A.A. 2019/2020, Sessione di Gennaio/Febbraio, Primo Appello, 19 gennaio 2021, Prova scritta

Universit` a degli Studi di Udine, Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esami di FISICA I (9 CFU) e Fisica Generale 1 (12 CFU)

A.A. 2019/2020, Sessione di Gennaio/Febbraio, Primo Appello, 19 gennaio 2021, Prova scritta

TESTI E SOLUZIONI DEI PROBLEMI PROBLEMA 1

Un’automobile di massa m = 1000 kg e lunghezza ℓ = 4.00 m `e posizionata in modo tale che il suo bordo posteriore sia sul bordo di una piattaforma di massa M = 6000 kg e lunghezza L = 30.0 m. La piatta- forma poggia su una pista di ghiaccio e pu` o scivolare con attrito trascurabile su di essa. In caso di moto dell’auto supporre che le sue ruote non scivolino rispetto alla piattaforma. Sia l’auto che la piattaforma sono inizialmente in quiete.

Supporre ora che l’auto si sposti dall’altro lato della piattaforma nel seguente modo: prima l’auto accelera con accelerazione costante a ^′ = 3.00 m/s ² (rispetto alla piattaforma) fino a che il suo centro raggiunge il centro della piattaforma; poi decelera con accelerazione −a ^′ (sempre rispetto alla piattaforma) fino a che il suo bordo anteriore raggiunge fermandosi il bordo opposto della piattaforma.

Determinare:

A. il tempo che impiega l’auto per effettuare l’intero spostamento;

B. il massimo modulo della velocit` a raggiunta dalla piattaforma durante lo spostamento dell’auto;

C. di quanto e in quale direzione si sposta la piattaforma.

[Assumere che sia la piattaforma che l’auto siano assimilabili a parallelepipedi con massa distribuita omoge- neamente.]

Soluzione Nel sistema di riferimento solidale con la piattaforma, l’auto percorre una distanza d = L − ℓ = 26.0 m. In ognuna delle due fasi di accelerazione e decelerazione l’auto si sposta di una distanza (sempre rispetto alla piattaforma) d/2. Pertanto, essendo i due moti uniformemente accelerati, il tempo che impiega per effettuare ognuno dei due ´e

d 2 = 1

2 a ^′ t ² 1 /2 ⇒ t 1 /2 = r d

a ^′ = r L − ℓ a ^′ . Quindi, il tempo complessivo necessario per l’intero spostamento `e

t _tot = 2t 1 /2 = 2 r L − ℓ

a ^′ = 5.89 s.

Si noti che durante lo spostamento la massima velocit` a raggiunta dall’auto rispetto alla piattaforma `e v ^′ _max = a ^′ t 1 /2 = p(L − ℓ)a ^′ = 8.83 m/s.

Durante lo spostamento le uniche forze orizzontali che intervengo sono le forze che le ruote dell’auto e la piattaforma si scambiano; tali forze sono, ovviamente, uguali ed opposte. Questo fatto ci deve far capire che la risultante delle forze esterne `e nulla e che quindi la quantit` a di moto del sistema, auto+piattaforma deve conservarsi. In altre parole, in un sistema di riferimento solidale con la pista di ghiaccio, indicando con v e V le velocit` a di auto e piattaforma, istante per istante dovr`a essere

mv + M V = 0.

Ma la velocit` a v dell’auto pu` o essere espressa in termini della sua velocit` a rispetto alla piattaforma attraverso la seguente

v = V + v ^′ , e quindi

m(V + v ^′ ) + M V = 0 ⇒ V = − m

m + M v ^′ ,

che ci dice che la piattaforma si muove in verso opposto a quello che f`a l’auto. Conseguentemente, il massimo modulo della velocit` a della piattaforma `e

|V | _max = m

m + M v ^′ _max = m

m + M p(L − ℓ)a ^′ = 1.26 m/s.

Infine, la conservazione della quantit` a di moto del sistema comporta anche che il centro di massa del sistema rimanga fermo (dato che lo era anche inizialmente)! Perci` o, consideriamo un asse x orizzontale diretto verso destra e poniamo la sua origine in corrispondenza del bordo sinistro della piattaforma prima dello spostamento. Imponendo che l’ascissa del centro di massa, prima e dopo lo spostamento, rimanga inalterata, abbiamo la seguente

m ℓ

2 + M L 2 = M



∆x _p + L 2

 + m



∆x _p + L − ℓ 2

 ,

dove con ∆x _p abbiamo indicato lo spostamento del bordo sinistro della piattaforma. Da questa si ricava

∆x _p = − m(L − ℓ)

m + M = −3.71 m, che ci dice anche che la piattaforma si sposta verso sinistra.

Si noti anche che, nel frattempo, rispetto alla pista di ghiaccio l’auto si `e spostata di una distanza

∆x _auto = ∆x _p + L − ℓ = M (L − ℓ)

m + M = 22.3 m.

PROBLEMA 2

Due blocchi di massa m 1 = 6.00 kg e m 2 = 10.0 kg sono collegati come in figura da un filo inestensibile (ma perfettamente flessibile) e di massa trascurabile che passa per una puleggia (assimilabile ad un cilindro omogeneo) di raggio R = 15.0 cm e massa m = 8.00 kg. Al blocco 1 `e applicata una forza ~ F~ F~ F di modulo costante diretta come in figura. Si assuma che la puleggia possa ruotare senza attrito intorno al suo asse, che il filo non scivoli rispetto alla puleggia, che non ci sia attrito fra i blocchi 1 e 2 mentre tra blocco 2 e piano di appoggio sia presente attrito con i coefficienti di attrito statico e dinamico pari a µ _s = 0.600 e µ _k = 0.400, rispettivamente.

Determinare:

A. il valore del modulo della forza ~ F~ F~ F , F _max , al di sotto del quale il sistema rimane in equilibrio statico;

B. l’accelerazione angolare α della puleggia nel caso di F = 2F _max (F _max `e quello richiesto al punto A.).

b

R

m 2

m 1

F~ ~ F~ F

Soluzione

Consideriamo un asse x diretto come la forza ~ F~ F~ F . Indichiamo con T 1 e T 2 le tensioni delle corde agganciate rispettivamente ai blocchi 1 e 2 e con f a il modulo della forza di attrito (statico o dinamico, a seconda dei casi) agente sul blocco 2. Applicando la 2 ^a legge della dinamica nelle forme lineare (ai blocchi 1 e 2) e angolare (alla puleggia), si ottengono le seguenti:







m 1 a 1 = F − T 1

m 2 a 2 = −T 2 + f _a

Iα = R(T 1 − T 2 )

a 1 e a 2 sono le accelerazioni lineari dei due blocchi; α e I = ¹ ₂ mR ² sono l’accelerazione angolare e il momento d’inerzia della puleggia.

In caso di equilibrio statico le accelerazioni sono nulle. Quindi le precedenti si riducono alle







0 = F − T 1

0 = −T 2 + f _s 0 = R(T ¹ − T ² )

dove f _s `e ora il modulo della forza di attrito statico. Risolvendo si ottiene T 1 = T 2 = T e f _s = T = F.

Conseguentemente, essendo

f _s ≤ µ _s N 2 = µ _s (m 1 + m 2 )g, si ricava

F = f _s ≤ µ _s (m 1 + m 2 )g ⇒ F ≤ F _max = µ _s (m 1 + m 2 )g = 94.2 N.

Se il modulo di ~ F~ F~ F viene posto a 2F _max il sistema non sar` a pi` u in equilibrio. In tal caso, data l’inestensibilit` a del filo, avremo

a 1 = a; a 2 = −a; α = a/R.

D’altra parte, a causa del movimento del blocco 2, avremo f _a = f _k = µ _k N 2 = µ _k (m 1 + m 2 )g. Quindi, le equazioni del moto diventano







m 1 a = F − T 1

−m 2 a = −T 2 + f _k

1

2 ma = T 1 − T 2

Risolvendo otteniamo

a = F − f _k m 1 + m 2 + ¹ ₂ m .

Quindi, esplicitando F = 2F _max = 2µ _s (m 1 + m 2 )g e f _k = µ _k ((m 1 + m 2 )g, si ottiene a = 2F _max − f _k

m 1 + m 2 + ¹ ₂ m = (2µ _s − µ _k )(m 1 + m 2 )g

m 1 + m 2 + ¹ ₂ m = 6.28 m/s ² . Infine `e

α = a

R = 41.9 rad/s ² . PROBLEMA 3

Si abbiano n = 2.50 mol di un gas monoatonico e si consideri per esso un’espansione adiabatica reversibile dallo stato 1 con V 1 = 20.0 dm ³ allo stato 2 con V 2 = 4 · V 1 e p 2 = 1.50 atm.

A. Determinare le temperature T ¹ e T ² degli stati 1 e 2 e la pressione p ¹ dello stato 1.

Si consideri poi, per lo stesso gas, un’espansione adiabatica irreversibile con stato iniziale con volume V 1 e stato finale identico (in tutto) a quello dell’espansione reversibile vista nella prima parte del problema.

Supponendo di poter variare la temperatura dello stato iniziale T i dell’attuale trasformazione mantenendo inalterate le sue caratteristiche di espansione adiabatica irreversibile, determinare:

B. il massimo valore di T _i ; C. il minimo valore di T _i .

Soluzione La temperatura dello stato 2 (di cui al punto A) `e T 2 = p 2 V 2

nR = 4 p 2 V 1

nR = 585 K.

Tenendo presente che la trasformazione (di cui al punto A) `e un adiabatica reversibile per T 1 e p 1 abbiamo T 1 V 1 ^γ−1 = T 2 V 2 ^γ−1 ⇒ T 1 =  V ²

V 1

 _γ−1

T 2 = 4 ^γ−1 T 2 = 4 ^{2 /3} T 2 = 1474 K;

p 1 V 1 ^γ = p 2 V 2 ^γ ⇒ p 1 =  V ² V ¹

 γ

p 2 = 4 ^γ p 2 = 15.1 atm = 1.53 · 10 ⁶ N/m ² , dove si `e tenuto conto del fatto che `e γ = c _p /c _V = 5/3.

Ora passiamo alla seconda parte del problema in cui l’espansione adiabatica `e irreversibile. Si noti subito che, come nel caso precedente, il sistema continua ad essere chiuso, ma ora, essendo la trasformazione irreversibile, la 2 ^a legge della termodinamica ci dice che deve essere

∆S _if > 0.

Per una qualsiasi trasformazione di un gas ideale tra due stati di equilibrio la variazione di entropia pu` o essere calcolata attraverso la seguente

∆S _if = nc _V ln  T _f T _i



+ nR ln  V _f V _i

 .

Conseguentemente, imponendo la precedente maggiorazione (e tenendo presente che `e V _i = V 1 e V _f = V 2 , otteniamo

c _V ln  T i

T ²



< R ln  V ² V ¹



= R ln 4 ⇒ ln  T i

T ²



< R c V

ln 4 = ln  4 ^R/c



= ln 4 ^γ−1
, e quindi

T i < T i,max = 4 ^γ−1 T ² = 2.52 · T ² = 1474 K.

Come si vede, a causa dell’irreversibilit`a la temperatura dello stato iniziale deve mantenersi al di sotto di quella che lo stesso stato aveva nel caso dell’espansione reversibile.

Ma c’`e anche un’altra condizione che l’espansione adiabatica irreversibile deve soddisfare: essendo un’espan- sione, deve essere

L _if > 0.

Essendo un’adiabatica, dalla 1 ^a legge della termodinamica, segue che

L _if = −∆E _int,if = −nc _V (T _f − T _i ) = nc _V (T _i − T 2 ) > 0 ⇒ T _i > T 2 = 585 K.

Riassumendo si ha

585 K < T _i < 1474 K.