Probabilità Condizionata

Probabilità Condizionata

• Definizione

– Dato uno spazio di probabilità (S, A, P[.]) si definisce probabilità condizionata dell’evento E dato l’evento F, con E ed F eventi qualunque di A, il rapporto:

  ^{  } _{ } ^{con P}   ^{F  0}

F P

EF F P

E

P

Esempio

Consideriamo il lancio di una coppia di dadi

– Sia l’evento E=“la somma dei numeri dei due dadi non sia superiore a 8”

– Sia l’evento F=“compaia almeno un 5”

   

36 11 36

26 

 P F

E P

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Risultato del dado evento E

evento F

Esempio

Se si volesse calcolare quale sia la probabilità dell’evento E=“la somma dei numeri dei due dadi non sia superiore a 8” condizionato all’evento F=“compaia almeno un 5”, allora

  ^{ } _{ }

11 6 36

11 36 6





 P F EF F P

E P

  11

 6 F

E P

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Risultato del dado evento E

evento F

Formula delle probabilità totali

• Esempio

Una ditta produttrice di autovetture riceve da quattro fornitori le pastiglie dei freni da installare sulle auto prodotte nelle seguenti percentuali: 65%, 20%, 10%, 5%.

Sapendo che i quattro fornitori producono le pastiglie con una difettosità rispettivamente del 2%, 2.5%, 4%, 10%,

si vuole sapere la probabilità che ha la ditta produttrice di automobili di ricevere un componente difettoso.

S A

B¹ B² B³ B⁴

j i

S B

B B

B







 con B

 B

   

 ^B

^B

^B

^B

 ^AB

^AB

^AB

^AB

A

A        

Evidentemente si ha che:

e quindi:

da cui, sfruttando il terzo assioma di Kolmogoroff si ha:

  _  





1 i

AB

P A

P

S A

B¹ B² B³ B⁴

  ^{ } _{ }  

 

 

i i

i

P AB P A B P B

B P

AB B P

A

P    

Ricordando la definizione di probabilità condizionata:

e quindi sostituendo si ha:

    ^{ }

i

i

P B

B A P A

P   

 4

1

Questa relazione prende il nome di

FORMULA DELLE PROBABILITÀ TOTALI

Formula delle probabilità totali

• Teorema

Sia E1, E2, .. En una collezione di eventi incompatibili tali per cui

  ^{E i}

P E

S

n i







e 0

1



cioè eventi esaustivi, qualsiasi sia F (sottoinsieme di S) si ha:

 

  ^{ }

i

i

P E

E F P F

P   

1

Formula delle probabilità totali

rappresentazione ad albero

 

  ^{ }

i

i

P E

E F P F

P   

1

 

P





P F

 

 





P





P

F F F F

Tornando all’esempio presentato si ha:

  ^B

^{ P}   ^{A B}

^{ 0 . 65  0 . 02}

P

  ^B

^{ P}  ^{A B}

 ^{ 0 . 20  0 . 025}

P

  ^B

^{ P}   ^{A B}

^{ 0 . 10  0 . 04}

P

  ^B

^{ P}  ^{A B}

 ^{ 0 . 05  0 . 10}

P

e quindi:

  ^{A . %}

P  0 . 027  2 7

Formula di Bayes

• Esempio

A questo punto potrebbe essere interessante chiedersi quale sia la probabilità che, una volta selezionata una pastiglia fra tutte quelle difettose, questa provenga dal secondo fornitore.

  ^ _{ } ^    

   

n i

i

P B

B A P

B P B

A P A

P

A B A P

B P



 

 

1

2 2 2

2

S A

B¹ B² B³ B⁴

Tornando all’esempio presentato si ha:

e quindi:

  ^B

^{ P}  ^{A B}

 ^{ 0 . 20  0 . 025}

P

  ^{A  0 . 027}

P

  ^{ } _{ }   ^{ }

    ^{0 . 027 0 . 1852}

005 .

0

1

2 2 2

2

 



 

 

 i

n

i

i

P B

B A P

B P B

A P A

P

A B A P

B P

  ^B

^{A  18 . 52 %}

P

Analogamente per gli altri fornitori si ha:

  ^{ } _{ } ^{0 . 4815}

027 .

0

02 . 0 65 .

1

0

1

 



 P A A B A P

B P

  ^{ } _{ } ^{0 . 1481}

027 .

0

04 . 0 10 .

3

0

3

 



 P A A B A P

B P

  ^{ } _{ } ^{0 . 1852}

027 .

0

10 . 0 05 .

4

0

4

 



 P A A B A P

B

P

Formula di Bayes

• Teorema

Sia E¹, E², .. Eⁿ una collezione di eventi incompatibili ed esaustivi, cioè

  ^{E i}

P E

S j

i E

E

n j i

i

     



e 0

1



 

qualsiasi sia F (sottoinsieme di S) si ha:

     

   

n i

i

k k

k

E P E

F P

E P E

F F P

E P



 



Indipendenza stocastica

• Definizione

Due eventi E ed F appartenenti allo stesso spazio degli eventi si dicono indipendenti (o stocasticamente indipendenti) se e soltanto se una delle seguenti condizioni è soddisfatta:

     

 

 

0 se













E P F

P E

F P

F P E

P F

E P

F P E P EF

P

La proprietà di indipendenza stocastica e di incompatibilità sono due proprietà distinte da non confondere