Antonino Polimeno
Universit`a degli Studi di Padova
Equazione differenziale (quasi)lineare alle derivate parziali del primo ordine:
n
X
i
ai(x)∂y
∂xi = f (x, y )
ai sono funzioni Rn→ R; y `e in generale una funzione Rn→ C
I omogenea se f = 0
I se le soluzioni dell’equazione omogenea sono uno spazio vettoriale,
I se f non dipende day si ha un’equazione lineare;in questo caso se y0 `e una soluzione generale dell’equazione omogenea e
¯
y `e una soluzione particolare dell’equazione non omogenea, y = ¯y + y0
n
X
i
ai ∂y
∂xi
= ˆLy = 0 (1)
I Campo vettoriale: a = (a1, a2, . . . , an)
I Curve integrali: curve in Rn, c(τ ), tali che per un valore del parametro reale τ il vettore tangente al punto c(τ ) `e dato da a
d c(τ ) d τ = a
Sia y (x) soluzione di (1); la sua variazione lungo i punti di c `e dy
d τ =X
i
∂xi
∂τ
∂y
∂xi =X
i
ai∂y
∂xi = 0
I le funzioni che soddisfano (1) sono costanti lungo le linee integrali del campo vettoriale
I ogni funzione costante lungo le linee integrali del campo `e soluzione della (1) .
Trovare la soluzione di (1) equivale a determinare le funzioni costanti lungo le curve c(s) (metodo delle caratteristiche).
I Stiamo passando dalle coordinate x alle coordinate τ, ξ1, . . . , ξn, tali che le curve integrali (dette appunto caratteristiche) siano ξi(τ ) = ci, dove ci sono costanti;
I le soluzioni della (1) sono funzioni arbitrarie delle ξ1, . . . , ξn−1.
I Quindi in pratica si risolve il sistema ausiliario nella forma dx1
a1(x) = . . . = dxn
an(x)
trovando le costanti arbitrarie in funzione delle coordinate.
−x2
∂y
∂x1+ x1
∂y
∂x2 = 0 d x1
d τ = −x2
d x2
d τ = x1⇒ d x2
d x1 = −x2
x1
La soluzione `e ξ = x12+ x22. Ogni funzione di ξ `e una soluzione dell’equazione differenziale.
Esempio
−x1x3∂y
∂x1 + x2x3∂y
∂x2
− (x12+ x22)∂y
∂x3
= 0
Il sistema ausiliario `e:
d x1
d τ = x1x3 d x2
d τ = x2x3 d x3
d τ = −(x21+ x22)
Dalle prime due equazionid x2 d x1 = −x2
x1, con soluzione x2= ξ1x1, quindiξ1= x2
x1; dalla prima e dalla terza equazioned x3
d x1= −x 21+x 22
x1x3 . La soluzione si trova come segue:
d x3 d x1
= −x12+ ξ1x12 x1x3
= −(1 + ξ21)x1 x3
x32dx3 = −(1 + ξ21)x1dx1⇒ x32= −(1 + ξ12)x12+ ξ2
quindiξ2= x12+ x22+ x32; la soluzione generica `e y = F [ξ1(x), ξ2(x)], con F funzione arbitraria.
n
X
i
ai∂y
∂xi = f (x) (2)
Come prima, si definisce il sistema ausiliario d c(τ )
d τ = a ma ora la funzione y deve essere tale d y [c(τ )]
d τ = f [c(τ )]. In pratica si devono risolvere le equazioni
dx1
a1(x) = . . . = dxn an(x) = dy
f
Le prime n equazioni portano alla determinazione delle variabili τ, ξ1, . . . , xn−1, che sostituite nell’ultima danno
y = Z τ
0
F (τ0, ξ1, . . . , ξn−1)d τ0+ G (ξ1, . . . , ξn−1)
Se infine f 6= 0 dipende da y
n
X
i
ai∂y
∂xi = f (x, y )
si ha un’equazionequasi-lineare. Si definisce il sistema ausiliario come prima, ma ora la funzione y deve essere tale d y [c(τ )]
d τ = f [c(τ ), y ].
Esempio
x2∂y
∂x2− x1∂y
∂x1 = x1x2⇒ dx2
x2 = dx1
x1 = dy x1x2 dall’equazione in dx1e dx2 segue ξ1=xx1
2, mentre dall’equazione in dx1e dy segue x1dx2= dy , cio`e ξ1x2dx2= dy ; integrando quest’ultima (con ξ1
costante) si ottiene ξ1x22
2 = y − ξ2, dove ξ2`e una funzione arbitraria di ξ1. La soluzione `e perci`o
y = ξ2
x1
x2
+x1x2
2
La soluzione generale pu`o dover soddisfare determinate condizioni al contorno. Consideriamo il problema di Cauchy (assegnazione di valori della y su un insieme S di punti dati) per le sole equazioni lineari omogenee (1)
y |x∈S = y0(x)
Le caratteristiche sono delle curve (di dimensione uno) in uno spazio n-dimensionale; S deve essere una variet`a di dimensione n − 1..
I S pu`o essere l’unione di diverse vari`et`a
I se S interseca le caratteristiche pi`u di una volta, f (x) non pu`o essere arbitraria, ma deve avere lo stesso valore nei punti di S che appartengono alla stessa caratteristica.
I Torniamo al primo Esempio
−x2 ∂y
∂x1
+ x1
∂y
∂x2
= 0
d x1
d τ = −x2
d x2
d τ = x1⇒ d x2
d x1 = −x2
x1
le caratteristiche sono circonferenze ξ = x12+ x22. Scegliamo S come una semiretta x1> 0, x2= 0; vogliamo la soluzione della (1) tale che valga e−x12 su S . Ne consegue che la soluzione generica sar`a y = e−(x12+x22).
I Le condizioni al contorno devono essere compatibili con la soluzione. Se avessimo scelto S come l’intera retta x2 = 0 avremmo dovuto anche limitare la scelta di y0(ξ) alle sole funzioni pari di ξ.
