correzioni quadratiche divergenti. La lagrangiana del modello MTH è

LM T H = LSM + LSM0 + 1 2  cos θW BµνB_µν0 + 2λ00(H†H)(H0†H0). (2.1) L'interazione tra i due settori può avvenire attraverso i portali

• Higgs Portal ∼ λ(H†_H)(H0_†

H0), che descrive il mixing tra H ed H0, i due doppietti SU(2) dello SM e del settore Twin rispettivamente. Il mixing determina 2 autostati non-degeneri, h, h0_{, combinazione di H ed H}0_;

• Vector Portal ∼ B0

µνBµν, descrive il mixing tra i due bosoni di gauge

dei due gruppi U(1)Y ed U(1)0Y.

Questi sono i due operatori di dimensione 4 rinormalizzabili e gauge-invarianti che rispettano la simmetria Z2 nel MTH. Il Vector Portal inoltre, induce una

carica elettrica ai leptoni e adroni Twin - non osservata - e dunque si prevede che il coupling  sia molto piccolo [14].

A basse energie, la teoria eettiva del modello MTH presenta anche operatori di dimensione 5. Uno di questi operatori è l'interazione detta Neutrino Portal

L(ν−ν0₎∼

1

Λ(L1H1)(L2H2), (2.2) che descrive il mixing tra i neutrini dei due settori e che verrà discusso nel capitolo 3. Si mostrerà ora il potenziale del Higgs ed il meccanismo di rottura di SU(4) nel MTH. Nella Sez.2.2 sarà discussa la necessità di una rottura della simmetria Z2 e come questo porti l'Higgs h dello SM ad essere più leggero

rispetto alla proprio partner Twin h0 _[15].

Nella Sezione 2.3 si discuteranno i principali problemi del modello nell'ambito cosmologico.

2.1 Potenziale dell'Higgs

Nel modello Twin Higgs, si considera un campo scalare complesso H in rap-presentazione fondamentale che trasforma sotto trasformazioni di simmetria globali SU(4). Il potenziale per questo campo è

con4 _µ2_{, λ > 0e questo porta il campo H ad acquisire vev,}

h|H|i = µ/√2λ ≡ f

che determina la rottura spontanea SU(4) → SU(3). In seguito a questa rottura spontanea di simmetria si hanno 7 bosoni di Goldstone. Al bosone di Higgs dello SM sono associati 4 di questi bosoni di Goldstone e rimarrà a massa nulla in questa fase5_.

Tutto questo può anche essere visto in maniera più esplicita se si considera come sottogruppo di SU(4) il gruppo di gauge SU(2)1× SU (2)2 e denendo il

campo H come H = (H1, H2), dove H1,2 sono le rappresentazioni fondamentali

di SU(2)1,2 rispettivamente, dove con H1 si indica il doppietto relativo allo SM

e con H2 il doppietto del settore Twin. Il potenziale Z2-invariante è

V (H1, H2) = −µ2(|H1|2+ |H2|2) + λ |H1|2+ |H2|2

2

(2.4) Minimizzando rispetto a H1 e analogamente rispetto a H2 si ottiene:

∂V (H1, H2) ∂H1     min = |H1| −2µ2|H1| + 4λ(|H1|2+ |H2|2)
= 0

ed i minimi del potenziale sono

|H1|2+ |H2|2 =

µ2 2λ ≡ f

2_{. (2.5)}

Il contenuto sico in particelle è descritto dalla seguente matrice di massa quadra m2_ij ≡ ∂ 2_{V (H} 1, H2) ∂Hi∂Hj = δij(−2µ2|H1| + 4λ(|H1|2+ |H2|2)) + 8λ|Hi||Hj|, (2.6) ssando hH1i = 0 ed hH2i = f si ottiene m2_ij =0 0 0 4λf2  . (2.7)

Il bosone di Higgs dello SM risulta dunque un bosone di Goldstone a massa nulla mentre quello relativo al settore Twin sarà massivo con m = 2pλf2.

4_{Si useranno qui i parametri µ}2_{, λ, da non confondere con i parametri del settore del}

Higgs nello SM.

5_{Come si vedrà dopo, la rottura esplicita di SU(4) nel potenziale darà massa a h} SM

2.1. POTENZIALE DELL'HIGGS 17 Le correzioni all'ordine leading del potenziale (2.4) indotte dal gauging

SU (2)1× SU (2)2 sono ∆V (H) = 9g 2 1Λ2 64π2 H † 1H1+ 9g2 2Λ2 64π2 H † 2H2, (2.8)

dove g1,2 sono gli accoppiamenti di gauge per SU(2)1,2 rispettivamente e Λ è

la scala di cut-o della teoria. Se si impone la simmetria Z2 tra i due settori,

allora g1 = g2 ≡ g e ∆V (H) rispetta la simmetria accidentale originale SU(4).

I bosoni di Goldstone non acquistano massa dalle correzioni (2.8). La massa dell'Higgs SM risulta così protetta no ad una scala di energia Λ ∼ 5 − 10 TeV [1].

2.1.1 Rottura di SU(4)

La rottura esplicita di SU(4) può avvenire se nel potenziale (2.4) si aggiunge il termine V6SU (4) = δ(|H1|4 + |H2|4) (2.9) ed il potenziale risulta V (H1, H2) = −µ2(|H1|2+ |H2|2) + λ |H1|2+ |H2|2
2 + δ(|H1|4+ |H2|4) (2.10)

Se δ > 0, la rottura sotto trasformazioni SU(4) rende il bosone di Higgs dello SM uno pseudo-bosone di Goldstone con una piccola massa. Infatti, minimizzando il potenziale (2.10) rispetto ad H1, si ha:

∂V (H1, H2) ∂H1     min = |H1| −2µ2|H1| + 4λ(|H1|2+ |H2|2)
+ 4δ|H1|3 = 0

dalla quale si ottiene

(λ + δ)|H1|2+ λ|H2|2 =

µ2

2 . (2.11)

Analogamente, per H2, si ottiene

∂V (H1, H2) ∂H2     min = 0 =⇒ (λ + δ)|H2|2 + λ|H1|2 = µ2 2 . Dunque (λ + δ)|H1|2+ λ|H2|2 = µ2 2 , (λ + δ)|H2| 2_{+ λ|H} 1|2 = µ2 2 , (2.12)

h1 h1

p _q

h2 h2

p _q

Figura 2.1: Contributo ad 1 loop a mh indotto dai quark t ed t0.

sommando le due equazioni (2.12) e sapendo che |H1|2+ |H2|2 = f2, si ottiene

che

f2 = µ

2

2λ + δ. (2.13)

Al di sotto della scala di rottura della simmetria elettrodebole, i due settori acquistano dunque lo stesso vev, hH1i = hH2i. L'interazione quartica mescola

i due doppietti di Higgs ed il contenuto sico è descritto dalla seguente matrice di massa m2_ij ≡ ∂ 2_{V (H} 1, H2) ∂Hi∂Hj = δij(−2µ2|H1| + 4λ(|H1|2+ |H2|2)) + 8λ|Hi||Hj| + 12δf2δij (2.14) Fissando hH1i = hH2i = f / √ 2, si ha m2_ij = 4(λ + δ)f 2 _4λf2 4λf2 4(λ + δ)f2  (2.15) dalla quale si ottengono i seguenti autovalori

m2₋ = 4δf2, m2₊= 4(2λ + δ)f2, (2.16) relativi agli autostati h± deniti come

h±=

h1_ñ h2

2 . (2.17)

In questo caso, dei 7 bosoni di Goldstone ne rimangono 6 che verranno poi riassorbiti dai bosoni vettoriali massivi dei due settori dopo la rottura elettro-debole. Il bosone di Higgs dello SM sarà uno pseudo-bosone di Goldstone con massa mh ≡ m− = 2pδf2.

L'invarianza sotto trasformazioni Z2 nel modello MTH protegge la massa del

Higgs hSM dalle correzioni quadratiche divergenti derivanti ad 1 loop dal quark

top t. Infatti, analizzando il contributo dato dai diagrammi in Fig.2.1 si ha: I = Z Λ 0 d4_q (2π)4 y2 t (6 q − m)(6 p+ 6 q − m) =⇒ δm 2 h1 = 3Λ2 8π2y 2 t (2.18)

2.2. ROTTURA DELLA SIMMETRIA Z2 19

è contributo relativo al loop con il t, mentre per il contributo I0 _{indotto da t}0

si ha: I0 = Z Λ 0 d4q (2π)4 y_t20 (6 q − m0_{)(6 p+ 6 q − m}0₎ =⇒ δm 2 h2 = 3Λ2 8π2y 2 t0. (2.19)

Dunque le correzioni ad 1 loop modicano la matrice (2.15) e quello che si ottiene è m2_ij = 4(λ + δ)f 2 _4λf2 4λf2 _{4(λ + δ)f}2  +3Λ 2 8π2 · y2 t 0 0 y2 t0  . (2.20)

Diagonalizzando la matrice di massa quadra e sapendo che il bosone di Higgs hSM del Modello Standard è denito come l'autostato con autovalore più

piccolo,

hSM ≡ h− =

h1− h2

√ 2 , la correzione alla massa quadra risulta

δm2_h ≈ (yt)2− (yt0)2
Λ2. (2.21)

Nel limite Z2, yt= yt0, si ottiene δm2

h ≈ 0e questo protegge la massa mh dalle

correzioni quantistiche divergenti.

2.2 Rottura della simmetria Z

Come appena visto, i due bosoni di Higgs h± sono autostati sici con

combi-nazione lineare di h1,2 data dalla (2.17) le cui masse sono date dalla (2.16). La

presenza di mixing completo inuisce anche sulle interazioni di h− ed h+.

Ad esempio, dati i fermioni ψ1 e ψ2 per lo SM e SM' rispettivamente,

l'accop-piamento dell'interazione (1.22) risulta modicato, Lh−,h+ f erm. = λ1ψ1Lψ1R (h−_√+ h+) 2 + λ2ψ2Lψ2R (h−_√− h+) 2 + h.c. (2.22) e la simmetria Z2 stabilisce che λ1 = λ2. L'accoppiamento tra h± risulta

dunque ridotto di un fattore 1/√2. Questo implica che il rate di produzione di h± a LHC risulterebbe un fattore 1/2 più piccolo rispetto a quanto osservato

sul rate di produzione di hSM,

σ(i → h±+ SM ) =

1

Per quanto riguarda il branching ratios di h−, ogni canale di decadimento in

particelle dello SM è ridotto di un fattore 1/2 rispetto alla stessa larghezza di hSM in canali SM. Allo stesso tempo, tutte queste larghezze di decadimento

sono uguali a quelle in canali del settore Twin, eccetto i canali con quark e leptoni leggeri su cui inuisce la Z2negli accoppiamenti Yukawa. Dunque, tutti

i branching ratios di h− in canali SM sono ridotti di un fattore 1 + d rispetto

a quanto avviene nello SM con hSM, dove d è il rapporto tra le larghezze di

decadimenti in canali Twin e quelle in canali SM, BR(h− → SM ) =

1

1 + dBR(hSM → SM ). (2.24) Nel limite di Z2 esatta il fattore 1 + d è universale e dipende solo dalla massa

m− [15]. L'interazione cubica del Higgs

L = m 2 ++ 2m2− 4v h+h 2 −, (2.25)

nel caso m+ > 2m−, determina un rate di decadimento

Γ(h0 → hh) = m 3 + 128πv2(1 + 2x) 2_{· (1 − 4x)}1/2_{, (2.26)} dove x = m2

−/m2+. Questa fenomenologia è esclusa dalle osservazioni a LHC

[15, 41] ed un modello MTH con simmetria Z2 esatta anche nell'infrarosso

viola quanto osservato a LHC. Nasce dunque la necessità di una rottura della simmetria Z2 che renda il rapporto tra i vevs dei due settori v2/v1 > 1in modo

tale da rispettare i vincoli posti a LHC. Questo determina così anche particelle Twin più pesanti rispetto ai propri partner dello SM.

Nella Sez.2.4.2 si vedrà come la rottura esplicita della simmetria Z2 sia anche

necessaria per superare problemi legati alla cosmologia, uno dei quali è rela-tivo al limite posto da ∆Nef f. sull'abbondanza di radiazione oscura presente

nell'universo misurata in vari esperimenti, tra i quali le misure sulla BBN e CMB.

Con l'introduzione nel potenziale (2.10) del termine V6Z2 = m

2 _|H

1|2− |H2|2
, (2.27)

il potenziale (2.10) non è più invariante sotto trasformazioni Z2. Procedendo

dunque in modo analogo a quanto visto in precedenza, per i vevs v1, v2 dello

SM e SM' si ottengono due relazioni: v2₁+ v₂2 = µ 2 2λ + δ e v22 v2 1 = 1 + y 1 − y, (2.28)

2.2. ROTTURA DELLA SIMMETRIA Z2 21

dove

y ≡ m

2_{(2λ + δ)}

µ2_δ . (2.29)

Con m > 0 si ottiene v2 > v1. Introducendo tan θ = v1/v2 all'ordine leading

in δ/λ i due bosoni di Higgs sono

h0 ≡ h+ = h1sin θ + h2cos θ, h ≡ h− = h1cos θ − h2sin θ, (2.30)

le cui masse sono mh0 ≡ m2 += 2µ 2 _{e m} h ≡ m2− = µ2 δ λ · (1 − y 2_{), (2.31)} ovvero mh ' 8δv21 e mh0 ' 4λv₂2. (2.32)

In questo modo si instaura una gerarchia tra l'Higgs dello SM e quello del settore Twin. Tuttavia, nel modello MTH, la condizione di Z2 rimane valida

nell'ultravioletto dove, alla scala ΛT H, si impongono le condizioni al contorno6:

mh0 = m_h, g0 = g, y_t0 = y_t, (2.33)

dove g, g0 _{sono i accoppiamenti di gauge dello SM e SM', mentre y}

f, yf0 gli

accoppiamenti di Yukawa. La rottura della Z2 è posta sugli accoppiamenti

Yukawa dei fermioni più leggeri,

yf 6= yf0 per f 6= t, f0 6= t0 (2.34)

in quanto il quark top t è quello che fornisce7 _{il maggiore contributo alle}

cor-rezioni quantistiche della massa del Higgs ed è dunque necessario eliminarlo, come visto in (2.21), per proteggere la massa del Higgs.

La rottura della Z2 negli accoppiamenti di Yukawa avviene tramite operatori

di dimensione 4, e dierisce dalla rottura soce imposta attraverso termini di massa dierenti per le particelle dei due settori nella lagrangiana (3.4). In linea di principio è possibile scrivere un ulteriore termine, ∼ (|H1|4− |H2|4),

che rompe Z2 nel potenziale (2.10). Tuttavia, insistendo con la rottura soce

in questo lavoro, questo termine sarà trascurato.

6_{Si imporrà una rottura solo negli accoppiamenti Yukawa dei quark e leptoni leggeri.} 7_{I quarks top t ed t}0 _{hanno gli accoppiamenti di Yukawa y}

t e yt0 più grandi rispetto agli

altri avours nei rispettivi settori. Risulta necessario imporre λt= λ0t0 per protegge mhdalle

2.2.1 Segnali a LHC

Dati i due bosoni (2.30), in questo caso l'interazione (1.22) con i fermioni ψ1 e

ψ2 dello SM e del settore Twin risulta modicato:

Lh,h_{f erm.}0 = λ1ψ1Lψ1R(ch + sh0) + λ2ψ2Lψ2R(ch0− sh) + h.c., (2.35)

dove c ≡ cos θ, s ≡ sin θ con θ = arctan(v1/v2) e la rottura della Z2 stabilisce

che λ2 > λ1. Il rapporto v2/v1 devia dall'unità e si ha una gerarchia tra i

due settori. L'Higgs hSM è h = cθh1 − sθh2, con s2θ ' (v1/v2)2, dunque gli

accoppiamenti con le particelle dello SM è ridotto di un fattore cos θ. Invece per l'Higgs h0 _{del settore Twin, l'accoppiamento con hh si ottiene dalla (2.25)}

sostituendo

v → (1/√2)(v₂2+ v₁2)1/2, mentre l'accoppiamento con i fermioni Twin è

Lh0_−f0 ∼ y_f0h0f0_Lf¯0_R. (2.36)

Il branching ratio di h nei canali invisibili risulta BRinv.= X m_{f 0}<mh/2 BR(h → ¯f0_f0 ) ∝ v1 v2 2 y2_f0. (2.37)

Esperimenti condotti a LHC ssano l'intensità del segnale totale µ nel canale della fusione dei gluoni [43] in

µ ≡ σ(gg → h) σ(gg → h)SM

= 1.09 ± 0.11, (2.38)

da cui si ricava il limite v2 ≥ 3v1 (95% C.L.)[16]. A collider futuri come ILC,

CLIC o FCC, si prevede di poter misurare gli accoppiamenti dell'Higgs con una precisione del 1%, che corrisponderebbe a un miglioramento di un fattore 10 nel limite su v1/v2 [45]. Un rapporto troppo grande tra i vevs risulta sfavorito

2.3. COSMOLOGIA CON HIGGS PORTAL 23

2.3 Cosmologia con Higgs Portal

Nonostante il modello MTH risolva il problema della naturalezza della sca-la EW e delle correzioni quantistiche a mh, tuttavia presenta nuovi problemi

quando lo si applica allo studio della cosmologia. Siccome  ' 0 [14], l'inte-razione Higgs Portal ha determinato l'equilibrio tra i due settori no ad una temperatura di Td ∼ 3 GeV. Al disaccoppiamento, ognuno dei due settori ha

metà della densità di energia totale ed i neutrini e fotoni Twin che a Td

ri-sultano ultra-relativistici, risultando residui termici del freeze-out, daranno un extra contributo signicativo alla densità di radiazione oscura. Tale contributo è in forte contrasto con il valore di ∆Nef f. stabilito da varie misure [25-27].

Si mostreranno ora i principali processi con l'Higgs Portal ed il problema crea-to dall'eccessiva abbondanza di radiazione oscura dovuta al setcrea-tore Twin dopo il disaccoppiamento.

2.3.1 Disaccoppiamento SM - SM'

Figura 2.2: Interazione tra fermioni dei due settori attraverso l'Higgs Portal. Nel modello MTH, l'interazione "Higgs Portal" mixing i doppietti degli Higgs dei due settori. La simmetria Z2 è rotta in modo soce e dopo la rottura

della simmetria elettrodebole il doppietto H1 dello SM ed il doppietto H2 dello

SM' si mescolano ed il bosone di Higgs h dello SM ne è la combinazione lineare (2.30) con massa più leggera - data dalla (2.32) - rispetto al partner Twin h0_.

L'Higgs Portal garantisce l'equilibrio termico tra i due settori ed i principali processi a 4 corpi sono8 _{lo scattering}

f0f ←→ f0f, (2.39)

8_{Sono solo i processi con 2 particelle SM e 2 dello SM' che conservano le rispettive cariche}

elettriche Qf e Q0f0 che determinano l'equilibrio. Altri processi con 3 fermioni dello SM ed

che consentono l'equilibrio cinetico ed l'annichilazione

f0f¯0 _{←→ ¯f f,} (2.40)

che consentono l'equilibrio chimico tra i due settori. Le sezioni d'urto per questi due processi sono [16]:

• Scattering ff0 _{←→ f f}0_: σ(f0f ←→ f0f )v = 1 8π m_f v 2vm_f0 v02 2 m_fm_f0 mf + mf0 pCM m4 h (2.41) dove pCM è l'impulso nel sistema del centro di massa che, in un bagno

termico, è p2_CM = 4T (mf + mf 0 +√m_fm_f0) 3(2 + mf/mf0+ m_f0/m_f) (2.42) • L'annichilazione f0_f¯0 _{←→ ¯f f}: σ(f0f¯0 _{←→ ¯f f )v =} 1 4π m_f v 2vm_f0 v02 2 (m2_f0 − m2_f) 3 2 m3 f0m4_h p2_f0 (2.43)

dove pf0 è l'impulso nel sistema del centro di massa che, in un bagno

termico, è p2

f0 = 3T m_f0/2.

Comparando i rate d'interazione di entrambi i processi con il rate d'espansione Γ = (neq.hσvi) = H(T ), (2.44) ovvero Γ = g3ζ(3) 4π2 T 3_{· hσvi =} s 4π3 45M2 P l · q(T )1/2_{· T}2_{, (2.45)}

dove q(T ) è la somma sui gradi di libertà presenti nei due bagni termici q(T ) = X b gb  Tb T 4 +X f 7 8gf  Tf T 4 , (2.46)

dove con b, f si indica la somma sui bosoni e sui fermioni rispettivamente. Per lo SM si includono tutti i fermioni con massa tra quella dell'elettrone ed il tau, oltre ai 3 neutrini, fotoni e gluoni. Invece nel settore Twin a quella temperatura si includono gli stessi gradi tranne il quark Twin c0 _{ed il tau Twin}9_.

9_{Il tau Twin τ}0_{decade molto velocemente e dunque non interviene nei processi con l'Higgs}

2.3. COSMOLOGIA CON HIGGS PORTAL 25 Si stabilisce che i due settori siano rimasti in equilibrio termico no ad una temperatura

Td' 3 GeV (2.47)

al di sotto della quale i due settori disaccoppiano ed evolvono in modo in-dipendente, entrambi con metà della densità di energia totale. Dopo il di-saccoppiamento, la presenza del fotone Twin e di 3 neutrini Twin come resi-dui termici ultra-relativistici, con masse mν0  T_BBN ∼ 1 M eV, può inuire

sull'abbondanza della densità di radiazione oscura, il cui valore è ssato da ∆Nef f..

2.3.2 Numero Eettivo di Neutrini: N

Il contributo alla densità di energia della radiazione dello SM [19] è:

ρR= ργ+ 3 · ρν. (2.48)

Dopo il disaccoppiamento e l'annichilazione di e± _{si ha}

 ρR ργ  0 ≡ 1 + 3 · 7 8 " 11 4  Tν Tγ 3 0 #4/3 . (2.49) Ad oggi, il rapporto (Tν/Tγ) 3 0 vale  Tν Tγ 3 0 = gγ qs(Td,ν) − 3gν = 2 qs(Td,ν) − 21/4 = 4 11, (2.50) dove qs(Td,ν) = 10, 75sono i gradi di libertà dello SM che alla temperatura di

disaccoppiamento dei neutrini ν, Tdν ' 1 M eV [17], contribuiscono alla densità

di entropia, ovvero e±_{, il fotone ed i 3 neutrini ν.}

Il numero eettivo di neutrini Nef f., che dipende dalla temperatura Tdν è

denito come Nef f.(Tdν) =  ρR− ργ ρ0 ν  0 = 3 " 11 4  Tν Tγ 3 0 #4/3 . (2.51)

Gli studi indipendenti eettuati sulle abbondanze degli elementi leggeri pro-dotti durante la "Big Bang Nucleosynthesis" (BBN), gli studi sulle "Large Scale Structure" (LSS) e sulla radiazione cosmica di fondo (CMB) stabiliscono [20-24] che Nef f. ≥ 3, lasciando dunque supporre la presenza di una

Assumendo dunque che la radiazione dark sia dovuta al settore Twin, la densità di energia totale in questo caso è

ρR= ργ+ 3 · ρν + ρSM0 (2.52)

e dunque

Nef f.= Nef f.SM+ ∆Nef f. (2.53)

dove∆Nef f. è il contributo ad Nef f. dato dallo SM', dunque

∆Nef f.= 4 7  11 4 4/3 · qSM0(T ). (2.54)

dove qSM0 sono i gradi di libertà Twin eettivi. Volendo analizzare il contributo

della densità di energia dovuta al settore Twin, è utile determinare il rapporto ρSM0/ρ_SM tra le densità di energia dei due settori. Al disaccoppiamento, i due

settori hanno la stessa temperatura, Td ' 3 GeV, ed il rapporto tra le densità

di energia è ρSM0 ρSM     Td = qSM0 qSM     Td , (2.55)

ovvero uguale al rapporto tra i gradi di libertà eettivi dei due settori al disaccoppiamento. Per lo SM si includono tutti i fermioni con massa tra quella dell'elettrone ed il tau, oltre ai 3 neutrini, fotoni e gluoni. Invece nel settore Twin a quella temperatura si includono gli stessi gradi tranne10 _{il quark Twin}

c0 ed il tau Twin. Questo porta ad avere qSM|T =Td =

303

4 e qSM0|T =Td =

247

4 , (2.56) ssando dunque il rapporto a 0.8. I limiti su ∆Nef f. derivano dalle misure

eettuate sulla BBN e sulla CMB e dunque la densità di energia legata al settore Twin va valutata alla temperatura TBBN ' 1 M eV [28, 29] in cui ebbe

inizio la BBN. Dunque bisogna tenere conto di quei gradi di libertà che dopo il freeze-out diventano non-relativistici e che si annichilano in entrambi i settori. Siccome la densità di entropia è conservata [28, 29], dopo il disaccoppiamento ad ogni transizione il numero di gradi di libertà passa da q(i) _{a q}(f ) _{e questo}

porta ad un incremento nella densità di energia pari a(q(i)/q(f ))1/3.

All'epoca della CMB o della BBN, gli unici gradi di libertà che contribuiscono alla densità di energia - in entrambi i settori - sono i 3 neutrini e il fotone.

10_{Il τ}0_{ed il charm Twin c}0_{hanno m  T ∼ O(GeV ), dunque il loro contributo alla densità}

2.3. COSMOLOGIA CON HIGGS PORTAL 27 All'epoca della BBN, dunque, i due settori hanno un numero uguale di gradi di libertà ed il rapporto (2.55) rimane invariato portando a

ρSM0 ρSM     BBN ' qSM0 qSM     Td !1/3 · ρSM0 ρSM     Td = qSM0 qSM     Td !4/3 ' 0.75. (2.57) Questo porta ad un valore di ∆Nef f. pari a

∆Nef f. = 3 · ρSM0 ρν     BBN ' 7.4 · ρSM0 ρSM     BBN ' 5.6. (2.58) Varie misure sulla BBN [53] stabiliscono che ∆Nef f. ' 0.5 − 1, mentre quelle

sulla CMB [25-27] ssano un limite più stringente, ∆Nef f.. 0.45 (2σ).

La stima così ottenuta risulta in forte contrasto con le osservazioni. La pre-senza di un fotone e 3 neutrini Twin ultra-relativistici alla BBN rappresenta dunque un problema quando si applica il modello MTH alla cosmologia. Si assume qui che la sica e la storia termica dei due settori sia uguale dopo il disaccoppiamento.

Diversi sono i modelli che provano a superare questo contrasto. Per esempio, in alcuni modelli si considera il caso in cui il disaccoppiamento tra i settori sia avvenuto tra la tranzione di fase di QCD' e quella di QCD [16]. Questo de-terminerebbe un aumento signicativo della densità di energia nel solo bagno termico SM portando ad una soppressione nel rapporto (2.58) e rientrando così nei limiti sperimentali.

In altri modelli [18], invece, si suppone che le particelle Twin disaccoppiate decadano preferibilmente in particelle SM contribuendo dunque alla densità di energia del bagno termico SM. In questo modo, i gradi di libertà qSM

aumen-tano contemporaneamente ad una diminuzione il numero di gradi Twin qSM0.

Anche in questi modelli, l'idea di un decadimento preferenziale in canali SM porterebbe il valore di ∆Nef f. entro i limiti.

Nel modello "Fraternal Twin Higgs" (FTH) [30], invece, si assume che il settore Twin sia composto solo dalla terza generazione di fermioni, oltre ai bosoni di gauge EW' ed QCD', risolvendo così il problema legato alla presenza di gradi di libertà ultra-relativistici all'epoca della BBN e della CMB.

Un'altra via - quella che verrà seguita in questo lavoro - è quella di rompere la simmetria Z2 in modo soce nel modello MTH, modicando la fenomenologia

delle particelle Twin leggere.

Questo è necessario per generare neutrini e fotoni Twin con masse o larghez-ze di decadimento & TBBN, anché il loro contributo alla densità di energia

di radiazione dell'universo sia trascurabile ed il limite posto da ∆Nef f. venga

La presenza del fotone Twin massivo verrà discusso in seguito, nel capitolo 5. Invece si mostrerà ora come la rottura soce della simmetria Z2 porti a

neutrini Twin pesanti: l'inserimento nel modello MTH di termini di massa di Majorana dierenti per i neutrini dei due settori - attraverso il meccanismo del seesaw - genera neutrini Twin ν0 _{e neutrini ν per lo SM con masse diverse.}

Capitolo 3

Modello νMTH

La possibilità di avere un neutrino sterile pesante che non contribuisca alla densità di entropia durante la BBN è prevista in diversi modelli [18, 31-34]. In questo capitolo si discuterà del modello νMTH - detto anche estensione minimale dello MTH - in cui, l'introduzione di termini di massa dierenti per i neutrini right-handed dei due settori consente di generare - attraverso il mec-canismo del seesaw - neutrini ν0 _{pesanti. Inoltre, a basse energie, nella teoria}

ecace si avrà anche un altro portale di interazione, l'operatore di dimensione 5 detto Neutrino Portal, che descrive il mixing ν0_{− ν e che consentirà a ν}0 _di

interagire EW con entrambi i settori. In particolare sarà analizzato il decadi-mento di ν0 _{nei canali dello SM e nella Sez.3.3 si analizzerà poi come la massa}

Mν0 dipenda dai parametri di scala della teoria ecace.

3.1 EFT in νMTH e Seesaw

A scale di energia basse rispetto ad ΛT H, la teoria eettiva (EFT)

condu-ce al cosiddetto modello minimale Twin Higgs [16] descritta dalla seguente lagrangiana: LEF T. = LSM+ LSM0+ (L1H1)2 M1 +(L2H2) 2 M2 + 2 M12 · (L1H1)(L2H2) + LI (3.1) dove LI = 1 2  cos θW BµνB_µν0 + 2λ00H†HH0†H0 (3.2) contiene l'Higgs Portal e il Vector Portal che sono gli unici termini gauge-invarianti di dimensione 4 che consentono l'interazione tra i due settori. La lagrangiana EFT contiene anche operatori di dimensioni 5 soppressi dalle scale M1, M2 ed M1,2.

Con M1 6= M2 sia ha la rottura soce della simmetria Z2, necessaria per avere

un neutrino Twin massivo che non contribuisca alla densità di energia durante la BBN, per quanto visto in Sez.2.3.2. Nella teoria ecace è presente - oltre ai portali (3.2) - anche un'ulteriore portale di interazione tra SM e SM': il Neutrino Portal,

LN.P. =

2 M12

(L1H1)(L2H2), (3.3)

operatore che descrive il mixing tra il neutrino SM e quello Twin.

La lagrangiana (3.1) può essere ottenuta come teoria a basse energie derivante dalla lagrangiana LT OT .= LSM+ LSM0+ ¯N₁∂N₁+ ¯N₂∂N₂− (y_N 1 ij_L¯i 1N j 1H1+ yN2 ij_L¯i 2N j 2H2+ h.c.)+ −1 2( ¯N1M1N1+ ¯N2M2N2− 2 · ¯N1M12N2+ h.c.) + LI (3.4)

in cui nel modello MTH si introducono, per entrambi i settori, i neutrini right-handed N1 e N2 ed dei relativi termini di massa. Nel caso in cui p  M1,2,

per N1 e per N2 si ha

∂L ∂ ¯Ni

= 0 =⇒ −LiHi†+ MiNi = 0 (i = 1, 2)

dalla quale si ottiene Ni = LiHi† Mi e _N¯ i = ¯ LiHi Mi (i = 1, 2) (3.5) Sostituendo (3.5) nella lagrangiana (3.4) si ottiene (3.1). Considerando un solo avour e denendo i doppietti SU(2)L per lo SM e per il settore Twin,

L1 =  ν1 f1  e L2 =  ν2 f2  ,

usando la notazione y1 ≡ yν1 ed y2 ≡ yν2, il mixing dei neutrini ottenuto dalla

(3.1) è descritto dalla seguente matrice di massa: M(ν1ν2) = (v1y1)2 M1 (v1y1)(v2y2) M12 (v1y1)(v2y2) M12 (v2y2)2 M2 ! . (3.6)

Gli autovalori di questa matrice sono:

m± =  (v1y1)2 M1 + (v2y2)2 M2  ± r  (v2y2)2 M2 − (v1y1)2 M1 2 + 4(v1y1)(v2y2) M12 2 2 . (3.7)

3.2. NEUTRINO PORTAL 31 Da quanto appena visto, il mixing può essere descritto attraverso una matrice ortogonale O, OOT _=1,  ν ν0  = cos θ − sin θ sin θ cos θ   ν₁ ν2  . (3.8)

I leptoni carichi ` = e, µ, τ ed `0 _{= e}0_{, µ}0_{, τ}0_{, invece, non mescolano tra loro in}

quanto il mixing violerebbe la conservazione della carica elettrica Q e Q0 _{per lo}

SM ed SM' rispettivamente. Esistono due casi limite per i parametri di scala della lagrangiana (3.1):

M1, M2  M12: in questo caso il mixing è trascurabile e le masse per i

neu-trini sono m+ = (v2y2)2 M2 e m− = (v1y1)2 M1 . (3.9)

L'angolo di mixing tra neutrini è dato da tan θ =  M1M2 (v1y1)2M2− (v2y2)2M1  ' 0 dove  ≡ (v1y1)(v2y2) M12 .

Inoltre, nel caso in cui y1/M1 ' y2/M2, il rapporto tra le masse è

m+ m− = v2 v1 2 . (3.10)

M1, M2  M12: è il caso opposto rispetto a quanto prima in cui si ha

mesco-lamento completo tra i neutrini dei due settori le cui masse sono m± =

(v1y1)(v2y2)

M12

(3.11) relativi ad autostati degeneri

ν0 = ν1√+ ν2

2 e ν =

ν1− ν2

√

2 , (3.12)

con angolo di mixing tan θ ' 1. Questo caso però è escluso dalle osservazioni [37-38].

3.2 Neutrino Portal

La presenza di mixing tra neutrini inuisce anche sulle interazioni elettrodeboli, consentendo processi EW tra particelle dello SM e quelle del settore Twin.

ν0 ` ` ν W− ν0 ν ¯ ` ` Z

Figura 3.1: Decadimento EW di ν0 _{in 3 fermioni SM.}

Infatti, usando la notazione cθ ≡ cos θ e sθ ≡ sin θ, l'interazione elettrodebole

tra i due settori è descritta dalla seguente lagrangiana: LEW_int. = gJ_ZµZµ+ g0J_Zµ0 Z 0 µ+  gJ_W−µW_µ++ g0J_W−µ0 W 0₊ µ + h.c.  . (3.13) Considerando solo le interazioni tra leptoni, le correnti di gauge cariche sono

J_W−µ+ = 1 √ 2[(cθν + s¯ θ ¯ ν0_)γµ_P L`] , J −µ W0+ = 1 √ 2[(−sθν + c¯ θ ¯ ν0<sub>)γ</sub>µ<sub>P</sub> L`0] , con J_W+µ− = J −µ W+
† , J_W+µ0− = J −µ W0+
† . Mentre le correnti neutre11 _{associate a Z e Z}0 _sono:

J_Zµ= 1 cos θW  1 2(cθν + s¯ θ ¯ ν0_)γµ PL(cθν + sθν0) + . . . .  (3.14) J_Zµ0 = 1 cos θ0 W  1 2(cθν¯ 0 _{− s} θν)γ¯ µPL(cθν0− sθν) + . . . .  (3.15) Uno dei processi dovuto proprio alla presenza del mixing è il decadimento a 3 corpi del neutrino Twin ν0 _{in leptoni o adroni dello SM. Analizzando}

de-cadimenti in particelle dello SM, tale processo è mediato dai bosoni W− _{e Z}

ed in generale, a seconda del canale di decadimento, si avrà un termine di interferenza dovuto ai due diagrammi in Fig.3.1,

Γ ∝ |AZ+ AW|2. (3.16)

11_{Nella corrente neutra associata a Z}0_{, le cariche dei leptoni Twin dipendono da θ}0 W che

in linea di principio può essere diverso da θW. Ad esempio, nel caso in cui non sia presente

il fotone Twin, θ0 W = 0.

3.2. NEUTRINO PORTAL 33 Non si considera qui il decadimento del neutrino Twin mediato dai bosoni vettoriali W0_{, Z}0_{, in quanto avendo masse di un fattore ∼ v}

2/v1 più grande dei

rispettivi partner dello SM determina un accoppiamento nel rate di un fattore ∼ (v2/v1)4 più piccolo rispetto al rate di decadimento mediato da W, Z.

In Appendice B viene mostrato come esempio il decadimento ν0

i −→ `j`¯kνk,

con j 6= k, per determinare la relazione tra Γ, Mν0 e θ. In generale, assumendo

3 avour di neutrini Twin, i rate parziali di decadimento per gli altri canali dello SM - considerando anche quelli adronici e trascurando le correzioni allo spazio delle fasi dovute alla massa dei leptoni o quark - sono [18]:

Γ(ν_i0 −→ νjuku¯k) = Nc |Vij|2G2FMν50 192π3 · (sθcθ) 2 _· 1 4 − 2 3sin 2_θ W + 8 9sin 4_θ W  Γ(ν_i0 −→ νjdkd¯k) = Nc |Vij|2G2FMν50 192π3 · (sθcθ) 2_· 1 4− 1 3sin 2_θ W + 2 9sin 4_θ W  Γ(ν_i0 −→ `jukd¯k) = Nc |Vij|2G2FMν50 192π3 · s 2 θ Γ ν<sub>i</sub>0 −→X k νjν¯kνk ! = |Vij| 2<sub>G</sub>2 FMν50 192π3 · (sθc 3 θ) 2 Γ ν<sub>i</sub>0 −→ `j`¯kνk
= |Vij|2G2FMν50 192π3 · (sθcθ) 2 <sub>(j 6= k)</sub> Γ(ν<sub>i</sub>0 −→ νj`¯k`k) = |Vij|2G2FMν50 192π3 · (sθcθ) 2<sub>·</sub> 1 4− sin 2 θW + 2 sin4θW  (j 6= k) Γ(ν<sub>i</sub>0 −→ νj`¯j`j) = |Vij|2G2FMν50 192π3 · (sθcθ) 2_· 1 4 + sin 2_θ W + 2 sin4θW 

dove Nc è il fattore di colore. Assumendo12che2me. Mν0 . 2m_µ, il rate totale

è

Γν0 = 32Γ(ν0 → e−µ+ν_µ) + 2Γ(ν0 → µ−µ+ν_e) + Γ(ν0 → µ−µ+ν_µ) +

+ Γ(ν0 → νµνµνe)] . (3.17)

Nel primo termine, il fattore 3 generale tiene conto per ogni decadimento -dei tre avours di neutrini Twin.

12_{Il τ non è stato considerato in quanto si assume che2m}

3.3 M

e parametri di scala M

, M

, M

Da quanto visto in precedenza, il rate di decadimento dipende, oltre che dalla massa Mν0 dei neutrini, anche dal mixing θ il quale dipende dai parametri della

lagrangiana M1, M2 ed M12. Questo permette di determinare alcune relazioni

che legano la massa di ν0 _{ai parametri di scala del modello νMTH.}

Con θ ' 0 e massa nel range 2me. Mν0 . 2m_µ, il rate di decadimento è

Γ(ν0 −→ ν ¯``) = G 2 FMν50 192π3 · s 2 θ· f (Mν0), (3.18)

dove ` = ν, e, µ ed f(Mν0) è una costante che dipende dalla massa di ν0 e varia

a seconda del canale di decadimento mostrati in (3.17), f (Mν0) =



5 se 2me . Mν0 . m_µ+ m_e

11 se mµ+ me . Mν0 . 2m_µ

• Caso generale M1, M2  M12: É il caso in cui il mixing è trascurabile,

ovvero sin θ =  M1M2 v2 2M1− v21M2  ' 0 e cos θ ' 1,

dove  = v1v2/M12e gli accoppiamenti 'Yukawa' y1, y2 sono stati

'riassor-biti' attraverso una ridenizione dei parametri M1, M2. Dunque, dalla

(3.18), la relazione Mν0 ∼ f (M₁, M₂, M₁₂, v₂)é M_ν50 ·  v₁ v2 2_{ M} 2 M12 2 1  1 −v1 v2 2 M1 M2 2 = 192π3 G2 F · Γ f (Mν0) , (3.19)

con v1 ' 246 GeV. Nel caso in cui M1 ' M2  M12, la simmetria Z2 è

debolmente rotta ed, analogamente a quanto vista prima, si ha: M3 ν0 M2 12 ·  v1· v2 1 − (v1/v2) 2 2 = 192π 3 G2 F · Γ f (Mν0) .

Un caso interessante che può essere analizzato è quello in cui M12 M1  M2

che consente si ottenere un neutrino ν dello SM con massa mν ' 0. Dalla (3.6),

le masse che si ottengono per i neutrini dei due settori sono Mν0 ' v₂2 2M2 + v 2 2 2M2 1 + 4 v1 v2 2_{ M} 2 M12 2! ' v 2 2 M2 e mν ' 0.

3.3. Mν0 E PARAMETRI DI SCALA M₁, M₂, M₁₂ 35 τ > tBBN τ < tBBN 4.0 × 109 6.0 × 109 8.0 × 109 1.0 × 1010 1.2 × 1010 1.4 × 1010 0.125 0.150 0.175 0.200 0.225 0.250 M_12(GeV) Mν ′(GeV )

Figura 3.2: Massa del neutrino ν0 _{in funzione del parametro di scala M} 12.

Sapendo che in questo caso sin θ = v1 v2  · M2 M12  e cos θ ' 1, dalla (3.18) si ottiene la seguente relazione tra Mν0 e M₁₂ :

M_ν30 M2 12 · (v1v2)2 = 192π3 G2 F · Γ f (Mν0) . (3.20)

La regione Mν-M12 evidenziata in Fig.3.2 determina un neutrino ν0 ancora

stabile durante la BBN e quindi bisogna considerare ulteriori limiti compati-bili con le misure sui parametri cosmologici che consentano la loro presenza nell'universo.

Capitolo 4

Cosmologia in νMTH

Si applicherà ora il modello νMTH allo studio della cosmologia e si analizzerà la storia termica ed il ruolo nell'universo di questi neutrini Twin pesanti. Come visto nel precedente capitolo, il mixing indotto dal Neutrino Portal consente a ν0 _{di interagire elettrodebole (EW) sia con il settore dello SM che con il}

settore Twin. I processi EW - annichilazione e scattering di ν0 _{- determinano}

l'equilibrio cinetico e chimico delle varie particelle con il bagno termico. Con-frontando i rate di interazione di questi processi con il rate di espansione di Hubble si determina la temperatura di disaccoppiamento dal bagno termico e la relativa abbondanza residua dopo il freeze-out.

É dunque fondamentale stabilire le temperature di disaccoppiamento e l'ab-bondanza dei ν0 _{residua per analizzarne il ruolo nell'universo.}

Nella Sez.4.1 si sudierà la storia termica dei ν0 _{attraverso il Neutrino Portal e}

come la presenza del mixing porti i neutrini Twin ad uscire dal bagno termico dello SM molto prima rispetto al bagno termico SM' e quest'ultimo disaccop-piamento ne determina anche l'abbondanza. Nella Sez.4.2 si assumerà che ad oggi i neutrini Twin non siano ancora decaduti e che siano uno dei possibili costituenti della DM.

L'abbondanza di DM misurata dalle osservazioni [28, 29] è(Ωh2)DM ' 0.3 e da

tale valore si riesce a determinare anche un limite sulla loro massa.

Si determineranno inoltre le regioni nello spazio dei parametri Mν0 e θ che

possano essere compatibili con i parametri cosmologici Nef f. ed (Ωh2)DM. In

questo capitolo non si considera la presenza del fotone Twin e del Vector Portal, ponendo dunque  = 0 in (3.2).

4.1. NEUTRINO PORTAL E COSMOLOGIA 37

4.1 Neutrino Portal e Cosmologia

In generale, l'equilibrio termico all'interno di un bagno termico in espansione è stabilito da quei processi per i quali si ha

Γ(T )  H(T )

ovvero hanno un rate d'interazione molto più rapido rispetto al rate di espan-sione dell'universo. Quando

Γ(T ) = H(T ), (4.1)

allora un processo inizia ad essere poco eciente e le particelle coinvolte nel processo escono dall'equilibrio termodinamico con il bagno termico e la tempe-ratura di freeze-out ne determina anche l'abbondanza residua. In generale, in un processo ij → kl, il rate con cui viene trasferita energia nel bagno termico è

ΓE = ninjhσvM∆Eiiij→kl

ρ (4.2)

con ni ed ρi densità numerica ed di energia all'equilibrio. In media, l'energia

trasferita per un'interazione è ninjhσvM∆Eiiij→kl≡

Z

dΠidΠjdΠkdΠl(2π)4δ4(p)×fifj(1±fk)(1±fl)M2∆Ei

dove fi sono le distribuzioni delle particelle, mentre dΠi è lo spazio delle fasi

dato da dΠi ≡ gi d3_p i (2π)3_2E i

Il rate d'espansione dell'universo invece è determinato dalla costante di Hubble, la quale è denita come

H2 ≡ ˙a a

2

= 8πG

3 ρ. (4.3)

Inoltre, la costante di Hubble dipende dalla temperatura T . Infatti: H2(T ) = 8π

3M2 P l

ρ(T ) dove M_{P l}2 ≡ ~c

G. (4.4)

Assumendo che il disaccoppiamento di tutti i processi da Neutrino Portal sia avvenuto molto prima rispetto alla fase in cui ebbe inizio la BBN - dunque nella cosiddetta Radiation Domination Era - e inserendo la relazione della densità

di energia per particelle ultra-relativistiche (vd. Appendice A), la costante di Hubble é H2(T ) = 4π 3 45M2 P l q(T ) · T4 (4.5)

dove q é la somma dei gradi di libertà denita come q(T ) =X bos. gb  Tb T 4 + X f erm. 7 8gf  Tf T 4 . (4.6)

Dunque, quando T & TBBN, il valore della costante di Hubble è

H(T ) ' 1.36 · 10−19· q1/2_{(T ) · T ·}  T GeV  . (4.7)

4.1.1 Disaccoppiamento dei ν

_{dallo SM}

Durante la 'Radiation Domination Era', i principali processi d'interazione tra i neutrini ν0 _{e le particelle dello SM sono gli scattering,}

ν_i0f ←→ ν_i0f, dove (i = e0, µ0, τ0) (4.8) che consentono l'equilibrio cinetico, ed i processi di annichilazione,

ν_i0ν¯0

i ←→ ¯f f, dove (i = e0, µ0, τ0) (4.9)

che determinano l'equilibrio chimico. Questi sono i principali processi a 4 corpi13 _{- con 2 fermioni SM e 2 dello SM' - che contribuiscono all'equilibrio}

termico dei neutrini ν0 _{con lo SM. A temperature}

T  O(GeV ) anche i

fer-mioni posso essere considerate particelle ultra-relativistiche e si userà dunque l'approssimazione mν, mf ' 0.

Nel limite s  m2

Z, le sezioni d'urto per i processi di scattering sono

σ(ν_i0f ←→ ν_i0f ) = G 2 F π · s  1 −M 2 ν0 s 2 sin4θ× × T3,f − sin2θW · Qf
+ δf,`i 2 + 1 3 Qfsin 2<sub>θ</sub> W
2 , (4.10) dove δf,`i è uguale a 1 solo per il leptone della generazione i-esima, per cui c'è

anche un contributo di corrente neutra, e zero altrimenti.

13_{Anche qui, come già visto con i processi mediati dall'Higgs Portal, processi con 3 fermioni}

4.1. NEUTRINO PORTAL E COSMOLOGIA 39 Per i processi di annichilazione la sezione d'urto è

σ(ν_i0ν¯0 i ←→ f ¯f ) = G2 F π · s  1 −4M 2 ν0 s 3/2 sin4θ× ×1 3 h T3,f − sin2θW · Qf
2 + δf,`i + Qfsin 2_θ W
2i . (4.11) Si esaminano ora i due casi limite con cui i neutrini ν0 _{si presentano al}

disac-coppiamento.

Caso T  Mν0: Il neutrino ν0 è ultra-relativistico al disaccoppiamento. Per

lo scattering ν0_{f ←→ ν}0_{f, prendendo come esempio il caso in cui il neutrino}

Twin ed il fermione abbiano lo stesso avour14 _ν0_ν¯0 _{←→ ¯νν} e , δ

f,`i = 1, imponendo Γ = neq.vM · σ (hEν0i , hE_fi) = H(T ), (4.12) in cui hEfi = ρeq.,f/Nf(T ) e hEν0i = ρ_eq.,ν0/N_ν0(T ), si ottiene (vd. Appendice A) hEν0i = hE_fi = 7π4 180 ζ(3) · T ' 3.15 · T. (4.13) Inoltre la densità numerica nf è

neq.=

3ζ(3) 4π2 gf · T

3 _{' 0.182 · T}3_{. (4.14)}

La velocità di Moller vM è denita come

vM = s 2Eν0E_f  1 − M 2 ν0 s  ' 2 per s  M_ν20 (4.15) Nel limite s  M2

ν0, in cui s = 4 hE_fi hE_ν0i, inserendo nella (4.12) il rate di

Hubble dato dalla (4.7), la temperatura alla quale avviene il disaccoppiamento è

T ' 0.8 M eV · q1/3_T

d · (sin θ)

−4/3

, (4.16)

dove qTd è la somma di tutti i gradi di libertà SM e SM' alla temperatura

di disaccoppiamento. L'annichilazione ¯ν0_ν0 _{←→ f ¯f, invece, siccome ha una}

sezione d'urto più piccola di quella dello scattering ha una temperatura di disaccoppiamento più alta,

T ' 1.1 M eV · q1/3_T

d · (sin θ)

−4/3

. (4.17)

14_{Processi con neutrini Twin e leptoni con lo stesso avour hanno un accoppiamento più}

Caso Mν0  T: I neutrini ν0 risultano particelle non-relativistiche al

disac-coppiamento e la temperatura di freeze-out é stabilita dai processi di annichi-lazione in quanto lo scambio di energia in (4.2) é ∆E ∼ Mν0, mentre per lo

scattering è ∆E ∼ T  Mν0 contribuendo poco alla termalizzazione dei ν0 con

il bagno termico dello SM. La sezione d'urto d'annichilazione (4.11) in questo limite é σ(f ¯f ←→ ν0ν¯0_{) =} G 2 F π · 4M 2 ν0sin4θ · 1 3 "  1 2 + sin 2 θW 2 + sin4θW # . (4.18) Con distribuzione non-relativistiche per i ν0

neq.' g  M T 2π 3₂ e−MT ' 0.13 · (M T ) 3 2 _e−MT. (4.19)

Il rate d'interazione è dunque

Γ = g 4 (2π)3/2 G2_F 3π · M 2_{(M T )}3_{2 e}−M T · sin4θ "  1 2 + sin 2_θ W 2 + sin4θW # . (4.20)

Inserendo il rate d'espansione (4.7) nella (4.12) si ottiene che il disaccoppia-mento è avvenuto quando

 M M eV 3_{ M} T 1/2 · e−MT ' 15 · q_T d· (sin θ) −4 . (4.21)

Da quanto visto, tutti i rate di interazione tra i neutrini ν0 _{e le particelle}

dello SM sono soppressi da potenze del mixing θ. Esperimenti [37, 38] ssano θ2 _{< 10}−8 _{e questo porta il disaccoppiamento dei ν}0 _{dal bagno termico SM con}

il Neutrino Portal a temperature molto elevate, più alte di quella ottenuta con l'Higgs Portal, Td > TH.P. ∼ 3 GeV. Ora si vedrà il disaccoppiamento dei ν0

dal bagno termico Twin stabilendone la temperatura alla quale è avvenuto.

4.1.2 Disaccoppiamento dei ν

_{dal settore Twin}

Assumendo che nel settore Twin SM' sia abbia nν0, n_e0  n_µ0, prendendo in

considerazione il caso in cui questi processi avvengano tra elettroni e0 _e

neu-trini Twin dello stesso avour, l'equilibrio dei neuneu-trini ν0 _{è determinato dagli}

scattering

ν0e0 ←→ e0ν0, (4.22)

e dai processi di annichilazione ¯