Funzioni Composte e Derivazione delle funzioni composte Francesco Zumbo www.francescozumbo.it http://it.geocities.com/zumbof/

Francesco Zumbo www.francescozumbo.it http://it.geocities.com/zumbof/

Questi appunti vogliono essere un ulteriore strumento didattico per gli studenti. Idea che mi ´e venuta dopo essere stato a contatto con bambini e studenti affetti da Sclerosi Multipla, costretti a lunghe degenze presso il Reparto di Neurologia dell’Ospedale di Fidenza (Parma), Divisione Diretta da una Eccezionale persona, il Prof. Enrico Montanari a cui mia riconoscenza e stima andranno Sempre.

A coloro che vorranno dare un piccolo contributo all’Associazione Nazionale per la Lotta Contro la Sclerosi Multipla (sezione di Parma) un Grande Grazie!!!

Conto Corrente Postale : 13 50 34 38 - Intestato a: AISM di Parma (Associazione Italiana Sclerosi Multipla) di Parma - Indirizzo: Piazzale S. Sepolcro, 3 - 43100 Parma (PR) - Telefono : 0521-231251.

Con la seguente Causale: + Matematica ,- Sclerosi Multipla 1. A

F

C

(1) h(x) = √ x

(2) h(x) = sin(cos(x)) (3) h(x) = ln

1

2. G

´

Figura 1

Siano X , Y , Z tre insiemi numerici che possiamo immaginare essere sottoinsiemi di R.

Sia f una funzione definita in X a valori in Y e g una funzione definita in Y a valori in Z.

Cio´e

• f : X → Y

• g : Y → Z

chiamiamo x gli elementi di X, y gli elementi di Y e z gli elementi di Z; h ´e la funzione composta di componenti le funzioni f e g.

h risulta essere definita nell’insieme dove ´e definita la prima funzione f (x) a valori nell’insieme delle immagini del’ultima funzione, l’insieme Z, cio´e

(2.1) h : X → Z

con

(2.2) z = h(x) = (g ◦ f )(x)

Il terzo membro si legge: ” f composto g”.

Possiamo cos´i sintetizzare il passaggio di variabile

(2.3) x ∈ X 7→

y = f (x) ∈ Y 7→

z = g(y) ∈ Z che in termini di funzione composta diviene

(2.4) x ∈ X →

z = h(x) ∈ Z

In questa ottica, le funzioni scritte della S

.1 possono essere cos´i descritte:

La prima

(2.5) h(x) =

√ x

diviene

(2.6) x 7→

y = f (x) = x

7→

z = g(y) = √ y La seconda

(2.7) h(x) = sin(cos(x))

diviene

(2.8) x 7→

y = f (x) = cos(x) 7→

z = g(y) = sin(y) La terza

(2.9) h(x) = ln 1

x diviene

(2.10) x 7→

y = f (x) = 1

x 7→

z = g(y) = ln(y) Tali considerazioni portano alla seguente scrittura

(2.11) h(x) = (g ◦ f )(x)

E bene notare che la si legge non da sinistra verso destra ma da destra verso sinistra. ´

Questo perch´e la prima funzione da applicare ´e la f che lavora sulla variabile x e

ci fa ottenere come immagine la y = f (x); poi si applica la g alla variabile y e si ottiene l’immagine z = g(y) = h(x) = (g ◦ f )(x).

Dopo tale introduzione possiamo spingerci a descrivere come funzione composta la seguente e articolata funzione

(2.12) h(x) = p

ln(sin(x

)) In termini delle sua componenti diviene

(2.13)

x 7→

y = f (x) = x

7→

z = g(y) = sin(y) 7→

t = k(z) = ln(z) 7→

u = j(t) = √ t con

y = f (x) = x

z = g(y) = sin(y t = k(z) = ln(z)

u = j(t) = √ t in termini formali la funzione composta ´e

(2.14) h(x) = (j ◦ k ◦ g ◦ f )(x)

Figura 2 le variabili delle funzioni sono

• x per la funzione f

• y per la funzione g

• z per la funzione k

• t per la funzione j

• x per la funzione composta h

in tal modo anche funzioni molto complesse, possono essere indicate in maniera molto semplice e sequenziale.

3. D

Grazie agli studi di Liebniz e di Newton sappiamo derivare le funzioni composte; ad esempio, la funzione

(3.1) h(x) = √

x

scritta in termini di funzione composta

(3.2) x 7→

y = f (x) = x

7→

z = g(y) = √ y

la derivata h

(x) ´e data dalla fondamentale regola di Liebniz

(3.3) h

(x) = g

(y) · f

(x)

E importante ricordare che nell’espressione finale si dov´a avere solo e soltando ´ la variabile x quindi a tale scopo si dovr´a procedere ad un cambiamento di vari- abile.

Ci´o si identifica nei seguenti passaggi , se

z = g(y) = √

y

implica che

g

(y) = 1 2 y

inoltre da

y = f (x) = x

segue che

f

(x) = 3x

In virt´u di quanto detto nella (3.3)

(3.4) h

(x) = 1

2 y

· 3x

ma nel secondo membro della (3.4) ´e presente la variabile y che possiamo sostituire con y = x

(3.5) h

(x) = 1

2 (x

)

· 3x

(3.6) h

(x) = 1

2 x

· 3x

(3.7) h

(x) = 1

2 x

(3.8) h

(x) = 1

2 x

(3.9) h

(x) = 1

2 x

(3.10) h

(x) = 1

2

√ x

In definitiva la derivata della funzione

(3.11) h(x) = √

x

´e la funzione (3.10)

4. E

4.1. La funzione

h(x) = sin(cos(x))

. Scritta in termini di funzioni che la compongono diviene

(4.1) x 7→

y = f (x) = cos(x) 7→

z = g(y) = sin(y)

y = f (x) = cos(x)

z = g(y) = sin(y)

considerando le derivate delle funzioni g e f

• y

= f

(x) = − sin(x)

• z

= g

(y) = cos(y) sapendo che

(4.2) h

(x) = g

(y) · f

(x)

possiamo scrivere

(4.3) h

(x) = cos(y) · (− sin(x))

ma

y = cos(x)

quindi

(4.4) h

(x) = cos(cos(x)) · (− sin(x))

(4.5) h

(x) = − sin(x) · cos(cos(x))

4.2. La funzione

h(x) = ln 1 x . ´e scomponibile in

(4.6) h(x) = (g ◦ f )(x)

(4.7) x 7→

y = f (x) = 1

x 7→

z = g(y) = ln(y) f (x) = 1

x g(y) = ln(y) le cui derivate sono

• f

(x) = −x

• g

(y) =

sapendo che

(4.8) h

(x) = g

(y) · f

(x)

scriviamo

(4.9) h

(x) = 1

y · (−x

) sostituendo ad y

y = 1 x segue

(4.10) h

(x) = 1

1 x

· (−x

)

(4.11) h

(x) = x · (−x

)

(4.12) h

(x) = −x

in definitiva

(4.13) h

(x) = − 1

x

4.3. La funzione h(x) = pln(sin(x

)). scomposta diviene (4.14)

x 7→

y = f (x) = x

7→

z = g(y) = sin(y) 7→

t = k(z) = ln(z) 7→

u = j(t) = √ t dove

y = f (x) = x

z = g(y) = sin(y)

t = k(z) = ln(z) u = j(t) = √

t per cui risulter´a

(4.15) h

(x) = f

(x) · g

(y) · k

(z) · j

(t) esplicitando le derivate delle funzioni componenti si ha

• y

= f

(x) = 2x

• z

= g

(y) = cos(y)

• t

= k

(z) =

• u

= j

(t) =

t

Prima di procedere con il prodotto delle derivate,ricordando che le variabili y, z, t bisogna convertirle nella variabile x, procediamo con tale conversione:

Ricordando che

• y = x

• z = sin(y)

• t = ln(z) possiamo scrivere

• g

(y) = cos(y) = cos(x

)

• k

(z) =

=

=

• j

(t) =

t

=

(ln(z))

=

(ln(sin(y)))

=

(ln(sin(x

)))

=

2

√

ln(sin x²)

e per la (4.15) si ha

(4.16) h

(x) = [2x] · [cos(x

)] · [ 1

sin(x

) ] · [ 1 2pln(sin x

) ]

(4.17) h

(x) = [2x][ cos(x

)

sin(x

) ][ 1

2pln(sin x

) ] cio´e

(4.18) h

(x) = [2x][ctgx

][ 1

2pln(sin x

) ]

(4.19) h

(x) = [2x][ctgx

]

2pln(sin x

) 4.4. La Funzione

h(x) = p

x

sin(x) . Scritta in termini di funzione composta

(4.20) x →

y = f (x) = x

sin(x) →

z = g(y) = √ y

(4.21) h(x) = (g ◦ f )(x)

dove

y = f (x) = x

· sin(x) z = g(y) = √

y per la regola :

(4.22) h

(x) = f

(x) · g

(x)

calcoliamo la derivata f

(x), dove ovviamente, si deve applicare la regola di derivazione del prodotto, che qu´i riportiamo.

Se una funzione f (x) ´e data dal prodotto di due funzioni, che per la circostanza possiamo chiamare l(x) e m(x)

(4.23) f (x) = l(x) · m(x)

la sua derivata la si calcola secondo la regola

”La derivata del primo fattore per il secondo non derivato + il primo fattore non derivato per la derivata del secondo fattore”

(4.24) f

(x) = l

(x) · m(x) + l(x) · m

(x) nel caso specifico indichiamo con le funzioni l(x) e m(x)

• l(x) = x

• m(x) = sin(x) per cui

• l

(x) = 2x

• m

(x) = cos(x) quindi

(4.25) f

(x) = 2x · cos(x) + x

· sin(x) Calcoliamo adesso la derivata della funzione g(y)

z

= g(y) = √

y = (y)

(4.26) z

= g

(y) = 1

2 y

= 1 2 · 1

√ y = 1 2 √ y esplicitando nella g

(y) la variabile x si ottiene

(4.27) g

(x) = 1

2px

sin(x) A questo punto sapendo che

(4.28) h

(x) = f

(x) · g

(x)

si ha

(4.29) h

(x) = {2x · cos(x) + x

· sin(x)} · { 1

2px

sin(x) }

(4.30) h

(x) = 2x · cos(x) + x

· sin(x)

2px

sin(x)

che ´e la derivata cercata.