Serie Storiche Finanziarie:

(1)

Facolt`a di Scienze MFN

Corso di Laurea Magistrale in Fisica dei Sistemi Complessi

Tesi di laurea magistrale

Serie Storiche Finanziarie:

Studio e Previsione

Candidato:

Marcello Gomitoni Matricola 731074

Relatore:

Pietro Terna Controrelatore:

Michele Caselle

Anno Accademico 2012–2013

(2)

Elenco delle figure iv

Elenco delle tabelle v

Introduzione vi

1 Futures 1

1.1 Origine e Finalit`a . . . 1

1.1.1 Differenze tra Forward e Futures . . . 2

1.1.2 Il Mercato dei Futures . . . 4

1.2 Determinazione del Prezzo . . . 6

1.2.1 Definizioni e Parametri . . . 6

1.2.2 Arbitraggio . . . 7

1.3 Futures su Indici . . . 10

1.3.1 Analisi e Comparazione dei Futures . . . 12

2 Serie Storiche e Modelli 19 2.1 Serie Finanziarie . . . 19

2.2 Analisi Lineare Univariata . . . 21

2.2.1 Stazionariet`a . . . 21

2.2.2 Funzione di Autocorrelazione (ACF) . . . 22

2.3 Modelli Lineari Univariati . . . 23

2.3.1 Modello Autoregressivo (AR) . . . 24

2.3.2 Modello a Media Mobile (MA) . . . 28

2.3.3 Modello Autoregressivo a Media Mobile (ARMA) . . 30

2.3.4 Effettuare delle Previsioni . . . 33

2.4 Modelli Multivariati . . . 36

2.4.1 Analisi Lineare Multivariata . . . 37

2.4.2 Modello Autoregressivo Vettoriale (VAR) . . . 41

i

(3)

3 Reti Neurali 44

3.1 Introduzione alle Reti Neurali . . . 44

3.2 Struttura della Rete . . . 47

3.2.1 Strati Nascosti . . . 49

3.3 Modalit`a di Apprendimento . . . 50

3.3.1 Minimizzare la Funzione di Errore . . . 51

3.3.2 Algoritmi di Apprendimento . . . 52

3.3.3 Efficienza e Limiti degli Algoritmi . . . 55

3.4 Implementazione della Rete . . . 57

3.5 Taratura ed Esempi . . . 60

3.5.1 Studio di una Retta . . . 61

3.5.2 Studio di una Funzione Periodica . . . 63

4 Presentazione dei Codici 65 4.1 Modelli Univariati . . . 66

4.1.1 Rete Neurale . . . 66

4.1.2 Modello ARIMA . . . 71

4.1.3 Indicatori Studiati . . . 73

4.1.4 Automatizzare la ricerca dei parametri . . . 75

4.2 Modelli Bivariati . . . 79

5 Scelta dei Dati 81 5.1 Dati ad Alta Frequenza . . . 81

5.1.1 Considerazioni Teoriche . . . 81

5.1.2 Evidenze Empiriche . . . 84

5.1.3 Trading ad Alta Frequenza . . . 85

5.2 Dati Esaminati . . . 86

5.2.1 Alta frequenza . . . 86

5.2.2 Bassa frequenza . . . 88

6 Simulazioni e Risultati 91 6.1 Simulazioni In Sample . . . 92

6.1.1 Scelta dei Parametri . . . 92

6.2 Analisi dei Dati . . . 94

6.2.1 Gestione degli Output . . . 94

6.2.2 Analisi Statistica dei Dati . . . 95

6.3 Simulazioni Out of Sample . . . 106

6.3.1 Configurazione Scelta e Risultati . . . 107

6.4 Analisi Bivariata . . . 108

7 Conclusioni 113

(4)

A Thomson Reuters 115

B Richiami di Statistica 116

C R 118

D Python 119

E Codici Integrali 120

Bibliografia 157

(5)

1.1 Volumi FIB 2012 . . . 13

1.2 Volumi futures H2 . . . 14

2.1 Distribuzione return S&P 500 . . . 20

2.2 ACF S&P 500 . . . 24

2.3 PACF S&P 500 . . . 27

2.4 ACF residui S&P 500 . . . 35

2.5 Previsioni S&P 500 . . . 36

2.6 Elezioni italiane 2013 . . . 37

2.7 Correlazione futures . . . 40

3.1 Neurone biologico . . . 46

3.2 Rete neurale feed forward 1 . . . 48

3.3 Funzioni non-lineari . . . 48

3.4 Rete neurale feed forward 2 . . . 49

3.5 Confronto fit retta . . . 61

3.6 Previsioni retta . . . 62

3.7 Previsioni retta modificata . . . 63

3.8 Previsioni funzione seno . . . 64

5.1 Volumi futures nell’arco di una giornata (H3) . . . 82

5.2 Orario futures (GMT) . . . 87

5.3 Volumi futures nell’arco di una settimana (H3) . . . 89

6.1 Output csv . . . 95

6.2 Intraday: modello ARIMA . . . 98

6.3 Intraday: reti neurali . . . 101

6.4 Day close: modelli ARIMA . . . 103

6.5 Day close: rete neurale . . . 105

6.6 IFSH3 intraday: previsioni . . . 109

6.7 ESH3 day close: previsioni . . . 110

6.8 ESH3-IFSH3: modello VAR . . . 112 iv

(6)

Elenco delle tabelle

1.1 Confronto tra contratti forward e futures . . . 3

1.2 Scadenze trimestrali . . . 5

1.3 Statistiche futures FTSE MIB . . . 15

1.4 Statistiche futures EURO STOXX 50 . . . 16

1.5 Statistiche futures S&P . . . 17

1.6 Statistiche futures Nikkei . . . 17

1.7 Controvalore annuale futures . . . 18

2.1 Statistiche S&P 500 . . . 21

2.2 Parametri ARMA(1,1) S&P 500 . . . 34

2.3 Previsioni S&P 500 . . . 35

5.1 Frequenza variazioni prezzo IBM . . . 84

5.2 Segno variazioni prezzo IBM . . . 85

5.3 Rilevazioni intraday . . . 88

5.4 Rilevazioni giornaliere . . . 88

5.5 Rilevazioni bassa frequenza 2013 . . . 90

6.1 Tipologie simulazioni . . . 92

6.2 Out of sample: alta frequenza . . . 107

6.3 Out of sample: bassa frequenza . . . 108

6.4 Confronto modelli . . . 111

(7)

Nell’ultimo decennio l’analisi delle serie storiche finanziarie ha conosciuto un importante sviluppo, sia per quanto riguarda la ricerca di base, sia a livello di applicazioni dirette sul mercato. In particolare, l’informatiz- zazione dei dati ha reso facilmente disponibili informazioni dettagliate sull’andamento dei prezzi e dei volumi scambiati (anche a livello di singola transazione eseguita), creando cos`ı nuovi campi di indagine. Allo stesso tempo, l’introduzione dei sistemi di trading elettronico ha fatto si che i grandi istituti finanziari si interessassero all’automatizzazione dei processi di trading attraverso degli algoritmi.

L’esperienza come stagista in Banca Aletti, dove ho affiancato un desk di trading, ha accresciuto il mio interesse per questo ambito. Ho cos`ı deciso di condurre uno studio sulle serie temporali finanziarie, con lo scopo di confrontare l’efficacia degli strumenti predittivi moderni tipicamente utilizzati. La ricerca considera parallelamente i modelli ARIMA (auto regressive integrated moving average) e le reti neurali.

Questi modelli, tuttavia, non possono essere applicati alla ”cieca” e, nonostante esistano delle regole generali, `e compito del ricercatore determi- narne i parametri caratteristici che meglio si adattano alla descrizione del problema sottoposto. Un altro aspetto importante delle serie temporali `e la frequenza di campionamento. Per valutare eventuali discrepanze su scale temporali differenti, vengono analizzate serie con campionamento ad alta frequenza (ogni 5 minuti), e a bassa frequenza (chiusure giornaliere).

Dopo aver descritto le principali caratteristiche dei contratti futures (gli strumenti finanziari oggetto dell’analisi empirica), e presentato le proprietà dei modelli utilizzati, viene implementato un programma adibito alla simu- lazione e gestione di questi ultimi. Si considera un insieme che comprende i possibili valori dei parametri caratteristici, per poi valutare la capacità di descrivere e predirre il comportamento delle serie storiche su di un campione definito in sample. Effettuata un’analisi statistica dei risultati ottenuti, il passo successivo consiste nel selezionare le configurazioni pi ù efficienti e metterle alla prova sul secondo insieme di dati, definito out of sample.

vi

(8)

Entrando pi `u nel dettaglio, il lavoro si articola come segue:

• Capitolo 1. Sono introdotti i contratti futures, partendo dalle loro ori- gini, fino ad arrivare all’utilizzo che ne viene fatto attualmente dagli operatori finanziari. Particolare rilievo `e dato ai dettagli operativi (date, orari in cui sono scambiati e fusi orari adottati), indispensabili per condurre uno studio rigorosto degli stessi.

• Capitolo 2. La prima parte `e incentrata sulla presentazione dei risultati gi`a noti relativi alle serie temporali finanziarie. La seconda parte descrive i principali modelli econometrici adottati per prevedere l’andamento delle serie e i metodi per stimarli.

• Capitolo 3. Dopo aver chiarito le analogie e le differenze tra rete neurale biologica e rete neurale artificiale, `e presentata la procedura per determinare i valori dei pesi sinaptici. Chiudono il capitolo alcuni esempi utili per ”tarare” il modello implementato.

• Capitolo 4. Sono presentati sinteticamente i codici utilizzati per effettuare le simulazioni. Vengono inoltre introdotti gli indicatori pi `u significativi per valutare l’efficienza di una determinata configurazione dei parametri caratteristici.

• Capitolo 5. Un aspetto importante per condurre l’analisi empirica consiste nel selezionare dei campioni di dati in sample, e out of sample, rappresentativi. La procedura di raccolta dati `e qu`ı descritta, eviden- ziando le differenze fenomenologiche tra il campionamento a bassa e ad alta frequenza.

• Capitolo 6. `E delineato il progetto delle simulazioni effettuate e la metodologia usata per l’analisi statistica dei dati. Nello specifico, si cercher`a di stabilire se i modelli utilizzati sono effettivamente in grado di fornire delle previsioni precise, accurate, e quindi applicabili ad un contesto relale.

• Capitolo 7. In questa sezione viene riassunto il lavoro svolto, facendo chiarezza sui principali risultati ottenuti. Sono poste inoltre le basi per ulteriori approfondimenti e future ricerche.

Lo studio svolto ha mostrato che alcune configurazioni delle reti neurali sono in grado di fornire delle previsioni accurate sul campione in sample.

In particolare, le previsioni associate ai parametri che minimizzano l’errore quadratico dei punti previsti, sono corrette nel 57% dei casi: un valore

(9)

altamente significativo. Tuttavia questi risultati non sono stati replicati con successo sul secondo campione out of sample.

Sia i modelli ARIMA che le reti neurali sono in grado di approssimare le serie storiche finanziare, ma quando si tratta di prevederne l’andamento futuro (sia a breve che a lungo terminie) falliscono. Una motivazione potrebbe consistere nel fatto che le dinamiche dei prezzi non seguono alcun pattern ricorrente, ma dipendono unicamente dalle nuove informazioni, e dagli effetti che hanno sul mercato. Un’altra ipotesi, `e che vadano sondate altre configurazioni della rete, considerando dati con una maggiore pro- fondit`a temporale, e introducendo anche le correlazioni incrociate nel set informativo, in modo da tener conto dell’interdipendenza tra i futures.

(10)

Futures

I futures costituiscono l’oggetto dell’analisi empirica in questo lavoro: `e dunque opportuno comprendere appieno il loro funzionamento e l’uso che ne fanno gli operatori finanziari.

Verranno in primo luogo presentate le caratteristiche generali di questi prodotti, per poi approfondirne gli aspetti pi `u specifici che torneranno utili successivamente.

I paragrafi 1.1 e 1.2 sono una rielaborazione di Hull (2009) [1].

1.1 Origine e Finalit`a

I primi contratti forward vennero scambiati negli Stati Uniti verso la met`a del diciannovesimo secolo con la creazione di un mercato centrale, il Chicago Board of Trade (CBOT). In quel luogo gli agricoltori, oltre a vendere i loro prodotti con consegna immediata (spot market), potevano accordarsi per una consegna futura. Questi contratti erano privati (tra compratore e venditore) e col passare del tempo si sono evoluti nei pi `u standardizzati contratti futures.

Sia i contratti forward che i futures, sono accordi legali dove si stabilisce l’obbligo di comprare per una controparte (posizione long¹), di vendere per l’altra (posizione short), un asset² ad un prezzo fisso e ad una data concordata. Lo scopo, almeno inizialmente, era di garantirsi la possibilit`a

1Con posizione long su di un bene si intende l’acquisto dello stesso. Pi `u in generale, assumere una posizione long vuol dire scommettere sul rialzo di una determinata attivit`a o variabile di mercato. Viceversa una posizione short rappresenta una scommessa sul ribasso.

2Un qualunque tipo di attivit`a: dai prodotti finanziari ai beni di consumo.

1

(11)

di vendere o comprare in futuro un bene di consumo (commodity³), ad un prezzo che non fosse oggetto delle oscillazioni del mercato.

1.1.1 Differenze tra Forward e Futures

Forward e futures, rientrano in una categoria di prodotti finanziari molto estesa che ha avuto un grosso sviluppo negli ultimi quarant’anni: i derivati.

Con il termine ”derivato” si intende un qualsiasi strumento finanziario il cui valore dipende da un’altra attività. L’attività sottostante pu ò essere di qualunque tipo, principalmente: un bene di consumo, valute, un titolo azionario, un indice di mercato, un tasso di interesse, oppure il rischio di credito (si parla in questo caso di derivati creditizi⁴).

Mercati regolamentati e OTC

I derivati possono essere suddivisi in due categorie: quelli trattati in borsa (mercati regolamentati) e quelli trattati over the counter (OTC). Nel primo caso `e la borsa che fa da intermediario finanziario tra gli investitori, stabilisce delle regole in modo da ridurre il rischio di credito delle controparti, e offre dei prodotti con delle specifiche tecniche standard. Appartengono a questa categoria i futures. Nel secondo caso (contratti OTC), gli accordi avvengono direttamente tra le controparti, e la definizione delle caratteristiche dei prodotti scambiati `e lasciata a loro discrezione. Appartengono a questa categoria i contratti forward.

Nel 2012 il valore nozionale dei contratti OTC ammontava a 639 bilioni di dollari (639 · 10¹²$), contro i 67 bilioni di quelli scambiati in borsa [2]. Si pensi che nel 2000 questi valori erano pari rispettivamente a circa 100 e 10 bilioni di dollari.

Margini

Un’altra differenza sostanziale tra forward e futures `e rappresentata dalla presenza dei margini in questi ultimi⁵. Infatti, se due investitori entrano

3Con il termine commodity si indicano beni di consumo e materie prime come: petrolio, oro, grano, energia. Questi beni devo presentare delle caratteristiche comuni che li rendono equivalenti, anche se provenienti da produzioni differenti.

4Sono dei contratti bilaterali creati per gestire l’esposizione al rischio che una controparte possa essere insolvente. Il sottostante per questi derivati `e la probabilit`a di insolvenza di un agente economico.

5Recentemente anche per i contratti OTC sono strate introdotte misure per ridurre il rischio di credito. Queste procedure prendono il nome di collateralization e riproducono sostanzialmente il meccanismo dei margini [3].

(12)

Tabella 1.1:Confronto tra contratti forward e futures.

Forward Futures

Contratti privati tra due controparti Trattati in borsa Regolati alla fine del contratto Regolati ogni giorno

Consegna o saldo finale Chiusi prima della scadenza

Rischio di credito Rischio di credito praticamente assente

in un contratto l’uno con l’altro direttamente, ci sono evidenti rischi. Uno dei due investitori potrebbe rammaricarsi dell’impegno preso e cercare di non rispettarlo. Oppure potrebbe non avere pi `u le risorse necessarie per onorarlo. Uno dei ruoli chiave della borsa `e quello di ottimizzare le negoziazioni in modo da minimizzare le insolvenze.

Lo strumento utilizzato per ridurre questo rischio è quello dei ”depositi di garanzia” (marginal account). Quando un investitore decide di acquistare dei futures (posizione long), fa un ordine al suo broker⁶ che gli chiederà di depositare un margine iniziale (in genere rappresenta circa un 10% del valore nominale del contratto). Se col passare del tempo il valore del futures scende, dal deposito di garanzia viene prelevata una quantità di denaro pari a questa variazione, moltiplicata per il numero di contratti sottoscritti (questa procedura prende il nome di marking to market). Il broker trasferirà il denaro alla borsa⁷, che a sua volta lo girearà ad un altro broker in contatto con un cliente che aveva una posizione short.

Affinch`e il saldo del conto di deposito non diventi mai negativo, esiste un margine di mantenimento inferiore al margine iniziale (pari a circa il 75%). Se il saldo del conto scende al di sotto di tale soglia, il broker chiede (margin call) all’investitore di riportare il deposito al valore iniziale, questo versamento integrativo `e detto variation margin. Se il cliente non lo effettua, il broker chiude la sua posizione. Queste procedure vengono svolte quotidianamente.

L’esistenza di un mercato regolamentato fa s`ı che i futures vengano scambiati pi ù volte nel corso della loro ”vita”. Inoltre, come si vedrà nel prossimo paragrafo, chi investe nei futures spesso non lo fa per acquistare l’attività sottostante, cosicchè i contratti vengono chiusi prima della scadenza.

La tabella1.1riassume le principali differenze tra forward e futures.

6Un individuo, o un’azienda, che esegue degli ordini da parte di un investitore ricevendo in compenso una percentuale dei soldi investiti.

7`E la ”cassa di compensazione” (clearinghouse) l’organo di borsa che fa da intermediario tra il broker e la borsa stessa.

(13)

1.1.2 Il Mercato dei Futures

Dovendo studiare delle serie storiche, `e naturale mettere da parte i forward in favore dei futures che vengono quotati in borsa e scambiati continuamente. Di seguito verranno esaminate le caratteristiche di questi ultimi.

Tipologie

Generalmente le scadenze (expiry date) dei futures sono trimestrali (si veda la tabella1.2 nella pagina successiva), e cadono nel secondo o terzo venerd`ı del mese. Alla scadenza di un contratto segue la data in cui viene regolato (settlement date⁸). Le possibilit`a sono due:

• Consegna. Nel caso di merci, l’acquirente accetta una ricevuta di magazzino in cambio di un pagamento immediato. Sar`a inoltre re- sponsabile di tutti i relativi costi di gestione. Nel caso di prodotti finanziari la consegna viene fatta solitamente mediante registrazione contabile (wire transfer).

• Liquidazione per contanti. Alcuni futures (ad esempio quelli su indici azionari) vengono liquidati per mezzo di contanti, dato che non conviene, o `e impossibile, consegnare l’attivit`a sottostante.

La dimensione del contratto riguarda l’esatto ammontare dell’attivit`a sottostante che il il venditore dovr`a consegnare per ogni contratto negoziato.

Si tratta di un parametro importante per la borsa. Se la dimensione del contratto `e troppo grande, piccoli investitori avranno difficolt`a a servirsene.

Viceversa, con contratti piccoli, le negoziazioni possono risultare troppo costose dato che esiste un costo associato ad ogni singolo contratto. La borsa definisce anche l’unit`a di misura in cui sono espresse le quotazioni, ossia la variazione minima di prezzo (tick size).

I contratti sono caratterizzati anche da dei limiti di prezzo, ovvero delle soglie (in alto e in basso) che in una giornata non possono essere oltrepassate. Quando ci `o si verifica le contrattazioni vengono sospese.

Utilizzo

I mercati dei futures hanno avuto un grande successo. Il motivo principa- le `e che sono stati in grado di attirare l’attenzione di molti tipi di operatori

8Il periodo `e stabilito dalla borsa e varia da contratto a contratto, mentre la scelta della data spetta alla parte short.

(14)

Tabella 1.2:Scadenze trimestrali.

Mese Sigla

Marzo H

Giugno M

Settembre U

Dicembre Z

e sono ora molto ”liquidi”. Ovvero, quando un investitore vuole assumere una certa posizione non incontra difficolt`a a trovare qualcuno disposto a porsi dall’altro lato del contratto.

`E stato sottolineato in precedenza che spesso i futures non vengono comprati, o venduti, con l’intento di arrivare alla scadenza e ritirare la merce o il denaro. Di seguito ne vengono esposti i principali utilizzi (Alcuni aspetti risulteranno meno oscuri dopo aver letto il paragrafo 1.2 nella pagina seguente):

• Gestione del rischio (hedging). L’esposizione ai rischi di mercato pu `o essere ridotta assumendo posizioni di segno opposto. Si pensi ad una banca d’investimento che complessivamente, per i prodotti finanziari che gestisce, ha una posizione long su di un indice azionario. In questo modo si troverebbe esposta al ribasso dell’indice, ma allo stesso tempo risulterebbe abbastanza scomodo dover vendere un paniere di azioni scelte con dei pesi opportuni per replicare l’indice. La soluzione pi `u semplice consiste nell’assumere una posizione short sul futures avente come sottostante lo stesso indice. I futures permettono di coprire posizioni anche su tassi d’interesse e dividendi⁹.

• Speculazione. In questo caso l’investitore vuole assumersi il rischio scommettendo sull’andamento futuro del mercato. I futures sono particolarmente adatti a questo scopo per via della ”leva finanziaria”

(leverage¹⁰). Chiaramente questo amplifica sia i potenziali guadagni che le potenziali perdite.

• Arbitraggio. Pu `o capitare che due futures identici, quotati su due borse differenti, presentino delle minime differenze di prezzo. Que- sti piccoli discostamenti fanno si che l’arbitraggista possa contemporaneamente, comprare il contratto sottostimato e vendere quello

9Il dividendo `e quella parte di utile che viene distribuita da una societ`a ai suoi azionisti.

10Si intende la possibilit`a di gestire un determinato valore nozionale con un investimento ridotto (nel caso dei futures il deposito di garanzia).

(15)

sovrastimato, non esponendosi in questo modo a rischi di mercato e lucrando sulla differenza di prezzo. Come si pu ò immaginare, sfrutta- re queste possibilità richiede una grande efficienza a livello operativo, poichè il fattore ”tempo” è determinante. Infatti, la presenza di di- versi arbitraggisti sul mercato fa s`ı che i disallineamenti vengano rapidamente eliminati.

A quanto detto va aggiunta la necessit`a periodica di convertire i futures vicini alla data di expiry. Si pensi ad uno speculatore che acquista dei futures puntando sul rialzo di una determinata merce. Se il contratto arrivasse alla scadenza, l’investitore si troverebbe costretto ad acquistare il bene sottostante, portandosi a casa magari dei barili di petrolio.

Chiaramente non `e questo l’obiettivo di uno speculatore. Per ovviare a ci `o, prima della data di expiry, verranno venduti i futures in scadenza per comprarne contemporaneamente altri uguali che scadranno in un periodo successivo. Questa procedura nel gergo viene detta roll.

1.2 Determinazione del Prezzo

Valutare il prezzo di un derivato (pricing) è un problema che richiede un uso massiccio della teoria dei processi stocastici¹¹. Inoltre, applicare questi modelli è spesso pi ù complicato di quanto possa apparire sui libri di testo. Ci ò è dovuto alla difficoltà insita nell’estrapolare dal mercato alcuni parametri che compaiono nelle equazioni stocastiche.

Tuttavia, in alcuni casi, facendo delle opportune assunzioni di comodo, `e possibile derivare delle leggi attraverso dei ragionamenti piuttosto semplici.

Rientrano in questa categoria le formule di pricing relative a forward e futures.

1.2.1 Definizioni e Parametri

Innanzitutto è importante chiarire la distinzione tra prezzo quotato di un futures o forward e la quantità di denaro necessaria per acquistarlo. Questi contratti sono strutturati affinchè il loro valore intrinseco al momento dell’acquisto sia pari a zero, mentre invece il prezzo quotato rappresenta l’aspettativa sul livello del sottostante alla data di scadenza dei contratti.

Un esempio pu `o rendere meglio questo concetto. Se oggi il titolo azionario ENI venisse quotato a 17, 53e, il corrispettivo futures o forward con

11Modelli matematici che trattano tutti quei sistemi caratterizzati dalla presenza di componenti aleatorie.

(16)

scadenza al prossimo trimestre sarà quotato al valore atteso di ENI per quella data di scadenza. Tale valore terrà conto di tutte le informazioni disponibili sul mercato. Risulta quindi che, comprare un forward o futures, significa entrare in un contratto alla pari e il suo valore intrinseco sarà nullo.

La quantit`a di denaro necessaria per sottoscrivere il contratto corrisponde al marginal account nel caso dei futures. Vengono definiti:

T: tempo alla scadenza del contratto forward o futures (in anni);

S0: prezzo spot corrente dell’attivi`a sottostante il contratto;

F₀: prezzo forward o futures corrente;

r: tasso d’interesse annuo privo di rischio¹² (composto continuamente), valido per un investimento che scade alla data di consegna;

D_i: Dividendo staccato dall’attivit`a sottostante al tempo i.

Lo scopo della prossima sezione sar`a quello di determinare F0noti gli altri parametri.

1.2.2 Arbitraggio

Il principio generale su cui si basano i modelli di pricing `e l’assenza di arbitraggio. Con questo termine si indica un’operazione che consente di ottenere un profitto certo, senza che il soggetto che la pone in essere corra alcun rischio. Solitamente l’arbitraggio consiste nell’acquisto/vendita di un’attivit`a finanziaria, e in una contemporanea operazione di segno opposto sullo stesso strumento negoziato su di un mercato diverso dal precedente, oppure su uno strumento diverso ma avente le stesse caratteristiche del primo in termini di payoff¹³.

Come si è visto in precedenza, il mercato non è esente da possibilità di arbitraggio, ed è proprio l’operato degli arbitraggisti a ridurre questa evenienza. Tuttavia, possono verificarsi condizioni in cui la presenza di ”attriti finanziari”¹⁴rende impraticabile l’arbitraggio, in questo caso i disallineamenti dei prezzi possono permanere.

12`E il tasso a cui vengono prestati dei soldi quando il rischio di credito `e assente.

Un’approssimazione `e rappresentata dai tassi con cui le banche sono disposte a prestarsi soldi in forma di deposito (tasso LIBOR).

13Si intende il rendimento di un prodotto finanziario ad una data futura.

14Appartengono a questa categoria tutti i costi di transizione associati ad un’opreazione finanziaria. Chiaramente questi costi sono minori per i grandi investitori.

(17)

Prezzo quotato

Si facciano le seguenti assunzioni:

1. il mercato `e liquido e non esistono costi di transazione;

2. il denaro pu `o essere dato e preso in prestito allo stesso tasso privo di rischio;

3. sono consentite vendite allo ”scoperto” (vendita di un prodotto finanziario senza possederlo);

4. dividendi nulli (∀i ∈ T : Di = 0).

Il prezzo di un forward, ovvero la stima del livello raggiunto dal sottostante S tra T anni `e dato da:

F₀= S₀· e^rT. (1.1)

Infatti, se un ipotetico acquirente B quotasse F0= S0· e^rT+ (con quantit`a positiva), allora un venditore A potrebbe:

⇒ vendere a B un forward con prezzo F0= S₀· e^rT + (va short),

⇒ prendere in prestito S0al tasso r (dovr`a rendere S0· e^rT),

⇒ comprare il sottostante per il controvalore di S0(va long).

Dopo T anni: A consegna a B il sottostante, riceve S0· e^rT + da B e rimborsa con S0· e^rT il prestito ricevuto. In questo modo lucra una quantit`a di denaro pari ad senza alcun rischio.

Viceversa, se B quotasse F0= S0· e^rT − , allora il venditore A potr`a:

⇒ comprare da B un forward a F0= S₀· e^rT − ,

⇒ vendere subito il sottostante a S0 con consegna al tempo T ,

⇒ investire S0al tasso r.

Dopo T anni: A riceve S0· e^rT, compra da B il sottostante a S0· e^rT − e lo consegna. Cos`ı facendo lucra una quantit`a di denaro pari ad senza alcun rischio.

In entrambi i casi, si vede che un prezzo diverso da quello espresso nella1.1offre delle opportunit`a di arbitraggio.

(18)

Dividendi

Titoli azionari, e di riflesso gli indici azionari, periodicamente possono ridurre il proprio valore in seguito allo stacco dei dividendi: `e possibile estendere facilmente la1.1affinch`e ne tenga conto.

Se al tempo i `e attesa una variazione del sottostante pari al dividendo, non si fa altro che modificare il valore corrente del sottostante tenendo conto di questa futura riduzione attualizzata al tasso di sconto privo di rischio. Si ha quindi:

F₀=

S₀−X

∀i≤T

D_i· e^−rtⁱ

· e^rT. (1.2)

La sommatoria tiene conto di tutti i dividendi attesi fino alla scadenza del contratto. Nel caso degli indici i dividendi saranno quelli delle azioni che li compongono tenendo conto del loro peso relativo¹⁵. L’attualizzazione

”riduce” l’entit`a dei dividendi: 1e domani vale meno di 1e oggi.

Effetto dei margini

Le argomentazioni dei paragrafi precedenti sono corrette solo per i contratti forward dato che non tengono conto della liquidazione giornaliera.

Si pu ò dimostrare che, se il tasso d’interesse privo di rischio è costante o varia nel tempo seguendo una legge nota, il valore di forward e futures è identico.

Quando i tassi d’interesse variano in modo imprevedibile (come avviene nel mondo reale), i prezzi futures e i prezzi forward teorici non sono pi ù uguali. Se ne pu ò dare una dimostrazione euristica considerando il caso in cui il prezzo dell’attività sottostante, S, è correlato positivamente con i tassi d’interesse. Quando S aumenta, un investitore con una posizione long in futures realizza un guadagno immediato a causa della procedura di liquidazione giornaliera. Data la correlazione positiva, è probabile che anche i tassi d’interesse siano aumentati, per cui il guadagno tende ad essere investito ad un tasso pi ù alto della media. Analogamente, quando Sdiminuisce, l’investitore subisce una perdita immediata. Questa perdita tende ad essere finanziata a un tasso d’interesse pi ù basso della media.

Un investitore che è entrato in un contratto forward non è influenzato in questo modo dai movimenti dei tassi. Pertanto, quando S è correlato

15Il valore di un indice azionario non `e dato dalla semplice somma delle azioni che lo compongono. Spesso sono introdotti dei fattori di correzione (”pesi”) che tengono conto della diversa rilevanza dei singoli titoli.

(19)

positivamente con i tassi d’interesse, i prezzi futures tendono ad essere pi ù alti rispetto a quelli forward. Allo stesso modo, quando la correlazione è negativa, i prezzi forward tendono ad essere pi ù alti di quelli futures.

Va aggiunto che nella maggior parte dei casi queste differenze sono sufficientemente piccole da poter essere trascurate.

Altri sottostanti

Fino ad ora sono stati considerati contratti il cui sottostante era un titolo azionario, o al pi `u un indice. In effetti, per l’analisi che seguir`a, bastano queste due casistiche. Tuttavia si possono menzionare alcuni risultati di facile derivazione.

Futures su valute: considerando come sottostante il prezzo corrente spot, in euro, di un un’unit`a di valuta estera, si ha:

F₀= S₀· e^(r−r^e^)T, (1.3) dove re `e il tasso d’interesse privo di rischio estero.

Futures su merci: definendo U come il valore attuale di tutti i costi di immagazzinamento della merce, per beni d’investimento (come oro e argento) si ha:

F₀ = (S₀+ U)· e^rT. (1.4) Per un bene di consumo (come il petrolio) si ottiene invece:

F₀≤ (S₀+ U)· e^rT. (1.5)

1.3 Futures su Indici

Gli indici azionari sono stati creati per rappresentare in modo sintetico l’andamento di un determinato settore di mercato. Il loro valore pu `o essere dato dalla somma dei valori dei singoli componenti, oppure da una combinazione degli stessi con dei ”pesi” in modo da tener conto delle diverse rilevanze.

Nel decidere quali prodotti finanziari studiare, `e venuto naturale indi- rizzarsi verso degli strumenti che avessero le seguenti caratteristiche:

(20)

Liquidità: se si vuole andare oltre uno studio teorico, ed implementare effettivamente un algoritmo di trading, è necessario avere la possibilità di comprare e vendere a piacimento. Inoltre, un grande volume di scambi fa s`ı che diminuisca il bid-ask spread¹⁶,

Influenza reciproca: facendo un’analisi volta a trovare anche dei nessi di causalit`a, si pu `o restringere il cerchio considerando quei prodotti che, almeno in linea teroica, hanno ragione di essere correlati.

Sono stati selezionati i futures relativi ai seguenti indici:

• FTSE MIB. È il paniere che racchiude le azioni delle 40 maggiori società italiane. L’indice è nato in seguito alla fusione tra Borsa Italiana e London Stock Exchange, andando a creare il London Stock Exchange group (LSE). È operativo dal 01/06/2009 e rappresenta all’incirca l’80% della capitalizzazione del mercato azionario italiano.

• EURO STOXX 50. comprende 50 titoli azionari a maggior capitalizzazione dei paesi dell’eurozona. Ogni paese che compone l’indice ha un determinato numero di societ`a quotate, ognuna con il proprio peso.

L’indice `e stato sviluppato nel 31/12/1991 con un valore iniziale pari a 1000.

• S&P 500. `E stato realizzato da Standard & Poor’s (S&P) nel 1957 e segue l’andamento di un paniere azionario formato dalle 500 aziende statunitensi a maggiore capitalizzazione. Il peso attribuito a ciascuna azienda `e direttamente proporzionale al valore di mercato della stessa.

• NIKKEI 225. L’indice contiene i titoli (pesati sui loro prezzi) delle 225 maggiori compagnie quotate dalla Borsa di Tokyo (TSE). Inizi `o ad essere calcolato nel 07/09/1950.

Questi indici rappresentano una parte significativa del mercato azionario nei tre continenti pi ù attivi: Europa, Asia e America. Tali economie sono fortemente interconnesse e, come si vedrà pi ù avanti, fortemente correlate.

Chiaramente, non potendo scambiare direttamente gli indici, verranno studiati i futures ad essi associati.

La relazione teorica tra indice e futures `e espressa dalla1.2. Di fatto il prezzo `e determinato dalla domanda e dall’offerta, tuttavia se questo valore

16Il bid `e il livello di prezzo a cui i compratori di un titolo sono disposti ad acquistare dai venditori. L’ask `e il livello di prezzo a cui i venditori sono disposti a vendere ai compratori.

Lo spread `e la differenza tra questi due valori.

(21)

dovesse discostarsi da quello teorico gli arbitraggisti lo riporterebbero al livello corretto. Si noti che la relazione teorica include dei termini non noti con esattezza. Il valore dell’indice è quotato, ma r e Di vengono ricavati indirettamente da altri prodotti finanziari (come bonds e dividend swap¹⁷), lasciando comunque dei margini di incertezza. Infine va detto che non sempre gli orari in cui sono scambiati i futures, e i singoli componenti dell’indice corrispondono; spesso questi ultimi sono quotati in fasce orarie pi ù ristrette. In questo caso sarà il futures ad ”incorporare” prima dell’indice le notizie che influenzano il mercato.

La scelta di considerare proprio questi strumenti finanziari `e sicura- mente arbitraria, ma necessaria per restringere il campo di studio. Nella prossima sezione verranno descritte le specifiche tecniche di ciascun futures.

1.3.1 Analisi e Comparazione dei Futures

I futures su indici hanno scadenze trimestrali e cominciano ad essere quotati in periodi che vanno da 6 mesi ad un anno prima della scadenza.

Tuttavia, il lasso di tempo in cui sono effettivamente scambiati `e molto limitato, e coincide con gli ultimi 3 mesi del loro ”ciclo vitale” (si vedano le figure:1.1 nella pagina successivae1.2 a pagina 14). Di fatto gli operatori finanziari si servono solo dei futures relativi alla scadenza pi `u prossima.

Avvicinandosi alla data di expiry, generalmente nell’arco degli ultimi 5 gironi, i futures dell’attuale trimestre vengono girati (roll) a favore di quelli del trimestre successivo. La necessit`a di convertire i contratti vecchi in quelli nuovi fa s`ı che nell’ultima settimana gli scambi siano pi `u intensi e risultino quindi ”viziati” da questa procedura.

FIB - Futures su FTSE MIB

Nellascheda prodotto 1.1sono indicate le principali specifiche tecniche del futures sul FTSE MIB (IFS). Si noti che l’orario di negoziazione (9:00 - 17:40) `e riferito all’Italia e, col passaggio dall’ora solare all’ora legale,

diventa GMT +2.

La tabella1.3 a pagina 15mostra alcuni valori statistici riassuntivi per ognuno dei 4 trimestri. In particolare con ”Volume TOT” si intende la somma dei contratti scambiati nei 6 mesi prima dell’expiry, mentre con

17Lo swap appartiene alla categoria degli strumenti derivati, e consiste nello scambio di flussi di cassa tra due controparti. In particolare, gli swap su dividendi pagano delle cedole periodiche in base alla differenza tra dividendi attesi e dividendi realizzati.

(22)

19/09/2011 04/11/2011 19/12/2011 31/01/2012 14/03/2012

IFSH2

Giorni Volume 010000200003000040000

15/12/2011 31/01/2012 16/03/2012 07/05/2012

IFSM2

Giorni Volume 0100003000050000

15/03/2012 27/04/2012 08/06/2012 19/07/2012 30/08/2012

IFSU2

Giorni Volume 010000200003000040000

14/06/2012 02/08/2012 18/09/2012 01/11/2012 17/12/2012

IFSZ2

Giorni Volume 01000020000300004000050000

Figura 1.1:Sono mostrati i volumi scambiati sul futures relativo al FTSE MIB nelle 4 scadenze trimestrali del 2012. Solo negli ultimi 3 mesi di ogni trimestre i volumi sono significativi, con picchi poco prima della scadenza. Si consulti l’appendiceA a pagina 115per la nomenclatura dei prodotti.

(23)

19/09/2011 04/11/2011 19/12/2011 31/01/2012 14/03/2012

IFSH2

Giorni Volume 010000200003000040000

15/09/2011 25/10/2011 02/12/2011 12/01/2012 21/02/2012

STXEH2

Giorni Volume 05000001500000

19/09/2011 26/10/2011 05/12/2011 13/01/2012 23/02/2012

ESH2

Giorni Volume 050000015000002500000

15/02/2011 18/10/2011 29/11/2011 09/01/2012 16/02/2012

SSIH2

Giorni Volume 050000100000150000

Figura 1.2:Sono mostrati i volumi scambiati sui 4 futures con scadenza a marzo 2012.

Risulta ancora evidente la quasi totale assenza di scambi prima degli ultimi tre mesi.

(24)

Tabella 1.3: Statistiche descrittive del futures IFS nel 2012.

Volume TOT Volume 3 Mesi Controvalore TOT (e)

IFSH2 1, 08· 10⁶ 94% 0, 86· 10¹¹

IFSM2 1, 69· 10⁶ 95% 1, 19· 10¹¹

IFSU2 1, 77· 10⁶ 90% 1, 27· 10¹¹

IFSZ2 1, 46· 10⁶ 93% 1, 14· 10¹¹

”Volume 3 Mesi” ci si riferisce al valore percentuale degli scambi avvenuti solo negli ultmi 3 mesi. Infine, ”Controvalore TOT” `e dato da:

Controvalore TOT = X

∀j

Volume_j· Last_j· M, (1.6) dove la sommatoria viene effettuata su ogni giorno (j) tra quelli compresi negli ultimi 6 mesi. Il valore ”Last” `e riferito all’ultimo trade eseguito in giornata, mentre il parametro ”M” `e il moltiplicatore del contratto. Segue che ”Controvalore TOT” rappresenta un’approssimazione (il valore corretto dovrebbe tener conto del livello dei futures ad ogni singolo trade) del controvalore di tutti i futures scambiati.

Scheda prodotto 1.1: FIB - Futures su FTSE MIB Borsa di riferimento:Borsa Italiana

Indice sottostante:FTSE MIB Codice Reuters:IFS

Scadenze negoziate:Sono contemporaneamente quotate le quattro scadenze trimestrali del ciclo marzo, giugno, settembre e dicembre.

Orario di negoziazione:9:00 - 17:40 (Italia: GMT*+1/+2) Moltiplicatore:Punti indice ×5.

Valuta:Euro (e).

Movimento minimo di prezzo: 5punti indice (25e).

Giorno scadenza:Terzo venerd`ı dell’ultimo mese di quotazione.

Informazioni pi `u dettagliate sono reperibili al sito di rieferimento [4].

*Orario di Greenwich.

EURO STOXX 50 Index Futures^R

Nellascheda prodotto 1.2sono indicate le principali specifiche tecniche del futures sullo EURO STOXX 50 (STXE). L’orario di negoziazione (7:50

(25)

Tabella 1.4:Statistiche descrittive del futures STXE nel 2012.

Volume TOT Volume 3 Mesi Controvalore TOT (e)

STXEH2 7, 18· 10⁷ 91% 1, 74· 10¹²

STXEM2 9, 48· 10⁷ 90% 2, 13· 10¹²

STXEU2 8, 59· 10⁷ 86% 2, 01· 10¹²

STXEZ2 6, 77· 10⁷ 92% 1, 72· 10¹²

- 22:00) si riferisce al ”Central European Time”, e in primavera passa da GMT +1 a GMT +2.

La tabella1.4mostra alcuni valori statistici riassuntivi per ognuno dei 4 trimestri.

Scheda prodotto 1.2: EURO STOXX 50 Index FuturesR

Borsa di riferimento:Eurex Exchange Indice sottostante:EURO STOXX 50 Codice Reuters:STXE

Orario di negoziazione:7:50 - 22:00 (CET*: GMT +1/+2) Moltiplicatore:Punti indice ×10.

Valuta:Euro (e).

Movimento minimo di prezzo: 1punto indice (10e).

*Central European Time.

E-mini S&P 500 Futures

Nellascheda prodotto 1.3sono indicate le principali specifiche tecniche del futures sull’S&P 500 (ES). L’orario di negoziazione si estende in un arco temporale di 23 ore facendo riferimento al ”Central Standard Time” che in primavera passa da GMT -6 a GMT -5.

La tabella 1.5 nella pagina successiva mostra alcuni valori statistici riassuntivi per ognuno dei 4 trimestri.

(26)

Tabella 1.5:Statistiche descrittive del futures ES nel 2012.

Volume TOT Volume 3 Mesi Controvalore TOT ($)

ESH2 1, 10· 10⁸ 95% 7, 17· 10¹²

ESM2 1, 23· 10⁸ 92% 8, 80· 10¹²

ESU2 1, 26· 10⁸ 82% 8, 64· 10¹²

ESZ2 1, 16· 10⁸ 90% 8, 23· 10¹²

Tabella 1.6:Statistiche descrittive del futures SSI nel 2012.

Volume TOT Volume 3 Mesi Controvalore TOT (U)

SSIH2 6, 02· 10⁶ 97% 2, 72· 10¹³

SSIM2 7, 50· 10⁶ 98% 3, 50· 10¹³

SSIU2 6, 54· 10⁶ 91% 2, 88· 10¹³

SSIZ2 6, 28· 10⁶ 96% 2, 84· 10¹³

Scheda prodotto 1.3: E-mini S&P 500 Futures Borsa di riferimento:CME Group

Indice sottostante:S&P 500 Codice Reuters:ES

Orario di negoziazione:17:00*- 15:15 / 15:30 - 16:15 (CST**: GMT -6/-5) Moltiplicatore:Punti indice ×50.

Valuta:Dollaro ($).

Movimento minimo di prezzo: 0.25punti indice (12.5 $).

*Del giorno precedente.

**Central Standard Time.

Nikkei 225 Index Futures

Nellascheda prodotto 1.4sono indicate le principali specifiche tecniche del futures sul Nikkei 225 (SSI). L’orario di negoziazione si estende in un arco temporale di 17 ore e 25 minuti facendo riferimento al fuso orario di Singapore che durante tutto l’anno corrisponde a GMT +8.

La tabella1.6mostra alcuni valori statistici riassuntivi per ognuno dei 4 trimestri.

(27)

Tabella 1.7:Controvalore annuale futures

Controvalore TOT (e) IFS 0, 45· 10¹² STOXE 7, 60· 10¹² ES 25, 60· 10¹² SSI 0, 98· 10¹²

Scheda prodotto 1.4: Nikkei 225 Index Futures Borsa di riferimento:Singapore Exchange (SGX) Indice sottostante:Nikkei 225

Codice Reuters:SSI

Orario di negoziazione:7:45 - 14:25 / 15:15 - 2:00*(Singapore: GMT +8) Moltiplicatore:Punti indice ×500.

Valuta:Yen (U)

Movimento minimo di prezzo: 5punti indice (2500 U).

Giorno scadenza:Secondo venerd`ı dell’ultimo mese di quotazione.

*Del giorno successivo.

Tutti i futures, a parte quello sul FTSE MIB, vengono negoziati in un arco temporale significativamente pi ù esteso rispetto al corrispettivo indice di mercato (gli indici sono quotati per circa 8 ore al giorno). Il fatto che i futures interpretino con maggior continuità gli accadimenti esterni, fa s`ı che i ”salti” tipici che si verificano all’apertura siano di minore entità. Si noti inoltre che solo l’SSI ha come data di expiry il secondo venerd`ı dell’ultimo mese.

Il volume degli scambi, negli ultimi 3 mesi di ”vita” dei futures, `e quasi sempre attorno al 90% rispetto a quello totale. Considerando 3 mesi pi `u una settimana (quella che include l’expiry del contratto relativo al precedente trimestre), si arriva circa al 98% per tutti i futures.

Infine pu `o essere fatto un confronto tra i controvalori dei volumi scambiati nell’arco di un anno per ogni futures, si veda la tabella 1.7. I valori mostrati sono stati ottenuti considerando un cambio euro/dollaro pari a 1, 28e un cambio euro/yen pari a 122, 04 (valori aggiornati al 04/04/2013).

(28)

Serie Storiche e Modelli

In questo capitolo vengono presentate le principali caratteristiche fenomenologiche delle serie storiche finanziarie, e i modelli lineari standard utilizzati per descriverle ed effettuare previsioni. La trattazione econome- trica parte dai modelli univariati, per arrivare a quelli multivariati in grado di considerare l’interdipendenza tra pi `u serie temporali.

Le nozioni teoriche fanno riferimento a Tsay (2010; Capitoli: 1,2,8) [8].

2.1 Serie Finanziarie

Lo studio delle serie storiche finanziarie generalmente tratta i return di un asset al posto del suo prezzo. Viene definito il simple return:

R_t = P_t− P_t−1 Pt−1

, (2.1)

dove Pt `e il prezzo dell’asset al tempo t. Si introduce inoltre il log return:

r_t= In(1 + R_t) = In P_t Pt−1

= p_t− p_t−1, (2.2) dove pt = In(P_t). Si noti che Rt rappresenta l’approssimazione al primo ordine di rt, quindi, per piccole variazioni di prezzo, le corrispettive serie storiche hanno caratteristiche similari. Il simple return è di fatto la variazione percentuale del prezzo, e pu ò assumere valori compresi nell’intervallo [−1, +∞). Diversamente il log return può assumere valori su tutto l’asse reale.

Nell’appendiceB a pagina 116sono riportate alcune definizioni e propriet`a statistiche che di seguito verranno utilizzate. Se si considera un insieme di N asset in in un periodo pari a T , i log return studiati saranno

19

(29)

Simple Return S&P 500

Simple Return

Frequenza

−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10

0100200300400500

Log Return S&P 500

Log Return

Frequenza

−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10

0100200300400500

Figura 2.1:Sono riportati gli istogrammi delle frequenze dei return (valutati sulle chiusure giornaliere dal 19/04/1993 al 24/04/2013) relativi all’indice S&P 500. Le linee blu rappresentano le gaussiane aventi media e varianza del campione in esame.

{rit : i = 1, . . . , N; t = 1, . . . , T} (è possibile rappresentare allo stesso modo i simple return Rit). Nel caso univariato, si avrà la distribuzione di probabilità:

f(ri1, . . . , riT; θ) = f(ri1; θ) YT

t=2

f(rit|ri,t−1, . . . , ri1; θ), (2.3) dove θ¹ `e un opportuno vettore di parametri da determinare.

In molte applicazioni, al posto della distribuzione condizionata, viene considerata quella marginale perchè pi ù facile da stimare. Una comune as- sunzione è che i simple return e i log return siano delle variabili indipendenti e identicamente distribuite (iid). La distribuzione tipicamente considerata è quella ”normale”, con media e varianza ricavate dai valori storici dei return, o in base a informazioni di mercato.

Questi modelli, nella loro semplicit`a, hanno il difetto di non mostrare alcuni fenomeni tipici delle distribuzioni empiriche. Si veda al proposito la figura2.1, dove vengono rappresentate le distribuzioni dei return (5035 osservazioni negli ultimi vent’anni) dell’indice S&P 500, con le relative distribuzioni normali. La tabella2.1 nella pagina seguenteriporta i parametri statistici pi `u significativi.

La media positiva `e in linea con l’aspettativa che nel lungo termine il mercato vada al rialzo. I p-valori associati a kurtosi e skewness sono

1Le grandezze vettoriali verranno sempre indicate in grassetto.

(30)

Tabella 2.1:Statistiche descrittive dell’S&P 500 (dati campionati dal 1993 al 2013).

Simple Return Log Return Media 3, 25· 10⁻⁴ 2, 51· 10⁻⁴ Varianza 1, 47· 10⁻⁴ 1, 47· 10⁻⁴ Skewness −0, 51· 10⁻¹ −2, 39· 10⁻¹

Kurtosi 11, 41 11, 30

altamente significativi, con l’eccezione della skewness relativa ai simple return (p-valore=0, 14²). La presenza di kurtosi evidenzia il fenomeno delle

”code grasse”³ben noto in finanza [9], ovvero il verificarsi di eventi rari la cui probabilit`a attesa da una distribuzione normale `e praticamente nulla.

La presenza skewness è dovuta all’asimmetria della distribuzione dei return, e la sua negatività è associata alla maggior probabilità di eventi rari negativi rispetto a quelli positivi: è pi ù frequente che si verifichino grossi ribassi rispetto a grossi rialzi del mercato. Infine, come atteso, le differenze tra simple return e log return risultano marginali.

2.2 Analisi Lineare Univariata

Ipotizzare che i return di un singolo asset siano delle variabili iid con una distribuzione normale, equivale a trascurare (se non in termini di media e varianza) l’effetto di ogni precedente rilevazione ai fini di fare una previsione: f(rt|r1, . . . , r_t−1) = f(r_t). Un altro approccio consiste nello studiare la dipendenza tra rte ri<tin termini di correlazioni lineari.

2.2.1 Stazionariet`a

Una serie temporale{rt} è detta strettamente stazionaria se la distribuzione f(r_t₁, . . . , r_t_k) è uguale a f(rt1+t, . . . , r_t_k_+t)per ogni valore di t, dove k è un intero positivo e (t1, . . . , t_k) è un insieme di k interi positivi. Questa è una condizione molto forte e difficile da verificare empiricamente.

Si definisce inoltre una serie{rt} debolmente stazionaria quando E(rt) = µ e Cov(rt, r_t−`) = γ_`, dove ` `e un intero arbitrario e prende il nome di lag temporale. La stazionariet`a debole richiede solo l’invarianza per traslazioni

2Se non viene specificato diversamente, di seguito verr`a considerata come soglia per rifiutare l’ipotesi nulla H0(in questo caso rappresentata dal considerare kurtosi e skewness paria a zero) un valore di α pari a 0, 05.

3Per descrivere questo comportamento sono stati introdotti modelli in cui la distribuzione di probabilit`a dei singoli return `e poissoniana.

(31)

temporali dei primi due momenti della distribuzione e, nel caso in cui la serie temporale sia distribuita come una normale, le due definizioni date di stazionariet`a coincidono.

Generalmente in finanza si assume che la serie temporale dei return sia debolmente stazionaria. I metodi di analisi standard che verranno presentati nei prossimi paragrafi presuppongono la stazionariet`a debole della serie in esame. Quando questo requisito non viene soddisfatto dalle evidenze empiriche, ci si riconduce al caso stazionario considerando la serie delle differenze yt = r_t− r_t−1; questo procedimento viene ripetuto iterativamente fino a soddisfare la richiesta di stazionariet`a.

2.2.2 Funzione di Autocorrelazione (ACF)

Si consideri una serie debolmente stazionaria rt. Per valutare la dipendenza lineare tra rte un valore passato arbitrario rt−`, si studia la funzione di autocorrelazione (ACF):

ρ_` = Cov(r_t, r_t−`)

pVar(r_t)Var(r_t−`) = Cov(r_t, r_t−`) Var(r_t) = γ_`

γ₀, (2.4)

dove la seconda uguaglianza deriva dalla stazionariet`a. Dato un insieme {rt}^Tt=1 `e possibile stimare ρ`:

^ ρ_`=

P_T

t=`+1(rt−¯r)(rt−`−¯r) PT

t=1(r_t−¯r)² , 0≤ ` < T − 1, (2.5) dove ¯r `e la media del campione in esame.

Sia rt `e una serie temporale debolmente stazionaria tale che: rt = µ + P_q

i=0Ψiat−i, Ψ0= 1e{aj} `e una sequenza di variabili casuali iid con media pari a zero. Allora ^ρ_` `e asintoticamente normale con media pari a zero e varianza (1 + 2Pq

i=1ρ²_i)/T per ` > q. Questo risultato è noto come formula di Bartlett [10] e pu ò essere utilizzato per testare l’ipotesi H0: ρ`= 0. Infatti il t-valore è dato da:

t = ρ^_`

q

(1 + 2P_`−1

i=1ρ^²_i)/T

. (2.6)

Considerando vera H0, allora il t-valore `e distribuito come una variabile normale con media pari a zero e varianza unitaria; pu `o cos`ı essere calcolato il p-valore per decidere se rifiutare o meno l’ipotesi nulla.

(32)

Pu `o risultare necessario valutare direttamente se esistono autocorrelazioni significative in un insieme i ∈ {1, . . . , m} di valori di `. Ljung e Box [11] hanno proposto la seguente grandezza statistica:

Q(m) = T (T + 2) Xm

`=1

^ ρ²_`

T − `, (2.7)

come test per l’ipotesi nulla H0 : ρ₁ = · · · = ρ_m = 0. Se gli {rt} sono iid, allora Q(m) assume asintoticamente una distribuzione del chi-quadrato con m gradi di libert`a. Anche in questo caso si pu `o valutare il p-valore per decidere se rifiutare l’ipotesi H0.

L’insieme dei ^ρ_`definiti nell’equazione2.5`e chiamato campione della funzione di autocorrelazione, e gioca un ruolo fondamentale nell’analisi delle serie temporali caratterizzandone la dinamica lineare.

Tutte le grandezze statistiche introdotte in questo paragrafo, e nei suc- cessivi, possono essere agevolmente calcolate servendosi del software ”R”

(si veda l’appendiceC a pagina 118). `E dunque possibile applicare, a titolo di esempio, questi concetti alla serie storica dell’indice dell’S&P analizzata nel precedente paragrafo.

La figura2.2 nella pagina seguentemostra il ”correlogramma”, ovvero i valori dell’ACF valutati per un insieme di lag temporali. Non è stato incluso ^ρ0 poichè, per definizione, sempre uguale a 1. Si pu ò notare che il grafico dei simple return è praticamente identico a quello dei log return, ed entrambi mostrano dei ^ρ_` significativi. Effettuando il test Ljung-Box per Q(10), si ottengono dei valori pari a 58 per i simple returns e 56 per i log returns, con dei p-valori prossimi a zero. Viene quindi confermata la presenza di autocorrelazioni, seppur di piccola entità, statisticamente non trascurabili.

2.3 Modelli Lineari Univariati

Qualora in una serie storica venisse appurata l’esistenza di autocorrelazioni significative, il passo successivo sarebbe la costruzione di un modello in grado di descrivere i dati campionati, ed effettuare delle previsioni. I modelli per una serie temporale rtstudiati in questo capitolo, sono di tipo lineare, e possono essere espressi dalla:

r_t = µ + X∞

i=0

ψ_ia_t−i, (2.8)

(33)

5 10 15 20

−0.2−0.10.00.10.2

Lag

ACF

ACF S&P 500 (Simple Return)

5 10 15 20

−0.2−0.10.00.10.2

Lag

ACF

ACF S&P 500 (Log Return)

Figura 2.2:Sono riportati i valori delle autocorrelazioni per i return dell’S&P 500. Le linee tratteggiate blu rappresentano un intervallo di confidenza pari al 95%, entro al quale le autocorrelazioni sono trascurabili.

dove µ `e la media di rte ψ0 = 1. La serie{at} `e composta da variabili casuali indipendenti, caratterizzate da una distribuzione normale, con media pari a zero e varianza σ²_a: {at} prende il nome di ”rumore bianco”.

Per una serie lineare stazionaria si ha:

Var(r_t) = σ²_a X∞

i=0

ψ²_i <∞. (2.9)

La condizione Var(rt) < ∞ richiede che limi→∞ψ²_i = 0. Questo fa s`ı che gli effetti di at−i su rtsiano meno rilevanti per grandi valori di i.

2.3.1 Modello Autoregressivo (AR)

La presenza di autocorrelazioni suggerisce la possibilit`a di esprimere rt

come combinazione lineare dei suoi valori passati; si avr`a:

r_t = φ₀+ φ₁r_t−1+ . . . + φ_pr_t−p+ a_t, (2.10) dove at è un rumore bianco con varianza σ²_a, e p è un intero positivo. Questo modello è detto autoregressivo di ordine p.

(34)

Propriet`a del modello AR(1)

Il modello autoregressivo di ordine 1 `e definito come:

r_t= φ₀+ φ₁r_t−1+ a_t. (2.11) In questo caso `e possibile calcolare facilmente (tenendo conto della stazionariet`a debole) media e varianza:

E(r_t) = µ = φ₀ 1 − φ1

; Var(r_t) = γ₀= σ²_a

1 − φ²₁. (2.12) Affinchè la media non diverga, si ha la richiesta che φ16= 1; inoltre, essendo la varianza positiva e limitata, si avrà anche la condizione φ²₁ < 1. Infine si pu ò dimostrare che:

ρ` = φ^`₁ (2.13)

per ` ≥ 0. Questo risultato mostra che la ACF di un modello AR(1) decade esponenzialmente al tasso φ1: i valori pi `u vecchi della serie{rt} sono sempre meno influenti al fine di stimare un futuro rt.

Trattandosi di un modello lineare, deve essere possibile ricondurlo alla forma dell’equazione2.8. Infatti, utilizzando il risultato della2.12, si pu `o riscrivere la2.11come:

r_t− µ = φ₁(r_t−1− µ) + a_t. (2.14) Effettuando ripetute sostituzioni, si ottiene:

r_t− µ = a_t+ φ₁a_t−1+ φ²₁a_t−2+ . . . = X∞

i=0

φⁱ₁a_t−i. (2.15)

Questa equazione esprime il modello AR(1) nella forma della2.8con Ψi = φⁱ₁.

Propriet`a del modello AR(p)

I risultati relativi ai processi AR(1) possono essere generalizzati per i processi AR(p) con p > 1. La media, per un processo stazionario, `e data da:

E(rt) = φ0

1 − φ₁− . . . − φ_p, (2.16)