i) Se il picco di vento ha distribuzione N (80; 20 2 ) e scegliamo = 120, con che probabilità la soglia viene superata?

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19/7/2011

Esercizio 1. Una stazione di misurazione del vento osserva giornalmente il picco di vento (valore più alto misurato) e lo registra. Rilevante è osservare se il picco di vento è superiore ad una certa soglia . Supponiamo di poter considerare indipendenti e statisticamente identiche le giornate.

i) Se il picco di vento ha distribuzione N (80; 20 ² ) e scegliamo = 120, con che probabilità la soglia viene superata?

ii) Con che probabilità il primo giorno di superamento è il decimo?

iii) Mediamente, quanti giorni pensate che intercorrano tra un supera- mento ed un altro?

Esercizio 2 . Si consideri la funzione f (x) che vale C jxj e ^x per x 0 e 0 per x > 0.

i) Stabilire per quali valori di e di C è una densità di probabilità.

ii) Posto Y = log ( X), trovare la densità di Y .

iii) Calcolare la funzione generatrice ' X (t) e la media di X, speci…can- done il dominio.

iv) Calcolare P (X 1) e P (max (X 1 ; X ₂ ) > 1) dove X 1 e X 2 sono distribuite come X ed indipendenti.

Esercizio 3 . Consideriamo la catena di Markov su E = f1; 2; 3; 4; 5; 6g associata alla seguente matrice di transizione

P = 0 B B B B B B

@

0 1=2 1=2 0 0 0

0 0 1=2 1=2 0 0

1=2 1=2 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1=2 1=2

0 0 0 0 1=2 1=2

1 C C C C C C A

:

i) Disegnare il grafo, classi…care gli stati e trovare le classi irriducibili.

ii) Calcolare la probabilità al tempo 5 di trovarsi nello stato 4, partendo al tempo 1 dallo stato 1.

iii) Determinare tutte le probabilità invarianti della catena. Cercare di usare ragionamenti il più possibile strutturali e non solo calcoli alla cieca.

1

Esercizio 4. Sia (X n ) _{n 1} una successione di v.a. indipendenti ed identi- camente distribuite, standardizzate. Sia (Y n ) _{n 1} la successione de…nita da

Y ₁ = X ₁

Y _n+1 = Y _n + X _n+1 per n 1.

i) Calcolare media e varianza di Y n . ii) Approssimare P (Y 49 > 10).

2

1 Soluzioni

Esercizio 1. i) Detta X la v.a. picco di vento, P (X > 120) = 1 120 80

20 = 1 (2) = 1 0:9772 = 0:022 8 ii) E’la probabilità che nei primi 9 giorni non ci sia superamento, quindi

(0:9772) ⁹ = 0:812 55:

iii) Il primo superamento è una v.a. geometrica di parametro 0:022 8, quindi il suo valore medio è di _{0:022 8} ¹ = 43: 860 giorni. il tempo tra un su- peramento ed un altro andrebbe calcolato diveramente (il precedente è il tempo tra 0 ed il primo superamento) ma le v.a. geometriche hanno la pro- prietà di assenza di memoria, per cui è ragionevole ipotizzare che il tempo tra un superamento ed un altro sia come il tempo tra 0 ed il primo superamento.

Esercizio 2. i) Dev’essere > 0 altrimenti la funzione e quindi l’integrale diverge (a 1). Poi

Z 0 1

C jxj e ^x dx = Z 0

1

Cxe ^x dx = C

xe ^{x 0}

1 + Z 0

1

C e ^x dx = C

2 e ^{x 0}

1 = C

2

per cui dev’essere C = ² . ii)

F _Y (t) = P (log ( X) t) = P ( X) e ^t = P X e ^t = 1 P X < e ^t = 1 F _X e ^t da cui

f _Y (t) = f _X e ^t e ^t = ² e ^t e ^e

e ^t = ² e ^e

^+2t : iii)

' _X (t) = Z ₊₁

1

e ^tx f _X (x) dx = ² Z 0

1

e ^tx jxj e ^x dx = ² Z 0

1

xe ^{( +t)x} dx =

2

( + t) ² ed è ben de…nita (nel senso anche che valgono i calcoli precedenti) se +t > 0, ovvero per t > .

iv)

P (X 1) =

Z 1 1

2 xe ^x dx = xe ^{x 1}

1 + Z 0

1

e ^x dx

= e + e ^{x 1}

1 = ( + 1) e

3

P (max (X ₁ ; X ₂ ) > 1) = 1 P (max (X ₁ ; X ₂ ) 1) = 1 P (X ₁ 1; X ₂ 1)

= 1 P (X ₁ 1) P (X ₂ 1) = 1 P (X 1) ² = 1 ( + 1) ² e ² : Esercizio 3. i) Lo stato f4g è assorbente, f5; 6g sono una classe ir-

riducibile, gli stati 1,2,3 sono transitori (meglio spiegare perche’).

ii) Dobbiamo identi…care tutti i cammini di 4 passi che portano allo stato 4 dallo stato 1:

1 ! 2 ! 3 ! 2 ! 4 1 ! 2 ! 4 ! 4 ! 4 1 ! 3 ! 1 ! 2 ! 4 1 ! 3 ! 2 ! 4 ! 4:

La relativa probabilità è 1

2 1 2 1 2

1 2 + 1

2 1

2 1 1 + 1 2 1 2 1 2

1 2 + 1

2 1 2 1

2 1 = 0:5:

iii) Per i soliti ragionamenti, sono 0; 0; 0; 1 ;

2 ; 2 al variare di 2 [0; 1].

Esercizio 4. i) Vale

Y _n = X ₁ + ::: + X _n quindi E [Y n ] = 0, V ar [Y n ] = n.

ii)

P (Y ₄₉ > 10) = P (X ₁ + ::: + X ₄₉ > 10) = P X ₁ + ::: + X ₄₉ 7 > 10

7 e per il teorema limite centrale questo si approssima con

1 10

7 = 0:07656:

4