Lezione 1 - Relativit`
a ristretta
Unit`
a 1.1 La relativit`
a di Einstein
Luca Salasnich
Dipartimento di Fisica e Astronomia “Galileo Galilei”, Universit`a di Padova
Esperimento di Michelson-Morley
Nel 1887 Albert Michelson e Edward Morley1eseguirono un
fondamentale esperimento di interferometria ottica mostrando che la velocit`a della luce nel vuoto `e
c = 3 · 108m/s , (1)
indipendentemente dal moto relativo dello strumento di misura.
Alcuni anni dopo, Henry Poincar`e sugger`ı che la velocit`a della luce `e il valore massimo possibile per qualsiasi tipo di velocit`a.2
1A.A. Michelson, E. W. Morley, American Journal of Science 34, 333 (1887); A. A.
Michelson, E. W. Morley, American Journal of Science 34, 427 (1887).
Le trasformazioni di Lorentz
Sulla base delle idee precedenti di George Francis FitzGerald3 nel 1904
Hendrik Lorentz4dimostr`o che le equazioni di Maxwell
dell’elettromagnetismo sono invarianti rispetto a questo tipo di trasformazioni spazio-temporali x0 = qx − vt 1 − v2 c2 (2) y0 = y (3) z0 = z (4) t0 = t − vx /c 2 q 1 − vc22 , (5)
che sono ora chiamate trasformazioni di Lorentz, dove v `e una velocit`a costante e uniforme, cio`e non dipende dal tempo (costante) e non dipedende dallo spazio (uniforme).
3G.F. Fitzgerald, Science 13, 390, (1889).
4H.A. Lorentz, Proc. Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences 6, 809
Le trasformazioni di Galilei
Le trasformazioni di Lorentz sono una generalizzazione della familiari trasformazioni di Galileo Galilei, date da
x0 = x − vt (6)
y0 = y (7)
z0 = z (8)
t0 = t , (9)
dove r = (x , y , z) e r0= (x0, y0, z0) sono le coordinate spaziali, mentre t e t’ sono le coordinate temporali, di un punto materiale P misurato da due sistemi di riferimento O e O0 che si muovono l’uno rispetto all’altro con una velocit`a relativa v = (v , 0, 0).
`
E semplice verificare che, sotto la condizione v
c 1 , (10)
le equazioni di Lorentz diventano le equazioni di Galilei. Quindi se la velocit`a relativa v dei due sistemi di riferimento `e molto pi`u piccola della velocit`a della luce c le due trasformazioni sostanzialmente coincidono.
I postulati di Einstein
Questa attivit`a di ricerca sulle trasformazioni invarianti `e stata riassunta nel 1905 da Albert Einstein5
che propose di adottare due suggestivi postulati:
i) le leggi della fisica sono le stesse per tutti i sistemi di riferimento inerziali;6
ii) la velocit`a della luce nel vuoto `e la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
Da questi due postulati Einstein dedusse che le leggi della fisica sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz ma le leggi della meccanica newtoniana (che non lo sono) devono essere modificate.
5A. Einstein, Annalen der Physik 17, 891 (1905).
6Un sistema di riferimento `e detto inerziale se per esso vale il primo principio della
dinamica: un punto materiale non soggetto a forze esterne misurato da questo sistema di riferimento o `e fermo o si muove di velocit`a costante.
Esperimento mentale di Einstein (I)
Si consideri una piccola lampadina che al tempo zero viene accesa emettendo luce in tutte le direzioni. Si supponga che l’emissione di luce sia uniforme.
Si consideri un sistema di riferimento O fermo e con origine nel centro della lampadina. Secondo questo sistema di riferimento un punto P sulla superficie della sfera di luce emessa dalla lampadina avr`a coordinate r = (x , y , z) che soddisfano l’equazione
|r| = ct , (11)
dove c `e la velocit`a della luce e t il tempo misurato dal sistema di riferimento O. Questa formula si pu`o riscrivere come
p
x2+ y2+ z2= ct (12)
ovverosia, facendo il quadrato,
x2+ y2+ z2= c2t2. (13)
Questa `e l’equazione di una sfera di raggio r che cresce con il tempo con la legge r = ct.
Esperimento mentale di Einstein (II)
Si consideri un’altro sistema di riferimento O0 tale che le coordinate r0 = (x0, y0, z0) del punto P rispetto a questo sistema di riferimento sono legate a quelle del sistema di riferimento O dalla generica trasformazione
x0 = γ(x − vt) (14)
y0 = y (15)
z0 = z (16)
t0 = γ(t − βx
v) , (17)
dove t0`e il tempo misurato dal sistema di riferimento O0. In questa generica trasformazione γ e β sono dei parametri adimensionali che devono essere determinati.
Imponendo c = c0 troveremo che γ = 1/p1 − v2/c2e β = v /c. Cio`e, imponendo l’invarianza della velocit`a della luce troveremo che la
Esperimento mentale di Einstein (III)
Secondo il sistema di riferimento O0, un punto P sulla superficie della sfera di luce emessa dalla lampadina avr`a coordinate r0 = (x0, y0, z0) che soddisfano l’equazione
|r0| = c0t0 , (18)
ovverosia
(x0)2+ (y0)2+ (z0)2= (c0)2(t0)2. (19) L’assunzione cruciale di Einstein, basata sull’esperimento di
Michelson-Morely e i lavori precedenti di Poincar`e ed altri `e
c = c0. (20)
Abbiamo quindi
0 = x2+ y2+ z2− c2t2= (x0)2+ (y0)2+ (z0)2− c2(t0)2. (21) Inserendo in questa espressione la generica trasformazione di coordinate spazio-temporali data dalle equazioni (14), (15), (16), (17), dopo alcuni calcoli algebrici si ottiene
γ = q 1
1 − vc22
ed anche β = v
