Eq E qu ua a zi z io on n i o i o mo m o ge g en ne ee e d d i 1 i 1° ° e e 2 2° ° i in n s se en no o e e c co o se s en n o . o .

8^ Lezione

••

Eq E qu ua a zi z io on n i i g go o ni n io o me m et tr r ic i ch h e e . .

••

Eq E qu ua a zi z io on n i i l li in n ea e ar ri i ( ( 1 1° ° gr g ra ad do o ) ) i in n se s en n o o , , co c os se en no o e e t ta an n ge g en n te t e

..

••

Eq E qu ua a zi z io on n i i c co o mp m p le l e te t e d d i i 2 2° ° gr g ra ad d o o i in n s se en no o , , c co o se s en n o o e e ta t an n ge g en n te t e .

.

••

Eq E qu ua a zi z io on n i o i o mo m o ge g en ne ee e d d i 1 i 1° ° e e 2 2° ° i in n s se en no o e e c co o se s en n o . o .

••

Eq E qu ua a zi z io on n i i l li in n ea e ar ri i i in n s se en n o o e e co c os se en no o .

.

••

Eq E qu ua a zi z io on n i i r ri ic co on n d d u u ci c ib b il i l i i a al ll le e om o m og o ge en n e e e e . .

•

Di D is s eq e q ua u a zi z io o ni n i go g o n n io i o me m et tr r ic i ch h e e .

Corso di Analisi: Algebra di Base

••

Allegato Esercizi .

EQUAZIONI GONIOMETRICHE

Così come per le equazioni algebriche , anche per quelle goniometriche il significato non varia.

Risolvere quindi un’equazione significa determinare quel particolare valore da assegnare alla variabile x ( intesa come angolo ) cosichè la eguaglianza sia verificata.

EQUAZIONI LINEARI ( 1° GRADO ) IN SENO , COSENO E TANGENTE

0 senx+b=

a ⇒ sen x b

= −a

es: 2sen x+ =1 0 ⇒ sen x= −1

2 ⇒

x k

x k

1

2

7

6 2

11

6 2

= +

= +

π π

π π

k=0,1,2,….n

x₁ 7

= 6π −1

2 x₂ 11

= 6π

INDICE

Es: 2cos x− =1 0 ⇒ cos x= 1 = 2

2

2 ⇒

x k

x k

1

2

4 2

7

4 2

= +

= +

π π

π π

Es: 3tgx−1=0 ⇒

3 3 3

1 = + +

=

tgx ⇒

π π

π π

k x

k x

6 2 7 6 2 1

2 1

+

= +

=

π π k

x = +

6

12

x₁

= π6

6π 7

2 = x

3 3

2 2

x₁

= π4

x₂ 7

= 4π

INDICE

EQUAZIONI COMPLETE DI 2° GRADO IN SENO , COSENO E TANGENTE

2sen² x−3senx+ =1 0 possiamo pensare di sostituire al senx la variabile y avendo così l'equazione di 2° grado relativa :

2y² −3y+ =1 0 ⇒ y y

1 y

2

1 2

3 9 8

4

12 1

= ± − = =

=





 e ricordando della sostituzione sopra:

1 sen

12 sen

=

= x

x

π π

π π π π

k x

k x

k x

2 2

6 2 , 5 6 2

3

2 1

+

=

+

= +

=

cos²x−2cosx=0 si può comunque , in questo caso , procedere anche tramite un raccoglimento :

cosx(cosx− =2) 0 da cui cos cos x x

=

= 0

2 x k x

= + /∀ ∈ ℜ

π π

2

tan g x² − =1 0 di qui : tan gx= ±1 per cui x= +π kπ 4 2 . 0

sen

sen² x+b x+c= a

INDICE

EQUAZIONI OMOGENEE DI 1° e 2° GRADO IN SENO E COSENO

Si risolvono dividendo per cosx , cos² x , escludendo quei valori per i quali cosx = 0 .

Es. 2senx+2cosx=0 ⇒ 2sen 2 0 cos

cos cos x

x

x

+ x = ⇒ tgx+ =1 0

cos x≠0 ⇒ x ≠ ±π k 2 π

tgx = −1 ⇒ x = 3 +k

4π π

valori accettabili poiché diversi da quelli esclusi.

3 4π

4π 7 0

cos senx+b x=

a asen² x+bcos² x=0

INDICE

Es. 2sen² x+3sen cosx x+cos² x=0

dividendo tutti i termini per cos² x : 2tg x² +3tgx+ =1 0

e risolvendo l'equazione di 2° grado in tgx si ottiene :

tgx

tgx tgx

1 2

3 9 8

4

1 1 2

1

2

= − ± −

=

= −

= −







da cui :

x k

x

1

2

3 4

1 2

= +

= −

 











π π

arctg

EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO

Si risolvono mediante sostituzione , ponendo sen x

tg x

= tg x +

2 2

1 ² 2

, cos x

tg x

= −tg x +

1 2

1 2

2

2 , tg x2=t.

quindi si ha : sen x t

= +t 2

1 ² , cos x t

= −t + 1 1

2 2 .

Es. 2senx+3cosx− =2 0

2 2

1 31

1 2 0

2

2 2

t t

t + + −t

+ − = 4 3 3 2 2

1 0

2 2

2

t t t

t

+ − − −

+ = −5t² + + =4t 1 0

con 1+ ≠t² 0 ⇒ ∀ ∈ ℜt . 0

cos

senx+b x+c= a

INDICE

5t² −4t−1=0 ⇒







−

=

−

= + =

±

= −

5 1 1 10

20 16 4

2 1 12

t t t

e quindi :

5 1 2 2 1

−

=

−

= tg x tg x

⇒

5) arctg( 1 2

4 3 2

−

= +

= x x k

π π

⇒

5) arctg( 1 2

2 2 3

−

= +

= x

k

x π π

EQUAZIONI RICONDUCIBILI ALLE OMOGENEE

Si risolvono moltiplicando il termine noto per ( sen² x+cos²x ) .

Es. sen² x−2sen cosx x+cos² x=2

^{sen2 x}−^{2sen cosx x}+^{cos2 x}=²

(

^{sen2 x}+^{cos2 x}

)

infatti

(

^{sen2 x}+^{cos2 x}=¹

)

sen² x−2sen cosx x+cos² x=2sen² x+2cos² x

sen² x+cos² x+2sen cosx x=0 e dividendo per cos² x :

tg x² +2tgx+ =1 0 ⇒

(

^tgx+1

)

^{2 =0 ⇒ tgx = −1 ⇒ x= 3 +k}

4π π .

d x c x x b x

asen² + sen cos + cos² =

INDICE

DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE

Per qualunque tipo di disequazione , ci comporteremo nello stesso modo e con la medesima procedura che abbiamo usato per le corrispondenti equazioni .

Es. 2cos x− >1 0 ⇒ cos x> 1

2

da cui avremo : 0 2

3 2

+ kπ < < +x π k

π , 5

3π+2kπ < <x 2π+2k .π

Es. 3senx−cosx≤0

dividendo i termini per cosx : 3tgx− ≤1 0 .

NOTA BENE: La risoluzione della disequazione sopra non corrisponde alla risoluzione della disequazione data ; tutto questo poiché il coseno, termine che esprime il divisore , può assumere valori sia positivi che negativi . Ecco quindi che sarà necessario mettere a grafico finale i risultati parziali che esprimono i corrispondenti segni.

Avremo allora: 3tgx− ≤1 0 ⇒ tgx≤ 3 3

2 1

π 3

5 3π

INDICE

0

+kπ ≤ ≤x π6 +k

π , π

π π π

2

7 +k ≤ ≤x 6 +k 3

2π+kπ ≤ ≤x 2π+2kπ

cos x>0 ⇒ 0 2

2 2

+ kπ< < +x π k

π , 3

2π+2kπ < <x 2π+2kπ

e quindi la disequazione iniziale è soddisfatta per : π

π π π

6 2 7

6 2

+ k ≤ ≤x + k , x≠ π

2 ^. 0 +π

6 +π 2 ⁺

5

6π +π +7

6π +3

2π +2π + - - + +

+5

6π

3

3 + π 6

+ π

6

7 + π 6 11 0

+π 2

+3 2π

INDICE

ESERCIZI SULLE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE

Esercizi della 8°lezione di Algebra di base GUIDA

Torna all'indice degli esercizi Nasconde le soluzioni

Visualizza le soluzioni di tutti gli esercizi Visualizza solo la soluzione dell'esercizio USO DEI PULSANTI

Torna all'indice della lezione

?

INDIETRO

RISOLVI

NASCONDI

INDICE ESERCIZI

Risolvere le seguenti equazioni goniometriche :

1. 2senx+1=0











 



− − +

+

=



 



− − +

+

=

⇒

−

=

⇒

= +

π π π

π

π π π

π

k k

x

k k

x x

x

4 2 2 1

4 7

4 2 2 3

4 5

2 sen 1

0 1

sen 2

2 1

2. 2cosx− 3=0









+

−

=

+ +

=

⇒

=

⇒

=

−

π ππ

π π

k x

k x

x x

6 2 6 2 2

cos 3 0

3 cos 2

2 1

2 1

−

π

4

+5 π 4 + 7

6

+π

2

3

6

−π

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

3. 3tgx+3=0



 = + +

⇒

−

=

⇒

−

=

⇒

=

+ tgx tgx x π kπ

tgx 3

3 2 3

0 3 3

3

4. sen2x+cosx=0

( )

π π π

π π π

k x

k x

k x

x x x

x

x x

x x

x x

x

6 2 , 11

6 2 7 2 2

sen 1

0 cos

0 1

sen 2

0 cos

0 1

sen 2 cos 0

cos cos

sen 2 0

cos 2

sen

+ +

= +

+

=

+ +

=

− ⇒

=

=

= ⇒ +

⇒ =

= +

⇒

= +

⇒

= +

3π + 2

π 3 + 5

− 3

π

6

+ 7 2

− 1 π

6

+11

2π + 3

2 +π

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

5. sen²x+cos² x−4senxcosx =0









+ +

=

+ +

=

⇒









+ +

=

+ +

=

⇒

=

⇒

=

−

⇒

=

− +

π π π π π

π π π

k x

k x

k x

k x

x x

x x x

x

12 5 12 6 2

2 5

6 2 2

2 2 1

sen 0

2 sen 2 1 0

cos sen 4 cos

sen^{2 2}

6. cosx−cos2x=1

( ) ( )

( )









+ +

= +

+

=

+ +

=

= ⇒

=

⇒

=

−

⇒ =

=

−

⇒

= +

−

⇒

= +

−

−

⇒

=

−

−

⇒

=

−

π π π π

π π

k x

k x

k x

x x

x x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

3 2 , 5

3 2 2 2

cos 1

0 cos

0 cos

2 1

0 0 cos

cos 2 1 cos 0

cos cos

2

1 cos

1 cos cos

1 sen

cos cos

1 2

cos cos

2

2 2

2 2

12π + 5

12 + π 12π

+13

π 12 +17

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

7. cos²x−cos2x=1

( )









+ +

=

−

−

= + ⇒

=

−

⇒ =

±

=

⇒

=

⇒

=

−

−

⇒

=

−

π π π π

k x

k x

x x x

x x

x x

x x

2 2 2 2 1

sen

1 1 sen

sen

1 sen

1 sen

cos cos

1 2

cos

cos^{2 2 2 2 2}

2 +1

3 +π

2 +π

3π + 5 π

2 + 3

2 +π

2

−π

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

8. senx−sen2x=1−cosx

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ^{( )} ( )

( )

( ) ( )















+

 

=  ± + +

=

=

⇒















+

 

=  ± + +

=

=

⇒

= −

= −

=

=

⇒

=

−

−

=

−

=

⇒

=

−

−

−

⇒

+ =

−

−

⇒ − + =

+ +

⇒ − + =

−

− +

⇒ −

+ =

− +

−

−

− +

−

⇒ + +

+

−

= + +

−

−

⇒ +

+

− − + =

⋅ −

− +

⇒ + +

= −

= +

⇒

=

⇒

−

=

−

⇒

−

=

−

π π π

π

π π π

π

k x

k x

k x

x k x k x k

tg x tg x

tg x tg x

t t t t t

t t t

t t t t t t

t t t t t

t t t t

t

t t

t t

t t t t

t t

t

t t t t

t t t

t t

t t

t t

x t t

x t

x t tg posto x

x x x

x x

x

2 2 33 arctg 5

2 2 2 2

2 33 arctg 5

2

4 2

2

2 33 5 , 2

2 33 5 2

2 1 2 0

0 2

5 0 1

0 0

2 5 1

0 1

2 5 0 1

1

2 3 0 6

1

2 3 6

0 1

1 2 1

4 4 2 2 1

1 1

1

1 4 1

2

1 1 1 1

1 1 2 2 1

2 1

cos 1 1 ,

sen 2

cos 2 1 cos

sen 2 sen cos

1 2

sen sen

2 2

2 2 2 2 2

2 3 2 2

2 3 4

2 2

2 2

4 3

3 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2



 + 2

33 5 arctg 2



 + 2

33 5 arctg

2 +π

π 2



 − 2

33 5 arctg



 − 2

33 5 arctg 2

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

9. cos²x−1=1+2senx

(

^x

)

^{x x x π kπ}

x x

x x

x x

2 2 1

sen 0

1 sen 0

1 sen

0 1

sen 2 sen sen

2 1 sen

sen 2 1 1 cos

2

2 2

2

+

−

=

⇒

−

=

⇒

= +

⇒

= +

⇒

= + +

⇒ +

=

−

⇒ +

=

−

10. ^{4cosx+2sen2 x=3+2}

(

^{1−sen2 x}

)

( ) ( )

( )

π π k x

x

x x

x x

x x

x x

x x

3 2 2

cos 1

0 1

cos 2 0

1 cos 2 0

1 cos 4 cos 4

cos 2 3 cos

1 2 cos 4 sen

1 2 3 sen

2 cos 4

2 2

2 2

2 2

+

±

=

⇒

=

⇒

=

−

⇒

=

−

⇒

= +

−

⇒

+

=

− +

⇒

− +

= +

2

−π

2 1

3

−π 3 +π

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

11. 3cos² x+2sen2x=2−2cos² x

( )

( )









+ +

=

+



 

−

=

 ⇒





=

−

⇒ =







=

−

⇒ =

=

−

−

⇒

=

⇒

=

−

−

⇒

= +

⇒

≠

⇒

= +

⇒

−

= +

⇒

−

= +

π π

π

k x

k x

tgx tgx t

t t t

t tgx posto tgx

x tg x

tg tgx

x posto

x per

dividendo x

x x x

x x

x x

x x

4 5 arctg 1

1 5 1 1

5 1 0

1 4 5

0 1

4 5

5 4

1

0 cos

cos sen

5 cos

sen 4 cos

cos 1 5 2

sen 2 cos cos

5 5 2

sen 2 cos

2 2 1

2 2

2 2

2

2 2

2 2

12. cos2x−sen2x=3

( )

( )

ℜ

∈

∀/

⇒ ℜ

∈

∀/

⇒

<

−

=

∆

⇒

= + +

⇒

=

⇒

= + +

⇒

= +

+

⇒

≠

⇒

= +

+

⇒

+

=

−

−

⇒

=

−

x t

t t

t tgx posto tgx

x tg tgx

x tg

x posto

x per

dividendo x

x x

x

x x

x x x

x x

x

0 7 0

1 2

0 1

2 0

2 4

2

0 cos

cos 0

cos sen 2 sen 4 cos 2

cos sen

3 cos

sen 2 sen cos

3 2

sen 2

cos

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

+1

5

− 1

4 +π



 



− 5 1 arctg

π 2

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

Risolvere le seguenti disequazioni goniometriche :

13. 0

2 cosx−1 >

π π π π

k x

k x

x 2

2 3 3 2

cos 1 2 0

cos −1 > ⇒ > ⇒ − + < < + +

14. − 2senx−1≥0

π π π

π k x k

x x

x

4 2 2 7

4 5

2 sen 2

2 sen 1

0 1

sen 2

+

<

<

+ +

⇒

−

≤

− ⇒

≤

⇒

≥

−

−

2 1

3 +π

3

−π

4π +7 4π

+ 5 ₂

2

−

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

15. 0 sen

2 cos 1

− >

x x

π π π

π π π π

k x

k

k x

k x

x x

x

2 2

3 2 3 2

0 sen

2 cos 1

sen 0 2 cos 1

+

<

<

+ +

<

<

+

⇒ −

>

⇒ >

− >

e graficamente nell'intervallo

[

^{−π ; +π}

]

^:

Quindi : π kπ x π kπ kπ x π 2kπ

2 3 , 3 2

2 < < − + < < + +

+

−

O anche :

Come verifica prendiamo un angolo compreso nell'intervallo soluzioni ; ad esempio 6

=π x : sostituendo nella disequazione di partenza si ha :

0 1

3 0

2 1

2 1 2

3 0

sen 6 2 1 cos 6

>

−

⇒

− >

⇒

>



 





−



 



 π π

che verifica . −π

3

−π 0 3

+π +π

+ - + -

3 +π

3

−π

2 1

π

− 0

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

16. 0 1 cos 2

1 sen² >

−

− x x





± +

− ℜ

∈

∀/

⇒ +

≥

−

≤

⇒

≥

−

⇒ π π

k x

x x

x R

C. . sen² 1 0 sen 1 , sen 1 2

e poiché la condizione di realtà è verificata solo per i valori



±π+ π

2 k che al tempo stesso annullano il numeratore è evidente che la disequazione non è verificata per alcun valore reale .

17. 0

2 sen 2

4 cos 1

3 2

− >

− x x

π π π

π π π

π

π π π

π

π π π

π π π

π

k x

k k

x k

D

k x

k

k x

k k

x k

N

x

x x

x x x

x

2 2 4 2

, 7 4 2

2 0

2 2 3 2

5

3 2 2

, 3 2

2 4 3 0 2

2 sen 2

2 cos 1

2 , cos 1

0 2

sen 2

4 cos 1

0 2

sen 2

4 cos 1

3 2

3 2

+

<

<

+ +

+

<

<

⇒

>

+ +

<

<

+

⇒

+ +

<

<

+ +

<

<

+ +

⇒

>

⇒

>

+

>

−

<

⇒

>

−

⇒ >

− >

−

e graficamente nell'intervallo

[

^{0 ; +2π}

]

^:

Quindi :

π π π

π π

π π

π

π π π π

π π π

k x

k k

x k

k x

k k

x k

2 2 4 2

, 7 3 2

2 5 3 4

, 3 2

2 2 , 3

4 2 2

+ +

<

<

+ + +

+

<

<

+

+ +

<

<

+ + +

+

<

<

0 4 +π

3

+π π 3

+2 +π π 3

+4 π 3

+5 π

4

+7 +2π

+ - + - + - +

?

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

O anche :

Come verifica prendiamo un angolo compreso nell'intervallo soluzioni ; ad esempio π 2

= 3

x :

sostituendo nella disequazione di partenza si ha :

0 2

2 4 0 1

2 2

4 1 0

2 2 sen 3 2

4 1 2 cos 3

3 3

3 2

+ >

⇒

− >

−

⇒ −

>

−



 





−



 





π π

che verifica .

18. 0

cos 1 1

2

sen ≤

−

− x

x

C.R. ⇒ 1−cosx ≥ 0 ⇒ cosx ≤ 1 ⇒ ∀x∈ℜ

π π π π

π π π

π π π

π π π

π π π

k x

k

k x

k

x

k x

k x

k x

k

x

k x

k x

x x

x

2 2 2 2

2

0 cos

2 0

cos

2

1 cos

1

2 2

2 0

cos 1 1

0 2

0 sen cos

1 1

2 sen

+ +

<

<

+

−

+ +

≤

⇒ ≤

>

+ +

≤

⇒ ≤

<

−

+ +

≤

⇒ ≤

<

−

+ +

≤

⇒ ≤

>

−

−

⇒ ≥

− ≤

−

3π + 2

4 +π

4π + 7 3 +π

π 3

+ 4 π

3 +5 π

− 0

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

e graficamente nell'intervallo

[

^{−π ; +π}

]

^:

Quindi : π kπ x π kπ kπ x π 2kπ

2 2 , 2 2

2 ≤ < − + ≤ ≤ + +

+

−

O anche :

Come verifica prendiamo un angolo compreso nell'intervallo soluzioni ; ad esempio π 4

−3

=

x :

sostituendo nella disequazione di partenza si ha :

0 2

1 1 1

1

0 2

1 1 1 0 1

4 cos 3 1 1

2 sen 3 0

4 cos 3 1 1

4 2 3 sen

≤ +

−

≤



 

−

−

−

⇒

≤



 

−

−

−



 

−

⇒

≤



 

−

−

−



 

−

π π π

π

che verifica . π

− 2

−π 0 2

+π +π

+ - + -

2 +π

2

−π π

− 0

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

19. −3cos2x−1−4cosx≤0

( )

π

π x ar k

k ar

x

x x x

t t

t

t x posto

x x

x x

x x

x x

x x

3 2 cos 1 3 2

cos 1

3 cos 1

1 cos

3 cos 1

3 1 1 1

0 1 2 3

cos 0

1 cos 2 cos 3 0

2 cos 4 cos 6

0 1

cos 4 1 cos 2 3 0

1 cos 4 2 cos 3 0

cos 4 1 2 cos 3

2

2 2

2

+



 

 + 

≤

≤

+



 



−  ℜ

∈

∀

⇒







+

≤

−

≥

⇒ +

≤

≤

−

⇒ +

≤

≤

−

⇒

≥

− +

⇒

=

⇒

≥

− +

⇒

≥

− +

⇒

≥ + +

−

⇒

≥ + +

⇒

≤

−

−

−

e graficamente nell'intervallo

[

^{−π ; +π}

]

^:

Quindi : ar kπ x ar 2kπ

3 cos 1 3 2

cos 1 +



 

 + 

<

≤

+



 



− 

π

− _



 



− 

3 cos 1

ar 0 _



 

 + 

3 cos 1

ar +π





− 3

cos 1 ar





+ 3

cos 1 ar

3 +1 π

− 0

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA

20. cos²x−1+sen² x≥0

ℜ

∈

∀

⇒

≥

⇒

≥ +

− x x

x 1 sen 0 0 0

cos^{2 2}

?

RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI

GUIDA