Algebra Lineare e Geometria

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Algebra Lineare e Geometria

Francesco Pavese

F. Pavese: Dipartimento di Meccanica Matematica e Management, Politecnico di Bari, Via Orabona 4, I-70125 Bari, Italy

e-mail: francesco.pavese@poliba.it

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Indice

1 Nozioni preliminari 4

1.1 Strutture algebriche . . . 5

1.1.1 Gruppi . . . 5

1.1.2 Campi . . . 5

1.2 Matrici . . . 6

1.2.1 Somma tra matrici . . . 7

1.2.2 Prodotto righe per colonne . . . 8

2 Spazi vettoriali su un campo 10 2.1 Sottospazi vettoriali . . . 11

2.1.1 Sottospazi somma e intersezione . . . 13

2.2 Lineare dipendenza e lineare indipendenza . . . 13

2.3 Basi e dimensione di uno spazio vettoriale . . . 17

3 Spazi vettoriali euclidei 25 3.1 Prodotti scalari . . . 25

3.2 Basi ortonormali . . . 30

4 Matrici 34 4.1 Determinante di una matrice quadrata . . . 34

4.2 Matrici invertibili . . . 38

4.3 Rango di una matrice . . . 41

4.3.1 Metodo di Gauss . . . 42

4.3.2 Metodo degli orlati . . . 45

5 Sistemi di equazioni lineari 49 5.1 Metodo di eliminazione di Gauss–Jordan . . . 52

5.2 Sistemi lineari omogenei e sottospazi vettoriali di Rⁿ . . . 55

6 Spazi affini 57 6.1 Sottospazi affini . . . 58

6.1.1 Rappresentazione parametrica di un sottospazio affine . . . 60

6.1.2 Rappresentazione cartesiana di un sottospazio affine . . . 61

7 Spazi euclidei reali 64 7.1 Il piano euclideo reale E² . . . 65

7.1.1 Posizione reciproca di due rette in E² . . . 67

7.2 Lo spazio euclideo reale E³ . . . 69

7.2.1 Posizione reciproca di due piani di E³ . . . 72

7.2.2 Posizione reciproca di un piano ed una retta in E³ . . . 73

7.2.3 Posizione reciproca di due rette in E³ . . . 74

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7.2.4 Angoli e distanze . . . 75 7.3 Prodotto vettoriale . . . 77 7.4 Prodotto misto . . . 78

8 Applicazioni lineari 83

8.1 Nucleo e Immagine . . . 85 8.2 Matrice associata ad un’applicazione lineare rispetto ad una coppia di basi 87 8.3 Applicazioni lineari e matrici . . . 89 8.4 Cambiamento di base . . . 91 8.5 Matrici associate ad un endomorfismo . . . 92 9 Diagonalizzabilit`a di un endomorfismo e di una matrice quadrata 95 9.1 Polinomio caratteristico . . . 97 9.2 Molteplicit`a algebrica e geometrica . . . 98

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1 Nozioni preliminari

Siano X, Y due insiemi non vuoti. L’insieme

X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }

si definisce prodotto cartesiano di X e Y . Pi`u in generale, se X₁, X₂, . . . , X_nsono n insiemi non vuoti, allora l’insieme

X₁× X₂× . . . × X_n = {(x₁, x₂, . . . , x_n) | x_i ∈ X_i, 1 ≤ i ≤ n}

si definisce prodotto cartesiano di X₁, X₂, . . . , X_n. Il simbolo Xⁿ indica il prodotto cartesiano X × X × . . . × X.

Un’applicazione o funzione o mappa da X a Y `e una corrispondenza f : X −→ Y tale che ∀x ∈ X, ∃! y ∈ Y tale che f (x) = y. Gli insiemi X e Y si definiscono dominio e codominio di f , rispettivamente.

i) f si definisce iniettiva se ∀x₁, x₂ ∈ X tali che f (x₁) = f (x₂), allora x₁ = x₂. ii) f si definisce suriettiva se ∀y ∈ Y , ∃ x ∈ X tale che f (x) = y.

iii) f si definisce biettiva se `e sia iniettiva che suriettiva.

Si definisce immagine di f l’insieme

Im(f ) = {f (x) | x ∈ X} = {y ∈ Y | ∃ x ∈ X, f (x) = y}.

Se y ∈ Y , si definisce controimmagine di y l’insieme

f⁻¹(y) = {x ∈ X | f (x) = y}.

Si ottiene facilmente il seguente risultato.

Proposizione 1.1. f `e iniettiva se e solo se ∀y ∈ Y , |f⁻¹(y)| ≤ 1.

f `e suriettiva se e solo se Im(f ) = Y .

Si definisce funzione identit`a o applicazione identica di X la mappa id_X : x ∈ X 7−→ x ∈ X.

Si noti che la funzione identit`a `e biettiva. Siano X, Y, Z insiemi non vuoti e siano f : X −→ Y e g : Y −→ Z due funzioni. Allora si definisce funzione composta e si denota con g ◦ f la funzione

g ◦ f : x ∈ X 7−→ g(f (x)) ∈ Z.

Una funzione f : X −→ Y si dice invertibile se esiste una funzione g : Y −→ X tale che f ◦ g = g ◦ f = id_X.

Proposizione 1.2. Una funzione f `e invertibile se e solo se f `e biettiva.

Sia X un insieme non vuoto. Un’operazione interna su X `e un’applicazione : G × G −→ G, che associa ad ogni coppia (a, b) ∈ G × G l’elemento a b ∈ G.

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1.1 Strutture algebriche

1.1.1 Gruppi

Sia G un insieme non vuoto dotato di un’operazione interna : G × G −→ G,

che associa ad ogni coppia (a, b) ∈ G × G un elemento a b ∈ G.

La coppia (G, ) si dice gruppo se valgono le seguenti propriet`a:

1) ∀a, b, c ∈ G, a (b c) = (a b) c (associativa);

2) ∃ un elemento u ∈ G tale che ∀a ∈ G, a u = u a = a (esistenza dell’elemento neutro);

3) ∀a ∈ G, ∃ a⁰ ∈ K tale che a a⁰ = u (esistenza dell’opposto o dell’inverso).

Quando l’operazione `e determinata, il gruppo (G, ) si denoter`a semplicemente con G.

Se inoltre soddisfa la seguente propriet`a:

∀a, b ∈ G, a b = b a (commutativa) il gruppo G si dice commutativo o abeliano.

Esempi 1.3. Si considerino l’insieme dei numeri naturali N, dei numeri interi Z, dei numeri razionali Q, dei numeri reali R e dei numeri complessi C dotati delle usuali operazioni di somma “+” e prodotto “·”. Allora (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +), (Q \ {0}, ·), (R\{0}, ·), (C\{0}, ·) forniscono esempi di gruppi abeliani. Mentre le coppie (N, +), (N, ·) e (Z \ {0}, ·) non sono gruppi.

1.1.2 Campi

Sia K un insieme non vuoto dotato di due operazioni interne + : K × K −→ K, · : K × K −→ K

dette somma e prodotto, rispettivamente, che associano ad ogni coppia (a, b) ∈ K × K un elemento a + b ∈ K, detto somma di a pi`u b ed un elemento a · b ∈ K, detto prodotto di a per b, rispettivamente. La terna (K, +, ·) si dice campo se valgono le seguenti propriet`a:

1) (K, +) `e un gruppo abeliano con elemento neutro 0;

2) (K \ {0}, ·) `e un gruppo abeliano con elemento neutro 1;

3) ∀a, b, c ∈ K, a · (b + c) = a · b + a · c (distributiva della somma rispetto al prodotto).

(6)

Anche in questo caso, quando non vi sia possibilit`a di equivoco sulle operazioni che sono definite, il campo (K, +, ·) si denoter`a semplicemente con la lettera K. Gli elementi di un campo K si dicono scalari.

Esempi 1.4. Con le usuali operazioni l’insieme dei numeri razionali Q, dei numeri reali R e dei numeri complessi C forniscono esempi di campi. D’altro canto l’insieme dei numeri naturali N e l’insieme dei numeri interi Z non sono campi.

Proposizione 1.5. Sia K un campo, allora ∀λ, µ ∈ K, λ · µ = 0 se e solo se λ = 0 oppure µ = 0.

Dimostrazione. Siano λ, µ ∈ K. Se µ = 0, λ · 0 = λ · (0 + 0) = λ · 0 + λ · 0. Pertanto 0 = λ · 0 − λ · 0 = (λ · 0 + λ · 0) − λ · 0 = λ · 0. Similmente se λ = 0.

Viceversa, se λ · µ = 0, con µ 6= 0, allora λ = λ · (µ · µ⁻¹) = (λ · µ) · µ⁻¹ = 0 · µ⁻¹ = 0.

1.2 Matrici

Sia K un campo e siano n, m interi positivi. Una matrice m × n ad elementi in K `e una tabella rettangolare

A =







a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... . .. ... a_m1 a_m2 . . . a_mn







di mn elementi di K. Scriveremo anche A = (aij). La i–esima riga di A `e la matrice 1 × n A⁽ⁱ⁾ = (a_i1. . . a_in), 1 ≤ i ≤ m,

La j–esima colonna di A `e la matrice m × 1

A_(j)=





 a_1j a2j

... a_mj







, 1 ≤ j ≤ n.

Ogni elemento di una matrice è contrassegnato da due indici: il primo è l’indice riga, il secondo è l’indice colonna. L’elemento a_ij è anche detto elemento di A di posto i, j. Se m = n, la matrice A si dice quadrata di ordine n. L’insieme di tutte le matrici m × n ad elementi in K si denota con M^m,n(K), mentre l’insieme delle matrici quadrate di ordine n si denota con Mn(K).

Sia λ ∈ K, il prodotto dello scalare λ per la matrice A `e la matrice λA = (λaij) ∈ M_m,n(K).

Proposizione 1.6. i) ∀λ, µ ∈ K, ∀A ∈ Mm,n(K), (λ + µ)A = λA + µA;

ii) ∀λ, µ ∈ K, ∀A ∈ M^m,n(K), λ(µA) = (λµ)A;

(7)

iii) ∀A ∈ Mm,n(K), 1A = A.

Se A = (a_ij) ∈ M_n(K) `e una matrice quadrata, gli elementi a11, a₂₂, . . . , a_nn costi- tuiscono la diagonale principale di A. Si definisce traccia della matrice A e si denota con T r(A) la somma degli elementi della diagonale principale della matrice A. Pertanto T r(A) =Pn

i=1a_ii. A si dice triangolare superiore se a_ij = 0 per ogni i > j, mentre si dice triangolare inferiore se a_ij = 0 per ogni i < j. Una matrice A = (a_ij) ∈ M_n(K) si dice diagonale se a_ij = 0 se i 6= j. Una particolare matrice diagonale `e la matrice identit`a I_n

I_n =







1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ... ... . .. ...

0 0 . . . 1







La trasposta di A `e la matrice n × m ottenuta scambiando tra loro le righe e le colonne di A:

A^t= (a_ji) =







a₁₁ a₂₁ . . . a_m1 a₁₂ a₂₂ . . . a_m2 ... ... . .. ... a1n a2n . . . amn







A si dice simmetrica se A^t = A, mentre si dice antisimmetrica se A^t = −A. Denoteremo con Sym_n(K) l’insieme delle matrici simmetriche di Mn(K), mentre denoteremo con ASym_n(K) l’insieme delle matrici antisimmetriche di Mn(K).

Proposizione 1.7. i) ∀A ∈ M_m,n(K), (A^t)^t = A;

ii) ∀λ ∈ K, ∀A ∈ Mm,n(K), (λA)^t= λA^t; 1.2.1 Somma tra matrici

La somma tra matrici `e l’operazione interna su M_m,n(K) che associa a due matrici A = (a_ij), B = (b_ij) ∈ M_m,n(K) la matrice A + B = C = (cij) ∈ M_m,n(K), dove cij = a_ij+ b_ij. Proposizione 1.8. (M_m,n(K), +) `e un gruppo abeliano. Infatti:

i) ∀A, B ∈ M_m,n(K), A + B = B + A;

ii) ∀A, B, C ∈ Mm,n(K), A + (B + C) = (A + B) + C;

iii) ∀A ∈ M_m,n, A + 0 = 0 + A = A;

iv) ∀A ∈ M_m,n(K), A − A = −A + A = 0;

Proposizione 1.9. ∀A, B ∈ M_m,n(K), A^t+ B^t= (A + B)^t.

Dimostrazione. Se A = (a_ij) ∈ M_m,n(K) e B = (bij) ∈ M_m,n(K), allora l’elemento di posto p, s della matrice (A + B)^t coincide con l’elemento di posto s, p della matrice A + B che pertanto risulta essere asp+ bsp. D’altro canto l’elemento di posto p, s della matrice A^t+ B^t `e asp+ bsp e pertanto (A + B)^t= A^t+ B^t.

(8)

1.2.2 Prodotto righe per colonne

Dato un vettore riga A = (a_1i) ∈ M_1,n(K) ed un vettore colonna B = (bj1) ∈ M_n,1, il loro prodotto `e l’elemento di K definito come segue

(a₁₁a₁₂. . . a_1n)





 b₁₁ b21

... b_n1







=

n

X

k=1

a_1kb_k1 = a₁₁b₁₁+ a₁₂b₂₁+ . . . + a_1nb_n1

Più in generale, se A = (ail) ∈ Mm,n(K) e B = (b^kj) ∈ Mn,p, il loro prodotto righe per colonne è una matrice AB = (cij) ∈ Mm,p(K), dove cîj è il prodotto dell’i–esima riga di A per la j–esima colonna di B.

AB = (A⁽ⁱ⁾B_(j)) = (c_ij), dove c_ij =

n

X

k=1

a_ikb_kj = a_i1b_1j + a_i2b_2j + . . . + a_inb_nj Osservazione 1.10. Date due matrici A e B, `e possibile definire la matrice prodotto AB se il numero delle colonne di A coincide con il numero delle righe di B.

Osservazione 1.11. In generale AB 6= BA. Infatti, se A = 1 1

0 1

, B = 1 0 1 0

∈ M₂(R), allora

AB = 2 0 1 0

6= 1 1 1 1

= BA

Proposizione 1.12. Se A, B ∈ Mm,n(K), C, D ∈ M^n,p(K), E ∈ M^p,s(K), k ∈ K, allora 1) (A + B)C = AC + BC,

2) A(C + D) = AC + AD, 3) A(kC) = k(AC) = (kA)C, 4) A(CE) = (AC)E,

5) AI_n= A, I_nC = C.

Dimostrazione. 1) Sia A = (a_ij), B = (b_ij), C = (c_ij). L’elemento di posto i, k della matrice (A + B)C si ottiene moltiplicando la i–esima riga della matrice A + B per la k–esima colonna della matrice C. Pertanto

(A + B)⁽ⁱ⁾C_(k) = (ai1+ bi1. . . ain+ bin)(c1k. . . cnk)^t=

n

X

j=1

(aij+ bij)cjk =

=

n

X

j=1

a_ijc_jk+

n

X

j=1

b_ijc_jk = (a_i1+ . . . a_in)(c_1k. . . c_nk)^t+ (b_i1. . . b_in)(c_1k. . . c_nk)^t=

= A⁽ⁱ⁾C_(k)+ B⁽ⁱ⁾C_(k).

(9)

Si ha, dunque, che l’elemento di posto i, k della matrice (A + B)C coincide con la somma dell’elemento di posto i, k della matrice AC con l’elemento di posto i, k della matrice BC, come volevasi.

Le propriet`a 2) e 3) si dimostrano in maniera analoga alla 1).

4) Si noti che la i–esima riga di AC risulta

(AC)⁽ⁱ⁾ = A⁽ⁱ⁾C₍₁₎ A⁽ⁱ⁾C₍₂₎. . . A⁽ⁱ⁾C_(p) , mentre, se E = (e_ij), la h–esima colonna di CE `e

(CE)_(h) = C⁽¹⁾E_(h) C⁽²⁾E_(h). . . C⁽ⁿ⁾E_(h)t

. Pertanto, l’elemento di posto i, h della matrice (AC)E `e

(AC)⁽ⁱ⁾E_(h) = A⁽ⁱ⁾C₍₁₎ A⁽ⁱ⁾C₍₂₎. . . A⁽ⁱ⁾C_(p) (e_1he_2h. . . e_ph)^t=

= A⁽ⁱ⁾C₍₁₎e_1h+ A⁽ⁱ⁾C₍₂₎e_2h+ . . . + A⁽ⁱ⁾C_(p)e_ph=

= (a_i1c₁₁+ · · · + a_inc_n1)e_1h+ (a_i1c₁₂+ . . . + a_inc_n2)e_2h+ . . . + (a_i1c_1p+ . . . + a_inc_np)e_ph=

= a_i1(c₁₁e_1h+ . . . + c_1pe_ph) + a_i2(c₂₁e_1h+ . . . + c_2pe_ph) + . . . + a_in(c_n1e_1h+ . . . + c_npe_ph) =

= ai1C⁽¹⁾E(h)+ ai2C⁽²⁾E(h)+ . . . + ainC⁽ⁿ⁾E(h) =

= (a_i1 a_i2. . . a_in) C⁽¹⁾E_(h) C⁽²⁾E_(h). . . C⁽ⁿ⁾E_(h)t

= A⁽ⁱ⁾(CE)_(h) e quindi coincide con l’elemento di posto i, h della matrice A(CE). Se ne deduce che A(CE) = (AC)E come volevasi.

5) L’elemento di posto i, j della matrice AI_n `e

A⁽ⁱ⁾In_(j) = (ai1 ai2. . . ain)(0 0 . . . 0 1 0 . . . 0)^t = aij

e pertanto coincide con l’elemento di posto i, j della matrice A. Segue che AI_n = A.

Analogamente si dimostra che I_nC = C.

Proposizione 1.13. Se A e B possono essere moltiplicate, allora A^t e B^t possono essere moltiplicate e (AB)^t= B^tA^t.

Dimostrazione. Se A ∈ M_m,n(K) e B ∈ Mn,p(K), allora A ∈ Mn,m(K) e B ∈ Mp,n(K).

Pertanto `e possibile definire la matrice B^tA^t. Inoltre l’elemento di posto i, j della matrice B^tA^t`e

B^t⁽ⁱ⁾A^t_(j) = A^(j)B_(i)

e dunque coincide con l’elemento di posto j, i della matrice AB. D’altro canto, si noti che l’elemento di posto j, i della matrice AB coincide con l’elemento di posto i, j della matrice (AB)^t. Ne segue che (AB)^t= B^tA^t.

(10)

2 Spazi vettoriali su un campo

Sia K un campo. Uno spazio vettoriale su K (o K–spazio vettoriale) `e un insieme non vuoto V dotato di due operazioni interne

(v, w) ∈ V × V 7−→ v + w ∈ V, (λ, v) ∈ K × V 7−→ λv ∈ V

dette somma e prodotto per uno scalare, rispettivamente, in modo che le seguenti propriet`a siano soddisfatte:

1) (V, +) `e un gruppo abeliano.

2) ∀v ∈ V , ∀λ, µ ∈ K, (λ + µ)v = λv + µv (distributivit`a rispetto alla somma di scalari)

3) ∀v, w ∈ V , ∀λ ∈ K, λ(v + w) = λv + λw (distributivit`a rispetto alla somma di vettori)

4) ∀v ∈ V , ∀λ, µ ∈ K, λ(µv) = (λµ)v 5) ∀v ∈ V , 1v = v.

Gli elementi di V si dicono vettori. Se k ∈ K, i vettori v e kv si dicono proporzionali o multipli.

Esempi 2.1. 1. Sia K un campo e sia n ≥ 1 un intero. Sia V = Kⁿ = K × . . . × K = {(x₁, x₂, . . . , x_n) ∈ Kⁿ| x_i ∈ K, 1 ≤ i ≤ n}. Se definiamo la somma di due elementi (x₁, x₂, . . . , x_n), (y₁, y₂, . . . , y_n) ∈ Kⁿ come

(x₁, x₂, . . . , x_n) + (y₁, y₂, . . . , y_n) = (x₁+ y₁, x₂+ y₂, . . . , x_n+ y_n) e il prodotto per uno scalare k ∈ K come

k(x₁, x₂, . . . , x_n) = (kx₁, kx₂, . . . , kx_n),

allora `e immediato verificare che, con queste operazioni, Kⁿ`e un K–spazio vettoriale (detto anche n–spazio numerico su K).

2. Sia K un campo e sia D un insieme non vuoto. Sia V = {f : D −→ K | f applicazione}.

Se definiamo la somma di due funzioni f, g ∈ V e il prodotto per uno scalare λ ∈ K come segue:

f + g : x ∈ D 7−→ f (x) + g(x) ∈ K, λf : x ∈ D 7−→ λf (x) ∈ K,

allora `e immediato verificare che, con queste operazioni, V `e un K–spazio vettoriale.

(11)

3. L’insieme R[X] dei polinomi a coefficienti reali nell’indeterminata X `e un R–spazio vettoriale rispetto alle usuali operazioni di somma tra polinomi e prodotto di un polinomio per uno scalare.

4. Sia n ≥ 1 un intero. L’insieme dei polinomi di grado minore o uguale a n a coefficienti in K:

Kn[X] = {a₀ + a₁X + a₂X²+ . . . + a_nXⁿ| a₀, a₁, . . . , a_n ∈ K}

`e un K–spazio vettoriale rispetto alle usuali operazioni di somma tra polinomi e prodotto di un polinomio per uno scalare.

5. L’insieme M_m,n(K) delle matrici m × n ad elementi in K, dotato delle operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare, `e uno spazio vettoriale sul campo K. Il vettore nullo di Mm,n(K) `e la matrice nulla (che denoteremo con 0), ossia la matrice m × n i cui elementi sono tutti uguali a zero.

Esercizi 2.2. 1. Siano a, b ∈ R due numeri fissati e poniamo S = {(x, y) ∈ R² | ax + by = 0} l’insieme delle soluzioni (x, y) ∈ R² dell’equazione lineare omogenea ax + by = 0. Dimostrare che S `e un R–spazio vettoriale.

2. Siano a, b, c ∈ R numeri fissati, dove c 6= 0. Dimostrare che S = {(x, y) ∈ R² | ax + by + c = 0} non `e uno spazio vettoriale.

Proposizione 2.3. Sia V un K–spazio vettoriale.

a) In V esiste un unico vettore nullo.

b) ∀v ∈ V , esiste un unico opposto.

c) ∀λ ∈ K, ∀v ∈ V , λv = 0 se e solo se λ = 0 oppure v = 0.

Dimostrazione. a) Siano 01, 02 ∈ V due vettori nulli. Allora ∀v ∈ V , 01+ v = 02+ v = v.

Pertanto 0₁+ 0₂ = 0₁ e 0₂+ 0₁ = 0₂. Quindi 0₁ = 0₁+ 0₂ = 0₂.

b) Sia v₁ ∈ V tale che v + v₁ = 0. Allora v₁ = v₁+ 0 = v₁+ (v − v) = (v₁+ v) − v = 0 − v = −v.

c) Se λ = 0, poich`e 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v, si ha λv = 0v = 0v − 0v = 0.

Analogamente, se v = 0, poich`e λ0 = λ(0 + 0) = λ0 + λ0, si ha λv = λ0 = λ0 − λ0 = 0.

Viceversa, sia λv = 0, con v 6= 0. Se λ 6= 0, allora v = 0/λ = 0, contraddizione. Quindi λ = 0. Similimente, se λv = 0 e λ 6= 0, allora v = (λ⁻¹λ)v = λ⁻¹(λv) = λ⁻¹0 = 0.

2.1 Sottospazi vettoriali

Sia V un K–spazio vettoriale. Un sottoinsieme non vuoto W di V si dice sottospazio vettoriale di V se

1) ∀w1, w2 ∈ W , w1+ w2 ∈ W ,

(12)

2) ∀w ∈ W , ∀k ∈ K, kw ∈ W .

Le due condizioni precedenti sono equivalenti alla seguente:

3) ∀w, w⁰ ∈ W , ∀k, k⁰ ∈ K, kw + k⁰w⁰ ∈ W .

Infatti se vale la 3) allora, posto k = k⁰ = 1 vale la 1), mentre per k⁰ = 0 vale la 2).

Viceversa se valgono 1) e 2), allora kw, k⁰w⁰ ∈ W e kw + k⁰w⁰ ∈ W e quindi vale la 3).

Dalla proprietà 2), considerati gli scalari 0 e −1, rispettivamente, si ha che ∀w ∈ W , 0 = 0w ∈ W e −w ∈ W . In particolare è possibile verificare che W soddisfa tutti gli assiomi che definiscono uno spazio vettoriale e che quindi W è esso stesso uno spazio vettoriale.

Osservazione 2.4. Si noti che se W è un sottospazio vettoriale di V e U è un sottospazio vettoriale di W , allora U è sottospazio vettoriale di V , mentre se U e W sono sottospazi vettoriali di V e U ⊂ W , allora U è sottospazio vettoriale di W .

Esempi 2.5. 1. V e {0} sono sottospazi vettoriali, detti banali.

2. Sia v ∈ V , l’insieme hvi = {kv | k ∈ K} costituito dai multipli di v `e un sottospazio vettoriale di V , detto sottospazio generato da v.

3. Siano a₁, . . . , a_n ∈ K. L’insieme H = {(x1, . . . , x_n) ∈ Kⁿ| a₁x₁+ . . . a_nx_n= 0} `e un sottospazio vettoriale di Kⁿ. Infatti, ∀(x₁, . . . , x_n), (y₁, . . . , y_n) ∈ H, ∀k ∈ K, si ha a₁(x₁+ y₁) + . . . + a_n(x_n+ y_n) = (a₁x₁+ . . . + a_nx_n) + (a₁y₁+ . . . + a_ny_n) = 0 + 0 = 0,

a₁(kx₁) + . . . + a_n(kx_n) = k(a₁x₁+ . . . + a_nx_n) = k0 = 0.

Pertanto (x₁, . . . , x_n) + (y₁, . . . , y_n) ∈ H e k(x₁, . . . , x_n) ∈ H, come volevasi.

Esercizi 2.6. 1. Stabilire se l’insieme S = {(x, y, z) ∈ R³ | x + z ≥ 0} `e un sottospazio di R³.

2. Dimostrare che ciascuno dei seguenti insiemi `e un sottospazio di R³:

U = {(x, y, 0) | x, y ∈ R}, W = {(x, 0, z) | x, z ∈ R}, W⁰ = {(x, x, x) | x ∈ R};

si determini, inoltre, U ∩ W e U ∩ W⁰.

3. Verificare che ciascuno dei seguenti insiemi `e un sottospazio vettoriale di M_n(K):

• l’insieme delle matrici diagonali di Mn(K);

• l’insieme delle matrici di M_n(K) aventi traccia nulla;

• Sym_n(K);

• ASymn(K).

(13)

2.1.1 Sottospazi somma e intersezione

Siano U e W sottospazi dello spazio vettoriale V . Si consideri l’intersezione U ∩ W = {v ∈ V | v ∈ U e v ∈ W }.

Si verifica facilmente che U ∩ W `e ancora un sottospazio di V . D’altro canto l’unione di due sottospazi U e W

U ∪ W = {v ∈ V | v ∈ U oppure v ∈ W }

non definisce un sottospazio di V . Infatti se V = R², U = {(x, 0) ∈ V | x ∈ R} e W = {(0, y) ∈ V | y ∈ R}, allora il vettore (1, 0) ∈ U e il vettore (0, 1) ∈ W . Quindi (1, 0), (0, 1) ∈ U ∪ W , ma (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) /∈ U ∪ W .

Consideriamo il seguente sottoinsieme di V :

U + W = {u + w ∈ V | u ∈ U, w ∈ W }.

U + W è un sottospazio vettoriale di V . Infatti ∀u₁, u₂ ∈ U , ∀w₁, w₂ ∈ W , ∀k ∈ K, se (u1+w1), (u2+w2) ∈ U +W , allora (u1+w1)+(u2+w2) = (u1+u2)+(w1+w2) ∈ U +W e k(u1 + w1) = ku1 + kw1 ∈ U + W . U + W è detto sottospazio somma di U e W . Se U ∩ W = {0}, allora U + W è detto somma diretta e si denota con U ⊕ W .

Osservazione 2.7. Si noti che U ∩ W ⊂ U ∪ W ⊂ U + W . Infatti ∀u ∈ U , ∀w ∈ W , u = u + 0 ∈ U + W e w = 0 + w ∈ U + W , pertanto U ⊂ U + W e W ⊂ U + W . Proposizione 2.8. Ogni vettore di U ⊕ W si esprime in modo unico come somma di un vettore di U e di un vettore di W .

Dimostrazione. Siano u, u⁰ ∈ U , w, w⁰ ∈ W tali che u + w = u⁰ + w⁰. Allora u − u⁰ = w⁰− w ∈ U ∩ W = {0}, pertanto u − u⁰ = w⁰− w = 0 e u = u⁰, w = w⁰.

2.2 Lineare dipendenza e lineare indipendenza

Siano v₁, . . . , v_n ∈ V , a₁, . . . , a_n ∈ K. Il vettore a1v₁ + . . . + a_nv_n si dice combinazione lineare dei vettori v₁, . . . , v_n. Gli scalari a₁, . . . , a_nsi dicono coefficienti della combinazione lineare.

Se a_i = 0, per ogni 1 ≤ i ≤ n, allora la combinazione lineare a₁v₁+ . . . + a_nv_n = 0 si dice combinazione lineare banale di v₁, . . . , v_n. Altrimenti si dice non banale.

Osservazione 2.9. Se a ∈ K, a 6= 0, la combinazione lineare 0v + a0 = 0 `e non banale.

Le combinazioni lineari di un vettore v ∈ V sono i suoi multipli. Inoltre, dalla defi- nizione di sottospazio, se W `e sottospazio vettoriale di V e v₁, . . . , v_n ∈ W , allora ogni combinazione lineare di v₁, . . . , v_n`e un vettore appartenente a W .

(14)

Siano v1, . . . , vn ∈ V . Consideriamo il sottoinsieme di V costituito dalle combinazioni lineari di v₁, . . . , v_n:

hv₁, . . . , v_ni = {a₁v₁+ . . . + a_nv_n ∈ V | a_i ∈ K, 1 ≤ i ≤ n}.

hv₁, . . . , vni `e un sottospazio vettoriale di V . Infatti ∀a₁v1+ . . . + anvn, b1v1+ . . . + bnvn∈ hv₁, . . . , v_ni, ∀k ∈ K, allora

(a₁v₁+ . . . + a_nv_n) + (b₁v₁+ . . . + b_nv_n) = (a₁+ b₁)v₁+ . . . + (a_n+ b_n)v_n∈ hv₁, . . . , v_ni e

k(a₁v₁+ . . . + a_nv_n) = ka₁v₁+ . . . + ka_nv_n ∈ hv₁, . . . , v_ni.

hv₁, . . . , v_ni è detto sottospazio generato da v₁, . . . , v_n. Il prossimo risultato mostra che hv₁, . . . , v_ni è il più piccolo sottospazio di V contenente i vettori v₁, . . . , v_n.

Proposizione 2.10. hv₁, . . . , v_ni `e uguale all’intersezione di tutti i sottospazi di V che contengono v₁, . . . , v_n.

Dimostrazione. Denotiamo con W l’intersezione di tutti i sottospazi di V che contengono {v₁, . . . , v_n}. Poichè hv₁, . . . , v_ni è un sottospazio di V contenente {v₁, . . . , v_n}, si ha W ⊆ hv₁, . . . , v_ni. D’altro canto W , essendo un sottospazio, contiene tutte le combinazioni lineari dei suoi vettori. In particolare, poichè v1, . . . , vn ∈ W , W contiene tutte le combinazioni lineari di v1, . . . , vn. Pertanto hv1, . . . , vni ⊆ W . Quindi hv₁, . . . , v_ni = W .

Se V = hv₁, . . . , v_ni, allora si dir`a che i vettori v₁, . . . , v_n generano V oppure che l’insieme {v1, . . . , vn} `e un sistema di generatori di V .

Osservazione 2.11. i) I vettori v₁, . . . , v_ngenerano V se e solo se ∀v ∈ V , ∃ a₁, . . . , a_n ∈ K tale che v = a1v₁+ . . . + a_nv_n.

ii) Se 1 ≤ m ≤ n, allora hv₁, . . . , v_mi `e sottospazio di hv₁, . . . , v_ni.

Esercizi 2.12. 1. Stabilire se il vettore v = (2, 3, 1) di R³ appartiene allo spazio vettoriale generato dai vettori w₁ = (1, 1, 2) e w₂ = (5, 7, 4).

2. Siano U, W sottospazi di R³. Stabilire se la somma di U e W `e diretta e determinare un sistema di generatori per il sottospazio somma U + W .

• U = {(x, y, 0) | x, y ∈ R}, W = {(z, z, z) | z ∈ R},

• U = {(x + y, y, 0) | x, y ∈ R}, W = {(x + y, 0, y) | x, y ∈ R}.

I vettori v₁, . . . , v_n∈ V si definiscono linearmente dipendenti se ∃ a₁, . . . , a_n ∈ K non tutti nulli tali che

a1v1 + . . . + anvn= 0.

(15)

Altrimenti, i vettori v1, . . . , vn si dicono linearmente indipendenti. Equivalentemente i vettori v₁, . . . , v_n sono linearmente indipendenti se vale la seguente propriet`a:

se ∀a₁, . . . , a_n∈ K, tali che a1v₁+ . . . + a_nv_n= 0, allora a₁ = . . . = a_n= 0.

In altri termini, i vettori v₁, . . . v_n sono linearmente indipendenti se la loro unica combinazione lineare che `e uguale al vettore nullo `e la combinazione lineare banale.

Esempi 2.13. 1. I vettori di R³: v = (1, 2, 1), w = (2, 0, −1) e u = (3, 2, 0) sono linearmente dipendenti, infatti si ha v + w − u = 0.

2. I vettori di R³: e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0) e e₃ = (0, 0, 1) sono linearmente indipendenti.

Esercizi 2.14. 1. Siano v₁ = (1, 0, 1, 1), v₂ = (3, 2, 5, 1), v₃ = (0, 4, 4, −4) vettori di R⁴. Dimostrare che v₁, v₂, v₃ sono linearmente dipendenti.

Siano λ₁, λ₂, λ₃ ∈ R tali che

λ₁v₁+ λ₂v₂+ λ₃v₃ = (λ₁+ 3λ₂, 2λ₂+ 4λ₃, λ₁ + λ₂ − 4λ₃) = (0, 0, 0).

Allora







λ₁+ 3λ₂ = 0 2λ₂+ 4λ₃ = 0 λ₁+ λ₂− 4λ₃ = 0

,

da cui si ottiene che λ₁ = −3λ₂, λ₃ = −λ₂/2. Pertanto esiste una combinazione non banale di v₁, v₂, v₃ che `e uguale al vettore nullo, ad esempio:

−6v₁+ 2v₂− v₃ = 0.

Quindi i vettori v₁, v₂, v₃ sono linearmente dipendenti.

2. Siano v1 = (1, 0, 1), v2 = (2, 0, 1), w1 = (3, 0, 2), w2 = (1, 0, 0) vettori di R³. Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di R³:

V = hv₁, v₂i, W = hw₁, w₂i.

Dimostrare che V = W .

Si osservi che v₁, v₂ ∈ W e che w₁, w₂ ∈ V . Infatti v1 = 1

2w1− 1

2w2, v2 = 1

2w1+1 2w2, w₁ = v₁+ v₂, w₂ = v₂− v₁.

Si noti ora che ∀ v ∈ V , ∃ λ₁, λ₂ ∈ R tali che v = λ1v₁+ λ₂v₂. Ma allora v ∈ W , poich`e v₁, v₂ ∈ W e quindi V ⊆ W . Analogamente ∀ w ∈ W , ∃ µ₁, µ₂ ∈ R tali che w = µ1w1+ µ2w2. Ma allora w ∈ V , poich`e w1, w2 ∈ V e quindi W ⊆ V . Pertanto V = W .

(16)

3. Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di R³:

U = h(1, 0, −1), (−1, 2, 1)i, W = {(x, y, z) ∈ R³ | x + z = y + 2z = 0}.

Determinare U ∩ W .

∀ u ∈ U, ∃ α, β ∈ R tali che u = α(1, 0, −1) + β(−1, 2, 1) = (α − β, 2β, −α + β). Il vettore u appartiene a W se e solo se

α − β − α + β = 0 2β − 2(α − β) = 0

Pertanto α = 2β e U ∩ W = {(β, 2β, −β) | β ∈ R} = h(1, 2, −1)i.

4. Determinare due sottospazi vettoriali U, W di R⁴ tali che R⁴ = U + W senza che la somma sia diretta.

E possibile scegliere U = h(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)i, W = h(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)i.` In tal caso U + W = R⁴, ma la somma non `e diretta, poich`e U ∩ W = h(0, 1, 0, 0)i.

Esercizi 2.15. 1. Determinare se i seguenti vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti.

• v₁ = (1, 1, 1), v₂ = (1, −1, 1), v₃ = (2, 0, 2),

• v₁ = (−1, 2, 3), v₂ = (0, −1, 0), v₃ = (1, 0, 1),

• v₁ = (1, 2, 1, 0), v₂ = (1, −1, 0, 1), v₃ = (−1, 2, −1, 0), v₄ = (−1, 1, 0, −1), v₅ = (1, 1, 0, 1).

2. Determinare per quali valori di a ∈ R i vettori v1 = (1, 2, 0), v₂ = (0, 1, a), v₃ = (1, a, −1) di R³ sono linearmente indipendenti.

Osservazione 2.16. Sia V un K–spazio vettoriale e sia 0 6= v ∈ V . Allora v `e linearmente indipendente. Infatti, se αv = 0, per qualche α ∈ K, allora, dalla Proposizione 2.3, c), necessariamente α = 0.

Proposizione 2.17. I vettori v₁, . . . , v_n ∈ V , n ≥ 2, sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno di essi si pu`o esprimere come combinazione lineare dei rimanenti.

Dimostrazione. Se v₁, . . . , v_n sono linearmente dipendenti, allora ∃ a₁, . . . , a_n ∈ K, non tutti nulli, tali che a₁v₁ + . . . + a_nv_n = 0. Sia j, con 1 ≤ j ≤ n tale che a_j 6= 0, allora a_jv_j = −(a₁v₁ + . . . + a_j−1v_j−1+ a_j+1v_j+1 + . . . + a_nv_n). Pertanto v_j `e combinazione lineare dei rimanenti:

vj = −a⁻¹_j (a1v1+ . . . + aj−1vj−1+ aj+1vj+1+ . . . + anvn) =

= −a⁻¹_j a₁v₁ − . . . − a⁻¹_j a_j−1v_j−1− a⁻¹_j a_j+1v_j+1− . . . − a⁻¹_j a_nv_n.

(17)

Viceversa, se per qualche i, 1 ≤ i ≤ n, vi `e combinazione lineare dei rimanenti, allora v_i = b₁v₁+ . . . + b_i−1v_i−1+ b_i+1v_i+1+ . . . + b_nv_n. Pertanto

0 = b1v1+ . . . + bi−1vi−1− vi+ bi+1vi+1+ . . . + bnvn

`

e una combinazione lineare non banale di v₁, . . . , v_n. Ne segue che v₁, . . . , v_n sono linearmente dipendenti.

Osservazione 2.18. i) Se un insieme di vettori contiene il vettore nullo, allora esso `e un insieme di vettori linearmente dipendenti.

ii) Aggiungendo un vettore qualsiasi ad un insieme di vettori linearmente dipendenti, si ottiene ancora un insieme di vettori linearmente dipendenti.

iii) Aggiungendo un vettore qualsiasi ad un sistema di generatori, si ottiene ancora un sistema di generatori.

Osservazione 2.19. Sia V un K–spazio vettoriale e siano v1, . . . , v_k ∈ V . Allora 1. hv₁, v₂, . . . , v_ki = hv₂, v₁, . . . , v_ki.

Infatti ∀ v ∈ hv1, v2, . . . , vki, v = a1v1+a2v2+. . .+akvk = a2v2+a1v1+. . .+akvk∈ hv2, v1, . . . , vki e viceversa.

2. ∀ α ∈ K, α 6= 0, hv1, v₂, . . . , v_ki = hαv₁, v₂, . . . , v_ki.

Infatti ∀ v ∈ hv₁, v₂, . . . , v_ki, v = a₁v₁+ a₂v₂+ . . . + a_kv_k = ^a_α¹(αv₁) + a₂v₂+ . . . + a_kv_k ∈ hαv₁, v₂, . . . , v_ki. Viceversa ∀ w ∈ hαv₁, v₂, . . . , v_ki, w = a₁(αv₁) + a₂v₂ + . . . + akvk= (a1α)v1+ a2v2+ . . . + akvk ∈ hv1, v2, . . . , vki.

3. ∀ α ∈ K, hv1, v₂, . . . , v_ki = hv₁+ αv_j, v₂, . . . , v_ki, dove 1 ≤ j ≤ k.

Infatti ∀ v ∈ hv₁, v₂, . . . , v_ki, v = a₁v₁ + . . . + a_jv_j + . . . + a_kv_k = a₁(v₁+ αv_j) + . . . + (a_j − a₁α)v_j + . . . + a_kv_k ∈ hv₁ + αv_j, v₂, . . . , v_ki. Viceversa ∀ w ∈ hv₁ + αvj, v2, . . . , vki, w = a1(v1+ αvj) + . . . + ajvj + . . . + akvk= a1v1+ . . . + (a1α + aj)vj + . . . + akvk ∈ hv1, v2, . . . , vki.

2.3 Basi e dimensione di uno spazio vettoriale

Un insieme di vettori {v₁, . . . , v_n} di V si dice base di V se v₁, . . . , v_n generano V e sono linearmente indipendenti.

Proposizione 2.20. Se {v₁, . . . , v_n} `e una base di V , allora ogni vettore di V si esprime in modo unico come combinazione lineare di v₁, . . . , v_n.

Dimostrazione. Sia v ∈ V . Poiche v₁, . . . , v_ngenerano V , allora v `e combinazione lineare di v₁, . . . , v_n. Siano a₁, . . . , a_n, b₁, . . . , b_n∈ K tali che v = a1v₁+ . . . + a_nv_n = b₁v₁+ . . . + bnvn. Poich`e 0 = a1v1+ . . . + anvn− b1v1− . . . − bnvn = (a1− b1)v1+ . . . + (an− bn)vn

e v1, . . . , vn sono linearmente indipendenti, si ha ai − bi = 0, i = 1, . . . , n.

(18)

Sia B = {v1, . . . , vn} una base del K–spazio vettoriale V , sia v un vettore di V e sia v = a₁v₁+ . . . + a_nv_n l’unica espressione di v come combinazione lineare di v₁, . . . , v_n. Allora gli scalari a₁, . . . , a_n si dicono coordinate o componenti di v rispetto alla base B.

Il prossimo risultato mostra che in uno spazio vettoriale V , il massimo numero di vettori linearmente indipendenti `e minore o uguale al minimo numero di vettori che generano V . Lemma 2.21. Siano {v₁, . . . , v_n} un sistema di generatori di V e siano w₁, . . . , w_m ∈ V . Se w₁, . . . , w_m sono linearmente indipendenti, allora m ≤ n.

Dimostrazione. Poichè v₁, . . . , v_n generano V , ogni vettore di V si può scrivere come combinazione lineare di v₁, . . . , v_n. In particolare w₁ = k₁v₁+ . . . + k_nv_n. Inoltre almeno uno dei coefficienti k1, . . . , kndeve essere diverso da zero, altrimenti si avrebbe w1 = 0 (e di conseguenza w1, . . . , wm sarebbero dipendenti). Non è restrittivo supporre che sia k1 6= 0.

Allora v₁ è combinazione lineare di w₁, v₂, . . . , v_n. In questo modo abbiamo costruito un nuovo sistema di n generatori per V = hw₁, v₂, . . . , v_ni. Ripetiamo il procedimento per w₂. Poichè w₁, v₂, . . . , v_n generano V , si potrà scrivere w₂ = h₁w₁+ k₂v₂+ k₃v₃+ . . . + k_nv_n. Almeno uno dei coefficienti k₂, . . . , k_nè diverso da zero (altrimenti si avrebbe w₂ = h₁w₁, contro l’ipotesi di indipendenza lineare di w₁, . . . , w_m). Al solito, non è restrittivo supporre k₂ 6= 0. Ne segue che v₂ è combinazione lineare di w₁, w₂, v₃, . . . , v_n e quindi abbiamo costruito un nuovo sistema di generatori per V = hw₁, w₂, v₃, . . . , v_ni. Supponiamo ora, per assurdo, che sia m > n. Se iteriamo il procedimento descritto precedentemente n volte, otteniamo un sistema di generatori di V costituito da w₁, . . . , w_n. Ma allora il vettore w_n+1

`

e combinazione lineare di w1, . . . , wn, contro l’ipotesi di indipendenza lineare dei vettori w1, . . . , wm.

Corollario 2.22. Siano {v₁, . . . , v_n} e {w₁, . . . , w_m} due basi dello spazio vettoriale V . Allora m = n.

Dimostrazione. Poich`e v₁, . . . , v_ngenerano V e w₁, . . . , w_m sono linearmente indipendenti, per il Lemma precedente, si ha m ≤ n. Analogamente, poich`e w₁, . . . , w_n generano V e v₁, . . . , v_m sono linearmente indipendenti, si ha n ≤ m.

Un K–spazio vettoriale V ha dimensione finita se esiste una base di V costituita da un insieme finito di vettori di V . Si noti che due basi di V hanno lo stesso numero di elementi.

La dimensione di uno spazio vettoriale di dimensione finita `e il numero di elementi di una sua qualsiasi base. La dimensione di V si denota con dim V .

Una base per lo spazio vettoriale costituito dal solo vettore nullo V = {0} `e l’insieme vuoto ∅ e la sua dimensione `e zero (dim{0} = 0).

Osservazione 2.23. Pu`o accadere che uno spazio vettoriale non abbia dimensione finita, in quanto non esista un insieme finito di vettori che lo generi. Ad esempio lo spazio vettoriale R[X] dei polinomi a coefficienti reali nell’indeterminata X non ha dimensione

(19)

finita. Infatti, sia S = {p1, . . . , pn} un qualunque insieme finito di polinomi di R[X]. Sia h il massimo dei loro gradi. Allora ogni combinazione lineare di p₁, . . . , p_n e quindi ogni elemento del sottospazio vettoriale generato da S ha grado minore o uguale ad h. Pertanto il sottospazio vettoriale generato da S non pu`o coincidere R[X].

Da ora in avanti considereremo soltanto spazi vettoriali di dimensione finita.

Esempi 2.24. 1. I vettori e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (0, 0, 1) di R³ formano una base di R³, detta base canonica di R³.

2. In generale, l’insieme di vettori {e₁ = (1, 0, . . . , 0), e₂ = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , e_n = (0, . . . , 0, 1)} `e una base di Kⁿ. Infatti ∀(x₁, . . . , x_n) ∈ Kⁿ, (x₁, . . . , x_n) = x₁e₁ + . . . + x_ne_n e quindi e₁, . . . , e_n generano Kⁿ. Inoltre, se a₁, . . . , a_n ∈ K sono tali che a₁e₁ + . . . + a_ne_n = 0, allora (a₁, . . . , a_n) = 0, quindi a₁ = a₂ = . . . = a_n = 0 e e₁, . . . , e_n sono linearmente indipendenti. Ne segue che {e₁, . . . , e_n} `e una base di Kⁿ (detta base canonica di Kⁿ) e dim Kⁿ= n.

3. Una base di Rn[X] = {a₀+ a₁X + a₂X²+ a₃X³+ . . . + a_nXⁿ | a₀, . . . , a_n ∈ R} `e costituita da B = {1, X, X², X³, . . . , Xⁿ}.

4. Sia E_ij la matrice di M_m,n(K), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, definita come segue E_ij = (e_lk), e_lk = 0 se (i, j) 6= (l, k)

1 se (i, j) = (l, k) ,

L’insieme delle matrici {E₁₁, E₁₂, . . . , E_1n, E₂₁, E₂₂. . . , E_mn} `e una base di M_m,n(K).

Infatti ∀A = (a_ij) ∈ M_m,n(K), A = a11E₁₁+ . . . + a_mnE_mne quindi E₁₁, . . . , E_mn generano M_m,n(K). Inoltre, se b11, . . . , b_mn ∈ K sono tali che b11E₁₁+. . .+b_mnE_mn = 0, allora (bij) = 0, quindi b11 = b12 = . . . = bmn = 0 e E11, . . . , Emn sono linearmente indipendenti. Ne segue che {E11, . . . , Emn} `e una base di Mm,n(K) (detta base canonica di M_m,n(K)) e dim(Mm,n(K)) = mn.

5. Sia S = {E₁₁, E₂₂, . . . , E_nn, E₁₂+ E₂₁, E₁₃+ E₃₁, . . . , E_1n+ E_n1, E₂₃+ E₃₂, . . . , E_2n+ E_n2, . . . , E_n−1n+ E_nn−1}. Mostreremo che le n(n + 1)/2 matrici di S formano una base di Sym_n(K). Sia A ∈ Mn(K) una matrice simmetrica. Allora A = A^t e quindi a_ij = a_ji, 1 ≤ i, j ≤ n. In altri termini, l’elemento di A di posto i, j `e uguale all’elemento di A di posto j, i. Ne segue che

A = a₁₁E₁₁+ a₂₂E₂₂+ . . . + a_nnE_nn+ a₁₂(E₁₂+ E₂₁) + a₁₃(E₁₃+ E₃₁) + . . . +

+ a1n(E1n+ En1) + a23(E23+ E32) + . . . + a2n(E2n+ En2) + . . . + an−1n(En−1n+ Enn−1) e le matrici E₁₁, E₂₂, . . . , E_nn, E₁₂+E₂₁, E₁₃+E₃₁, . . . , E_1n+E_n1, E₂₃+E₃₂, . . . , E_2n+

E_n2, . . . , E_n−1n+ E_nn−1 generano Sym_n(K). Inoltre, se bij ∈ K, 1 ≤ i, j ≤ n, i ≤ j, sono tali che

b11E11+ . . . + bnnEnn+ b12(E12+ E21) + . . . + b1n(E1n+ En1)+

+b₂₃(E₂₃+ E₃₂) + . . . + b_2n(E_2n+ E_n2) + . . . + b_n−1n(E_n−1n+ E_nn−1) = 0,

(20)

allora bij = bji e (bij) = 0, quindi b11 = b12 = . . . = bnn = 0. Pertanto le matrici E₁₁, E₂₂, . . . , E_nn, E₁₂ + E₂₁, E₁₃ + E₃₁, . . . , E_1n + E_n1, E₂₃ + E₃₂, . . . , E_2n + E_n2, . . . , E_n−1n+ E_nn−1 sono linearmente indipendenti, S `e una base di Sym_n(K) e dim(Sym_n(K)) = n(n + 1)/2.

6. Sia A = {E₁₂− E₂₁, E₁₃− E₃₁, . . . , E_1n− E_n1, E₂₃− E₃₂, . . . , E_2n− E_n2, . . . , E_n−1n− E_nn−1}. Mostreremo che le n(n − 1)/2 matrici di A formano una base di ASym_n(K).

Sia A ∈ M_n(K) una matrice antisimmetrica. Allora A^t = −A e quindi a_ij = −a_ji, 1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j, e a_ii = 0, 1 ≤ i ≤ n. In altri termini, l’elemento di A di posto i, j, i 6= j, `e uguale all’opposto dell’elemento di A di posto j, i, mentre gli elementi della diagonale principale di A sono nulli. Ne segue che

A = a₁₂(E₁₂− E₂₁) + a₁₃(E₁₃− E₃₁) + . . . + a_1n(E_1n− E_n1)+

+ a23(E23− E32) + . . . + a2n(E2n− En2) + . . . + an−1n(En−1n− Enn−1) e le matrici E₁₂−E₂₁, E₁₃−E₃₁, . . . , E_1n−E_n1, E₂₃−E₃₂, . . . , E_2n−E_n2, . . . , E_n−1n− E_nn−1 generano Sym_n(K). Inoltre, se bij ∈ K, 1 ≤ i, j ≤ n, i < j, sono tali che

b12(E12− E21) + . . . + b1n(E1n− En1) + b23(E23− E32) + . . . + b2n(E2n− En2)+

+ . . . + b_n−1n(E_n−1n− E_nn−1) = 0, allora b_ij = −b_ji e (b_ij) = 0, quindi b₁₁ = b₁₂ = . . . = b_nn = 0. Pertanto le matrici E₁₂− E₂₁, E₁₃ − E₃₁, . . . , E_1n − E_n1, E₂₃ − E₃₂, . . . , E_2n − E_n2, . . . , E_n−1n− E_nn−1 sono linearmente indipendenti, A `e una base di ASym_n(K) e dim(ASymn(K)) = n(n − 1)/2.

Lemma 2.25. M_n(K) = Symn(K) ⊕ ASymn(K).

Dimostrazione. Sia M = (c_ij) ∈ Sym_n(K) ∩ ASymn(K). Allora, poichè M ∈ ASymn(K), si ha che c_ii= 0, 1 ≤ i ≤ n, c_ij = −c_ji, i 6= j. D’altro canto, poichè M ∈ Sym_n(K), si ha che c_ij = c_ji, i 6= j. Allora necessariamente c_ij = 0, 1 ≤ i, j ≤ n, e M = 0. Ne segue che M_n(K) è somma diretta di Symn(K) e ASymn(K). Si noti, infine, che ∀ A ∈ Mn(K) si ha che (A + A^t)/2 ∈ Sym_n(K), (A − A^t)/2 ∈ ASym_n(K) e

A = A + A^t

2 + A − A^t 2 .

Esercizi 2.26. Determinare la dimensione ed una base dei seguenti sottospazi di R⁴: 1. W₁ = {(x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ R⁴ | x₁− x₄ = 0, x₂+ x₃ = 0};

2. W2 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R⁴ | x4− x2+ x3 = 0}.

Teorema 2.27. (Teorema del completamento ad una base) Sia V un K–spazio vettoriale tale che dim(V ) = n.