2 Campionamento casuale semplice

Stima della media

di una variabile X definita su una popolazione finita

1 Notazioni: popolazione, campione e strati

Popolazione.

• N numerosit`a popolazione;

• Ω = {ω₁, . . . , ω_N} popolazione

• X variabile aleatoria definita sulla popolazione X : Ω → R

• x1, x2, . . . , xN valori assunti da X nella popolazione: ωi 7→ xi

Parametri di interesse nella popolazione.

• µ media di X nella popolazione; µ = _N¹ PN i=1x_i;

• p proporzione di successi (e media) di X nella popolazione, se X ∼ Bernoulli(p);

p = _N¹ PN i=1x_i;

• τ totale di X nella popolazione; τ = N µ =PN i=1xi;

• σ² varianza di X nella popolazione; σ² = _N¹ PN

i=1(x_i− µ)². Campione.

• n numerosit`a campione;

• X₁, X₂, . . . , X_n variabili aleatorie campionarie;

• x₁, x₂, . . . , x_n valori assunti da X nel campione.

Campione stratificato.

• L numero degli strati;

• N₁, . . . , N_h, . . . , N_L numerosit`a degli strati della popolazione;

• n₁, . . . , n_h, . . . , n_L numerosit`a degli strati del campione;

• µ1, . . . , µh, . . . , µL media di X negli strati della popolazione;

• σ²₁, . . . , σ²_h, . . . , σ_L² varianza di X negli strati della popolazione.

2 Campionamento casuale semplice

CON ripetizione X1, X2, . . . , Xn hanno la stessa legge di X e sono indipendenti

SENZA ripetizione X₁, X₂, . . . , X_n hanno la stessa legge di X MA non sono indipendenti

2.1 Esempio noto: schema dell’urna

Sia X ∼ Bernoulli ^k_n
(esempio: k palline bianche e n − k nere).

Anche nel caso SENZA ripetizione X₁, X₂, . . . , X_n hanno la stessa legge di X. Infatti:

P(X² = 1) = P (X₂ = 1, X₁ = 1) + P (X₂ = 1, X₁ = 0) =

= P (X1 = 1)P (X2 = 1|X1 = 1) + P (X1 = 0)P (X2 = 1|X1 = 0) =

= k n

k − 1

n − 1 + n − k n

k

n − 1 = k n

La legge della somma delle X₁, X₂, . . . , X_n `e invece diversa nei due casi:

CON ripetizione legge binomiale

B =P X_i ∼ Binom(n, p) E(B) = np e V(B) = np(1 − p) SENZA ripetizione legge ipergeometrica

I =P Xi ∼ Ipergeo(N, n, p) E(I) = np e V(I) = np(1 − p) ^{N −n}_{N −1}

2.2 Caso generale. Stimatore di µ

X = 1 n

n

X

i=1

X_i stimatore di µ N X = N n

n

X

i=1

X_i stimatore di τ

S² = 1 n − 1

n

X

i=1

(X_i− X)² stimatore di σ² CON ripetizione Numero campioni possibili: Nⁿ

• E(X) = µ, cio`e X `e stimatore non distorto di µ

• V(X) = ^σ_n² varianza dello stimatore della media.

La sua stima si ottiene sostituendo σ² con S².

SENZA ripetizione Numero campioni possibili: ^N_n

• E(X) = µ, cio`e X `e stimatore non distorto di µ

• V(X) = ^σ_n^{2 N −n}_{N −1} varianza dello stimatore della media. La dimostrazione `e riportata nel seguente paragrafo.

La sua stima si ottiene sostituendo σ² con S².

NOTA: se la numerosit`a della popolazione `e molto pi`u grande di quella del campione il coefficiente <sup>N −n</sup><sub>N −1</sub> `e circa 1 e quindi pu`o essere trascurato

Gli intervalli di confidenza approssimati (per grandi campioni) sono dati da



Θ − z_α/2 std(Θ), Θ + zˆ _α/2 std(Θ)ˆ 

con Θ stimatore del parametro e ˆstd(Θ) stimatore della standard deviation di Θ.

2.3 Campionamento casuale semplice senza ripetizione: E X
e V X

Premesse:

1. Il numero di campioni di numerosit`a n estraibili da una popolazione di numerosit`a N `e

N

n
. L’unit`a i-esima della popolazione compare in <sup>N −1</sup><sub>n−1</sub>
campioni (infatti fissata l’unit`a che deve stare nel campione, le altre n − 1 unit`a del campione devono essere scelte fra le rimanenti N − 1 unit`a della popolazione). Le unit`a i-esima e j-esima della popolazione compaiono in <sup>N −2</sup><sub>n−2</sub>
campioni. Quindi le probabilit`a di inclusione in un campione di una generica unit`a e di due generiche unit`a sono rispettivamente:

πi =

N −1 n−1

N n

= n

N πij =

N −2 n−2

N n

= n(n − 1) N (N − 1) . 2. Si ha:

E

n

X

i=1

X_i

!

=

N

X

i=1

x_iπ_i = n N

N

X

i=1

x_i = nµ (1)

E

n

X

i=1 n

X

j=1,j6=i

X_iX_j

!

=

N

X

i=1 N

X

j=1,j6=i

x_ix_jπ_ij = n(n − 1) N (N − 1)

N

X

i=1 N

X

j=1,j6=i

x_ix_j (2)

3. Inoltre, in generale:

X

i

a_i

!2

=X

i

a²_i + 2 X

i,j(j6=i)

a_ia_j . (3)

Il valore atteso e varianza di X, stimatore della media µ di una variabile X con distribuzione qualunque nella popolazione sono:

E X
= µ V X
= σ² n

N − n N − 1 . Infatti:

• Usando (1) si ha: E X
= ¹_nE (Pn

i=1X_i) = µ

• La varianza dello stimatore X di µ `e:

V X

= V 1

n

n

X

i=1

X_i

!

=

n

X

i=1

V

 X_i n

 + 2

n

X

i=1 n

X

j=1,j6=i

Cov X_i n ,Xj

n



=

= σ² n + 2

n

X

i=1 n

X

j=1,j6=i

E (X_i− µ)(X_j − µ) n²



=

[usando (2)] = σ²

n + 2 n(n − 1) N (N − 1)

N

X

i=1 N

X

j=1,j6=i

(x_i− µ)(x_j− µ)

n² =

[usando (3)] = σ²

n + n − 1 nN (N − 1)





N

X

i=1

(x_i− µ)

!2

−

N

X

i=1

(x_i− µ)²



=

= σ²

n − (n − 1)

n(N − 1) σ² = σ² n



1 − n − 1 N − 1



=

= σ² n

N − n N − 1 .

3 Campionamento stratificato con estrazione di campio- ni casuali semplici senza ripetizione in ogni strato

Per ogni strato, h = 1, . . . , L:

X_h = 1 nh

nh

X

i=1

X_i^(h) stimatore di µ_h S_h² = 1 n_h− 1

n

X

i=1



X_i^(h)− X_h2

stimatore di σ_h²

X_str =

L

X

h=1

N_h N X_h Attenzione: non `e la media pesata campionaria.

• E X^str
= µ, cio`e X `e stimatore non distorto di µ

• V Xstr
varianza dello stimatore della media, se i campioni sono estratti in modo in- dipendente nei vari strati:

V Xstr
=

L

X

h=1

 N_h N

2

V Xh
=

L

X

h=1

N_h² N²

N_h− n_h

n_h(N_h− 1) σ_h² '

L

X

h=1

N_h (N_h − n_h) N² n_h σ_h² la sua stima si ottiene sostituendo σ_h² con S_h².

Se ^N_N^h−nh

h−1 `e trascurabile in tutti gli strati : V Xstr
= 1

N²

L

X

h=1

N_h² n_h σ²_h .

3.1 Allocazione proporzionale: confronto fra X e X

Se la numerosit`a degli strati nel campione `e proporzionale alla numerosit`a degli strati nella popolazione, n<sub>h</sub> = N <sup>N</sup><sub>N</sub><sup>h</sup>, la stima di µ `e uguale a quella che si avrebbe con un campionamento non stratificato ma la varianza dello stimatore X_str `e minore della varianza dello stimatore X.

Infatti:

x_str =

L

X

h=1

n_h n

1 n_h

nh

X

i=1

x^(h)_i = 1 n

n

X

i=1

x_i = x . Si ha:

V X
= N − n N − 1

1

n σ² V X^str
= N − n n N²

L

X

h=1

Nh σ²_h .

La relazione fra le varianze dei due stimatori si ottiene decomponendo σ², varianza di X, in varianza interna e varianza fra strati:

σ² =

L

X

h=1

N_h N σ²_h+

L

X

h=1

N_h

N (µ_h− µ)² . Quindi

V X
= N − n N − 1

1

n σ² = N − n N − 1

1 n

L

X

h=1

N_h

N σ²_h+N − n N − 1

1 n

L

X

h=1

N_h

N (µ_h− µ)² dove il primo addendo `e (a meno di un fattore ^{N −1}_N ) V X^str

e il secondo `e una quantit`a positiva.

3.2 Allocazione ottima di Neyman

Si vuole determinare la numerosit`a degli strati del campione n₁, . . . , n_h, . . . , n_L in modo che la varianza dello stimatore X_str sia minima, con il vincolo PL

h=1n_h = n. Si ha:

V Xstr
=

L

X

h=1

N_h (N_h− n_h) N² n_h σ_h² =

L

X

h=1

N_h² N²

σ_h² n_h −

L

X

h=1

N_h N²σ_h² . Minimizzare la varianza di X_str equivale dunque a minimizzare la quantit`a

L

X

h=1

N_h² σ²_h

n_h . (4)

Utilizziamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. I punti stazionari di (4) sono gli stessi della lagrangiana Λ:

Λ =

L

X

h=1

N_h²σ_h² n_h + λ

L

X

h=1

nh− n

! . Dobbiamo risolvere il sistema:























∂Λ

∂n1 = 0 ...

∂Λ

∂nh = 0 con _∂n^∂Λ

h = − ^N_n^h22^σh2 h

+ λ ...

∂Λ

∂n_L = 0 PL

h=1n_h = n da cui:

N_h²σ_h² = λn_h² e n_h = Nhσh

√λ . Sommando sugli n_h e utilizzando il vincolo si ottiene: √

λ = ^{P N}_n^hσh e quindi:

n_h = N_hσ_h P

kN_kσ_k n .

Questo `e un punto di minimo, infatti la matrice Hessiana di Λ `e semidefinita positiva in quanto

`e diagonale e i valori sulla diagonale sono positivi: 2 N_h²σ_h² / n³_h.

Osservazione: la numerosit`a dello strato nel campione `e quindi proporzionale sia alla nu- merosit`a dello strato nella popolazione che alla varianza della variabile nello strato: maggiore variabilit`a richiede maggiore informazione campionaria.

Questo tipo di allocazione prevede la conoscenza delle varianze della variabile negli strati σh, per h = 1, . . . , L, oppure una loro stima ottenuta in precedenti indagini.

Con l’allocazione ottima di Neyman la varianza di X_str `e:

V Xstr
= 1 N²



 1 n

L

X

h=1

N_h σ_h

!²

−

L

X

h=1

N_h σ²_h



 .

4 Casi particolari

4.1 Stima della proporzione di successi

Stima di p se X ∼ Bernoulli(p) (caso particolare di stima della media)

• Campionamento casuale semplice con ripetizione – E( ˆP ) = p

– V( ˆP ) = ^p(1−p)_n

• Campionamento casuale semplice senza ripetizione – E( ˆP ) = p

– V( ˆP ) = ^p(1−p)_n ^{N −n}_{N −1}

• Campionamento stratificato con estrazione casuale semplice senza ripetizione negli strati Pˆ_str = X_str =

L

X

h=1

N_h N

Pˆ_h

– E( ˆP_str) = p, cio`e ˆP<sub>str</sub> `e stimatore non distorto di p – V ˆP_str

= _N¹2

PL

h=1N_h (N_h− n_h) ^ph(1−p_n ^h)

h

– Se ^N_N^h−nh

h−1 `e trascurabile in tutti gli strati: V ˆP_str

= _N¹2

PL

h=1N_h^{2 ph(1−p}_n ^h)

h

– Se nh = n ^N_N^h, cio`e se `e usata l’allocazione proporzionale:

V ˆP_str

= ^{N −n}_N2n

PL

h=1N_h p_h(1 − p_h) – Se n_h = n PL^{Nh σh}

k=1N_k σ_k, cio`e se `e usata l’allocazione ottima di Neyman:

V X^str
= _N¹2



1 n

PL

h=1Nh ph(1 − ph)

2

−PL

h=1Nh p²_h(1 − ph)²

 .

4.2 Stima del totale τ

• Campionamento casuale semplice con ripetizione – E(N X) = τ , cio`e N X

– V(N X) = ^N2_n^σ2

• Campionamento casuale semplice senza ripetizione – E(N X) = τ

– V(N X) = ^N_n^{2 N −n}_{N −1} σ² ' ^{N (N −n)}_n σ²

• Campionamento stratificato con estrazione casuale semplice senza ripetizione negli strati

N X_str =

L

X

h=1

N_h X_h

– E(N Xstr) = τ

– V N Xstr
= N² V Xstr
= P_h=1^{L Nh (N}_n^h−nh)

h σ²_h – Se ^N_N^h−nh

h−1 `e trascurabile in tutti gli strati: V N Xstr
= P^L_h=1^N_n^h2

h σ²_h – Se n_h = n ^N_N^h, cio`e se `e usata l’allocazione proporzionale:

V N Xstr
= ^{N −n}_n PL

h=1N_h σ_h² – Se n_h = n PL^{Nh σh}

k=1Nk σk, cio`e se `e usata l’allocazione ottima di Neyman:

V N Xstr
= _n¹  PL

h=1N_h σ_h2

−PL

h=1N_h σ_h² .