1 2 2 Modello per una sorgente di tipo “Magnetic Frill”

1

2

2 Modello per una sorgente di tipo “Magnetic Frill”

2.1

Descrizione del modello Magnetic Frill.

In questo paragrafo è riportato il modello matematico/fisico, compatibile con il Metodo dei Momenti, di una sorgente impressa di tipo “magnetic frill” (collare magnetico).

Consideriamo la fig. 1, in cui è mostrata un’antenna a monopolo su piano di massa, alimentata in cavo coassiale.

fig. 1:monopolo alimentato mediante cavo coassiale.

Supponendo che nel cavo sia presente solo il modo TEM, ed usando il principio di equivalenza ed il teorema delle immagini, possiamo sostituire piano di massa e cavo con una distribuzione di corrente magnetica definita su una corona circolare (collare magnetico), con centro sull’origine degli assi, come mostrato in fig. 2.

Avendo supposto la presenza del solo modo TEM, il campo sull’apertura vale:

) / ln( ' 2 1 ) ' ( ' a b E ρ ρ ρ = Eq. (2.1)

considerando un sistema di riferimento in coordinate cilindriche con asse coincidente con l’asse dell’antenna; la corrente magnetica da imporre sulla corona circolare vale dunque:

J_m= φ ρ ˆ ) / ln( ' 1 ˆ 2 a b E n× =− − , Eq. (2.2)

dove nˆ è la normale uscente dall’apertura.

La J_m così trovata genera un campo elettrico che, una volta noto, permette di calcolare il vettore V.

fig. 2:applicazione del principio di equivalenza e del teorema delle immagini.

Sottolineiamo ora il modo in cui è possibile analizzare il caso di antenna in trasmissione sapendo che la relazione risolvente del Metodo dei Momenti è:

V I

Z = ovvero

[

Z_mn

][ ] [ ]

I_n = V_m

Nel caso di sorgente di tipo magnetic frill il campo incidente fa sentire il suo contributo su tutti gli elementi del vettore termine noto V. In realtà all’aumentare della distanza dalla sorgente l’intensità del campo diminuisce fino a diventare trascurabile. Allora V sarà composto da zeri in corrispondenza degli elementi più distanti dalla sorgente e da un certo numero di valori non nulli in corrispondenza degli elementi più vicini alla sorgente stessa.

                      = 0 .. .. 0 3 2 1 α α α V

Nel caso di sorgente di tipo δ-gap il vettore termine noto V sarà composto invece da tutti zeri tranne un unico valore non nullo in corrispondenza dell’elemento sul quale è definita la sorgente. 0 .. 0 0 .. 0                       = α V

Questo ci mostra come il δ-gap sia un modello più teorico, e quindi meno adatto ad esempio per rappresentare una sorgente in cavo coassiale, rispetto al magnetic frill.

2.2

Ricerca bibliografica.

In questo paragrafo sono presentati i principali risultati della fase di ricerca di articoli che riportano le espressioni matematiche dei campi generati da sorgenti di tipo magnetic frill e δ-gap.

L’attività di ricerca bibliografica ha avuto il duplice scopo di individuare modelli fisico/matematici sul magnetic frill e di reperire i dati di letteratura per il confronto delle caratteristiche dei due modelli. Rif. [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10].

Poiché il modello δ-gap è già stato implementato all’interno del codice MoM ADF la nostra attenzione si è poi concentrata sul magnetic frill; nei sottoparagrafi che seguono sono riportati i set di equazioni ritenuti più significativi.

2.2.1 L.L.Tsai (1970)

Nel suo trattato [9] L.Tsai presenta un set di equazioni per il calcolo del campo vicino e lontano di un anello circolare di corrente magnetica usato per rappresentare una apertura coassiale. Esso è diviso in tre diverse zone di applicazione a seconda della posizione dell’osservatore rispetto al frill (vedi fig. 3).

Se si indica con “ρ” la distanza dell’osservatore dall’asse del frill, e con “a” e ”b” rispettivamente raggio interno ed esterno del frill, si possono infatti distinguere:

Near Zone (ρ > 0, ρ < 10b)

Far-Near Zone (ρ > 10b)

Vediamo le espressioni dei campi valide nelle diverse zone: I. Near Zone E_z= 1 1 ( ) 0 φ ρ ρ ρ ε ∂ F ∂ ⋅ ⋅ − Eq. (2.3) E_ρ= 1 ( ) 0 φ ε ∂z F ∂ ⋅ Eq. (2.4) H_φ= − jωF_φ Eq.(2.5)

dove F_φ è il vettore potenziale elettrico definito come:

F_φ =− ⋅ ⋅

∫ ∫

− b a d d R jkR a b π ρ φ φ π ε 0 ' 0 _{' '} ' ) ' exp( cos ) / ln( 1 2 con: R’= (z− z')2 +ρ2 +ρ'2+2ρρ'cosφ'

II. Far-Near Zone

con: Ez k b 2 a2 − 8 ln b a       ⋅ ⋅ e j − k⋅ Ro⋅ Ro2 ⋅ 2 1 k Ro⋅ +j j b⋅

(

2+a2

)

2 Ro⋅ 2 −         ⋅ ρ 2 R0 1 k Ro⋅ +j j b⋅

(

2+a2

)

2 Ro⋅ 2 −         j − k⋅ 2 Ro −       1 − k Ro⋅ 2 j b⋅

(

2+a2

)

Ro3 +         +         ⋅ +         ⋅ := Eρ k b 2 a2 − 8 ln b a       ⋅ − ⋅ ⋅ρ z zP− Ro ⋅ e j − k⋅ Ro⋅ Ro2 ⋅ k 3 k k b⋅

(

2+a2

)

2 +       1 Ro2 ⋅ − j 2b 2 a2 + Ro3 ⋅ 3 Ro −         ⋅ +         ⋅ := Hφ k j 120π ⋅ b 2 a2 − 8 ln b a       ⋅ ⋅ ⋅k ρ e j − k⋅ Ro⋅ Ro2 ⋅ 1 k Ro⋅ +j j b⋅

(

2+a2

)

2 Ro⋅ 2 −         ⋅         ⋅ := Ro:= (zP−z)2+ρ2

III. Asse E_z=         + − − + −     _{− +} −     _{− +} − 2 2 ) ' ( 2 2 ) ' ( ) ' ( ) ' ( ) / ln( 2 1 2 2 2 2 b z z e a z z e a b b z z jk a z z jk Eq. (2.6) E_ρ= 0 H_φ= 0

Come si può facilmente osservare il campo nella Near Zone di un magnetic frill è ottenuto attraverso una derivazione numerica del vettore potenziale F che, per simmetria, ha una sola componente lungo φ e che richiede a sua volta una doppia integrazione numerica.

Nella Far-Near Zone e sull’Asse invece le espressioni delle componenti di campo, sebbene approssimate, sono in forma chiusa; quindi facilmente implementabili.

2.2.2 C.M.Butler – L.L.Tsai (1972)

Nel 1972 Tsai e Butler modificarono la formulazione del campo e.m. precedentemente illustrata semplificando l’espressione per il calcolo di Ez nella Near Zone.

'

)

/

ln(

4

1

' 2 0 '

φ

π

ρ π φ

d

R

e

a

b

E

b a jkR z = = −

∫













−

=

Procedendo direttamente con la formulazione del vettore potenziale, come si può vedere, l’espressione dei Ez si semplifica; infatti, non essendo più necessaria la derivazione numerica, si calcola il campo attraverso una semplice integrazione numerica.

In questo modo si ottiene una espressione più efficiente dal punto di vista computazionale.

2.2.3 Akihide Sakitani – Shigeru Egashira (1986)

Abbiamo visto che lo stesso L.Tsai nel ’72 modificò le sue espressioni del ’70 introducendo delle semplificazioni nel calcolo del campo nella Near Zone del magnetic frill.

Queste modifiche però non miglioravano il calcolo di Eρ e Hφ che prevedeva ancora una doppia integrazione per il secondo e anche una derivazione numerica per il primo.

Il set di equazioni introdotto da A.Sakitani ed S.Egashira invece mostra che si possono ottenere tutte le componenti del campo nella Near Zone attraverso una singola integrazione numerica.

Attraverso l’integrazione diretta dei campi elettromagnetici si ottengono le seguenti equazioni per i campi nella Near Zone dell’anello circolare:

con:

integrali ellittici completi di 1a e 2a specie rispettivamente, e con: Ez 1 2⋅ lnπ b a       ⋅ 2 Ra⋅ELL1 a( ) 2 Rb⋅ELL1 b( ) − +k2⋅(Rb ELL2 b⋅ ( ) −Ra ELL2 a⋅ ( )) j 6 k 3 ⋅ ⋅π⋅

(

b2−a2

)

−       ⋅ := ELL1 Eρ z−zP 2⋅ lnπ b a       ⋅ a b ρ1 α1 ELL1 ρ1⋅

( )

(

)

⌠  ⌡ d a b ρ1 α2 ELL2 ρ1⋅

( )

(

)

⌠  ⌡ d +       j k⋅ 5⋅

(

b2−a2

)

120 ln b a       ⋅ ρ ⋅ ⋅(z−zP) − := α2 Hφ ω ε0 ⋅ ⋅k3⋅

(

b2−a2

)

24 ln b a       ⋅ ρ ⋅ j⋅ω⋅_ε0 2⋅ lnπ b a       ⋅ a b ρ1 β1 ELL1 ρ1⋅

( )

+β2 ELL2 ρ1⋅

( )

(

)

⌠  ⌡ d ⋅ + := β2 α1 −4 R3⋅p k2 R 2 p −1       ⋅ + k 4 R ⋅ ⋅q 6 p⋅ − := p α2 4 R3⋅q 2 p −1       ⋅ 2 k 2 ⋅ R p⋅ − k 4 R ⋅ 12 2 p −1       ⋅ + := Eq. (2.7) ELL1

( )

ρ1 0 π 2 θ 1 1−p sin⋅

( )

θ 2 ⌠    ⌡ d := p ELL2

( )

ρ1 0 π 2 θ 1−p sin⋅

( )

θ 2 ⌠   ⌡ d := p β1 2 R 2 p −1       ⋅ 2 k 2 ⋅ ⋅R⋅q 3 p⋅ − := p β2 −4 R

( )

ρ1 ⋅p

( )

ρ1 k2⋅R 3 2 p −1       ⋅ + := ρ1

2.3

Scelta del modello da implementare.

2.3.1 Test di validità e prestazioni.

A questo punto del lavoro abbiamo interrotto le ricerche bibliografiche e iniziato una fase di verifica della “bontà” dei set trovati.

Per far ciò abbiamo dapprima riportato le equazioni in ambiente Mathcad e verificato che esse fornissero gli stessi valori numerici di campo e.m. riportati nei rispettivi articoli (si fa notare che la teoria esposta in 2.2.2 è stata quasi immediatamente accantonata perché ritenuta poco illuminante). Per il set di L.Tsai si sono trovati fin da subito risultati concordi con quelli tabulati in [9] in cui si considera un frill con raggio interno a = 0.003λ e raggio esterno b = 0.005λ (per semplicità si suppone λ = 1m). A titolo di esempio mostriamo in Tabella 1 e Tabella 2 i valori ottenuti per E_z/k e i corrispondenti valori riportati in [9].

ρ= ρ=ρ=

ρ=z(λλλ) λ Ez/k eq.(2.3) Ez/k [9]

0.0005 20.472 - j 1.03037E-4 20.465 - j 1.1196E-4 0.0015 16.885 - j 1.03035E-4 16.884 - j 1.0449E-4 0.0035 4.3872 - j 1.03022E-4 4.3878 - j 1.0376E-4 0.0055 1.0195 - j 1.03000E-4 1.0196 - j 1.0426E-4 0.0075 0.3493 - j 1.02969E-4 0.3491 - j 1.0389E-4 0.0095 0.1576 - j 1.02927E-4 0.1576 - j 1.0357E-4

Tabella 1: Ez/k nella Near Zone per un frill (a = 0.003λλλλ , b=0.005λλλλ ) al variare di ρρρρ lungo una linea a 45°.

Tabella 2: Ez/k in corrispondenza dell’asse di un frill (a = 0.06λλλλ , b=0.065λλλλ ).

z(λλ) λλ Ez/k eq.(2.6) Ez/k [9]

0.01 1.32033 ∟-1.0972° 1.34083 ∟-1.03884° 0.02 1.19043 ∟-1.2155° 1.20423 ∟-1.15519° 0.03 1.01766 ∟-1.4191° 1.02382 ∟-1.35660° 0.04 0.83919 ∟-1.7162° 0.83921 ∟-1.64989° 0.06 0.54383 ∟-2.6279 0.53789 ∟-2.55444° 0.10 0.23571 ∟-5.9183° 0.22991 ∟-5.83331° 0.20 0.00558 ∟-22.655° 0.05386 ∟-22.5689

Il confronto dei valori numerici riportati nell’articolo di A.Sakitani-S.Egashira [11], invece, evidenzia una consistente diversità tra i nostri risultati e quelli di letteratura.

Dopo aver verificato ed escluso possibili errori nell’implementazione Mathcad è iniziata la ricerca di eventuali errori nelle espressioni date nell’articolo corrispondente [11]. In effetti, andando a ripercorrere i passaggi matematici, abbiamo individuato e corretto il seguente errore:

Utilizzando il nuovo coefficiente i risultati concordano con quelli della letteratura (vedi Tabella 3) in cui si prende in esame E_ρ per un frill con raggio interno a = 0.002 λ e raggio esterno b = 0.00466λ.

Tabella 3: Eρρ per un frill (a=0.002λρρ λλλ , b=0.00446λλλλ).

Come secondo test si è fatto un confronto tra le espressioni per i campi della Near Zone dei tre diversi autori osservando che, se si utilizzano gli stessi parametri geometrici, si ottengono risultati pressoché identici (Tabella 4).

ρ ρ ρ ρ=z(λλλλ) Eρρ eq.(2.7) ρρ Eρρ [11] ρρ 0.0025 36.540 – j 1.0106E-8 36.540 – j 1.0106E-8 0.005 9.1888 – 4.042E-8 9.1888 – 4.041E-8 0.01 1.2857 – j 1.617E-7 1.2857 – j 1.616E-7 0.02 0.1642 – j 6.468 E-7 0.1642 – j 6.453 E-7 0.03 0.04913 – j 1.455E-6 0.04913 – j 1.479E-6 0.04 0.0209 – j 2.5872E-6 0.0209 – j 2.5639-6 0.05 0.01086 – j 4.0425E-6 0.01086 – j 3.9857E-6 α2 4 R3⋅q 2 p −1       ⋅ 2 k 2 ⋅ R p⋅ − k 4 R ⋅ 12 2 p −1       ⋅ + := α2 2 R3⋅q 2 p −1       ⋅ 2 k 2 ⋅ R p⋅ − k 4 R ⋅ 12 2 p −1       ⋅ + :=

Tabella 4: Ez, al variare di ρρρρ nella Near Zone, ottenuti attraverso le equazioni dei tre autori a confronto;

si considera un frill con dimensioni a = 0.003λλλλ e b = 0.005 λλλλ.

In ultima analisi abbiamo voluto verificare che i valori dei campi della Near Zone fossero, per ρ molto piccoli, uguali ai valori ottenuti dalle espressioni relative all’asse del frill e, per ρ≈10b, uguali a quelli ottenuti dalle formule della Far-Near Zone. Questo per poter escludere, nella fase di implementazione, eventuali problemi di discontinuità tra le diverse zone di applicazione del modello.

Consideriamo un frill con a = 0.003λ e b = 0.005 λ. Come si vede nella fig. 4, per ρ →0 l’equazione relativa al campo nella Near Zone (traccia in rosso), dà gli stessi valori di quella relativa al campo sull’Asse (traccia in blu). Quando ρ è molto piccolo allora useremo l’eq.(2.6) perché più semplice e veloce della (2.3).

fig. 4: continuità tra il campo nella Near Zone e quello sull’Asse del frill (si ricordi che in corrispondenza dell’asse Eρ=Ηφ=0)ρ=Ηφ=0). ρ=Ηφ=0)ρ=Ηφ=0)

ρ ρ ρ

ρ=z(λλλλ) Ez L.Tsai Ez C.M.Butler-L.Tsai Ez A.Sakitani

0.001 121.39402729-j6.47398035E-4 121.39402729-j6.47398035E-4 121.39403398-j6.47449154E-4 0.005 8.88729647-j6.47214031E-4 8.88729647-j6.47214031E-4 8.8731106-j6.47449154E-4 0.010 0.83643529-j6.46639232E-4 0.83643529-j6.46639232E-4 0.83646279-j6.47449154E-4 0.025 0.04896636-j6.42624707E-4 0.04896636-j6.42624707E-4 0.04903373-j6.47449154E-4 0.050 7.08944622E-3-j6.28416087E-4 7.08944622E-3-j6.28416087E-4 7.22232719E-3-j6.47449154E-4

ρ (metri) [V/m]

In fig. 5 le curve che rappresentano i campi della Near (in rosso) e della Far-Near Zone (in verde) si avvicinano in corrispondenza dell’interfaccia tra le due zone (ρ=10b=0.05λ) per poi allontanarsi nuovamente man mano che ρ cresce.

(a) (b) ρ (metri) ρ (metri) [V/m] [V/m] Far-Near Zone Near Zone Far-Near Zone Near Zone

fig. 5: continuità del campo all’interfaccia tra Near Zone e Far Near Zone del frill ((a) Ez, (b) Eρρ, (ρρ, (, (c) Hφ, ( φφ). φ

Riassumendo, sono stati eseguiti i seguenti test:

• Controllo, per ciascun set, della coerenza tra formule e dati sperimentali. • Controllo, a parità di parametri, della coerenza tra i risultati prodotti dai

diversi set di equazioni.

• Verifica della continuità tra le equazioni delle diverse regioni di applicazione, in corrispondenza delle zone di confine.

Tutto ciò ci ha permesso di concludere che tutte le espressioni analizzate sono valide e affidabili in termini di precisione dei risultati.

Si osserva però che le equazioni di A.Sakitani per il campo nella Near Zone sono di più semplice implementazione e quindi computazionalmente più “snelle”; andrò a comporre, quindi, il modello magnetic frill secondo un criterio efficienza in termini di velocità di calcolo come descritto nel sottoparagrafo successivo.

(c) (c) ρ (metri) [V/m] Far-Near Zone Near Zone

2.3.2 Il modello “magnetic frill”.

Visto quanto descritto in precedenza e tratte le dovute considerazioni andiamo a mostrare il modello scelto per una sorgente di tipo magnetic frill.

Definiamo:

e chiamiamo:

gli integrali ellittici di 1a e 2a specie rispettivamente, abbiamo:

I Near Zone Ra

( )

ρ := (z−zP)2+

(

ρ +a

)

2 pa

( )

ρ 4⋅ρ⋅a Ra

( )

ρ 2 := p

(

ρ1 ρ,

)

4⋅ρ⋅ρ1 R

(

ρ1 ρ,

)

2 := Rb

( )

ρ := (z−zP)2+

(

ρ + b

)

2 pb

( )

ρ 4⋅ρ⋅b Rb

( )

ρ 2 := q

(

ρ1 ρ,

)

:=1−p

(

ρ1 ρ,

)

R

(

ρ1 ρ,

)

:= (z−zP)2+

(

ρ +ρ1

)

2 ELL2

(

ρ1 ρ,

)

0 π 2 θ 1−p

(

ρ1 ρ,

)

⋅sin

( )

θ 2 ⌠   ⌡ d := ELL1

(

ρ1 ρ,

)

0 π 2 θ 1 1−p

(

ρ1 ρ,

)

⋅sin

( )

θ 2 ⌠    ⌡ d := Ez_I

( )

ρ 1 2⋅ lnπ b a       ⋅ 2 Ra

( )

ρ ⋅ELL1a

(

,ρ

)

2 Rb

( )

ρ ⋅ELL1b

(

,ρ

)

− +k2⋅

(

Rb

( )

ρ ⋅ELL2b

(

,ρ

)

−Ra

( )

ρ ⋅ELL2a

(

,ρ

)

)

j 6 k 3 ⋅ ⋅π⋅

(

b2−a2

)

−       ⋅ := Eρ_I ρ

( )

z−zP 2⋅ lnπ b a       ⋅ a b ρ1 α1 ρ1 ρ

(

,

)

⋅ELL1

(

ρ1 ρ,

)

(

)

⌠  ⌡ d a b ρ1 α2 ρ1 ρ

(

,

)

⋅ELL2

(

ρ1 ρ,

)

(

)

⌠  ⌡ d +       j k⋅ 5⋅

(

b2−a2

)

120 ln b a       ⋅ ρ ⋅ ⋅(z−zP) − := Hφ_I ρ

( )

ω ε0 ⋅ ⋅k3⋅

(

b2−a2

)

24 ln b a       ⋅ ρ ⋅ j⋅ω⋅_ε0 2⋅ lnπ b a       ⋅ a b ρ1 β1 ρ1 ρ

(

,

)

⋅ELL1

(

ρ1 ρ,

)

+β2 ρ1 ρ

(

,

)

⋅ELL2

(

ρ1 ρ,

)

⌠  ⌡ d ⋅ + :=

con:

II Far-Near Zone (queste equazioni NON sono valide per ρ →0)

con: R0

( )

ρ := (zP−z)2+ρ2 III Asse α1 ρ1 ρ

(

,

)

−4 R

(

ρ1 ρ,

)

3⋅p

(

ρ1 ρ,

)

k2 R

(

ρ1 ρ,

)

2 p

(

ρ1 ρ,

)

−1       ⋅ + k 4 R

(

ρ1 ρ,

)

⋅ ⋅q

(

ρ1 ρ,

)

6 p⋅

(

ρ1 ρ,

)

− := α2 ρ1 ρ

(

,

)

2 R

(

ρ1 ρ,

)

3⋅q

(

ρ1 ρ,

)

2 p

(

ρ1 ρ,

)

−1       ⋅ 2 k 2 ⋅ R

(

ρ1 ρ,

)

⋅p

(

ρ1 ρ,

)

− k 4 R

(

ρ1 ρ,

)

⋅ 12 2 p

(

ρ1 ρ,

)

−1       ⋅ + := β1 ρ1 ρ

(

,

)

2 R

(

ρ1 ρ,

)

2 p

(

ρ1 ρ,

)

−1       ⋅ 2 k 2 ⋅ ⋅R

(

ρ1 ρ,

)

⋅q

(

ρ1 ρ,

)

3 p⋅

(

ρ1 ρ,

)

− := β2 ρ1 ρ

(

,

)

−4 R

(

ρ1 ρ,

)

⋅p

(

ρ1 ρ,

)

k2⋅R

(

ρ1 ρ,

)

3 2 p

(

ρ1 ρ,

)

−1       ⋅ + := Ez_II

( )

ρ k b 2 a2 − 8 ln b a       ⋅ ⋅ e j − k⋅ R0 ρ⋅ ( ) R0ρ

( )

2 ⋅ 2 1 k R0ρ⋅

( )

+j j b⋅

(

2+a2

)

2 R0ρ⋅

( )

2 −         ⋅ ρ 2 R0ρ

( )

1 k R0ρ⋅

( )

+j j b⋅

(

2+a2

)

2 R0ρ⋅

( )

2 −         j − k⋅ 2 R0ρ

( )

−       1 − k R0ρ⋅

( )

2 j b⋅

(

2+a2

)

R0ρ

( )

3 +         +         ⋅ +         ⋅ := Eρ_II ρ

( )

k b 2 a2 − 8 ln b a       ⋅ − ⋅ ⋅ρ z−zP R0

( )

ρ ⋅ e j − k⋅ R0 ρ⋅ ( ) R0

( )

ρ 2 ⋅ k 3 k k b⋅

(

2+a2

)

2 +       1 R0

( )

ρ 2 ⋅ − j 2 b 2 a2 + R0

( )

ρ 3 ⋅ 3 R0

( )

ρ −         ⋅ +         ⋅ := Hφ_II ρ

( )

k j 120π ⋅ b 2 a2 − 8 ln b a       ⋅ ⋅ ⋅k ρ e j − k⋅ R0 ρ⋅ ( ) R0

( )

ρ 2 ⋅ 1 k R0⋅

( )

ρ + j j b⋅

(

2+ a2

)

2 R0⋅

( )

ρ 2 −         ⋅         ⋅ :=

Eq. (2.7)

Per le regioni di applicabilità vedi fig. 3.

Nel Capitolo 3 vedremo l’implementazione in linguaggio FORTRAN del modello appena descritto. Ez_III

( )

ρ 1 2 ln b a       ⋅ e− kj⋅ (z zP− ) 2 a2 + ⋅ z−zP ( )2+ a2 e− kj⋅ (z zP− ) 2 b2 + ⋅ z−zP ( )2+ b2 −         ⋅ := Eρ_III ρ

( )

:= 0 Hφ_III ρ

( )

:= 0