Resistività del terreno ( ρ ) 1.1 1. G

3

1.

G

ENERALITÀ SULLE MISURE GEOELETTRICHE E SUGLI STRUMENTI DI INTERPRETAZIONE

Per discriminare la struttura del sottosuolo è applicata al terreno una corrente elettrica continua, attraverso elettrodi infissi nel terreno. Dalla misura della corrente, del potenziale elettrico generato e delle dimensioni del terreno si ricava la resistività del terreno ρ, o conducibilità elettrica σ. Inoltre dalla misura del potenziale residuo nel terreno, dopo un tempo prefissato, si individua la polarizzazione indotta IP, o “Caricabilità”, indicata anche con M. Per fare ciò si fa uso di strumenti multielettrodici, tipo Syscal IRIS, per quanto riguarda la raccolta dei dati. Successivamente, i dati raccolti nell’indagine di campo vengono elaborati con un software per esplorazioni geofisiche di nome ERTLab® (Electrical Resistivity Tomography).

1.1 Resistività del terreno (ρ)

Le indagini geoelettriche di resistività, anche dette di conducibilità, si basano sugli effetti sotterranei della corrente elettrica, rilevabili in superficie attraverso misure di differenza di potenziale e di corrente.

Il terreno presenta due tipi di conducibilità elettrica:

1. Conducibilità di tipo elettronico: con valori di resistività dell’ordine dei 10-5÷10-6 Ω·m, che è quella propria dei metalli, nei quali ρ aumenta con la temperatura, o dei semiconduttori (solfuri) nei quali, in virtù delle lacune che limitano il movimento degli elettroni, la resistività diminuisce all’aumentare della temperatura;

2. Conducibilità di tipo ionico: con valori di ρ dell’ordine di 105÷108 Ω·m, che è quella propria dei dielettrici.

In generale il sottosuolo, a parte i distretti minerari composti da minerali conduttori come Metalli e Solfuri, è composto in grandissima maggioranza da minerali dielettrici, in primo luogo Silicati, ma anche Carbonati o Solfati. Di conseguenza le rocce sarebbero mezzi a resistività praticamente infinita, se non fosse per la presenza di porosità e fratturazioni, le quali sono saturate parzialmente o totalmente da fluidi come aria, acqua, idrocarburi o altri percolati (liquido inquinante disperso dalle discariche). Nella maggior parte dei casi è presente l’acqua, che contiene Ioni e Sali; la sua resistività è funzione di vari parametri, tra cui la concentrazione salina e la temperatura, al crescere della quale diminuisce la viscosità e aumenta la dissociazione dei Sali stessi.

Valori tipici di resistività dell’acqua sono :

• Intorno a 10-1 _{Ω·m per acque marine;}

• Circa 1 Ω·m per acque salmastre; • 10÷100 Ω·m per acque dolci.

Un discorso a parte va fatto per le argille, in possesso di particolari proprietà che ne rendono caratteristico il comportamento. Infatti ci troviamo di fronte ad una roccia molto porosa, satura d’acqua che tende a restare in loco, con un contenuto tutto sommato alto di sali. Quindi possiamo considerare l’argilla come un mezzo avente una propria resistività, che non cambia al variare del contesto ambientale in cui si trova:

• Valori tipici di resistività delle argille sono nell’intervallo 1÷100 Ω·m.

Riassumiamo, nella Tabella 1.1, dei valori indicativi di resistività elettrica per alcune formazioni, oltre che per metalli e inquinanti che si possono rinvenire nel sottosuolo.

5

Tabella 1.1 Intervalli tipici di resistività di terreni, di rocce e di materiali di discarica (da Telford 1990, Loke 1999 e Provincia di Milano 2003)

Mezzo Resistività (Ω· m)

Rocce ignee 102_÷107 _{(valori più bassi per rocce più fratturate)} Calcari 102_÷104 _{(valori più bassi per rocce più fratturate)} Sabbie e terreni alluvionali 10÷10

3 _{in acqua dolce (variazione di 1-2 ordini di grandezza in} acqua salata)

Acqua dolce 10÷100 Acqua salmastra circa 1

Acqua marina 0.2 Marne 20 Argille 1÷100 Rame (nativo) 2·10-7 Ferro 9.074·10-8 KCl (cloruro di potassio) 0.708 NaCl (cloruro di sodio) 0.843 NH4Cl (Acido acetico) 6.13 Marmo 102_÷2.5·108 Altri metalli 10-6_÷10-8 Xilene 6.998·1016 Rifiuti domestici 12÷30 Fanghi industriali 40÷200 Olio esausto 150÷700

1.1 Misura di resistività del sottosuolo

Le prospezioni geoelettriche di resistività, in corrente continua DC, si basano sugli effetti sotterranei di una corrente elettrica, rilevabili in superficie attraverso misure di differenza di potenziale.

La misura di resistività del terreno è effettuata, nella maggior parte dei casi, utilizzando dispositivi riconducibili ad uno schema di configurazione a quadripolo. Si invia nel sottosuolo mediante due elettrodi, in generale indicati con A e B, una corrente I nota e si misura tramite due elettrodi, indicati con M e N, la differenza di potenziale ΔV, prodotta dalla corrente I tra i punti del terreno nel quale sono posti gli elettrodi M e N.

Figura 1.1 Configurazione elettrodica generica per la misura delle resistività del sottosuolo.

Se il sottosuolo fosse omogeneo e isotropo, la sua resistività ρ sarebbe calcolata attraverso la seguente relazione: I V K⋅Δ = ρ

[

Ω⋅m

]

RESISTIVITÀ APPARENTE

dove K, da Cardarelli (2006), è il fattore geometrico che è funzione solo della posizione reciproca degli elettrodi: ⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ + − − = 1 1 1 1 2 r r r r K π FATTORE GEOMETRICO

7 calcolato mediante le espressioni sopra scritte, non coincide con il valore di resistività di uno dei mezzi presenti, ma è funzione della resistività e della posizione dei mezzi stessi nel sottosuolo. Tale valore è chiamato resistività apparente e può essere pensato come la resistività di un mezzo omogeneo e isotropo che, energizzato con la stessa corrente, dia luogo alla stessa differenza di potenziale tra gli elettrodi. Variando la posizione degli elettrodi rispetto ai mezzi presenti varia la resistività apparente, indicando così la loro presenza, e il nostro obiettivo è dunque quello di ricostruire al meglio le dimensioni, la posizione e la resistività dei mezzi a partire da più misure di resistività apparente.

1.2 Misura di Polarizzazione indotta (IP) o Caricabilità del sottosuolo

Il metodo di polarizzazione indotta del terreno è stato sviluppato per la prospezione di piccole concentrazioni di elementi metallici, non individuabili con indagini resistive perché, ad esempio, disseminati in materiali non conduttori come silicati. Il metodo di IP, dapprima utilizzato in ambito minerario, fu applicato all’ambito ambientale nei primi anni ’70 (Angoran et al., 1974).

La polarizzazione indotta è un fenomeno generato dalla stimolazione di una corrente elettrica, che viene osservata dopo l’applicazione di una tensione nel terreno. Il metodo consiste nell’osservazione della curva di decadimento del potenziale, susseguentemente all’interruzione della corrente immessa, cioè dalla misura della “Caricabilità residua” trattenuta dal terreno sottoposto ad indagine (Provincia di Milano, 2003), come mostrato in Figura 1.2.

Tali misure vengono fatte dopo un tempo di ritardo (Delay Time) di qualche decina di millisecondi, preferibilmente un secondo (M Delay Time), in modo da lasciare che gli effetti di accoppiamento tra i cavi e altri effetti parassiti si siano esauriti o che almeno siano trascurabili. Gli inconvenienti dovuti all’accoppiamento potrebbero essere molto ridotti utilizzando cavi schermati, come cavi coassiali che, però, fanno lievitare i costi e ridurre la flessibilità di tali misurazioni.

Le misurazioni della caricabilità apparente parziale (Mi) e una media globale dedotta (Ma) danno

La caricabilità parziale di una singola finestra dell’intervallo di tempo TMi è dato dalla formula:

(

Mi Max

)

T i

Vdt

T

V

M

Mi

⋅

=

∫

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ V mV CARICABILITÀ PARZIALE

dove V è la tensione istantanea misurata nell’intervallo di tempo T (msec) mostrata in Figura 1.2 _Mi e V_Max è il valore massimo della tensione di carica. In Figura 1.2 si nota che gli intervalli di tempo presi in considerazione sono tre (TM1, TM2, TM3), gli intervalli di tempo disponibili per le

misurazioni dipendono dalla corrente iniettata e dal metodo di IP utilizzato.

La caricabilità apparente globale, cioè la caricabilità apparente di un singolo punto della pseudosezione, è data dalla formula:

(

)

_∑

∑

= =

⋅

=

n i Mi n i Mi i a

M

T

T

M

1 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ V mV CARICABILITÀ APPARENTE

dove n è il numero di finestre IP, nel nostro caso n=3 (M1, M2, M3).

Il fenomeno di carica e scarica può essere descritto secondo la curva di Figura 1.2. In alcuni trattati la caricabilità viene misurata in millisecondi, attraverso la relazione:

(

)

∑

=

⋅

⋅

=

n i Mi i a

M

T

M

1

1000

1

[

msec

]

CARIC. APPARENTE IN MILLISECONDI

Per un terreno omogeneo di dimensioni infinite, il tempo di decadimento è funzione della resistività del terreno e non cambia al variare della coppia dei punti tra i quali si misura la differenza di potenziale. Se nel terreno è incluso un corpo metallico o un corpo con proprietà analoghe a quelle di un corpo metallico, si verificano anomalie nel decadimento elettrico, in funzione del tempo. Lo stesso fenomeno si osserva anche per la polarizzazione di contaminati organici, che possono eventualmente trovarsi nel terreno di un sito contaminato.

9

Figura 1.2 Forme d’onda del potenziale (modificato da Ward, 1990) e delle correnti.

I fenomeni che avvengono a livello microscopico nel materiale sottoposto ad una corrente I, sono globalmente di due tipi:

1. Polarizzazione elettrodica: è la tipica polarizzazione dei metalli, dove le cariche sono libere di migrare; quindi esse si disporranno in modo da avere le cariche positive da un lato e le cariche negative dall’altro. Questo tipo di polarizzazione è tipica nelle indagini minerarie. 2. Polarizzazione a membrana: dovuta a Sali disciolti in liquidi che producono una selettiva

membrana elettrolitica, che funge da divisione tra le cariche negative e le cariche positive. Questo tipo di polarizzazione è particolarmente importante nelle rocce porose, contenenti una bassa percentuale di argilla, ed è particolarmente riscontrata nelle indagini in discarica.

Tabella 1.2 Intervalli tipici di caricabilità di terreni, di rocce e di materiali di discarica (da Telford 1990 e Keller 1966).

Materiali o Minerali Caricabilità

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ V mV Pirite 13.4 Galena (Solfuro di Piombo) 3.7

Rocce con il 20% di solfati < 200 Rocce con l’8-20% di solfati 100÷200 Rocce con il 2-8% di solfati 50÷100

Magnetite 2.2 Ematite (Ossidi e idrossidi di Ferro) 0.0

Acque sotterranee 0.0 Materiale Alluvionale 1÷4

Ghiaia 3÷9 Arenaria 3÷12 Quarzite (Roccia con minerali di Quarzo) 5÷12

11

1.4 Configurazioni elettrodiche

In Figura 1.3 si notano le differenti configurazioni di alcuni degli ordinamenti elettrodici per indagini geofisiche di superficie, nelle quali gli elettrodi denominati A e B sono gli elettrodi di corrente, e gli elettrodi M e N sono gli elettrodi di Potenziale.

Figura 1.3 Configurazioni elettrodiche più utilizzate nei rilievi di resistività e di caricabilità del sottosuolo.

La configurazione Wenner risulta, a parità di condizioni, la più robusta, dato che assicura un segnale ΔV maggiore e quindi è meno sensibile al rumore ambientale. Questo è dovuto al fattore geometrico K che per il Wenner è il più piccolo possibile.

Tali configurazioni vengono anche applicate nelle misure in pozzi di trivellazione che risultano più accurate, da un punto di vista geologico, ma molto più costose.

A titolo esemplificativo riportiamo in Figura 1.4 la schematizzazione di una rilevazione eseguita da Vogelsang, 1994.

Figura 1.4 Schematizzazione di una rilevazione (da Vogelsang, 1994)

Queste indagini portano all’utilizzo di un gran numero di elettrodi, 24, 48 o più, con passi a di 0.25m, 1m, 2m o anche decine di metri, addirittura anche centinaia di metri. Chiaramente, passi più piccoli garantiscono un’indagine del terreno sottostante più accurata, ma una minore superficie d’indagine. Nelle prove di campo effettuate dalla Geostudi, come mostrato nella Figura 1.5, gli elettrodi vengono collegati, con dei morsetti, ad un cavo multianima, che a sua volta li collega ad uno strumento denominato SYSCAL, di produzione IRIS, che selezionerà automaticamente gli elettrodi da utilizzare per tutte le combinazioni possibili, e memorizzerà le misure effettuate. Tale

13

Figura 1.5 Immagini di un’indagine di campo.

Nell’esempio di Figura 1.6 sono mostrate tutte le possibili misurazioni, per l’ordine elettrodico Wenner, di un sistema a 20 elettrodi. Per la prima misurazione sono utilizzati gli elettrodi 1, 2, 3 e 4; osserviamo che in questa notazione l’elettrodo C1 è utilizzato come primo elettrodo di corrente, l’elettrodo C2 come secondo elettrodo di corrente e gli elettrodi P1 e P2 sono usati come elettrodi di potenziale. Per convenzione, considerando di essere su di un terreno omogeneo, si indica come punto di cui si trovano le informazioni, quello che si trova sull’incrocio delle rette, che partono dagli elettrodi di potenziale con una pendenza di 45° verso il centro dell’ordinamento elettrodico (cioè si individuano le proprietà del punto numero 1 di Figura 1.6). Aumentando la distanza tra gli elettrodi di potenziale si individua la caricabilità dei punti che si trovano più in profondità.

Per la seconda misurazione sono utilizzati gli elettrodi 2, 3, 4 e 5; come spiegato precedentemente, si può individuare il punto che corrisponde a tale configurazione. Una volta terminate tutte le possibili combinazioni con n=1, si passa a n=2; così facendo si trovano le informazioni sui punti del secondo strato (dal punto 18 al 31), lo stesso si fa per n=3 che individua le informazioni per il terzo strato (dal punto 32 al 42), e così via fino a n=6 per il sesto strato (punti 56 e 57).

Per un’indagine 3D si faranno le stesse operazioni, ma con cavi disposti su più linee, in modo da far eseguire allo strumento tutte le possibili combinazioni elettrodiche. Ciò richiede un maggior numero di misure e una maggiore energia fornita dalle batterie.

Figura 1.6 Disposizione degli elettrodi per un'indagine 2D e sequenze di misurazioni usate per costruire la pseudosezione (Loke, 1999).

Una volta effettuate tutte queste misure, siamo in grado di ricostruire la pseudosezione delle resistività apparenti, o delle caricabilità apparenti. La pseudosezione è una rappresentazione convenzionale delle resistività apparenti, o delle caricabilità apparenti, essa ci dà indicazione della copertura spaziale delle misure di campo. Una volta ricavata la pseudosezione possiamo procedere con l’inversione delle misurazioni, per ricostruire al meglio il terreno sottostante.

15

1.5 Teoria e Algoritmi risolutivi (Modellazione Diretta e Inversione)

M

ODELLAZIONE

D

IRETTA

La tecnica della Modellazione Diretta, anche detta Forward Modelling, cerca di trovare una soluzione all’equazione differenziale, l’equazione di Poisson, che governa il flusso della corrente elettrica nel terreno.

La legge di Ohm per il campo di corrente, riferita alle grandezze specifiche vettoriali

E

e

J

,

E

J

=

ρ

LEGGE DI OHM

dove

J

è la densità di corrente, espressa in _⎢⎣⎡ _2⎥⎦⎤ m

A

,

E

è il campo elettrico, espresso in _⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤ m V

e

ρ

è la resistività, espressa in

[ ]

Ωm .

Il campo elettrico può essere espresso, come noto, dal gradiente di un potenziale scalare

V

cambiato di segno,

V

−∇

=

E

CAMPO ELETTRICO

dalla quale possiamo vedere che

V

V

=

−

∇

∇

−

=

σ

ρ

1

J

_{DENSITÀ DI CORRENTE}

dove σ è la conducibilità, espressa in _⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤ m Siemens

. Di conseguenza, l’equazione di Poisson:

(

−

∇

)

=

∇

⋅

J

⋅

∇

σ

V

dove si afferma che la divergenza della densità di corrente è uguale alla divergenza del gradiente del potenziale moltiplicato per la conducibilità e cambiato di segno.

Generalmente, noi consideriamo che, dalle sue sorgenti, la corrente entra o esce nel terreno in un singolo punto. Possiamo mostrare che ciò porta all’espressione:

(

−

σ

∇

V

)

=

I

δ

_{( ) ( ) ( )}x

δ

y

δ

z

⋅

∇

in cui

δ

_{( )}è la funzione delta di Dirac.

Per terreni con complicate strutture resistive 2D o 3D, noi utilizziamo generalmente, per risolvere questa equazione, il metodo agli elementi finiti.

Il concetto base del metodo agli elementi finiti (FEM) è di suddividere l’area di indagine in elementi, in cui il potenziale sconosciuto V ′ è approssimato da semplici funzioni interpolanti, in ogni singolo elemento finito.

Per quanto riguarda l’uso degli elementi si fa uso di elementi esaedrici, cioè con otto nodi ai vertici, e si assume una distribuzione di conducibilità omogenea e isotropa.

Il potenziale approssimato V ′ è dato da:

∑

= = ′ 8 1 i i iu n V POTENZIALE APPROSSIMATO

dove u è il potenziale all’i-esimo nodo e _i n (i=1,2,….,8) è la “funzione di forma”, che per un _i esaedro elementare è del tipo:

(

i

)(

i

)(

i

)

i a xx b yy c zz c b a n = 2 + 2 + 2 + 2 2 2 8 1

FUNZIONE DI FORMA ESAEDRO

dove l’esaedro è un mattone (brick) con facce parallele agli assi cartesiani, e ha dimensioni 2a, 2b,

c

2 , rispettivamente secondo le direzioni x, y , z e quindi x_i =±a, y_i =±b, z_i =±c.

17 dove

f

₍x,y,z₎ vale

I

δ

( ) ( ) ( )x

δ

y

δ

z o zero a seconda se la corrente è inserita o meno nell’elemento.

Applicando la tecnica di minimizzazione di Galerkin allo scopo di minimizzare l’errore, l’equazione per l’e-esimo elemento diventa:

( , , ) 0 2 _{′ − =} ∇

∫∫∫

∫∫∫

Vdxdydz f n_idxdydz e z y x e σ i =1,2,…,8 Sostituendo

∑

= = ′ 8 1 i i iu n

V , in questa ultima espressione si ha:

( , , ) 0 8 1 = − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂

∫∫∫

∑ ∫∫∫

= dxdydz n f u dxdydz z n z n y n y n x n x n i e z y x j j e i j i j i j e σ i=1,2,…,8

Integrando il primo termine si ha secondo Pridmore (1978):

j i j i j i j i j i j i e e i j B B z z y y z z b y y c b c bc a x x dv x n x n = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ + +} = ∂ ∂ ∂ ∂

∫∫∫

₈ 2 2 ₃1 2 1₃ 2 ₉1 3 j i j i j i j i j i j i e e i j C C x x z z x x c z z a c a ac b y y dv y n y n = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ + +} = ∂ ∂ ∂ ∂

∫∫∫

₈ 2 2 ₃1 2 ₃1 2 ₉1 3 j i j i j i j i j i j i e e i j D D y y x x y y a x x b a b ba c z z dv z n z n = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ + +} = ∂ ∂ ∂ ∂

∫∫∫

₈ 2 2 1₃ 2 ₃1 2 ₉1 3 i =1,2,…,8

L’integrazione è stata fatta considerando l’elemento esaedro con dimensioni x, y, z pari a 2a, 2b,

c

2 . L’equazione dell’elemento può essere scritta completamente come:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + + + + + + + + 8 2 1 8 2 1 2 8 2 8 2 8 8 2 8 2 8 2 2 2 2 2 2 2 8 1 8 1 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F F F u u u D C B D D C C B B D C B D D C C B B D D C C B B D C B e SIMMETRICA σ

Il vettore

[

_{F F}

]

T 8

1 ... è un vettore con tutti gli elementi nulli se la sorgente di corrente coincide

con i nodi degli elementi, altrimenti i suoi elementi valgono I2 .

Poiché gli elementi avranno nodi in comune, le equazioni degli elementi possono essere riunite in un singolo set di equazioni lineari. Il sistema globale risultante ha come forma generale:

F

U

K

⋅

=

dove la matrice K contiene i termini di rigidezza (termini collegati alle coordinate dei nodi e alla conduttività degli elementi) ed è una matrice quadrata e simmetrica, il vettore U contiene il potenziale dei nodi, e il vettore F contiene la sorgente di corrente e le condizioni al contorno.

Le condizioni al contorno (boundary conditions, BC) da tenere in considerazione sono di due tipi: • Condizione al contorno di Neumann, secondo cui all’interfaccia tra terreno e aria non ci

sono linee campo di corrente perpendicolari al bordo; lo stesso principio può essere applicato a tutti i contorni.

• Condizione al contorno di Dirichlet, secondo cui il valore del potenziale ai lati, in superficie e sul fondo della frontiera (in teoria ad infinito) può essere impostato ad un valore fisso, che in genere si prende uguale a zero.

Per la risoluzione del sistema di equazioni, che nel caso 3D comprende un grande numero di incognite, si fa uso di tecniche iterative.

La modellazione diretta dei dati della IP è direttamente collegata alla modellazione dei dati di resistività. L’effetto della IP può essere descritto (Seigel, 1959) da un parametro fisico macroscopico chiamato M .

La corrente ha un delay time tra l’impulso di corrente e l’istante in cui la tensione IP viene misurata. Un tipico dominio-tempo è mostrato in Figura 1.7. In questa Figura, V è il potenziale che viene _σ misurato in assenza degli effetti di caricabilità. Questo è il valore istantaneo del potenziale misurato

19 dove f è definito dall’equazione, già scritta precedentemente: _dc

(

∇

V

)

=

−

I

(

r

−

r

S

)

⋅

∇

σ

_σ

δ

e da appropriate condizioni al contorno. Nell’equazione sopra, σ è la conducibilità elettrica in

metro

Siemens

(

S m

)

, ∇ è l’operatore gradiente, I è l’intensità della corrente in ingresso in Ampere

( )

A , e r è la posizione della sorgente di corrente. Per tipiche strutture di terreno σ , _S sebbene positiva, può veramente misurare molti ordini di grandezza. Il potenziale V è il potenziale _σ dovuto alla singola corrente.

Figura 1.7 Definizione dei tre potenziali associati alle esperienze DC/IP.

Dove il terreno è caricabile, la tensione misurata cambierà con il tempo e raggiungerà un valore limite che è indicato con V in Figura 1.7. Questo è il risultato di una serie di fenomeni _S microscopici coesistenti; il valore finale può essere quantificato attraverso un singolo parametro macroscopico chiamato “Caricabilità” (“Chargeability”).

Per fare il Forward Modelling, calcoliamo V_IP adottando la formulazione di Seigel (1959), dove si afferma che l’effetto di un terreno caricabile è modellato usando la modellizzazione diretta in corrente continua di resistività f , ma con la conducibilità _dc σ sostituita da:

(

−

M

)

= 1

σ

σ

che quindi implica:

(

)

[

M

]

f

V

_S

=

_dc

σ

1

−

ed anche:

(

)

(

−

M

∇

V

)

=

−

I

(

r

−

r

S

)

⋅

∇

σ

1

_σ

δ

Il dato di Polarizzazione Indotta IP che indichiamo come “Caricabilità Apparente”, è definito da:

S S S IP a

V

V

V

V

V

M

=

1000

=

1000

−

σ _{CARICABILITÀ APPARENTE} sostituendo si ottiene:

(

)

[

]

[ ]

(

)

[

M

]

f

f

M

f

M

dc dc dc a

−

−

−

=

1

1

1000

σ

σ

σ

L’equazione sopra mostra che la caricabilità apparente può essere calcolata usando due modellazioni dirette di resistività DC con conducibilità σ e σ

(

1−M

)

. Si nota che la definizione di caricabilità apparente è dimensionale, e in questo caso in cui i dati sono acquisiti su un terreno che ha costante di caricabilità M , otteniamo che ₀ M_a =M₀.

21

I

NVERSIONE

I “Dati di Campo” ricavati da un’indagine DC/IP sono un set di N potenziali (l’ideale sarebbe misurare V , ma normalmente si trova _σ V ) e un set di N potenziali secondari _S V_IP. L’obiettivo di tale indagine è realizzare un’inversione usando questi dati per acquisire informazioni sulla distribuzione dei due parametri fisici di interesse:

• conducibilità σ(x,y,z)o resistività ) , , ( 1 ) , , ( z y x z y x σ ρ = e • caricabilità )M(x,y,z .

La distribuzione di resistività e di caricabilità nel terreno può essere estremamente complicata. Per affrontare il problema dell’inversione geoelettrica da misure di resistività e di caricabilità, ci rifacciamo agli algoritmi descritti in: “METODI DI INVERSIONE GEOELETTRICA DA MISURE DI RESISTIVITÀ CON APPARECCHIATURE MULTIELETTRODICHE”, di Federico Fischanger, dove, da un’analisi approfondita dei vari algoritmi, si è optato per il ricorso ad un “algoritmo ai Minimi Quadrati con vincolo di regolarità (smoothness)”.

L’algoritmo scelto prevede la risoluzione iterativa con metodo Gauss-Newton e con regolarizzazione alla Tikhonov della funzione obiettivo:

)

m

L(m

α

h(m)]

W[d

Φ(m)

=

−

₂2

+

−

₀ FUNZIONE OBIETTIVO dove:

m è il vettore dei parametri del modello;

0

m è il modello di riferimento, eventualmente nullo; h(m) è il vettore della risposta modellata (Forward);

0 >

α è il moltiplicatore di Lagrange, detto anche damping, parametro di regolarizzazione;

L è la matrice di regolarizzazione, di smoothness, calcolata sulla base della differenza tra il valore di resistività di ciascuna cella con il valore di resistività delle celle immediatamente adiacenti;

W è la matrice di peso, che tiene conto degli errori sui dati;

La risoluzione di ogni iterazione conduce alla seguente equazione:

[

]

(

)

[

]

(

0

)

1 1 1 1 1 1

₎

_W

_W

_J(m

₎

_αL

_L

_m

_m

_J(m

₎

_W

_W

_d

_h(m

₎

_αL

_L

_m

_m

J(m

k− T T

_⋅

k−

₊

T

_⋅

k

₋

k−

₌

k− T T

_⋅

₋

k−

₋

T

_⋅

k−

₋

che rappresenta la risoluzione numerica della funzione obiettivo. Rappresentabile anche come:

[

]

{

[

]

(

0

)

}

1 1 1 1 1 1_{) W W J(m ) αL L J(m ) W W d h(m ) αL L m m} J(m δmk ₌ k− T T _⋅ k− ₊ T − _⋅ k− T T _{⋅ −} k− ₋ T _⋅ k− ₋

e ancora ponendo m₀ =0, come:

[

−1 _⋅ −1 ₊

]

−1_⋅

{

−1 _⋅

[

₋ −1 ₊ −1 −1

]

}

= k T T k T k T T k k k k _{J(m ) W W J(m ) αL L J(m ) W W d h(m ) J(m )m} m dove: 1 − k

m è il modello ricostruito alla k-esima iterazione; k

m è il modello aggiornato; )

(_mk−1

J è lo Jacobiano per il (k-1)-esimo modello, cioè quanto è sensibile ogni misura al modello k-1;

W

WT _{è la matrice diagonale dei reciproci delle varianze delle misure;} )

(_mk−1

h è il vettore della risposta modellata (Forward) del (k-1)-esimo modello.

Quindi si calcolano i residuali tra misure di campagna (

d

) e misure modellate (h(mk)) dall’espressione:

23 A questo punto si interrompe il procedimento iterativo se è stato raggiunto uno dei seguenti criteri di arresto:

a) Se questa differenza è all’interno della funzione obiettivo, cioè se si raggiunge il valore della statistica χ2;

b) Se si è raggiunto il numero massimo di iterazioni;

c) Se non ci sono sensibili cambiamenti tra due iterate consecutive.

Se invece non si è raggiunta la convergenza si calcolano le altre matrici L di smoothness e lo Jacobiano J sulla base dei parametri nodali calcolando il Forward Modeling per il modello (

m

k+1), come mostrato in Figura 1.8.

Si aggiorna la matrice W dei pesi, delle deviazioni standard delle misure ricalcolata sulla base di un algoritmo di ripesaggio

SI SI

SI

Lettura del file dati con le misure di resistività apparente e caricabilità apparente. Visualizzazione delle pseudosezioni per i dati

COSTRUZIONE DELLA MATRICE DI SMOOTHNESS L

Si calcola il Forward Modeling per il modello di resistività o caricabilità corrente per il modello mK

Si definiscono i parametri della mesh (es. numero, forma e dimensione dei blocchi ecc.) e i parametri matematici dell’inversione (es. % rumore, numero

max di iterate, valore dello smoothness di partenza ecc.)

NO

DEFINIZIONE DEI PARAMETRI DI INPUT

DEFINIZIONE DEL MODELLO DI PARTENZA m

Dove presente si importa la topografia

DEFINIZIONE DEI PARAMETRI SPECIFICI DELL'INVERSIONE

RISOLUZIONE DEL FORWARD PROBLEM ALLA K-ESIMA ITERAZIONE

RISOLUZIONE -AGGIORNAMENTO DEI PARAMETRI DEL MODELLO

questa differenza è all’interno della funzione obiettivo?

Salvataggio dei valori dei potenziali nodali calcolati per ogni elettrodo di corrente che verranno utilizzati nel calcolo della matrice J

Calcolo dei residuali tra misure di campagna e misure modellate

[

d

₋

h(m

k

)

]

CALCOLO DELLA FUNZIONE OBIETTIVO

SE

numero massimo di iterazioni?

non ci sono sensibili cambiamenti tra due iterate consecutive?

NO