Circuiti e reti elettriche

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI FISICA

Prof. Francesco Marchi

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Esercitazione su: circuiti e reti elettriche

Indice

1 Introduzione: I legge di Ohm e convenzioni sui segni 2

1.1 Richiami di teoria . . . 2

1.1.1 La prima legge di Ohm . . . 2

1.1.2 Alcune convenzioni relative ai segni . . . 2

1.2 Esempi svolti . . . 4 1.2.1 Esempio 1 . . . 4 1.2.2 Esempio 2 . . . 5 1.3 Esercizi proposti . . . 6 1.3.1 Esercizio 1.1 . . . 6 1.3.2 Esercizio 1.2 . . . 6 2 Reti elettriche 7 2.1 Tecniche di soluzione degli esercizi sulle reti elettriche . . . 7

2.1.1 Richiami di teoria . . . 7

2.1.2 Impostazione dell’esercizio. . . 8

2.2 Esempio svolto . . . 8

2.2.1 Equazioni delle maglie . . . 8

2.2.2 Soluzione delle equazioni. . . 8

2.2.3 Considerazioni ﬁnali sui segni . . . 9

2.3 Esercizi proposti . . . 9

2.3.1 Esercizio 2.1 . . . 9

2.3.2 Esercizio 2.2 . . . 9

Riferimenti bibliograﬁci 10

1 _{Per altri materiali didattici o per informazioni:}

Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/

Indirizzo email: fra.marchi@yahoo.it

http://francescomarchi.wordpress.com

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1 Introduzione: I legge di Ohm e convenzioni sui segni

1.1 Richiami di teoria

1.1.1 La prima legge di Ohm

La prima legge di Ohm, relativa alla resistenza illustrata in ﬁgura1, `e espressa dalla seguente formula: 𝑖 = 𝑉𝐵− 𝑉𝐴

𝑅 (1)

Tale legge ci dice che la corrente è tanto più alta quanto maggiore è la differenza di potenziale (spesso abbreviata in “d.d.p.”) presente ai capi della resistenza, e tanto più bassa quanto maggiore è la resistenza stessa. Infatti:

∙ la d.d.p. ha la funzione di “spingere” gli elettroni attraverso il circuito: una d.d.p. elevata signiﬁca grande capacit`a di spinta;

∙ la resistenza si oppone al passaggio degli elettroni: un suo valore elevato ostacola il loro ﬂusso attraverso il circuito.

Figura 1: Graﬁco relativo alla prima legge di Ohm.

La1pu`o essere riscritta anche nella seguente forma:

𝑉𝐴= 𝑉𝐵− 𝑅𝑖 (2)

In questa forma `e evidente che il potenziale nel punto A `e uguale a quello in B, diminuito della cosiddetta “caduta di potenziale” che si ha sulla resistenza.

In tutto questo, per`o, bisogna per`o prestare attenzione ai segni, che sono decisi, in parte, in modo convenzionale.

Nel prossimo paragrafo illustriamo tali convenzioni relative ai segni. 1.1.2 Alcune convenzioni relative ai segni

Per quanto riguarda la scelta dei segni, soprattutto nella soluzione di un esercizio, si procede come segue. Innanzitutto si ﬁssa, a piacimento, un verso di percorrenza per la corrente. E’ ovvio che la corrente scorre nel circuito in un verso ben determinato; noi saremo in grado di stabilire tale verso al termine dell’esercizio, indipendentemente dal verso ﬁssato arbitrariamente all’inizio.

All’interno di un circuito, la presenza di resistenze o generatori provoca aumenti o cadute di potenziale: in altri termini, il potenziale in un punto del circuito `e uguale a quello presente in un altro punto, aumentato o diminuito a seconda della presenza di generatori di f.e.m. o di resistenze presenti nel tratto di circuito compreso tra i due punti considerati. Per quanto riguarda i segni, valgono le seguenti convenzioni:

∙ Resistenze:

– Se il verso di percorrenza scelto coincide con il verso scelto per la corrente, si assegna un segno negativo per indicare la caduta di potenziale sulla resistenza (vedi ﬁgura2(a));

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– Se il verso di percorrenza scelto `e opposto al verso scelto per la corrente, si assegna un segno positivo (vedi ﬁgura2(b));

∙ Generatori:

– Se la corrente attraversa il generatore dal polo negativo a quello positivo, si assegna un segno positivo alla f.e.m. (vedi ﬁgura2(c))

– Se la corrente attraversa il generatore dal polo positivo a quello negativo, si assegna un segno negativo alla f.e.m. (vedi ﬁgura2(c))

Da notare il fatto che per le resistenze `e necessario confrontare il verso di percorrenza con quello scelto per la corrente, mentre per i generatori conta soltanto il verso della corrente.

(a) 𝑉𝐵= 𝑉𝐴− 𝑅𝑖 ⇔ 𝑉𝐴= 𝑉𝐵+ 𝑅𝑖 (b) 𝑉𝐵= 𝑉𝐴+ 𝑅𝑖 ⇔ 𝑉𝐴= 𝑉𝐵− 𝑅𝑖

(c) 𝑉𝐵= 𝑉𝐴+ ℰ ⇔ 𝑉𝐴= 𝑉𝐵− ℰ (d) 𝑉𝐵= 𝑉𝐴− ℰ ⇔ 𝑉𝐴= 𝑉𝐵+ ℰ

Figura 2: Grafici relativi alle convenzioni sui segni. Ricordiamo che in un generatore la sbarretta più lunga indica il polo positivo, mentre quella più corta il polo negativo.

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1.2 Esempi svolti

Applicando le regole e le convenzioni esposte nella sezione precedente, possiamo scrivere le equazioni per il potenziale in punti a piacimento di un circuito.

Vediamo in questa sezione alcuni esempi svolti. 1.2.1 Esempio 1

Si consideri il graﬁco del circuito rappresentato in ﬁgura6.

Figura 3: Graﬁco relativo all’esempio 1.

Tratto AB In questo tratto varr`a l’equazione:

𝑉𝐵 = 𝑉𝐴+ ℰ1− 𝑅1𝑖1

Infatti:

∙ Il generatore `e attraversato dal polo negativo a quello positivo, per cui scegliamo il segno positivo ∙ La resistenza `e attraversata in senso concorde a quello scelto per la corrente, per cui mettiamo il

segno negativo per rendere conto della caduta di potenziale su di essa Tratto BC In questo tratto varr`a l’equazione:

𝑉𝐶= 𝑉𝐵− ℰ2− 𝑅2𝑖2

Infatti:

∙ Il generatore `e attraversato dal polo positivo a quello negativo, per cui scegliamo il segno negativo ∙ La resistenza `e attraversata in senso concorde a quello scelto per la corrente, per cui mettiamo il

segno negativo per rendere conto della caduta di potenziale su di essa

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Tratto CD In questo tratto varr`a l’equazione:

𝑉𝐷= 𝑉𝐶− ℰ3+ 𝑅3𝑖3

Infatti:

∙ Il generatore `e attraversato dal polo positivo a quello negativo, per cui scegliamo il segno negativo ∙ La resistenza `e attraversata in senso opposto rispetto a quello scelto per la corrente, per cui mettiamo

il segno positivo per rendere conto della caduta di potenziale su di essa Tratto DA In questo tratto varr`a l’equazione:

𝑉𝐴= 𝑉𝐷+ ℰ4− 𝑅4𝑖4

Infatti:

∙ Il generatore `e attraversato dal polo negativo a quello positivo, per cui scegliamo il segno positivo ∙ La resistenza `e attraversata in senso concorde a quello scelto per la corrente, per cui mettiamo il

segno negativo per rendere conto della caduta di potenziale su di essa 1.2.2 Esempio 2

Si consideri il graﬁco del circuito rappresentato in ﬁgura4.

Figura 4: Graﬁco relativo all’esempio 2.

A titolo di esempio, possiamo scrivere le seguenti relazioni:

𝑉𝐶 = 𝑉𝐵− 𝑅2𝑖2 (3)

𝑉𝐵= 𝑉𝐶+ ℰ − 𝑅1𝑖1 (4)

. . . (5)

Un numero suﬃciente di equazioni di questo tipo, in linea di principio, ci permette di risolvere il circuito, ossia di determinare tutte le correnti, una volta che siano noti i valori delle resistenze e le tensioni fornite dai generatori.

Tuttavia questo modo di procedere non `e il pi`u vantaggioso. Nel prossimo capitolo illustreremo come risolvere questo tipo di circuito, tramite dei procedimenti applicabili alle cosiddette reti elettriche.

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1.3 Esercizi proposti

1.3.1 Esercizio 1.1

Si consideri il circuito rappresentato in ﬁgura5(a). Si completino le equazioni seguenti:

𝑉𝐹 = 𝑉𝐵+ . . . 𝑉𝐵 = 𝑉𝐷+ . . . (6)

𝑉𝐶 = 𝑉𝐸+ . . . 𝑉𝐶= 𝑉𝐴+ . . . (7)

1.3.2 Esercizio 1.2

Si consideri il circuito rappresentato in ﬁgura5(b). Si completino le equazioni seguenti:

𝑉𝐷= 𝑉𝐴+ . . . 𝑉𝐶= 𝑉𝐴+ . . . (8)

𝑉𝐵 = 𝑉𝐶− 𝑅1𝑖1+ . . . 𝑉𝐹 = 𝑉𝐵+ . . . (9)

(a) Graﬁco relativo all’esercizio 1.1.

(b) Graﬁco relativo all’esercizio 1.2.

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2 Reti elettriche

La prima legge di Ohm, e le formule che esprimono il valore di resistenze in serie ed in parallelo, consentono di risolvere i circuiti elettrici pi`u semplici2_.

Tuttavia, quando i circuiti si fanno più complicati, non sempre è facile capire se due resistenze sono in serie o in parallelo, e cos`ı le tecniche di risoluzione accennate sopra non sono più pratiche da utilizzare. Per simili circuiti, detti reti elettriche, si segue un procedimento di soluzione più sistematico, che illustriamo in questo capitolo.

2.1 Tecniche di soluzione degli esercizi sulle reti elettriche

2.1.1 Richiami di teoria

Anche se il procedimento è un po’ più articolato, la soluzione delle reti elettriche è basata, in ogni caso, sulle considerazioni esposte nel capitolo precedente, anche per quanto riguarda le convenzioni sui segni. Stavolta, però, anziché considerare singoli tratti di circuito, considereremo dei percorsi chiusi, detti “maglie”.

Si consideri, ad esempio, il circuito rappresentato in figura 5. Consideriamo un punto arbitrario, ad esempio A, sia come punto iniziale che come punto finale in cui valutare il potenziale elettrico. In base alle regole già illustrate, potremo scrivere allora:

𝑉𝐴= 𝑉𝐴− 𝑅1𝑖 − 𝑅2𝑖 − ℰ2+ ℰ1

Da tale equazione, cancellando 𝑉𝐴in entrambi i membri, otteniamo:

0 = −𝑅1𝑖 − 𝑅2𝑖 − ℰ2+ ℰ1

Si nota allora che il valore del potenziale nel punto A, scelto arbitrariamente, scompare. Perci`o, saremmo giunti allo stesso risultato considerando, invece di A, un altro punto qualsiasi del circuito.

L’equazione ottenuta, relativa alla maglia del circuito presa in considerazione, ha come incognita la corrente 𝑖, e come valori noti le resistenze e le f.e.m. Risolvere tale equazione in una incognita signiﬁca risolvere il circuito.

Nel caso di circuiti semplici come quello appena visto, tale procedimento è un’inutile complicazione; nel caso di circuiti più complessi (costituiti da più maglie), invece, applicare tale procedimento diventa necessario. Nel prossimo paragrafo illustriamo come fare con tali circuiti.

Figura 5: Impostazione dell’equazione di maglia.

2_{Con l’espressione “risolvere un circuito” si intende la determinazione delle correnti (e del loro verso) che scorrono in} ogni suo ramo, essendo noti i valori delle resistenze e delle f.e.m. dei vari generatori.

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2.1.2 Impostazione dell’esercizio

Per risolvere un circuito in cui sono presenti pi`u maglie, conviene procedere per punti:

1. Si individuano le maglie che costituiscono il circuito e si indicano le correnti che le percorrono, scegliendo arbitrariamente un verso di percorrenza;

2. Si scrivono le equazioni per ciascuna maglia, seguendo il metodo illustrato nel paragrafo precedente; 3. Si mettono a sistema le equazioni scritte;

4. Si porta il sistema in forma canonica e lo si risolve;

5. Si stabiliscono i versi corretti delle correnti, basandosi sui segni ottenuti nella soluzione del sistema. Nel prossimo paragrafo vediamo l’applicazione di tale metodo ad un esempio concreto.

2.2 Esempio svolto

Si consideri il circuito rappresentato in6. Sono noti i seguenti valori:

ℰ1= 18𝑉 ℰ2= 12𝑉 𝑅1= 12Ω 𝑅2= 2Ω 𝑅3= 6Ω 𝑅4= 4Ω

Figura 6: Graﬁco relativo all’esempio svolto.

2.2.1 Equazioni delle maglie

Procedendo come indicato in2.1.1, possiamo scrivere:

− ℰ1= 𝑅1𝑖1+ 𝑅3𝑖1− 𝑅3𝑖2 (10)

ℰ2= 𝑅4𝑖2+ 𝑅3𝑖2− 𝑅3𝑖1+ 𝑅2𝑖2 (11)

2.2.2 Soluzione delle equazioni

Riordiniamo le equazioni mettendo in evidenza le incognite:

(𝑅1+ 𝑅3)𝑖1− 𝑅3𝑖2= −ℰ1 (12)

−𝑅3𝑖1+ (𝑅2+ 𝑅3+ 𝑅4)𝑖2= ℰ2 (13)

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Che, una volta sostituiti i valori numerici diventa:

18𝑖1− 6𝑖2= −18 (14)

−6𝑖1+ 12𝑖2= 12 (15)

Si tratta di un sistema lineare nelle due incognite 𝑖1e 𝑖2. Esso si pu`o risolvere, una volta sostituiti i valori

delle grandezze note, sia con carta e penna, sia utilizzando programmi (o calcolatrici) che fanno questo tipo di calcolo. Ad esempio, `e disponibile online, un programma che risolve sistemi lineari, al seguente indirizzo web:

http://wims.unice.fr/wims/it_tool˜linear˜linsolver.it.html Nel caso del nostro sistema troveremo:

𝑖1= −0.8𝐴 𝑖2= 0.6𝐴

2.2.3 Considerazioni ﬁnali sui segni

Il fatto che il segno per la corrente 𝑖1risulti negativo signiﬁca che il verso ipotizzato per tale corrente era

errato: nella maglia della corrente 𝑖1, la corrente circoler`a nel verso opposto rispetto a quello indicato in

ﬁgura6.