Modellistica di sistemi elettromeccanici

Testo completo

(1)Introduzione e modellistica dei sistemi.

(2) Modellistica dei sistemi elettromeccanici Principi fisici di funzionamento Motore elettrico in corrente continua (DC-motor) DC-motor con comando di armatura DC-motor con comando di eccitazione Esempio di rappresentazione in variabili di stato. 2.

(3) Modellistica dei sistemi elettromeccanici.

(4) Introduzione I sistemi elettromeccanici operano una conversione elettromeccanica di energia: Conversione di energia elettrica in energia meccanica ⇒ motori elettrici Conversione di energia meccanica in energia elettrica ⇒ generatori elettrici o dinamo elettriche. Per esigenze di brevità, in questo modulo saranno considerati soltanto i motori elettrici e in particolare quelli alimentati in corrente continua, noti più semplicemente come DC-motor Saranno ora richiamati i principi fisici che sono alla base del funzionamento dei sistemi elettromeccanici 4.

(5) Forza di Lorentz Un conduttore elettrico di lunghezza A percorso da una corrente i (t ) e immerso in un campo magnetico d’intensità B (t ) è sottoposto alla forza di Lorentz G JG JG F (t ) = A i (t ) ∧ B (t ). &. F i. B. A 5.

(6) Coppia di Lorentz Una spira conduttrice di superficie A percorsa da una corrente i (t ) e immersa in un campo magnetico d’intensità B (t ) è sottoposta alla coppia di Lorentz T (t ) = i (t ) A B sin θ (t ). θ. A 6.

(7) Legge dell’induzione elettromagnetica Se un conduttore elettrico forma un circuito chiuso e concatena un flusso Φ (t ) di un campo magnetico, per la legge di Faraday – Henry – Lenz dell’induzione elettromagnetica viene a crearsi nel conduttore una tensione nota come forza elettromotrice indotta (o f.e.m. indotta) d Φ(t ) e (t ) = −. dt. 7.


(9) Parti principali di un DC-motor (1/4) Un motore elettrico alimentato in corrente continua è costituito da Spazzola. Magnete dello statore Avvolgimenti del rotore. θ, ω Albero Cuscinetti. Magnete dello statore Spazzola Collettore. Uno statore : è la parte più esterna e non rotante, responsabile della generazione del campo magnetico mediante Semplici magneti permanenti e/o Una serie opzionale di avvolgimenti alimentati in corrente continua, costituenti il circuito di eccitazione 9.

(10) Parti principali di un DC-motor (2/4) Un motore elettrico alimentato in corrente continua è costituito da Spazzola. Magnete dello statore. Avvolgimenti del rotore. θ, ω Albero Cuscinetti. Magnete dello statore Spazzola Collettore. Un rotore : è la parte più interna e mobile, costituita da un cilindro di materiale ferromagnetico lamellato e opportunamente sagomato, su cui sono posti numerosi avvolgimenti che formano il circuito di armatura; tale circuito genera un campo magnetico concatenato con quello dello statore 10.

(11) Parti principali di un DC-motor (3/4) Un motore elettrico alimentato in corrente continua è costituito da Spazzola. Magnete dello statore. Avvolgimenti del rotore. θ, ω Albero Cuscinetti. Magnete dello statore Spazzola Collettore. Un interruttore rotante detto collettore a spazzole o anello di Pacinotti : permette al circuito di armatura di entrare in contatto elettrico con due spazzole, attraverso le quali il motore riceve energia elettrica sotto forma di corrente di armatura 11.

(12) Parti principali di un DC-motor (4/4) Un motore elettrico alimentato in corrente continua è costituito da Spazzola. Magnete dello statore. Avvolgimenti del rotore. θ, ω. Magnete dello statore. Albero Spazzola Cuscinetti Collettore. Un albero motore : solidale con il rotore e dotato di un proprio momento d’inerzia, è di solito collegato meccanicamente alla carcassa del motore mediante uno o più cuscinetti a sfera 12.

(13) Modello di un DC-motor (1/6) Il modello del DC-motor è di natura ibrida: ia va. ie ve. Ra. La. Re. Le. e Circuito di eccitazione (statore). J. +. -. Tm. β θ, ω. Tr. Circuito di armatura (rotore). Infatti è costituito da:. Un modello di tipo elettrico del rotore e dello statore (nel caso in cui siano presenti avvolgimenti statorici) Un modello di tipo meccanico del rotore e dell’eventuale carico applicato 13.

(14) Modello di un DC-motor (2/6) ia va. ie ve. Ra. La. Re. Le. e Circuito di eccitazione (statore). J. +. -. Tm. β θ, ω. Tr. Circuito di armatura (rotore). Il modello elettrico del rotore è descritto da di a (t ) v a (t ) = Ra i a (t ) + La + e (t ). dt. va , ia = tensione e corrente di armatura Ra , La = resistenza ed induttanza equivalenti di armatura. (proporzionali al numero di spire del rotore) e = forza elettromotrice indotta (f.e.m. indotta del rotore). 14.

(15) Modello di un DC-motor (3/6) ia va. ie ve. Ra. La. Re. Le. e Circuito di eccitazione (statore). J. +. -. Tm. β θ, ω. Tr. Circuito di armatura (rotore). Se sono presenti avvolgimenti sullo statore ⇒ il modello elettrico dello statore è descritto da di e (t ) v e (t ) = Re i e (t ) + Le. dt. ve , ie = tensione e corrente di eccitazione Re , Le = resistenza ed induttanza equivalenti di eccitazione (proporzionali al numero di spire dello statore). 15.

(16) Modello di un DC-motor (4/6) ia va. ie ve. Ra. La. Re. Le. J. +. e Circuito di eccitazione (statore). -. Tm. β θ, ω. Tr. Circuito di armatura (rotore). Il modello meccanico del rotore è descritto da J θ(t ) = J ω (t ) = T (t ) − T (t ) − βω(t ) m. J Tm Tr β. = = = =. r. inerzia dell’albero motore, avente posizione angolare θ coppia motrice del motore coppia resistente (dovuta al carico applicato al motore) coefficiente d’attrito equivalente (tiene conto dei vari fenomeni d’attrito, fra cui quelli dovuti ai cuscinetti) 16.

(17) Modello di un DC-motor (5/6) Il fenomeno della conversione elettromeccanica di energia è descritto dalle relazioni: e (t ) = K Φ(t ) ω(t ) Tm (t ) = K Φ(t ) i a (t ) e = forza elettromotrice indotta (f.e.m. indotta), [e ] = V K = costante caratteristica del motore, [K ] = V T-1 m-2 s/rad Φ = ω = Tm = ia =. flusso del vettore di induzione magnetica, [Φ] = T m2 velocità angolare dell’albero motore, [ω ] = rad/s coppia motrice del motore, [Tm ] = N m corrente di armatura, [ia ] = A. 17.

(18) Modello di un DC-motor (6/6) Se il flusso magnetico dello statore è generato da magneti permanenti ⇒ Φ(t ) = Φ = costante, ∀t Se il flusso magnetico dello statore è generato da spire percorse dalla corrente di eccitazione ie (t ) ⇒ Φ(t ) risulta essere una funzione non lineare di ie (t ) del tipo: Φ. Φ(t ) = Φ(ie (t )). ie. 18.

(19) Modalità di funzionamento di un DC-motor Nel caso di DC-motor con comando di armatura Il flusso magnetico dello statore è tenuto costante, utilizzando magneti permanenti e/o alimentando il circuito di eccitazione con una corrente costante Il comando del motore è la tensione variabile va (t ) applicata al circuito di armatura del rotore. Nel caso di DC-motor con comando di eccitazione La corrente di armatura nel rotore è tenuta costante Il comando del motore è la tensione variabile ve (t ) applicata al circuito di eccitazione dello statore ⇒ variano sia la corrente di eccitazione ie (t ) sia il flusso magnetico dello statore Φ(t ) = Φ(ie (t )) 19.


(21) DC-motor con comando di armatura (1/2) Il flusso magnetico dello statore è tenuto costante Φ(t ) = Φ, ∀t utilizzando magneti permanenti e/o alimentando le spire dello statore con una corrente costante i e ⇒ l’equazione del circuito di eccitazione è di tipo statico:. d ie v e (t ) = Re i e + Le = Re i e = v e , ∀t dt. Le equazioni dinamiche si riducono quindi a: di a (t ) v a (t ) = Ra i a (t ) + La + K Φ ω(t ). dt. J θ(t ) = J ω (t ) = K Φ i a (t ) − T r (t ) − βω(t ) 21.

(22) DC-motor con comando di armatura (2/2) Poiché le equazioni dinamiche sono: di a (t ) v a (t ) = Ra i a (t ) + La + K Φ ω(t ). dt J θ(t ) = J ω (t ) = K Φ i a (t ) − T r (t ) − βω(t ). le variabili di stato sono, in generale: ⎡i a (t )⎤ ⎡ x1(t ) ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x (t ) = θ (t ) = ⎢x 2 (t )⎥ ⎢ ⎥ ⎣ω(t ) ⎦ ⎢⎣x 3(t )⎥⎦ mentre le variabili di ingresso sono: ⎡v a (t )⎤ ⎡u1(t ) ⎤ u (t ) = ⎢ =⎢ ⎥ ⎥ u ( t ) T ( t ) ⎣ r ⎦ ⎣ 2 ⎦. 22.


(24) DC-motor con comando di eccitazione (1/4) La corrente di armatura del rotore è tenuta costante i a (t ) = i a , ∀t utilizzando un generatore ideale di corrente i a ⇒ l’equazione del circuito di armatura è di tipo statico:. d ia v a (t ) = Ra i a + La + K Φ(t )ω(t ) = Ra i a + K Φ(t )ω(t ), ∀t dt Le equazioni dinamiche si riducono quindi a: di e (t ) v e (t ) = Re i e (t ) + Le. dt. J θ(t ) = J ω (t ) = K Φ(t ) i a − T r (t ) − βω(t ) 24.

(25) DC-motor con comando di eccitazione (2/4) La corrente di eccitazione dello statore ie (t ) varia nell’intorno del punto di funzionamento i e ⇒ il flusso magnetico dello statore varia a sua volta nell’intorno del valore Φ(i e (t )) = Φ(i e ) = Φ = K e i e ⇒ si può approssimare la caratteristica non lineare di Φ Ke i e con la legge lineare Φ Φ(t ) ≅ K e i e (t ). Φ(t ) = Φ(ie (t )). Φ. ie. ie 25.

(26) DC-motor con comando di eccitazione (3/4) Grazie all’approssimazione lineare Φ(t ) ≅ Ke ie (t ) , l’equazione dinamica della parte meccanica diventa: J θ(t ) = J ω (t ) = K Φ(t ) i a − T r (t ) − βω(t ). ≅ K K e i e (t ) i a − T r (t ) − βω(t ). K*. = K *i e (t ) − T r (t ) − βω(t ) ⇒ la si può ritenere in prima approssimazione lineare: J θ(t ) = J ω (t ) ≅ K *i (t ) − T (t ) − βω(t ) e. r. 26.

(27) DC-motor con comando di eccitazione (4/4) Poiché le equazioni dinamiche sono: di e (t ) v e (t ) = Re i e (t ) + Le. dt J θ(t ) = J ω (t ) ≅ K *i e (t ) − T r (t ) − βω(t ). le variabili di stato sono, in generale: ⎡i e (t )⎤ ⎡ x1(t ) ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x (t ) = θ (t ) = ⎢x 2 (t )⎥ ⎢ ⎥ ⎣ω(t ) ⎦ ⎢⎣x 3(t )⎥⎦ mentre le variabili di ingresso sono: ⎡v e (t )⎤ ⎡u1(t ) ⎤ u (t ) = ⎢ =⎢ ⎥ ⎥ u t ( ) T t ( ) ⎣ r ⎦ ⎣ 2 ⎦. 27.


(29) Esempio di rappresentazione (1/12) Ricavare la rappresentazione di stato del seguente sistema elettromeccanico, in cui y = θ 2 Ra. ia va. giunzione elastica smorzata. La β1. +. e. Tm θ1,ω1. DC-motor comandato in armatura, con statore a magneti permanenti. cuscinetto a sfera. β12 J1 albero motore. K12. Td J2. θ2,ω2. carico (pannello solare). Equazione dinamica della maglia di armatura:. di a 1) v a = Ra i a + La + K Φ ω1 dt . e. 29.

(30) Esempio di rappresentazione (2/12) Ricavare la rappresentazione di stato del seguente sistema elettromeccanico, in cui y = θ 2 Ra. ia. giunzione elastica smorzata. La e. va. β1. +. Tm θ1,ω1. DC-motor comandato in armatura, con statore a magneti permanenti. cuscinetto a sfera. β12 J1 albero motore. K12. Td J2. θ2,ω2. carico (pannello solare). Equazione del moto dell’albero motore d’inerzia J1: 2) J 1θ1 = K Φ i a − β1ω1 − K 12 (θ1 − θ2 ) − β12 (ω1 − ω2 ) . Tm. 30.

(31) Esempio di rappresentazione (3/12) Ricavare la rappresentazione di stato del seguente sistema elettromeccanico, in cui y = θ 2 La. Ra. ia. giunzione elastica smorzata. e. va. β1. +. Tm θ1,ω1 cuscinetto a sfera. DC-motor comandato in armatura, con statore a magneti permanenti. β12. J1. K12. Td J2. θ2,ω2. carico (pannello solare). albero motore. Equazione del moto del pannello solare d’inerzia J2: 3) J θ = −T − K (θ − θ ) − β (ω − ω ) 2 2. d. 12. 2. 1. 12. 2. 1. 31.

(32) Esempio di rappresentazione (4/12) Ricavare la rappresentazione di stato del seguente sistema elettromeccanico, in cui y = θ 2 Ra. ia. giunzione elastica smorzata. La e. va. β1. +. Tm θ1,ω1. DC-motor comandato in armatura, con statore a magneti permanenti. cuscinetto a sfera. β12. J1 albero motore. K12. Td J2. θ2,ω2. carico (pannello solare). Variabili di stato:. ⎡i a (t ) ⎤ ⎡x 1 (t )⎤ ⎢θ1 (t ) ⎥ ⎢x 2 (t )⎥ x (t ) = ⎢θ2 (t )⎥ = ⎢x 3 (t )⎥ ⎢ω1 (t )⎥ ⎢x 4 (t )⎥ ⎢⎣ω2 (t )⎥⎦ ⎣⎢x 5 (t )⎦⎥. 32.

(33) Esempio di rappresentazione (5/12) Ricavare la rappresentazione di stato del seguente sistema elettromeccanico, in cui y = θ 2 Ra. ia va. giunzione elastica smorzata. La e. β1. +. Tm θ1,ω1. DC-motor comandato in armatura, con statore a magneti permanenti. cuscinetto a sfera. Variabili di ingresso: ⎡v a (t )⎤ ⎡u1(t )⎤ =⎢ u (t ) = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣Td (t )⎦ ⎢⎣u2 (t )⎥⎦. β12. J1 albero motore. K12. Td. J2. θ2,ω2. carico (pannello solare). 33.

(34) Esempio di rappresentazione (6/12) Equazioni dinamiche:. 1) v a = Ra i a + La di a /dt + K Φω1 2) J 1θ1 = K Φ i a − β1ω1 − K 12 (θ1 − θ2 ) − β12 (ω1 − ω2 ) 3) J 2θ2 = −Td − K 12 (θ2 − θ1 ) − β12 (ω2 − ω1 ). Variabili di stato e di ingresso: ⎡i a (t ) ⎤ ⎡x 1 (t )⎤ ⎢θ1 (t ) ⎥ ⎢x 2 (t )⎥ v a (t )⎤ ⎡u1 (t )⎤ ⎡ = x (t ) = ⎢θ2 (t )⎥ = ⎢x 3 (t )⎥ , u (t ) = T t u 2 (t )⎥⎦ ( ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎣ ⎦ d ⎢ω1 (t )⎥ ⎢x 4 (t )⎥ ⎢⎣ω2 (t )⎥⎦ ⎣⎢x 5 (t )⎥⎦ Equazioni di stato: v a Ra KΦ Ra KΦ u1 x1 = di a dt = − i a − x 4 + = f1 (t,x,u ) ω1 = − x1 − La. La. La. La. La. La. 34.

(35) Esempio di rappresentazione (7/12) Equazioni dinamiche:. 1) v a = Ra i a + La di a /dt + K Φω1 2) J 1θ1 = K Φ i a − β1ω1 − K 12 (θ1 − θ2 ) − β12 (ω1 − ω2 ) 3) J 2θ2 = −Td − K 12 (θ2 − θ1 ) − β12 (ω2 − ω1 ). Variabili di stato e di ingresso: ⎡i a (t ) ⎤ ⎡x 1 (t )⎤ ⎢θ1 (t ) ⎥ ⎢x 2 (t )⎥ v a (t )⎤ ⎡u1 (t )⎤ ⎡ = x (t ) = ⎢θ2 (t )⎥ = ⎢x 3 (t )⎥ , u (t ) = T t u 2 (t )⎥⎦ ( ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎣ ⎦ d ⎢ω1 (t )⎥ ⎢x 4 (t )⎥ ⎢⎣ω2 (t )⎥⎦ ⎣⎢x 5 (t )⎥⎦ Equazioni di stato: x2 = d θ1 dt = ω1 = x 4 = f2 (t,x,u ) x3 = d θ2 dt = ω2 = x 5 = f3 (t,x,u ). 35.

(36) Esempio di rappresentazione (8/12) Equazioni dinamiche:. 1) v a = Ra i a + La di a /dt + K Φω1 2) J 1θ1 = K Φ i a − β1ω1 − K 12 (θ1 − θ2 ) − β12 (ω1 − ω2 ) 3) J 2θ2 = −Td − K 12 (θ2 − θ1 ) − β12 (ω2 − ω1 ). Variabili di stato e di ingresso: ⎡i a (t ) ⎤ ⎡x 1 (t )⎤ ⎢θ1 (t ) ⎥ ⎢x 2 (t )⎥ v a (t )⎤ ⎡u1 (t )⎤ ⎡ = x (t ) = ⎢θ2 (t )⎥ = ⎢x 3 (t )⎥ , u (t ) = T t u 2 (t )⎥⎦ ( ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎣ ⎦ d ⎢ω1 (t )⎥ ⎢x 4 (t )⎥ ⎢⎣ω2 (t )⎥⎦ ⎣⎢x 5 (t )⎥⎦ Equazioni di stato:. x4 = d ω1 dt = θ1 = ⎡⎣K Φi a − β1ω1 − K12 (θ1 −θ2) − β12 (ω1−ω2)⎤⎦ J1 = KΦ K12 K12 β1 + β12 β12 = x1 − x2 + x3− x 4 + x 5 = f 4 (t,x,u ) J1 J1 J1 J1 J1. 36.

(37) Esempio di rappresentazione (9/12) Equazioni dinamiche:. 1) v a = Ra i a + La di a /dt + K Φω1 2) J 1θ1 = K Φ i a − β1ω1 − K 12 (θ1 − θ2 ) − β12 (ω1 − ω2 ) 3) J 2θ2 = −Td − K 12 (θ2 − θ1 ) − β12 (ω2 − ω1 ). Variabili di stato e di ingresso: ⎡i a (t ) ⎤ ⎡x 1 (t )⎤ ⎢θ1 (t ) ⎥ ⎢x 2 (t )⎥ v a (t )⎤ ⎡u1 (t )⎤ ⎡ = x (t ) = ⎢θ2 (t )⎥ = ⎢x 3 (t )⎥ , u (t ) = T t u 2 (t )⎥⎦ ( ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎣ ⎦ d ⎢ω1 (t )⎥ ⎢x 4 (t )⎥ ⎢⎣ω2 (t )⎥⎦ ⎣⎢x 5 (t )⎥⎦ Equazioni di stato: x5 = d ω2 dt = θ2 = ⎡⎣−Td − K12 (θ2 −θ1) − β12 (ω2 −ω1)⎤⎦ J 2 = β12 β12 K 12 K 12 u2 x2− x3+ x4− x5− = = f 5 (t , x ,u ) J2 J2 J2 J2 J2. 37.

(38) Esempio di rappresentazione (10/12) Equazioni dinamiche:. 1) v a = Ra i a + La di a /dt + K Φω1 2) J 1θ1 = K Φ i a − β1ω1 − K 12 (θ1 − θ2 ) − β12 (ω1 − ω2 ) 3) J 2θ2 = −Td − K 12 (θ2 − θ1 ) − β12 (ω2 − ω1 ). Variabili di stato e di ingresso: ⎡i a (t ) ⎤ ⎡x 1 (t )⎤ ⎢θ1 (t ) ⎥ ⎢x 2 (t )⎥ v a (t )⎤ ⎡u1 (t )⎤ ⎡ = x (t ) = ⎢θ2 (t )⎥ = ⎢x 3 (t )⎥ , u (t ) = T t u 2 (t )⎥⎦ ( ) ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎣ ⎦ d ⎢ω1 (t )⎥ ⎢x 4 (t )⎥ ⎢⎣ω2 (t )⎥⎦ ⎣⎢x 5 (t )⎥⎦ Equazione di uscita: y = θ2 = x 3 = g (t ,x ,u ) 38.

(39) Esempio di rappresentazione (11/12) Ra ⎧ Equaz. di stato: x1 = − L x 1 − KLΦ x 4 + L1 u1 a a a ⎪ 2 = x 4 x ⎪ ⎪x3 = x 5 ⎨ K12 K12 β1 +β12 β12 Φ K ⎪x4 = J x 1 − J x 2 + J x 3 − J x 4 + J x 5 1 1 1 1 1 ⎪ K12 K12 β12 β12 1u − x = x − x + x − x ⎪⎩ 5 J 2 2 J 2 3 J 2 4 J 2 5 J 2 2 Equaz. di uscita: y = x 3 Se J1, J2,K12, β1, β12, Ra, La, K e Φ sono costanti ⇒ il sistema è LTI ⇒ ha come rappresentazione di stato x (t ) = A x (t ) + B u (t ). y (t ) = C x (t ) + D u (t ) 39.

(40) Esempio di rappresentazione (12/12) Se J1, J2,K12, β1, β12, Ra, La, K e Φ sono costanti ⇒ il sistema è LTI ⇒ ha come rappresentazione di stato x (t ) = A x (t ) + B u (t ) y (t ) = C x (t ) + D u (t ) ⎡− Ra 0 0 0 ⎤ −KΦ ⎡1 ⎤ 0 La ⎢ La ⎥ ⎢La ⎥ 0 0 1 0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 0 1 ,B = ⎢ 0 A= 0 ⎥, ⎢ K Φ − K 12 K 12 − β1 +β12 β12 ⎥ ⎢0 0 ⎥ ⎢ J1 J1 J1 J1 J1 ⎥ ⎢ ⎥ 1 K 12 K β12 β ⎥ ⎢ 0 ⎢0 − ⎥ − 12 − 12 J2 ⎦ ⎣ ⎢⎣ J2 J2 J2 J 2 ⎥⎦ C = [0 0 1 0 0] , D = [0 0]. 40.

(41)