Corrente continua 1 6 giugno 2011 Corrente elettrica Densità di corrente Legge di Ohm, resistenza Resistività, conduttività Mobilità dei portatori Composizione di resistenze Energia e potenza nei circuiti elettrici

Corrente continua 1

6 giugno 2011

Corrente elettrica Densità di corrente

Legge di Ohm, resistenza Resistività, conduttività Mobilità dei portatori

Composizione di resistenze

Energia e potenza nei circuiti elettrici

Corrente elettrica

• Per definizione è il rapporto tra la carica

passata attraverso una superficie e il tempo impiegato

• Corrente media e corrente istantanea

• Inizialmente ci occuperemo principalmente di correnti stazionarie, cioe` costanti nel tempo

• Esempi di corrente:

– corrente in un filo conduttore

– Corrente di un fascio di particelle – Corrente ionica in un liquido

t I Q

 

dt

I  dq

Il Tevatron di Fermilab

• The Tevatron is currently colliding 36 proton against 36 antiproton bunches, where either beam consists of 3

equally spaced trains of 12 bunches in a common single vacuum chamber

• The two beams are separated by a helical orbit except at the two locations of High Energy Physics (HEP)

experiments, where they collide head on

• Recently, the total beam intensities injected into the Tevatron has been slightly over 10×10¹² protons and 1.2×10¹² antiprotons

Corrente elettrica

• Alla corrente possono contribuire sia cariche positive che negative

• I contributi si sommano se le velocità sono opposte

• Il verso convenzionale della corrente è

quello della velocità delle cariche positive

Dimensioni fisiche. Unità di misura

• Le dimensioni della corrente sono carica diviso tempo

• L’unità di misura è l’ampere (A) definito come coulomb diviso secondo

• Nel SI puro è il

coulomb ad essere definito in termini di ampere

  ^{I  QT}

s

A  C

Corrente nei metalli

• In un oggetto metallico, alcuni degli elettroni più esterni degli atomi costituenti vengono condivisi da tutto l’oggetto

• Sono quindi liberi di muoversi entro l’oggetto, ma vincolati a non lasciarlo da forze alla superficie

• Posseggono un moto di agitazione termica che è del tutto casuale, ovvero la velocità per diversi elettroni o in diversi istanti assume le diverse orientazioni possibili in modo casuale

• La velocità termica ha, in modulo, un valore

molto elevato

Corrente nei metalli

• L’applicazione di un campo E produce una forza su tutti gli elettroni liberi, che di

conseguenza si muovono con una velocità di deriva

• La velocità di deriva di tutti gli elettroni ha la medesima direzione (opposta a E)

• La velocità di deriva ha valore piuttosto

piccolo

Corrente e densità dei portatori

• Consideriamo un filo metallico sede di corrente stazionaria, di sezione (retta) costante A

• sia n la densità di portatori

• e v_d la velocità di deriva

• Il numero di portatori N che passa attraverso A nel tempo è pari al numero di portatori presenti nel volume del cilindro di base A e altezza

• La corrente è dunque

t v_d

t v



A

 t

t v_d

A t nqv

V qn

t

I qN 



 

 

8

Corrente e densità dei portatori

• Se la sezione non è retta, il volume è

• Dove  è l’angolo formato dai vettori area A e velocità v_d cioè:

• La corrente si può allora scrivere:

• Il numero di portatori puo` anche non essere distribuito uniformemente, allora

• Ove n e` la densita` numerica dei portatori e  quella di carica

t A v

V 

 

  

A v

A v

t nq V qn

t

I qN  

   

 



 

  

 cos tA

v V 





V n

N  

ndV dN 

dV n  dN

dV q dN qn 

 

Corrente e densità di corrente

• La corrente si può scrivere anche

• Ove è stato introdotto il vettore densità di corrente

• La corrente si può interpretare come il flusso del vettore densità di corrente attraverso la sezione A

d

d

v

v nq

J   







A J

I  





Corrente e densità di corrente

• Se il flusso di carica non è uniforme sulla sezione del conduttore, possiamo generalizzare la definizione di

corrente come integrale del flusso della densità di corrente sull’elemento di area della sezione

• Generalizzazione della densita` di corrente a più specie di portatori













k

k N

k

k k N

k

k k

k

q v v J

n J

1 1

1

 

 



 ^



S

A d J

I  

Corrente attraverso superfici chiuse

• Relazione tra densità di carica e di corrente

• Conservazione della carica

• Applicando il teorema della divergenza al primo membro

 0

0 i

dt 

dq  0

dt

dq i

 0

dt i   dq











) (S S

dt dV A d

d

J ^{ } 









 







) ( )

(S S

t dV dV

J ^ 



J





d





Equazione di continuità

• Dall’uguaglianza degli integrali, segue

• Se non c’è dipendenza dal tempo, si ha uno stato stazionario:

J t



 





 ^{ } 

 0



 t

  J     0

Densità di corrente

• Per un filo di sezione uniforme, il modulo è il

rapporto tra intensità di corrente e sezione retta del filo

• Dimensioni

• Unità di misura

 

TL Q A

J I 

 

 



nqv

A J  I 

 

sm J C

u 

Confronto tra velocità termica e di deriva

• Velocità termica a 300 K

• Velocità di deriva in un filo di Cu di sezione A=1mm

per una corrente di 1A

s m m

v kT

kT mv

th

th

/ 10

2 . 10 1

11 . 9

300 10

38 . 1 3 3

2 3 2

1

2 5 1 31

23 2



 



 











 









s nqA m

v I

nqAv I

d

d

/ 10

4 . 10 7

10 6 . 1 10

47 . 8

1 ₅

6 19

28





  







 





Metalli - Legge di Ohm

• Lega la differenza di potenziale con l’intensità di corrente in un conduttore metallico

• Le due grandezze V e I risultano proporzionali

– R: resistenza – K: conduttanza

• Dimensioni fisiche della resistenza

• Unità di misura è l’ohm ()

KV I



RI V 

  ^ _ ^ _ ^

I R V

A

 V



 ^V

^V



V   

A B I

Resistività

• La resistenza dipende dalle dimensioni geometriche

– lunghezza l, sezione A

• e dalla natura del conduttore

– resistività 

• Resistività

– Dimensioni

– Unità di misura

• Conduttività: è l’inverso della resistività

• La resistività dipende dalla temperatura

A R   l

l

 RA

    ^{  RL} 

 m

   ¹

 

 ¹

²⁰ 

20

 

   t

) 

 (T

 

Campo E in un filo

• Campo E in un filo conduttore a sezione costante

• Cioè V è proporzionale alla lunghezza, ne segue che il campo è uniforme

  A J i x

E  V  

A i x

x iR x

V

V

 ( )  ( )  

V₀-V(x) x

Legge di Ohm microscopica, ha validita` generale

J E  





Relazione tra v

e E

• Risolvendo per i

• e dall’espressione della corrente in funzione della velocità di deriva dei portatori

• Segue che tale velocità è proporzionale al campo

– Il moto non è uniformemente accelerato, come accade per una carica libera in un campo E

– : mobilità

A E i ^ 

A qnv

i 

qn E

v

E 

 ^



19

Mobilità dei portatori

• Dimensioni

• Unità

     

   

   

M QT ML

T I L U

I L V

Q I L L

R Q

L

qn      



 



  1 ^{3 2 2 2} ₂ ²

 

  kg

u   Cs

Composizione di resistenze

• Composizione in serie. 1 e 2 sono entrambe percorse dalla stessa corrente I, ai capi di 1 c’è una

caduta di potenziale V₁ e ai capi di 2 una caduta V₂

• Vogliamo trovare una resistenza equivalente all’insieme delle due, nel senso che quando è percorsa dalla stessa corrente I, troviamo ai suoi capi la caduta di potenziale V₁+V₂

• Cioè la resistenza equivalente è la somma delle resistenze

2 1

2

1

V IR IR

V

IR V









2

1

R

R

R  

Composizione di resistenze

• Composizione in parallelo. 1 e 2 hanno una ugual caduta di

potenziale V ai loro capi e sono percorse dalle correnti I₁ e I₂ risp.

• Vogliamo trovare una resistenza equivalente all’insieme delle due, nel senso che quando ai suoi

capi c’è la stessa caduta di potenziale V essa è percorsa dalla corrente I₁+I₂

• Cioè l’inverso della resistenza equivalente è la somma degli inversi delle resistenze 1 e 2

2 1

2

1 R

V R

I V I

R I V









2 1

1 1

1

R R

R  

Energia nei circuiti elettrici

• Consideriamo due punti 1 e 2 su di un filo conduttore a potenziale V1 e V2 risp.

• Una carica Q passa da 1 a 2, l’energia potenziale varia di

• Per la conservazione dell’energia, l’energia cinetica degli elettroni dovrebbe aumentare

• In realta` abbiamo visto che la velocità dei portatori non cambia, c’è una perdita netta di energia dei portatori

• L’energia cinetica è infatti ceduta per urto agli ioni del reticolo del conduttore e si manifesta come energia termica: effetto Joule

• L’energia e` fornita, in ultima analisi, dal generatore



 ⁰

1

2

   





Potenza dissipata

• La potenza Joule è uguale all’energia dissipata diviso il tempo

• È fornita dal generatore elettrico

• Dimensioni fisiche

• Unità di misura

• Forme alternative (per conduttori ohmici)

       

T Q

T IV Q

P   E  E

  _IV

t V V

Q

P t 



 



  E

 

s J C

J s AV C

P

u

   

R R V

I IV

P

2

2







24