[x] dei polinomi a coefficienti reali di grado al massimo 3 si considerino i sottospazi vettoriali:

Tutorato 4

Intersezione e somma di sottospazi. Teorema di Rouche’ Capelli

1. Nello spazio vettoriale R

[x] dei polinomi a coefficienti reali di grado al massimo 3 si considerino i sottospazi vettoriali:

U := {p(x) ∈ R

[x] tali che p(3) = p(0) = 0}

e

W := {ax

+ bx

+ cx + d tali che a + b − c = 0}.

• Verificare che x(x − 3) ∈ U e completare {x(x − 3)} a una base di U ;

• Si determinino la dimensione e una base di W ;

• Si determinino la dimensione e una base di U ∩ W ;

• Si determinino la dimensione e una base di U + W ;

2. Nello spazio M

(R) delle matrici 2 × 2 a coefficienti reali si consideri l’insieme:

U

=  a b c d



tali che a + b = 0, a + d = k



e il sottospazio vettoriale W =  1 −1 0 0



,  0 0 1 0



,  2 −2

2 0



• Stabilire per quali k, U

e’ un sottospazio vettoriale;

• Quando U

e’ sottospazio vettoriale calcolarne la dimensione ed esibire una sua base;

• Trovare una base e la dimensione di W ;

• Quando U

e’ sottospazio vettoriale, calcolare la dimensione e una base di U

∩ W ;

• Quando U

e’ sottospazio vettoriale, calcolare la dimensione di U

+ W e completare la base di U

∩ W trovata nel punto precendete a una base di U

+ W .

• Completare la base di U

+ W a una base di M

(R).

3. In R

si considerino i sottospazi vettoriali

U =

*







 1 0 1 0







 ,







 1 1 0 0







 +

W =

*







 2 1 3 0







 ,







 0 0 1 2







 +

• Si determinino una base e la dimensione di U ;

• Si determinino una base e la dimensione di W ;

• Si determinino una base e la dimensione di U + W ;

• Si determinino una base e la dimensione di U ∩ W .

4. Sia V uno spazio vettoriale su K di dimensione 7. Siano U e W due suoi sottospazi vettoriali. Sia dim(U ) = 4. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere

a) Se dim(W ) = 3 allora dim(U + W ) = dim(U ) + dim(W ) b) Se dim(W ) = 4 allora dim(U + W ) < dim(U ) + dim(W )

c) Se dim(W ) ≤ 3 allora dim(U ∩ W ) ≤ 3 d) Se dim(W ) ≥ 3 allora dim(U + W ) ≥ 0 e) Se dim(W ) ≥ 4 allora dim(U + W ) = 7 f) dim(U + W ) ≤ 7

g) dim(U ∩ W ) ≥ 1

h) Se dim(W ) ≥ 5 allora dim(U ∩ W ) = 2

i) Conoscendo dim(U ) si possono determinare dim(U ∩ W ) e dim(U + W ) l) dim(U + W ) ≥ 4;

m) dim(U + W ) > 4;

n) Se dim(W ) = 4 ed esiste w ∈ W , tale che w / ∈ U allora dim(U + W ) > 4.

o) Se dim(W ) = 4 ed esiste w ∈ W tale che w / ∈ U e allora dim(U ∩ W ) ≤ 3.

5. Si considerino la matrice

A =













h 0 1 0

0 h(h − 1) 0 0

0 0 1 5

0 0 0 k

0 0 k 5k













e il sistema Ax = b al variare di b =











 b

b

b

b

b













∈ R

. Si stabilisca quale delle seguenti

affermazioni e’ vera

a) Il sistema ha 4 incognite b) Il sistema ha 5 incognite

c) Il sistema non e’ risolubile per nessun b ∈ R

d) Se h = 0, il sistema non e’ risolubile per nessun b ∈ R

e) Se h = 1, il sistema e’ risolubile se e solo se b ∈ R

b

− kb

= 0 e b

= 0 f) Se il sistema e’ risolubile allora b

= 0

g) Se il sistema e’ risolubile allora b

= kb

h) Se h 6= 1 e h 6= 0, il sistema e’ risolubile se e solo se b

− kb

= 0 e b

= 0

i) Se k = 0, il sistema e’ risolubile per ogni b tale che b

= b

= 0 l) Se h 6= 1 e h 6= 0 e k 6= 0, il sistema e’ risolubile per ogni b ∈ R

m) Se h 6= 1 e h 6= 0 e k 6= 0, il sistema e’ risolubile per ogni b ∈ R

tale che b

= kb

n) Se b = 0 allora il sistema e’ sicuramente risolubile.

o) Se il sistema e’ risolubile per un certo b, allora per quel b il sistema ha una e una sola soluzione;

p) Se il sistema e’ risolubile per un certo b, allora per quel b il sistema ha sicuramente infinite soluzioni;

q) Se il sistema e’ risolubile per un certo b e k = 0, allora per quel b il sistema ha sicuramente infinite soluzioni;

r) Se il sistema e’ risolubile per un certo b e k 6= 0, h = 0, allora per quel b il sistema ha sicuramente ∞

soluzioni;

s) Se il sistema e’ risolubile per un certo b e k 6= 0, h = 1, allora per quel b il sistema ha sicuramente ∞

soluzioni;

t) Se il sistema e’ risolubile per un certo b e k = 0, h = 0, allora per quel b il sistema ha sicuramente ∞

soluzioni;

u) Se il sistema e’ risolubile e ha un’unica soluzione per un certo b, allora h 6= 0, h 6= 1,

k 6= 0.