Analisi Matematica A 3 aprile 2007 FOGLIO A
Cognome e nome . . . Firma . . . .
Corso di Laurea: ♦ GESL; ♦ INFL;
Istruzioni
1. COMPILARE la parte precedente queste istruzioni, in particolare, scrivere cognome e nome (in stam- patello), firmare e segnare il proprio corso di laurea.
2. SCRIVERE, in modo incontrovertibile, la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.
3. I PUNTEGGI attribuiti per la risposta esatta sono indicati alla fine di ogni quesito.
4. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori, telefoni cellulari.
5. CONSEGNARE questo foglio e tutti i fogli di protocollo.
6. TENERE il foglio B come promemoria delle risposte date.
7. TEMPO a disposizione: 160 min.
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale:
f (x) =
−x − π
2 − 2 se x < −2, arcsin³ x
2
´
se −2 ≤ x ≤ 2,
−x se x > 2, Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare lim
x→−∞f (x) e lim
x→+∞f (x). Discutere inoltre la continuit`a di f nel suo dominio e, qualora si individuino dei punti di discontinuit`a, classificarli.
Risposta [punti 1]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classificando eventuali punti di non derivabilit`a.
Risposta [punti 2]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f , calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f .
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata seconda di f e studiare la concavit`a e la convessit`a di f , calcolando gli eventuali punti di flesso per f .
Risposta [punti 2]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ max
½8n + 1
n , n2+ 1
¾
, n ∈ Z+
¾ . Risposta [punti 3]:
3. Scrivere in forma cartesiana le radici quarte del numero complesso w = − 7
√2|1 − i| che abbiano parte immaginaria positiva.
Risposta [punti 3]:
4. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
[Re (7zz + 2z)]2 = 49|z|4.
Risposta [punti 3]:
5. Calcolare lim
n→+∞2n72 q
n3+7n−√ n3 logh¡
1 +n7¢2n2i . Risposta [punti 4]:
6. Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 2 della funzione f (x) = log (3x + 1) in un intorno del punto x0 = 1.
Risposta [punti 3]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
sin(8x)
αx se x < 0,
(β − 1)√
x + cos x se x ≥ 0.
Analisi Matematica A 3 aprile 2007 FOGLIO B
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale:
f (x) =
−x − π
2 − 2 se x < −2, arcsin³ x
2
´
se −2 ≤ x ≤ 2,
−x se x > 2, Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare lim
x→−∞f (x) e lim
x→+∞f (x). Discutere inoltre la continuit`a di f nel suo dominio e, qualora si individuino dei punti di discontinuit`a, classificarli.
Risposta [punti 1]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classificando eventuali punti di non derivabilit`a.
Risposta [punti 2]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f , calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f .
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata seconda di f e studiare la concavit`a e la convessit`a di f , calcolando gli eventuali punti di flesso per f .
Risposta [punti 2]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ max
½8n + 1
n , n2+ 1
¾
, n ∈ Z+
¾ .
Risposta [punti 3]:
3. Scrivere in forma cartesiana le radici quarte del numero complesso w = − 7
√2|1 − i| che abbiano parte immaginaria positiva.
4. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
[Re (7zz + 2z)]2 = 49|z|4.
Risposta [punti 3]:
5. Calcolare lim
n→+∞2n72 q
n3+7n−√ n3 logh¡
1 +n7¢2n2i . Risposta [punti 4]:
6. Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 2 della funzione f (x) = log (3x + 1) in un intorno del punto x0 = 1.
Risposta [punti 3]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
sin(8x)
αx se x < 0,
(β − 1)√
x + cos x se x ≥ 0.
Dire per quali valori di α e β la funzione f sia continua e derivabile in x = 0. Negli altri casi classificare il tipo di discontinuit`a e di non derivabilit`a in x = 0.
Risposta [punti 6]:
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Cognome e nome . . . Firma . . . .
Corso di Laurea: ♦ GESL; ♦ INFL;
Istruzioni
1. COMPILARE la parte precedente queste istruzioni, in particolare, scrivere cognome e nome (in stam- patello), firmare e segnare il proprio corso di laurea.
2. SCRIVERE, in modo incontrovertibile, la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.
3. I PUNTEGGI attribuiti per la risposta esatta sono indicati alla fine di ogni quesito.
4. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori, telefoni cellulari.
5. CONSEGNARE questo foglio e tutti i fogli di protocollo.
6. TENERE il foglio B come promemoria delle risposte date.
7. TEMPO a disposizione: 160 min.
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale:
f (x) =
−x − π
2 − 3 se x < −3, arcsin³ x
3
´
se −3 ≤ x ≤ 3,
−x se x > 3, Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare lim
x→−∞f (x) e lim
x→+∞f (x). Discutere inoltre la continuit`a di f nel suo dominio e, qualora si individuino dei punti di discontinuit`a, classificarli.
Risposta [punti 1]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classificando eventuali punti di non derivabilit`a.
Risposta [punti 2]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f , calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f .
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata seconda di f e studiare la concavit`a e la convessit`a di f , calcolando gli eventuali punti di flesso per f .
Risposta [punti 2]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ max
½8n + 2
n , n2+ 2
¾
, n ∈ Z+
¾ . Risposta [punti 3]:
3. Scrivere in forma cartesiana le radici quarte del numero complesso w = − 6
√2|1 − i| che abbiano parte immaginaria positiva.
Risposta [punti 3]:
4. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
[Re (6zz + 3z)]2 = 36|z|4.
Risposta [punti 3]:
5. Calcolare lim
n→+∞2n92 q
n5+6n−√ n5 logh¡
1 +n6¢3n2i . Risposta [punti 4]:
6. Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 2 della funzione f (x) = log (4x + 1) in un intorno del punto x0 = 1.
Risposta [punti 3]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
sin(7x)
αx se x < 0,
(β − 2)√
x + cos x se x ≥ 0.
Analisi Matematica A 3 aprile 2007 FOGLIO B
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale:
f (x) =
−x − π
2 − 3 se x < −3, arcsin³ x
3
´
se −3 ≤ x ≤ 3,
−x se x > 3, Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare lim
x→−∞f (x) e lim
x→+∞f (x). Discutere inoltre la continuit`a di f nel suo dominio e, qualora si individuino dei punti di discontinuit`a, classificarli.
Risposta [punti 1]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classificando eventuali punti di non derivabilit`a.
Risposta [punti 2]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f , calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f .
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata seconda di f e studiare la concavit`a e la convessit`a di f , calcolando gli eventuali punti di flesso per f .
Risposta [punti 2]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ max
½8n + 2
n , n2+ 2
¾
, n ∈ Z+
¾ .
Risposta [punti 3]:
3. Scrivere in forma cartesiana le radici quarte del numero complesso w = − 6
√2|1 − i| che abbiano parte immaginaria positiva.
4. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
[Re (6zz + 3z)]2 = 36|z|4.
Risposta [punti 3]:
5. Calcolare lim
n→+∞2n92 q
n5+6n−√ n5 logh¡
1 +n6¢3n2i . Risposta [punti 4]:
6. Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 2 della funzione f (x) = log (4x + 1) in un intorno del punto x0 = 1.
Risposta [punti 3]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
sin(7x)
αx se x < 0,
(β − 2)√
x + cos x se x ≥ 0.
Dire per quali valori di α e β la funzione f sia continua e derivabile in x = 0. Negli altri casi classificare il tipo di discontinuit`a e di non derivabilit`a in x = 0.
Risposta [punti 6]:
Analisi Matematica A 3 aprile 2007 FOGLIO A
Cognome e nome . . . Firma . . . .
Corso di Laurea: ♦ GESL; ♦ INFL;
Istruzioni
1. COMPILARE la parte precedente queste istruzioni, in particolare, scrivere cognome e nome (in stam- patello), firmare e segnare il proprio corso di laurea.
2. SCRIVERE, in modo incontrovertibile, la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.
3. I PUNTEGGI attribuiti per la risposta esatta sono indicati alla fine di ogni quesito.
4. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori, telefoni cellulari.
5. CONSEGNARE questo foglio e tutti i fogli di protocollo.
6. TENERE il foglio B come promemoria delle risposte date.
7. TEMPO a disposizione: 160 min.
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale:
f (x) =
−x − π
2 − 4 se x < −4, arcsin³ x
4
´
se −4 ≤ x ≤ 4,
−x se x > 4, Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare lim
x→−∞f (x) e lim
x→+∞f (x). Discutere inoltre la continuit`a di f nel suo dominio e, qualora si individuino dei punti di discontinuit`a, classificarli.
Risposta [punti 1]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classificando eventuali punti di non derivabilit`a.
Risposta [punti 2]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f , calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f .
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata seconda di f e studiare la concavit`a e la convessit`a di f , calcolando gli eventuali punti di flesso per f .
Risposta [punti 2]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ max
½8n + 3
n , n2+ 3
¾
, n ∈ Z+
¾ . Risposta [punti 3]:
3. Scrivere in forma cartesiana le radici quarte del numero complesso w = − 5
√2|1 − i| che abbiano parte immaginaria positiva.
Risposta [punti 3]:
4. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
[Re (5zz + 4z)]2 = 25|z|4.
Risposta [punti 3]:
5. Calcolare lim
n→+∞2n112 q
n7+n5 −√ n7 logh¡
1 +n5¢4n2i . Risposta [punti 4]:
6. Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 2 della funzione f (x) = log (5x + 1) in un intorno del punto x0 = 1.
Risposta [punti 3]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
sin(6x)
αx se x < 0,
(β − 3)√
x + cos x se x ≥ 0.
Analisi Matematica A 3 aprile 2007 FOGLIO B
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale:
f (x) =
−x − π
2 − 4 se x < −4, arcsin³ x
4
´
se −4 ≤ x ≤ 4,
−x se x > 4, Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare lim
x→−∞f (x) e lim
x→+∞f (x). Discutere inoltre la continuit`a di f nel suo dominio e, qualora si individuino dei punti di discontinuit`a, classificarli.
Risposta [punti 1]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classificando eventuali punti di non derivabilit`a.
Risposta [punti 2]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f , calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f .
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata seconda di f e studiare la concavit`a e la convessit`a di f , calcolando gli eventuali punti di flesso per f .
Risposta [punti 2]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ max
½8n + 3
n , n2+ 3
¾
, n ∈ Z+
¾ .
Risposta [punti 3]:
3. Scrivere in forma cartesiana le radici quarte del numero complesso w = − 5
√2|1 − i| che abbiano parte immaginaria positiva.
4. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
[Re (5zz + 4z)]2 = 25|z|4.
Risposta [punti 3]:
5. Calcolare lim
n→+∞2n112 q
n7+n5 −√ n7 logh¡
1 +n5¢4n2i . Risposta [punti 4]:
6. Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 2 della funzione f (x) = log (5x + 1) in un intorno del punto x0 = 1.
Risposta [punti 3]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
sin(6x)
αx se x < 0,
(β − 3)√
x + cos x se x ≥ 0.
Dire per quali valori di α e β la funzione f sia continua e derivabile in x = 0. Negli altri casi classificare il tipo di discontinuit`a e di non derivabilit`a in x = 0.
Risposta [punti 6]:
Analisi Matematica A 3 aprile 2007 FOGLIO A
Cognome e nome . . . Firma . . . .
Corso di Laurea: ♦ GESL; ♦ INFL;
Istruzioni
1. COMPILARE la parte precedente queste istruzioni, in particolare, scrivere cognome e nome (in stam- patello), firmare e segnare il proprio corso di laurea.
2. SCRIVERE, in modo incontrovertibile, la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.
3. I PUNTEGGI attribuiti per la risposta esatta sono indicati alla fine di ogni quesito.
4. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori, telefoni cellulari.
5. CONSEGNARE questo foglio e tutti i fogli di protocollo.
6. TENERE il foglio B come promemoria delle risposte date.
7. TEMPO a disposizione: 160 min.
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale:
f (x) =
−x − π
2 − 5 se x < −5, arcsin³ x
5
´
se −5 ≤ x ≤ 5,
−x se x > 5, Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare lim
x→−∞f (x) e lim
x→+∞f (x). Discutere inoltre la continuit`a di f nel suo dominio e, qualora si individuino dei punti di discontinuit`a, classificarli.
Risposta [punti 1]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classificando eventuali punti di non derivabilit`a.
Risposta [punti 2]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f , calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f .
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata seconda di f e studiare la concavit`a e la convessit`a di f , calcolando gli eventuali punti di flesso per f .
Risposta [punti 2]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ max
½8n + 4
n , n2+ 4
¾
, n ∈ Z+
¾ . Risposta [punti 3]:
3. Scrivere in forma cartesiana le radici quarte del numero complesso w = − 4
√2|1 − i| che abbiano parte immaginaria positiva.
Risposta [punti 3]:
4. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
[Re (4zz + 5z)]2 = 16|z|4.
Risposta [punti 3]:
5. Calcolare lim
n→+∞2n132 q
n9+n4 −√ n9 logh¡
1 +n4¢5n2i . Risposta [punti 4]:
6. Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 2 della funzione f (x) = log (6x + 1) in un intorno del punto x0 = 1.
Risposta [punti 3]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
sin(5x)
αx se x < 0,
(β − 4)√
x + cos x se x ≥ 0.
Analisi Matematica A 3 aprile 2007 FOGLIO B
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale:
f (x) =
−x − π
2 − 5 se x < −5, arcsin³ x
5
´
se −5 ≤ x ≤ 5,
−x se x > 5, Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare lim
x→−∞f (x) e lim
x→+∞f (x). Discutere inoltre la continuit`a di f nel suo dominio e, qualora si individuino dei punti di discontinuit`a, classificarli.
Risposta [punti 1]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classificando eventuali punti di non derivabilit`a.
Risposta [punti 2]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f , calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f .
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata seconda di f e studiare la concavit`a e la convessit`a di f , calcolando gli eventuali punti di flesso per f .
Risposta [punti 2]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ max
½8n + 4
n , n2+ 4
¾
, n ∈ Z+
¾ .
Risposta [punti 3]:
3. Scrivere in forma cartesiana le radici quarte del numero complesso w = − 4
√2|1 − i| che abbiano parte immaginaria positiva.
4. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
[Re (4zz + 5z)]2 = 16|z|4.
Risposta [punti 3]:
5. Calcolare lim
n→+∞2n132 q
n9+n4 −√ n9 logh¡
1 +n4¢5n2i . Risposta [punti 4]:
6. Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 2 della funzione f (x) = log (6x + 1) in un intorno del punto x0 = 1.
Risposta [punti 3]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
sin(5x)
αx se x < 0,
(β − 4)√
x + cos x se x ≥ 0.
Dire per quali valori di α e β la funzione f sia continua e derivabile in x = 0. Negli altri casi classificare il tipo di discontinuit`a e di non derivabilit`a in x = 0.
Risposta [punti 6]:
Analisi Matematica A 3 aprile 2007 FOGLIO A
Cognome e nome . . . Firma . . . .
Corso di Laurea: ♦ GESL; ♦ INFL;
Istruzioni
1. COMPILARE la parte precedente queste istruzioni, in particolare, scrivere cognome e nome (in stam- patello), firmare e segnare il proprio corso di laurea.
2. SCRIVERE, in modo incontrovertibile, la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.
3. I PUNTEGGI attribuiti per la risposta esatta sono indicati alla fine di ogni quesito.
4. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori, telefoni cellulari.
5. CONSEGNARE questo foglio e tutti i fogli di protocollo.
6. TENERE il foglio B come promemoria delle risposte date.
7. TEMPO a disposizione: 160 min.
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale:
f (x) =
−x − π
2 − 6 se x < −6, arcsin³ x
6
´
se −6 ≤ x ≤ 6,
−x se x > 6, Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare lim
x→−∞f (x) e lim
x→+∞f (x). Discutere inoltre la continuit`a di f nel suo dominio e, qualora si individuino dei punti di discontinuit`a, classificarli.
Risposta [punti 1]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classificando eventuali punti di non derivabilit`a.
Risposta [punti 2]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f , calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f .
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata seconda di f e studiare la concavit`a e la convessit`a di f , calcolando gli eventuali punti di flesso per f .
Risposta [punti 2]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ max
½8n + 5
n , n2+ 5
¾
, n ∈ Z+
¾ . Risposta [punti 3]:
3. Scrivere in forma cartesiana le radici quarte del numero complesso w = − 3
√2|1 − i| che abbiano parte immaginaria positiva.
Risposta [punti 3]:
4. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
[Re (3zz + 6z)]2 = 9|z|4.
Risposta [punti 3]:
5. Calcolare lim
n→+∞2n152 q
n11+ 3n−√ n11 logh¡
1 +3n¢6n2i . Risposta [punti 4]:
6. Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 2 della funzione f (x) = log (7x + 1) in un intorno del punto x0 = 1.
Risposta [punti 3]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
sin(4x)
αx se x < 0,
(β − 5)√
x + cos x se x ≥ 0.
Analisi Matematica A 3 aprile 2007 FOGLIO B
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale:
f (x) =
−x − π
2 − 6 se x < −6, arcsin³ x
6
´
se −6 ≤ x ≤ 6,
−x se x > 6, Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare lim
x→−∞f (x) e lim
x→+∞f (x). Discutere inoltre la continuit`a di f nel suo dominio e, qualora si individuino dei punti di discontinuit`a, classificarli.
Risposta [punti 1]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classificando eventuali punti di non derivabilit`a.
Risposta [punti 2]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f , calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f .
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata seconda di f e studiare la concavit`a e la convessit`a di f , calcolando gli eventuali punti di flesso per f .
Risposta [punti 2]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ max
½8n + 5
n , n2+ 5
¾
, n ∈ Z+
¾ .
Risposta [punti 3]:
3. Scrivere in forma cartesiana le radici quarte del numero complesso w = − 3
√2|1 − i| che abbiano parte immaginaria positiva.
4. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
[Re (3zz + 6z)]2 = 9|z|4.
Risposta [punti 3]:
5. Calcolare lim
n→+∞2n152 q
n11+ 3n−√ n11 logh¡
1 +3n¢6n2i . Risposta [punti 4]:
6. Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 2 della funzione f (x) = log (7x + 1) in un intorno del punto x0 = 1.
Risposta [punti 3]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
sin(4x)
αx se x < 0,
(β − 5)√
x + cos x se x ≥ 0.
Dire per quali valori di α e β la funzione f sia continua e derivabile in x = 0. Negli altri casi classificare il tipo di discontinuit`a e di non derivabilit`a in x = 0.
Risposta [punti 6]:
Analisi Matematica A 3 aprile 2007 FOGLIO A
Cognome e nome . . . Firma . . . .
Corso di Laurea: ♦ GESL; ♦ INFL;
Istruzioni
1. COMPILARE la parte precedente queste istruzioni, in particolare, scrivere cognome e nome (in stam- patello), firmare e segnare il proprio corso di laurea.
2. SCRIVERE, in modo incontrovertibile, la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.
3. I PUNTEGGI attribuiti per la risposta esatta sono indicati alla fine di ogni quesito.
4. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori, telefoni cellulari.
5. CONSEGNARE questo foglio e tutti i fogli di protocollo.
6. TENERE il foglio B come promemoria delle risposte date.
7. TEMPO a disposizione: 160 min.
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale:
f (x) =
−x − π
2 − 7 se x < −7, arcsin³ x
7
´
se −7 ≤ x ≤ 7,
−x se x > 7, Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare lim
x→−∞f (x) e lim
x→+∞f (x). Discutere inoltre la continuit`a di f nel suo dominio e, qualora si individuino dei punti di discontinuit`a, classificarli.
Risposta [punti 1]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classificando eventuali punti di non derivabilit`a.
Risposta [punti 2]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f , calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f .
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata seconda di f e studiare la concavit`a e la convessit`a di f , calcolando gli eventuali punti di flesso per f .
Risposta [punti 2]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ max
½8n + 6
n , n2+ 6
¾
, n ∈ Z+
¾ . Risposta [punti 3]:
3. Scrivere in forma cartesiana le radici quarte del numero complesso w = − 2
√2|1 − i| che abbiano parte immaginaria positiva.
Risposta [punti 3]:
4. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
[Re (2zz + 7z)]2 = 4|z|4.
Risposta [punti 3]:
5. Calcolare lim
n→+∞2n172 q
n13+ 2n−√ n13 logh¡
1 +2n¢7n2i . Risposta [punti 4]:
6. Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 2 della funzione f (x) = log (8x + 1) in un intorno del punto x0 = 1.
Risposta [punti 3]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
sin(3x)
αx se x < 0,
(β − 6)√
x + cos x se x ≥ 0.
Analisi Matematica A 3 aprile 2007 FOGLIO B
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale:
f (x) =
−x − π
2 − 7 se x < −7, arcsin³ x
7
´
se −7 ≤ x ≤ 7,
−x se x > 7, Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare lim
x→−∞f (x) e lim
x→+∞f (x). Discutere inoltre la continuit`a di f nel suo dominio e, qualora si individuino dei punti di discontinuit`a, classificarli.
Risposta [punti 1]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classificando eventuali punti di non derivabilit`a.
Risposta [punti 2]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f , calcolando, qualora esistano, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f .
Risposta [punti 2]:
Calcolare la funzione derivata seconda di f e studiare la concavit`a e la convessit`a di f , calcolando gli eventuali punti di flesso per f .
Risposta [punti 2]:
2. Determinare inf A, sup A ed eventualmente min A, max A, essendo A =
½ max
½8n + 6
n , n2+ 6
¾
, n ∈ Z+
¾ .
Risposta [punti 3]:
3. Scrivere in forma cartesiana le radici quarte del numero complesso w = − 2
√2|1 − i| che abbiano parte immaginaria positiva.
4. Determinare il luogo geometrico degli z ∈ C tali che
[Re (2zz + 7z)]2 = 4|z|4.
Risposta [punti 3]:
5. Calcolare lim
n→+∞2n172 q
n13+ 2n−√ n13 logh¡
1 +2n¢7n2i . Risposta [punti 4]:
6. Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 2 della funzione f (x) = log (8x + 1) in un intorno del punto x0 = 1.
Risposta [punti 3]:
7. Sia f : R −→ R la seguente funzione:
f (x) =
sin(3x)
αx se x < 0,
(β − 6)√
x + cos x se x ≥ 0.
Dire per quali valori di α e β la funzione f sia continua e derivabile in x = 0. Negli altri casi classificare il tipo di discontinuit`a e di non derivabilit`a in x = 0.
Risposta [punti 6]:
